最新高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题

PAGE高中数学圆锥曲线根本知识与典型例题第一局部：椭圆根本知识点1.椭圆的定义：第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.第二定义:平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆,定点叫做椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数叫做椭圆的离心率.2.椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示)标准方程图形顶点,,对称轴轴，轴，长轴长为，短轴长为焦点、、焦距焦距为离心率(0<e<1)准线方程点P(x0,y0)的焦半径公式|PF右|=a-ex0,|PF左|=a+ex0(“左加右减〞)|PF上|=a-ey0,|PF下|=a+ey0注:1.焦半径(椭圆上一点到焦点的连线段)公式不要求记忆,但要会运用椭圆的第二定义.2.椭圆参数方程：如图点的轨迹为椭圆.典型例题例1.F1，F2是定点，且|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，那么M点的轨迹方程是()(A)椭圆(B)直线(C)圆(D)线段例2.的周长是16，，B,那么动点的轨迹方程是()(A)(B)(C)(D)例3.假设F(c，0)是椭圆的右焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为M，最小值为m，那么椭圆上与F点的距离等于的点的坐标是()(A)(c，)(C)(0，±b)(D)不存在例4.如果椭圆上有一点P，它到左准线的距离为2.5，那么P点到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是()。(A)3:1(B)4:1(C)15:2(D)5:1例5.设F1(-c，0)、F2(c，0)是椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点，P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点,假设∠PF1F2=5∠PF2F1,那么椭圆的离心率为()(A)(B)(C)(D)例6.设A(－2,)，椭圆3x2＋4y2=48的右焦点是F，点P在椭圆上移动，当|AP|＋2|PF|取最小值时P点的坐标是()。(0,2)(B)(0,－2)(C)(2,)(D)(－2,)例7.P点在椭圆上，F1、F2是两个焦点，假设，那么P点的坐标是.例8.写出满足以下条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6;.(2)焦点坐标为,,并且经过点(2，1);.(3)椭圆的两个顶点坐标分别为,,且短轴是长轴的;____.(4)离心率为，经过点(2，0);.例9.是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，那么的最大值是．例10.椭圆中心是坐标原点O，焦点在x轴上，e=，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P、Q两点，|PQ|=，且OP⊥OQ，求此椭圆的方程.第二局部：双曲线根本知识点1.双曲线的定义：标准方程图形顶点对称轴轴，轴，实轴长为，虚轴长为焦点焦距焦距为离心率(e>1)准线方程点P(x0,y0)的焦半径公式如需要用到焦半径就自己推导一下:如设是双曲线上一点,(c,o)为右焦点,点到相应准线的距离为,那么.当在右支上时,;当在左支上时,即,类似可推导第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.3典型例题例11.命题甲：动点P到两定点A、B的距离之差的绝对值等于2a(a>0)；命题乙：点P的轨迹是双曲线。那么命题甲是命题乙的()(A)充要条件(B)必要不充分条件(C)充分不必要条件(D)不充分也不必要条件例12.到定点的距离与到定直线的距离之比等于log23的点的轨迹是〔〕(A)圆(B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线例13.过点(2，-2)且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是()(A)(B)(C)(D)例14.如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么双曲线的离心率为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2例15.如果双曲线上一点到它的左焦点的距离是8，那么点到它的右准线的距离是()(A)(B)(C)(D)例16.双曲线的两焦点为在双曲线上,且满足,那么的面积为()例17.设的顶点，，且，那么第三个顶点C的轨迹方程是________.例18.连结双曲线与(a＞0，b＞0)的四个顶点的四边形面积为，连结四个焦点的四边形的面积为，那么的最大值是________．例19.根据以下条件，求双曲线方程:⑴与双曲线有共同渐近线，且过点(-3，)；⑵与双曲线有公共焦点，且过点(，2).例20.设双曲线上两点A、B，AB中点M〔1，2〕⑴求直线AB方程；⑵如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆，为什么？第三局部：抛物线根本知识点1.抛物线的定义:平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点F不在上).定点F叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程及其几何性质(如下表所示)标准方程图形对称轴轴轴轴轴焦点顶点原点准线离心率1点P(x0,y0)的焦半径公式用到焦半径自己推导一下即可如:开口向右的抛物线上的点P(x0,y0)的焦半径等于x0+.注:1.通径为2p，这是抛物线的过焦点的所有弦中最短的弦.2.(或)的参数方程为(或)(为参数).典型例题例21.顶点在原点，焦点是的抛物线方程是()(A)x2=8y(B)x2=8y(C)y2=8x(D)y2=8x例22.抛物线上的一点到焦点的距离为1，那么点的纵坐标是()(A)(B)(C)(D)0例23.过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有()(A)4条(B)3条(C)2条(D)1条例24.过抛物线(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，假设线段PF与FQ的长分别为p、q，那么等于()(A)2a(B)(C)(D)例25.假设点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2=2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取最小值，P点的坐标为()(A)(3，3)(B)(2，2)(C)(，1) (D)(0，0)例26.动圆M过点F(0，2)且与直线y=-2相切，那么圆心M的轨迹方程是.例27.过抛物线y2＝2px的焦点的一条直线和抛物线交于两点，设这两点的纵坐标为y1、y2，那么y1y2＝_________.例28.以抛物线的焦点为圆心，通径长为半径的圆的方程是_____________.例29.过点(-1,0)的直线l与抛物线y2=6x有公共点，那么直线l的倾斜角的范围是.例30设是一常数，过点的直线与抛物线交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H〔H为圆心〕。(Ⅰ)试证:抛物线顶点在圆H的圆周上；(Ⅱ)求圆H的面积最小时直线AB的方程.第四局部：轨迹问题如何求曲线(点的轨迹)方程,它一般分为两类基此题型：一是轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用轨迹的定义解题，化归为求轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系)，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。求轨迹方程的一般步骤:建、设、现〔限〕、代、化.例31.两点M〔－2，0〕，N〔2，0〕，点P满足=12，那么点P的轨迹方程为〔〕例32.⊙O1与⊙O2的半径分别为1和2，|O1O2|=4，动圆与⊙O1内切而与⊙O2外切，那么动圆圆心轨迹是()(A)椭圆 (B)抛物线 (C)双曲线(D)双曲线的一支例33.动点P在抛物线y2=-6x上运动,定点A(0,1),线段PA中点的轨迹方程是()〔A〕(2y+1)2=-12x〔B〕(2y+1)2=12x〔C〕(2y-1)2=-12x〔D〕(2y-1)2=12x例34.过点〔2，0〕与圆相内切的圆的圆心的轨迹是〔〕〔A〕椭圆〔B〕双曲线〔C〕抛物线〔D〕圆例35.的周长是16，，B那么动点的轨迹方程是()(A)(B)(C)(D)例36.椭圆中斜率为的平行弦中点的轨迹方程为.例37.动圆P与定圆C:〔x＋2〕＋y＝１相外切，又与定直线l：x＝１相切,那么动圆的圆心P的轨迹方程是______________.例38.在直角坐标系中,,那么点的轨迹方程是______.第五局部：圆锥曲线综合问题直线与圆锥曲线的位置关系⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是、、.⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为,那么它的弦长注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,那么.注:1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法.3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。例39.AB为过椭圆=1中心的弦，F(c，0)为椭圆的右焦点，那么△AFB的面积最大值是()(A)b2 (B)ab (C)ac (D)bc例40.假设直线y＝kx＋2与双曲线的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是〔〕,,,,例41.假设双曲线x2－y2=1右支上一点P(a,b)到直线y=x的距离为，那么a＋b的值是().或(D)2或－2例42.抛物线y=x2上的点到直线2x-y=4的距离最近的点的坐标是())(B)(1,1)(C)()(D)(2,4)例43.抛物线y2=4x截直线所得弦长为3，那么k的值是()(A)2(B)-2(C)4(D)-4例44.把曲线按向量平移后得曲线，曲线有一条准线方程为，那么的值为〔〕例45.如果直线与双曲线没有交点，那么的取值范围是.例46.抛物线上两点关于直线对称，且，那么m的值为.例47.以双曲线－y2=1左焦点F，左准线l为相应焦点、准线的椭圆截直线y=kx+3所得弦恰被x轴平分，那么k的取值范围是___________.例48.双曲线3x2-y2=1上是否存在关于直线y=2x对称的两点A、B?假设存在，试求出A、B两点的坐标；假设不存在，说明理由.例题答案例1.D例2.B例3.C先考虑M+m=2a，然后用验证法.例4.B提示：e=,P点到左准线的距离为2.5，它到左焦点的距离是2，2a=10,P点到右焦点的距离是8，∴P点到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是4:1;例5.B∵，∴.例6.C提示：椭圆3x2＋4y2=48中，a=4,c=2,e=,设椭圆上的P点到右准线的距离为d，那么=,∴|AP|＋2|PF|=|AP|＋d,∴当AP平行于x轴且P点在A点与右准线之间时，|AP|＋d为一直线段，距离最小，此时P点纵坐标等于，∴P点坐标是(2,)例7.(3,4)或(-3,4)例8.(1)或;(2);(3)或;(4)或.例9.≤例10.解:设椭圆方程为+=1,(a>b>0)⑴PQ⊥x轴时，F(-c,0)，|FP|=，又|FQ|=|FP|且OP⊥OQ，∴|OF|=|FP|,即c=∴ac=a2-c2,∴e2+e-1=0,∴e=与题设e=不符,所以PQ不垂直x轴.⑵PQ∶y=k(x+c),P(x1,y1),Q(x2,y2),∵e=,∴a2=c2,b2=c2,所以椭圆方程可化为:3x2+12y2-4c2=0,将PQ方程代入，得(3+12k2)x2+24k2cx+12k2c2-4c2=0,∴x1+x2=,x1x2=由|PQ|=得·=①∵OP⊥OQ,∴·=-1即x1x2+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+k2c(x1+x2)+c2k2=0②把，代入，解②得k2=，把代入①解得c2=3∴a2=4,b2=1，那么所求椭圆方程为+y2=1.例11.B例12.C例13.D例14.C例15.C例16.A假设,由双曲线定义且,解得而由勾股定理得[点评]考查双曲线定义和方程思想.例17.例18.例19.⑴设双曲线方程为(λ≠0),∴∴,∴双曲线方程为;⑵设双曲线方程为∴,解之得k=4,∴双曲线方程为评注：与双曲线共渐近线的双曲线方程为(λ≠0)，当λ>0时，焦点在x轴上；当λ<0时，焦点在y轴上。与双曲线共焦点的双曲线为(a2+k>0，b2-k>0)。比拟上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的根本思想.例20.解题思路分析：法一：显然AB斜率存在设AB：y-2=k(x-1)由得：(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0当△>0时，设A〔x1,y1〕，B〔x2,y2〕那么∴k=1，满足△>0∴直线AB：y=x+1法二：设A〔x1,y1〕，B〔x2,y2〕那么两式相减得：(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)∵x1≠x2∴∴∴AB：y=x+1代入得：△>0评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件△>0是否成立。〔2〕此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件.此题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心设A、B、C、D共圆于⊙OM，因AB为弦，故M在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦，故圆心M为CD中点。因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|由得：A〔-1，0〕，B〔3，4〕又CD方程：y=-x+3由得：x2+6x-11=0设C〔x3,y3〕，D〔x4,y4〕，CD中点M〔x0,y0〕那么∴M〔-3，6〕∴|MC|=|MD|=|CD|=又|MA|=|MB|=∴|MA|=|MB|=|MC|=|MD|∴A、B、C、D在以CD中点，M〔-3，6〕为圆心，为半径的圆上评注：充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视.例21.B()例22.B例23.B(过P可作抛物线的切线两条，还有一条与x轴平行的直线也满足要求。)例24.C作为选择题可采用特殊值法,取过焦点，且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所形成线段分别为p,q，那么p=q=|FK|,例25.解析：运用抛物线的准线性质.答案：B例26.x2=8y例27.－p2例28.例29.例30.解：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：.又设，那么其坐标满足消去x得由此得∴因此,即.故O必在圆H的圆周上.又由题意圆心H〔〕是AB的中点，故由前已证OH应是圆H的半径，且.从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.此时，直线AB的方程为：x=2p.注:1.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题，一般方法是联立方程组，消元得一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式△，利