人教A版高中数学选修1-1课时提升作业（十五） 2.3.1 抛物线及其标准方程 探究导学课型 Word版含答案

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(十五)抛物线及其标准方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2014·安徽高考)抛物线y=14x2A.y=-1 B.y=-2C.x=-1 D.x=-2【解析】选A.y=14x2⇔x22.(2015·大连高二检测)点M(5，3)到抛物线y=ax2准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A.y=12x2 B.y=12x2或y=-36x2C.y=-36x2 D.y=112x2或y=-136【解析】选D.分两类a>0，a<0可得y=112x2，y=-136x3.抛物线y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是()A.|a|4 B.|【解析】选B.因为y2=ax，所以p=|a|2，即焦点到准线的距离为4.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口的直径为60cm,灯深40cm,则抛物线的标准方程可能是()A.y2=254x B.y2=45C.x2=-452y D.x2=-45【解析】选C.如果设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则抛物线过点(40,30),302=2p×40,2p=452,所以抛物线的方程应为y2=452x,所给选项中没有y2=452x,但方程x2=-452y中的“2p5.(2015·重庆高二检测)O为坐标原点，F为抛物线C：y2=42x的焦点，P为C上一点，若|PF|=42，则△POF的面积为()A.2 B.2 C.23 D.4【解题指南】由|PF|=42及抛物线的定义求出点P的坐标，进而求出面积.【解析】选C.抛物线C的准线方程为x=-2，焦点F(2，0)，由|PF|=42及抛物线的定义知，P点的横坐标xP=32，从而yP=±26，所以S△POF=12|OF|·|yP|=12×2×2二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015·邢台高二检测)若点P到直线y=-1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________.【解析】由题意可知点P到直线y=-3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P的轨迹是以点(0，3)为焦点，以y=-3为准线的抛物线，且p=6，所以其标准方程为x2=12y.答案：x2=12y7.若抛物线y2=-2px(p>0)上有一点M，其横坐标为-9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________.【解析】由抛物线方程y2=-2px(p>0)，得其焦点坐标为F(-p2，0)，准线方程为x=p2，设点M到准线的距离为d，则d=|MF|=10，即所以p=2，故抛物线方程为y2=-4x.将M(-9，y)代入抛物线方程，得y=±6，所以M(-9，6)或M(-9，-6).答案：(-9，-6)或(-9，6)【补偿训练】(2015·皖南八校联考)若抛物线y2=2x上一点M到坐标原点O的距离为3，则点M到抛物线焦点的距离为________.【解析】设M(x，y)，则由y得x2+2x-3=0.解得x=1或x=-3(舍).所以点M到抛物线焦点的距离d=1--12=答案：38.已知F是抛物线y=14x2【解析】由y=14x2得x2=4y，所以F(0，1).设线段PF的中点M(x，y)，P(x0，y0)，则即x0=2x,y0=2y-1.又P(x0故4x2=4(2y-1)，得x2=2y-1.答案：x2=2y-1三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015·吉林高二检测)已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C：x2+(y+3)2=1外切，求动圆圆心M的轨迹方程.【解题指南】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，-3)的距离与到直线y=3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是一条抛物线，其方程易求.【解析】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，-3)的距离与到直线y=3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，y=3为准线的一条抛物线，其方程为x2=-12y.10.某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米.一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？【解题指南】先建立平面直角坐标系，确定抛物线的方程，由对称性知，木船的轴线与y轴重合，问题转化为求出x=2时的y值.【解析】以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系(如图).设抛物线的方程是x2=-2py(p>0)，由题意知(4，-5)在抛物线上，故：16=-2p×(-5)⇒p=85则抛物线的方程是x2=-165y(-4≤x≤设水面上涨，木船两侧面与抛物线形拱桥接触于B，B′时，木船开始不能通航.设B(2，y′)，所以22=-165y′⇒y′=-54，即水面与拱顶相距为0.75+故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2米时，木船开始不能通航.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·武汉高二检测)若点P到点F(0，2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2，则点P的轨迹方程为()A.y2=8x B.y2=-8xC.x2=8y D.x2=-8y【解析】选C.由题意知点P到点F(0，2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2，因此点P到点F(0，2)的距离与到直线y+2=0的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，y=-2为准线的抛物线，其方程为x2=8y.2.已知点A(2，0)，抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|=()A.2∶5 B.1∶2 C.1∶5 D.1∶3【解题指南】利用射线FA的斜率和抛物线的定义求解.【解析】选C.射线FA的方程为x+2y-2=0(x≥0).由条件知tanα=12，所以sinα=5由抛物线的定义知|MF|=|MG|，所以|FM||MN|=|MG||MN|=sinα=二、填空题(每小题5分，共10分)3.边长为1的等边三角形AOB,O为原点,AB⊥x轴,以O为顶点,且过A,B的抛物线方程是________.【解析】根据题意可知抛物线以x轴为对称轴,当开口向右时,A(32,12),设抛物线方程为y2=2px,则有14=2p·3抛物线方程为y2=36x,同理可得,当开口向左时,抛物线方程为y2=-3答案:y2=±364.(2015·上饶高二检测)已知P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到直线l:2x-y+3=0和y轴的距离之和的最小值是________.【解析】由题意知,抛物线的焦点为F(1,0).设点P到直线l的距离为d,由抛物线的定义可知,点P到y轴的距离为|PF|-1,所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d+|PF|-1.易知d+|PF|的最小值为点F到直线l的距离,故d+|PF|的最小值为|2+3|22+(-1)答案:5-1三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·温州高二检测)已知点A(0，4)和抛物线y2=2px(p>0)的焦点F，若线段FA的中点B在抛物线上，求B到该抛物线准线的距离.【解析】依题意可知F的坐标为(p2所以B的坐标为(p4，2)代入抛物线方程得p=22所以抛物线准线方程为x=-2，所以点B到抛物线准线的距离为22+2=36.抛物线y2=2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y=2x，斜边长为513，求此抛物线方程.【解析