高中理科数学各类型概率统计、分布列解答题

以随机事件概率为背景离散型随机变量的分布列、均值【背一背重点知识】仁随机变量g所取的值分别对应的事件是两两互斥的，各事件概率之和为1．Eg=工xp,s2=—工(x-Eg)2p.iiniii=—i=—2．求随机事件概率为背景的离散型随机变量的均值与方差公式3．注意事件中所包含关键词，如至少，至多，恰好，都是，不都是都不是等的含义．讲一讲提高技能】1、必备技能：分类讨论要保证不重不漏，且相互互斥．灵活运用排列组合相应方法进行计数．等可能性是正确解题的关键，在计数及求概率过程中严格保证事件的等可能性．【练一练提升能力】1．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（1）求选出的3名同学来自不同班级的概率；(2)设X为选出同学中高一(1)班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．2．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分反面向上得2分．设抛掷5次的得分为g，求g的分布列和数学期望Eg；求恰好得到n(ngN*)分的概率.3、某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障,且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修•每台机器出现故障需要维修的概率为［・问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资•每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润.若该厂现有2名工人.求该厂每月获利的均值．0,1,2,,n0,1,2,,n.:若以二项分布为背景离散型随机变量的分布列、均值【背一背重点知识】1.若随机变量g服从二项分布，则P忆二k)二Ckpk(1-p)n-k,kn对应的事件是两两独立重复的，概率p为事件成功的概率求二项分布为背景的离散型随机变量的均值与方差公式gqB(n,p)，则1Eg=np,s2=np(1-p).【讲一讲提高技能】1．必备技能：利用离散型随机变量的均值与方差的定义，也可求出二项分布为背景的离散型随机变量的均值与方差，但计算较繁．因此判断随机变量是否服从二项分布是解决问题的关键．判断方法有两个，一是从字面上理解是否符合独立重复条件，二是通过计算，归纳其概率规律是否满足二项分布．练一练提升能力】1.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为2・求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；设选手甲在初赛中答题的个数E,试写出E的分布列,并求g的数学期望.对服务满意对服务不满意合计对商品满意80对商品不满意合计202.近年来，我国电子商务蓬勃发展．2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0．6，对服务的满意率为0．75，其中对商品和服务都满意的交易为80次．(I)根据已知条件完成下面的2X2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”(II)若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望EX.(atb)(c(atb)(c+d)(a+c)(b1:::(其中n=a+b+c+日为样本容量)P(K2Ak)0・150・100・050.0250.010k2.0722.7063.8415.0246.635(12分)某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福感福度现从调查人群中随机抽取16现从调查人群中随机抽取16名，7以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：(1)指出这组数据的众数和中位数；若幸福度不低于9，则称该人的幸福度为“极幸福”福求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记屯表示抽到“极幸福”的人数，求E的分布列及数学期望福以正态分布为背景离散型随机变量的分布列、均值1、正态分布概念：若连续型随机变量E的概率密度函数为1(x-1(x-U)2f(X)二声e202xe(一^,+s),其中6卩为常数，且b>0，则称g其中6卩为常数，且b>0，则称g服从正态分布，简记为g〜N(RQ2)。f(x)的图象称为正态曲线。2、正态分布的期望与方差标准正态分布曲若g〜N（PQ2）,则Eg=p,Dg=o23、正态曲线的性质:nL\0=^）-5曲线在X轴的上方，与X轴不相交.曲线关于直线x=u对称.曲线在x=u时位于最高点.4)曲线与X轴之间的面积为1当°一定时，曲线的位置由u确定，曲线随u的变化而沿x轴平移当u—定时，曲线的形状由。确定•。越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；。越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.4、正态分布在三个特殊区间内取值的概率值P（卩-c<X<）=0.6826P（卩一2c<X<y+2c）=0.9544P（卩一3c<X<y+3c）=0.99741、语文成绩服从正态分布N(100,17.52)，数学成绩的频率分布直方图如下：(I)如果成绩大于135的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人(假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的)(II)如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从(I)中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有x人,求x的分布列和数学期望.XN(y,c2)，则P(p—c<X<p+c)=0.68,P（P（卩一125<X<+2o）=0.960ODB0ODB2、．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：氏彳勺mm孙5961右26364656667686970717S金汁件数1IJ5619的X斗42121】U()经计算，样本的平均值―65，标准差。=2.2，以频率值作为概率的估计值．(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零点中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的频率)；①P(p—Q<X<+c)>0.6826:②P(卩-2c<X<+2c)>0.9544；③P(p—3c<X<p+3c)>0.9974•评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级.(2)将直径小于等于p—2c或直径大于p+2c的零件认为是次品(i)从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E(Y)；(ii)从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数z的数学期望E(Z)．3．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：

求这500件产品质量指标值的样本平均值x和样本方差s2(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)；(II)由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布N(卩Q2),其中卩近似为样本平均数X，b2近似为样本方差s2⑴利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用(i)的结果,求EX．附：<150沁12.2若Z〜N(y,b2)则P(y—b<Z<y+b)二0.6826,P(卩-2b<Z<卩+2b)=0.9544与茎叶图，频率分布直方图有关的概率，分布列与均值某校高一（I）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．C)10.044C)10.04451JhO70NO901D0分jfi（I）求分数在［50,60）的频率及全班人数；（II）求分数在［80,90）之间的频数，并计算频率分布直方图中［80,90）间矩形的高；（III）若要从分数在［80,100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在［90,100）之间的概率.2、2016年，某省环保部门制定了《省工业企业环境保护标准化建设基本要求及考核评分标准》，为了解本省各家企业对环保的重视情况，从中抽取了40家企业进行考核评分，考核评分均在［50.1001内，按

照「50*畸S70）,g呵，「込90）—1001的分组作出频率分布直方图如图（满分为100分）．（I）已知该省对本省每家企业每年的环保奖励丫（单位：万元）与m<60,考核评分x考核评分x的关系式为丫-70x80.80Wx<100的罚金）．试估计该省在2016年对这40家企业投放环保奖励的平均值；（II）在这40家企业中，从考核评分在80分以上（含80分）的企业中随机抽取3家企业座谈环保经验，设;（为所抽取的3家企业中考核评分在卞0*旳）内的企业数，求随机变量x的分布列和数学期望.3、某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8．0米（四舍五入，精确到0．1米）以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0．04，0．10，0．14，0．28，0．30，第6小组的频数是7．（I）求进入决赛的人数;（II）若从该校学生（人数很多）中随机抽取两名，记表示两人中进入决赛的人数，求的分布列及数学期望；(Ill)经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在8〜10米之间，乙成绩均匀分布在9・5〜10・5米之间，现甲，乙各跳一次，求甲比乙远的概率．4、未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件・该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间•某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如图所示(单位：um)・计算平均值H与标准差o假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N(U,o);该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件•度量其内径分别为(单位：um):86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么参考数据:P(u-2oVZVu+2o)=0・9544,P(|u-3o<Z<u+3o)=0.9974,0.95443=0.87,0・99744=0.99,0・04562=0.002•以随机事件为背景（答案）1、试题井析；＜1）求得所有基本事件的种数以.及符合题意的基本事件种数，利用古典概型从而求解$（2〉求得X=0,1,3时的概率，得到分布列后即可求解期望.试题解析：⑴谡“选出的3容同学来自不同班级“事件/,则円/）=喑瞬二席瑋=詈，二迭出的493名同学来自班级的概率为祜，⑵随机变量X的所有可能值为＜b1,2,头则C^CJ7C^C121C^C17只/=0）=竺工=丄；p（X=V）=^-=—yp（X=T）=^^=—y弗24侃404轴

=3）=CC=i2o，・••随机变量x的分布列是10X0123P242140120P(X随机变量X的数学期望P(XE(X)二0X—+1x21+2X—+3x244940112021120试题解析：（1）—台机器运彳亍是否出现故障可看作一次实殓「在一次试验中，机器出现故障设为事件山则事件卫的概率吗•该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为事则）尸3=町=氐（护=盏卩3=1）=弗十（护=签卩3=2）=勢（护（护=詁尸。=习=4•（护.汁話即的分布列为：X01234P16sT328T24sT设该厂有名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为x.<■：n，即艮二0,，，…，，这门+个互斥事件的和事件，则刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于?叶（2）设该厂获利为万元，则的所有右能取值为：18,13,8,P：；Y二⑻二PQ（二o）IP：：X二1）IP（X二刀二::,PCY二13；'二P/二3）二；，P〔Y二8）二P：'.X二曲二；・即的分布列为：Y18138⑴22⑴223P72ifBf则E：.Y；'=18XI13X爲I8X；二丁・故该厂获利的均值为・以二项分布为背景②81、(1)选手甲答3道题进入决赛的概率为対3=27，(2\128选手甲答4道题进入决赛的概率为C2・32•石•{=冇，3332/88・••选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率P=27+27=1627；(2)依题意，E的可取取值为3、4、5,则有P（E=3）=©313,P（g=4）=C2・卸23313丿1103=27,P（E=5）=4T232•32・3+C4・3(3丿因此，有183=27,2、（l）2凡2列联表:对服务满意对服务不满意合计对商品满意8040120对商品不满意701080合计15050200k2二郎x创八0-止x皿〜伯qi1人一15I：X50X12^}XB0〜丨丨.I丨I,11.111>6+635,所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”．(II)每次购物时，对商品和服务都滿青的概率九目X的取值可以是0,h2,3卩(力2〕二臥驴耗由】=冷PS二刃二昭护“护=負X的分布列为：3、【解】(1)众数：8,6；中位数：(2)由茎叶图可知，幸福度为“极幸福”的人有4人．设Aj表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是312"极幸福”记为事件A,则P(A)=P(A)+P(A)=』+4^=01C3C31401616

从16人的样本数据中任意选取1人，抽到“极幸福”的人41的概率为=R故依题意可知，从该社区中任选1人，抽到“极1641幸福”的人的概率P=44的可能取值为0,1,2,3P(E=O)=p(4=i)=C3lf4>|2v丿2764P(4=2)=C2&3l3924=64P(4=3)=⑴一1国戶64所以4的分布列为另解由题可知4〜B(3,4),所以E4=3x1=.

以正态分布为背景1、试题分析：⑴根据正态分布的知识，可分别求得语文特别优秀与数学特别优秀的概率，由此可求得特别优秀语文、数学的人数j(II)苜先求得/所有可能的取值』然后分别求得相应概率』由此列出分布列』求出期望.试题解析；⑴语文成绩特别优秀的概率为=>135)=(1-0.96)xl=0.02,1分数学成绩特剔优秀的概率为卩=0.0016x20x2=0.024,3分语文成绩特别优秀人数为5DOx0.02=10A,数学成绩特剔优秀人数*500x0.024=12人-玉分(II)语文数学两科都优秀的6人」单科优秀的有10忑所有可能的取值为0,1,2；3.10分10分冷=0)=/分布列为：X0123P3271I114I6I62811分数学期望e（x）二0x£+ixI7+2x56+3x28二|试题分析：(1)运用相关系数进行判别推理.(2)运用貝努力分布的几何分布求解期望-试题解析:〔1)<X<^^}=P(62^<672)=0.8>0.6826<X=尸(60.6<X<69.4)=0.94<0.9544-3cr<+3cr)=^(58.4<JT<71.6}=0.9S<0.9974因対设备M的数据仅满足一个不等式'故其性能等级対丙］⑵易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为山€6.(i)由题意可知/~月(24-06”£7)=2^0.06=0.12,OO由题青可知Z的分布列为3、试题分析：(I)由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差．若同一组的数据用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标.中位数为面积等分为1的点•均值为每个2矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值.(II)(i)由已知得，zN(200,150)，故P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)二0.6826；(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，相当于100次独立重复试验，则这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数XB(100,0.6826)，故期望EX=100x0.6826=68.26试题分析：⑴抽取产品的质量指标値的样本平均值7和样本方差X分別为^=170x0.02+180x0.09+190x0.22+200^0.33+210x0.24+220x0.08+230x0.02=200,?=(-30)3x0.02+(-20)3x0.09+(-10)2x0.22+Ox0.33+102x0.24+203x0.08+303>:0.02=150.(IlXi)由⑴知」2服从正态分布WOO=150)，从而PQS7.8<Z<212.2)=^(200-12.2<Z<200+12.2)=0.6826.(ii)由(i)可知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,依题意知XB(100,0.6826),所以EX=100x0.6826=68.26与茎叶图，频率分布直方图有关的概率，分布列与均值(答案)1、【答案】(I)频率为0.08，全班人数为25；(II)频数为3,矩形的高为0.012；(III)-・10【解析】试题分析；⑴井数在［丸网的频率为第一组矩形的面积』全班人数为该组的频数与频率的比值i⑵用全班人数送去其余组的人数为［80:90)之间的频数，用该组的频率与组距的组距的比值为矩形的高，(3)M先用列举法列举出所有的基本事件，麒后找出符合题童的基本事件个规从而利用古典概型概率公式计算即可.试题解析；(1)分数在［50=60)的频率^0.008x10=0J由茎叶團知：分数在［50:60)Z间的频数対乩所次全班人数为^=25.(2)分数在削妙)之间的频数为25-22J频率分布直方團中［S0=9D)间的矩形的高为^-10=0.012.（Ill）将［80,90）之间的3个分数编号为a,a,a,［90,100）之间的2个123分数编号为b,b，12在［80,100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：(a,a)(a,a)(a,b)(a,b)(a,a)(a,b)(a,b)(a,b)(a,b)，121311122321223132(b,b)共10个，12其中，至少有一个在[90,100)之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90100)之间的概率是—・102、【解析】(I)由题意可知，1-04-0.0>D+0.C'?+0.005：X10CT所以考核评分与企业数的对应表如