2020版高考数学大一轮复习课时2348正弦定理和余弦定理应用举例课件

§4.8正弦定理和余弦定理应用举例§4.8正弦定理和余弦定理应用举例1教材研读1.正弦定理和余弦定理在实际测量中的主要应用有:测量距离、高度、角度问题,计算面积问题等.2.实际问题中的常用角3.解三角形应用题的一般步骤教材研读1.正弦定理和余弦定理在实际测量中的主要应用有:测量考点突破

考点一测量距离问题

考点二测量高度

考点三测量角度问题考点突破考点一测量距离问题考点二测量高度考点三1.正弦定理和余弦定理在实际测量中的主要应用有:测量距离、高度、角度问题,计算面积问题等.教材研读1.正弦定理和余弦定理在实际测量中的主要应用有:测量距离、高42.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标视线在

水平线①

上方

的角叫仰角,目标视线在水平线②

下方

的角叫俯

角(如图甲).2.实际问题中的常用角5

(2)方向角:一般指相对于正北或正南方向的水平锐角,如南偏东30°,北

偏西45°等.(3)方位角从③

正北

方向顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如点B的

6方位角为α(如图乙).(4)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角.(附:坡度(坡比):坡面的铅直高度与水平宽度之比)方位角为α(如图乙).73.解三角形应用题的一般步骤(1)理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的

关系;(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题;(3)根据题意选用正弦定理或余弦定理进行求解;(4)将所得结论还原到实际问题,注意实际问题中有关单位、近似计算

等的要求.3.解三角形应用题的一般步骤81.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α与β的关系为(

B)A.α>β

B.α=β

C.α+β=90°

D.α+β=180°1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α与β92.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔

A在观察站C的北偏东20°的方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40°的方

向上,则灯塔A与灯塔B的距离为

(B)

A.akmB.

akmC.

akmD.2akm2.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a103.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是4

5°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=

40m,则电视塔的高度为

(D)

A.10

mB.20mC.20

mD.40m3.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的114.在相距2千米的A、B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,

则A、C两点之间的距离为

千米.4.在相距2千米的A、B两点处测量目标点C,若∠CAB=75125.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达灯塔P的南偏西75°距灯塔68

海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则此船航行的速

度为

海里/时.5.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达灯塔P的南偏西7513解析如图,由题意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°.

在△PMN中,

=

,∴MN=68×

=34

(海里).解析如图,由题意知∠MPN=75°+45°=120°,∠P14又由M到N所用的时间为14-10=4(小时),∴此船航行的速度v=

=

海里/时.又由M到N所用的时间为14-10=4(小时),15

测量距离问题典例1如图所示,某旅游景点有一座山峰,山上有一条笔直的山路BC和

一条索道AC,而小王和小李打算花2个小时的时间进行徒步攀登,已知∠

ABC=120°,∠ADC=150°,BD=1km,AC=3km.假设小王和小李徒步攀登

的速度为每小时1250米,请问:小王和小李能否在2个小时内徒步登上山

顶?(即从B点出发到达C点)考点突破考点突破16解析在△ABD中,由题意知,∠ADB=∠BAD=30°,所以AB=BD=1,因为

∠ABD=120°,由正弦定理得

=

,解得AD=

.解析在△ABD中,由题意知,∠ADB=∠BAD=30°,所17在△ACD中,由AC2=AD2+DC2-2AD·CD·cos150°,得9=3+CD2+2

×

CD,即CD2+3CD-6=0,解得CD=

,所以BC=BD+CD=

,2个小时小王和小李可徒步攀登1250×2=2500(米)=2.5(千米),而

<

=

=2.5,所以小王和小李可以在2个小时内徒步登上山顶.在△ACD中,由AC2=AD2+DC2-2AD·CD·cos18◆探究

若本例条件“BD=1km,AC=3km”变为“BD=200m,CD=300

m”,其他条件不变,则这条索道AC长为

100

m.◆探究若本例条件“BD=1km,AC=3km”变为“B19解析在△ABD中,BD=200,∠ABD=120°.因为∠ADB=30°,所以∠DAB=30°,由正弦定理,得

=

,所以

=

,所以AD=200

(m).在△ADC中,DC=300m,∠ADC=150°,所以AC2=AD2+DC2-2AD×DC×cos∠ADC解析在△ABD中,BD=200,∠ABD=120°.所以A20=(200

)2+3002-2×200

×300×cos150°=390000,所以AC=100

m.故这条索道AC长为100

m.=(200 )2+3002-2×200 ×300×cos121方法技巧求解距离问题的一般步骤(1)画出示意图,将实际问题转化成三角形问题;(2)明确所求的距离在哪个三角形中,有几个已知元素;(3)使用正弦定理、余弦定理解三角形.方法技巧22易错警示解三角形时,为避免误差的积累,应尽可能用已知的数据(原始数据),少

用间接求出的量.易错警示231-1如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的B,D两点,测出

四边形ABCD各边的长度:AB=5km,BC=8km,CD=3km,DA=5km,且∠B

与∠D互补,则AC的长为

(A)

A.7kmB.8km

C.9kmD.6km1-1如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的B24解析

∵82+52-2×8×5×cos(π-D)=32+52-2×3×5×cosD,∴cosD=-

,∴在△ACD中,由余弦定理可计算得AC=

=7.则AC的长为7km.

解析

∵82+52-2×8×5×cos(π-D)=3225测量高度典例2如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得

公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此

山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=

100

m.

测量高度典例2如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,26解析依题意有AB=600,∠CAB=30°,∠CBA=180°-75°=105°,∠DBC=30°,DC⊥CB.∴∠ACB=45°,在△ABC中,由

=

,得

=

,有CB=300

,在Rt△BCD中,CD=CB·tan30°=100

,则此山的高度CD=100

m.解析依题意有AB=600,∠CAB=30°,27易错警示解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度的问题时,要理解仰角、俯角的概念.(2)在实际问题中,可能会遇到同时研究空间与平面(地面)的问题,这时

最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又

不容易出错.(3)一般是把高度问题转化成三角形的问题,要注意三角形中的边角关

系的应用,若是空间的问题,则要注意空间图形和平面图形的结合.易错警示282-1

(2018浙江名校协作体联考)如图,为了估测某塔的高度,在同一水

平面的A,B两点处进行测量,在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上,

仰角为60°,在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上,仰角为30°.若A,B

两点相距130m,则塔CD的高度为

10

m.

2-1

(2018浙江名校协作体联考)如图,为了估测某29解析设CD=hm,则AD=

m,BD=

hm,在△ADB中,∠ADB=180°-20°-40°=120°,∴由余弦定理得AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos120°,可得1302=3h2+

-2·

h·

·

,解得h=10

(负值舍去),故塔的高度为10

m.

解析设CD=hm,则AD= m,BD= hm,在△A30典例3如图,在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇(位于A处)发

现在北偏东45°方向,相距12km的水面B处,有蓝方一艘小艇正以每小时

10km的速度沿南偏东75°方向前进,若红方侦察艇以每小时14km的速

度,沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求

红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.测量角度问题典例3如图,在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇(位于31解析如图,设红方侦察艇在C处拦截住蓝方的小艇,且经过的时间为x

小时,

则AC=14x(km),BC=10x(km),∠ABC=120°.解析如图,设红方侦察艇在C处拦截住蓝方的小艇,且经过的时间32根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos120°,解得x=2(负值舍去).故AC=28km,BC=20km.根据正弦定理得

=

,解得sinα=

=

.所以要使红方侦察艇在最短的时间内拦截住蓝方小艇,则所需要的时间

为2小时,角α的正弦值为

.根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xc33易错警示解决测量角度问题的注意事项(1)明确方向角的含义;(2)分析题意,分清已知与所求,根据题意正确画出示意图,这是最关键、

最重要的一步;(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正弦、余弦定

理的综合运用.易错警示343-1从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条路线.路线1是从A沿直

线步行到C,路线2是先从A沿直线步行到景点B处,然后从B沿直线步行

到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行,甲的速度是乙的速

度的

倍,甲走路线2,乙走路线1,最后他们同时到达C处.经测量,AB=1040m,BC=500m,则sin∠BAC等于

.

3-1从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条路线.路线1是35解析依题意,设乙的速度为xm/s,则甲的速度为

xm/s,因为AB=1040m,BC=500m,所以

=

,解得AC=1260m,在△ABC中,由余弦定理可知cos∠BAC=

=

=

,解析依题意,设乙的速度为xm/s,36所以sin∠BAC=

=

=

.所以sin∠BAC= = = .37§4.8正弦定理和余弦定理应用举例§4.8正弦定理和余弦定理应用举例38教材研读1.正弦定理和余弦定理在实际测量中的主要应用有:测量距离、高度、角度问题,计算面积问题等.2.实际问题中的常用角3.解三角形应用题的一般步骤教材研读1.正弦定理和余弦定理在实际测量中的主要应用有:测量考点突破

考点一测量距离问题

考点二测量高度

考点三测量角度问题考点突破考点一测量距离问题考点二测量高度考点三1.正弦定理和余弦定理在实际测量中的主要应用有:测量距离、高度、角度问题,计算面积问题等.教材研读1.正弦定理和余弦定理在实际测量中的主要应用有:测量距离、高412.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标视线在

水平线①

上方

的角叫仰角,目标视线在水平线②

下方

的角叫俯

角(如图甲).2.实际问题中的常用角42

(2)方向角:一般指相对于正北或正南方向的水平锐角,如南偏东30°,北

偏西45°等.(3)方位角从③

正北

方向顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如点B的

43方位角为α(如图乙).(4)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角.(附:坡度(坡比):坡面的铅直高度与水平宽度之比)方位角为α(如图乙).443.解三角形应用题的一般步骤(1)理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的

关系;(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题;(3)根据题意选用正弦定理或余弦定理进行求解;(4)将所得结论还原到实际问题,注意实际问题中有关单位、近似计算

等的要求.3.解三角形应用题的一般步骤451.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α与β的关系为(

B)A.α>β

B.α=β

C.α+β=90°

D.α+β=180°1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α与β462.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔

A在观察站C的北偏东20°的方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40°的方

向上,则灯塔A与灯塔B的距离为

(B)

A.akmB.

akmC.

akmD.2akm2.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a473.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是4

5°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=

40m,则电视塔的高度为

(D)

A.10

mB.20mC.20

mD.40m3.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的484.在相距2千米的A、B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,

则A、C两点之间的距离为

千米.4.在相距2千米的A、B两点处测量目标点C,若∠CAB=75495.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达灯塔P的南偏西75°距灯塔68

海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则此船航行的速

度为

海里/时.5.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达灯塔P的南偏西7550解析如图,由题意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°.

在△PMN中,

=

,∴MN=68×

=34

(海里).解析如图,由题意知∠MPN=75°+45°=120°,∠P51又由M到N所用的时间为14-10=4(小时),∴此船航行的速度v=

=

海里/时.又由M到N所用的时间为14-10=4(小时),52

测量距离问题典例1如图所示,某旅游景点有一座山峰,山上有一条笔直的山路BC和

一条索道AC,而小王和小李打算花2个小时的时间进行徒步攀登,已知∠

ABC=120°,∠ADC=150°,BD=1km,AC=3km.假设小王和小李徒步攀登

的速度为每小时1250米,请问:小王和小李能否在2个小时内徒步登上山

顶?(即从B点出发到达C点)考点突破考点突破53解析在△ABD中,由题意知,∠ADB=∠BAD=30°,所以AB=BD=1,因为

∠ABD=120°,由正弦定理得

=

,解得AD=

.解析在△ABD中,由题意知,∠ADB=∠BAD=30°,所54在△ACD中,由AC2=AD2+DC2-2AD·CD·cos150°,得9=3+CD2+2

×

CD,即CD2+3CD-6=0,解得CD=

,所以BC=BD+CD=

,2个小时小王和小李可徒步攀登1250×2=2500(米)=2.5(千米),而

<

=

=2.5,所以小王和小李可以在2个小时内徒步登上山顶.在△ACD中,由AC2=AD2+DC2-2AD·CD·cos55◆探究

若本例条件“BD=1km,AC=3km”变为“BD=200m,CD=300

m”,其他条件不变,则这条索道AC长为

100

m.◆探究若本例条件“BD=1km,AC=3km”变为“B56解析在△ABD中,BD=200,∠ABD=120°.因为∠ADB=30°,所以∠DAB=30°,由正弦定理,得

=

,所以

=

,所以AD=200

(m).在△ADC中,DC=300m,∠ADC=150°,所以AC2=AD2+DC2-2AD×DC×cos∠ADC解析在△ABD中,BD=200,∠ABD=120°.所以A57=(200

)2+3002-2×200

×300×cos150°=390000,所以AC=100

m.故这条索道AC长为100

m.=(200 )2+3002-2×200 ×300×cos158方法技巧求解距离问题的一般步骤(1)画出示意图,将实际问题转化成三角形问题;(2)明确所求的距离在哪个三角形中,有几个已知元素;(3)使用正弦定理、余弦定理解三角形.方法技巧59易错警示解三角形时,为避免误差的积累,应尽可能用已知的数据(原始数据),少

用间接求出的量.易错警示601-1如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的B,D两点,测出

四边形ABCD各边的长度:AB=5km,BC=8km,CD=3km,DA=5km,且∠B

与∠D互补,则AC的长为

(A)

A.7kmB.8km

C.9kmD.6km1-1如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的B61解析

∵82+52-2×8×5×cos(π-D)=32+52-2×3×5×cosD,∴cosD=-

,∴在△ACD中,由余弦定理可计算得AC=

=7.则AC的长为7km.

解析

∵82+52-2×8×5×cos(π-D)=3262测量高度典例2如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得

公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此

山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=

100

m.

测量高度典例2如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,63解析依题意有AB=600,∠CAB=30°,∠CBA=180°-75°=105°,∠DBC=30°,DC⊥CB.∴∠ACB=45°,在△ABC中,由

=

,得

=

,有CB=300

,在Rt△BCD中,CD=CB·tan30°=100

,则此山的高度CD=100

m.解析依题意有AB=600,∠CAB=30°,64易错警示解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度的问题时,要理解仰角、俯角的概念.(2)在实际问题中,可能会遇到同时研究空间与平面(地面)的问题,这时

最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又

不容易出错.(3)一般是把高度问题转化成三角形的问题,要注意三角形中的边角关

系的应用,若是空间的问题,则要注意空间图形和平面图形的结合.易错警示652-1

(2018浙江名校协作体联考)如图,为了估测某塔的高度,在同一水

平面的A,B两点处进行测量,在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上,

仰角为60°,在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上,仰角为30°.若A,B

两点相距130m,则塔CD的高度为

10

m.

2-1

(2018浙江名校协作体联考)如图,为了估测某66解析设CD=hm,则AD=

m,BD=

hm,在△ADB中,∠ADB=180°-20°-40°=120°,∴由余弦定理得AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos120°,可得1302=3h2+

-2·

h·

·

,解得h=10

(负值舍去),故塔的高度为10

m.

解析设CD=hm,则AD= m,BD= hm,在△A67典例3如图,在一次海上联合作战演习