2023届福建省泉州市南安国光中学高考数学倒计时模拟卷（含答案解析）

2023高考数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于，两点，若，则△的内切圆的半径为（）A． B． C． D．2．“”是“，”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．下列说法正确的是（）A．命题“，”的否定形式是“，”B．若平面，，，满足，则C．随机变量服从正态分布（），若，则D．设是实数，“”是“”的充分不必要条件4．若，则函数在区间内单调递增的概率是（）A．B．C．D．5．函数（，，）的部分图象如图所示，则的值分别为（）A．2，0 B．2， C．2， D．2，6．下列不等式成立的是（）A． B． C． D．7．在中，，，，为的外心，若，，，则（）A． B． C． D．8．设函数，若函数有三个零点，则（）A．12 B．11 C．6 D．39．已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（）.A．16 B． C．5 D．410．已知点为双曲线的右焦点，直线与双曲线交于A，B两点，若，则的面积为（）A． B． C． D．11．已知函数，为图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点，满足，则下列区间中存在极值点的是（）A． B． C． D．12．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数的取值为（）A．-2 B．-1 C．1 D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，曲线与直线相交，若存在相邻两个交点间的距离为，则可取到的最大值为__________.14．设P为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则______________.15．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则_______，项的系数等于________.16．若满足，则目标函数的最大值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，的顶点也在曲线上运动，求面积的最大值.18．（12分）已知二阶矩阵A=abcd，矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为α119．（12分）如图，已知，分别是正方形边，的中点，与交于点，，都垂直于平面，且，，是线段上一动点.（1）当平面，求的值；（2）当是中点时，求四面体的体积.20．（12分）已知，，为正数，且，证明：（1）；（2）.21．（12分）已知椭圆的右焦点为，直线被称作为椭圆的一条准线，点在椭圆上(异于椭圆左、右顶点)，过点作直线与椭圆相切，且与直线相交于点.（1）求证：.（2）若点在轴的上方，当的面积最小时，求直线的斜率.附：多项式因式分解公式：22．（10分）已知矩阵，.求矩阵；求矩阵的特征值.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【答案解析】

设左焦点的坐标，由AB的弦长可得a的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.【题目详解】由双曲线的方程可设左焦点，由题意可得，由，可得，所以双曲线的方程为:所以，所以三角形ABF2的周长为设内切圆的半径为r，所以三角形的面积，所以，解得，故选：B【答案点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.2．B【答案解析】

先求出满足的值，然后根据充分必要条件的定义判断．【题目详解】由得，即，，因此“”是“，”的必要不充分条件．故选：B．【答案点睛】本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断．3．D【答案解析】

由特称命题的否定是全称命题可判断选项A；可能相交，可判断B选项；利用正态分布的性质可判断选项C；或，利用集合间的包含关系可判断选项D.【题目详解】命题“，”的否定形式是“，”，故A错误；，，则可能相交，故B错误；若，则，所以，故，所以C错误；由，得或，故“”是“”的充分不必要条件，D正确.故选：D.【答案点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题.4．B【答案解析】函数在区间内单调递增，，在恒成立，在恒成立，，函数在区间内单调递增的概率是，故选B.5．D【答案解析】

由题意结合函数的图象，求出周期，根据周期公式求出，求出，根据函数的图象过点，求出，即可求得答案【题目详解】由函数图象可知：，函数的图象过点，，则故选【答案点睛】本题主要考查的是的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果6．D【答案解析】

根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.【题目详解】对于，，，错误；对于，在上单调递减，，错误；对于，，，，错误；对于，在上单调递增，，正确.故选：.【答案点睛】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.7．B【答案解析】

首先根据题中条件和三角形中几何关系求出，，即可求出的值.【题目详解】如图所示过做三角形三边的垂线，垂足分别为，，，过分别做，的平行线，，由题知，则外接圆半径，因为，所以，又因为，所以，，由题可知，所以，，所以.故选：D.【答案点睛】本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题.8．B【答案解析】

画出函数的图象，利用函数的图象判断函数的零点个数，然后转化求解，即可得出结果．【题目详解】作出函数的图象如图所示，令，由图可得关于的方程的解有两个或三个（时有三个，时有两个），所以关于的方程只能有一个根（若有两个根，则关于的方程有四个或五个根），由，可得的值分别为，则故选B．【答案点睛】本题考查数形结合以及函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于常考题型.9．D【答案解析】

由，可得，由，可得，再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.【题目详解】设等比数列公比为，由已知，，即，解得或（舍），又，所以，即，故，所以，当且仅当时，等号成立.故选：D.【答案点睛】本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题，涉及到等比数列的知识，是一道中档题.10．D【答案解析】

设双曲线C的左焦点为，连接，由对称性可知四边形是平行四边形，设，得，求出的值，即得解.【题目详解】设双曲线C的左焦点为，连接，由对称性可知四边形是平行四边形，所以，.设，则，又.故，所以.故选：D【答案点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．A【答案解析】

结合已知可知，可求，进而可求，代入，结合，可求，即可判断．【题目详解】图象上相邻两个极值点，满足，即，，，且，，，，，，当时，为函数的一个极小值点，而．故选：．【答案点睛】本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用．12．B【答案解析】

求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；【题目详解】f（x）的定义域为（﹣1，+∞），因为f′（x）a，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x，可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，故选：B．【答案点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．4【答案解析】

由于曲线与直线相交，存在相邻两个交点间的距离为，所以函数的周期，可得到的取值范围，再由解出的两类不同的值，然后列方程求出，再结合的取值范围可得的最大值.【题目详解】，可得，由，则或，即或，由题意得，所以，则或，所以可取到的最大值为4.故答案为：4【答案点睛】此题考查正弦函数的图像和性质的应用及三角方程的求解，熟练应用三角函数的图像和性质是解题的关键，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.14．【答案解析】设根据椭圆的几何性质可得,根据双曲线的几何性质可得，,即故答案为15．81【答案解析】

根据二项式系数和的性质可得n,再利用展开式的通项公式求含项的系数即可.【题目详解】由于所有项的二项式系数之和为，，故的二项展开式的通项公式为，令，求得，可得含x项的系数等于，故答案为：8；1．【答案点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．16．-1【答案解析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【题目详解】由约束条件作出可行域如图，化目标函数为，由图可得，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，由得即，则有最大值，故答案为．【答案点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）：，：；（2）【答案解析】

（1）由直线参数方程消去参数即可得直线的普通方程，根据极坐标方程和直角坐标方程互化的公式即可得曲线的直角坐标方程；（2）由即可得的底，由点到直线的距离的最大值为即可得高的最大值，即可得解.【题目详解】（1）由消去参数得直线的普通方程为，由得，曲线的直角坐标方程为；（2）曲线即，圆心到直线的距离，所以，又点到直线的距离的最大值为，所以面积的最大值为.【答案点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.18．A=【答案解析】

运用矩阵定义列出方程组求解矩阵A【题目详解】由特征值、特征向量定义可知，Aα即abc同理可得3a+2b=12,3c+2d=8.解得a=2，b=3，c=2，d=1.因此矩阵【答案点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单19．（1）.（2）【答案解析】

（1）利用线面垂直的性质得出，进而得出，利用相似三角形的性质，得出，从而得出的值；（2）利用线面垂直的判定定理得出平面，进而得出四面体的体积，计算出，，即可得出四面体的体积.【题目详解】（1）因为平面，平面，所以又因为，都垂直于平面，所以又，分别是正方形边，的中点，且，所以.（2）因为，分别是正方形边，的中点，所以又因为，都垂直于平面，平面，所以因为平面，所以平面所以，四面体的体积，所以.【答案点睛】本题主要考查了线面垂直的性质定理的应用，以及求棱锥的体积，属于中档题.20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【答案解析】

（1）利用均值不等式即可求证；（2）利用，结合，即可证明.【题目详解】（1）∵，同理有，，∴.（2）∵，∴.同理有，.∴.【答案点睛】本题考查利用均值不等式证明不等式，涉及的妙用，属综合性中档题.21．（1）证明见解析（2）【答案解析】

（1）由得令可得，进而得到，同理，利用数量积坐标计算即可；（2），分，两种情况讨论即可.【题目详解】（1）证明：点的坐标为.联立方程，消去后整理为有，可得，，.可得点的坐标为.当时，可求得点的坐标为，，.有,故有.（2）若点在轴上方，因为，所以有，由（1）知①因为时.由（1）知，由函数单调递增，可得此时.