C数列数列的综合

ー辆邮政车自A城驶往B城,沿途有n个车站(包括起点站A和终点站B),每停靠ー站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各ー个,同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各ー个,设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列｛《｝,(k=l,2,3,…,才试求:(1)q,ム,ス(2)邮政车从第k站出发时,车内共有邮袋数是多少个?(3)求数列｛aノ的前k项和5长并证明:SK<-n36答案:(1)由题意得:％=〃7'め=("—DTOC\o"1-5"\h\za3=(n—1)+(m—2)+(n—3)—1—2. 3分(2)在第k站出发时,前面放上的邮袋共:(〃ー1)+(〃ー2)+・・・+(〃ー2)个而从第二站起,每站放下的邮袋共:1+2+3+…+(k-1)个故4=(〃ー1)+(〃ー2)+・・・+(れ一々)-[1+2+…+(%—1)]1 1 ク=kn——k(k+1)——k(k-1)=kn-k"(k=1,2,…,九)2 2即邮政车从第k站出发时,车内共有邮袋数にーピ(ん=1,2,…〃)个*/4=kn—E,：.Sk—(〃+2〃+•••+kn)—(1~+2〜+•,•+マ〜)1レ，丄ル、ん(k+D(2k+l) IつハTOC\o"1-5"\h\z2 6k(k+l)(3〃一2k—I),1メ+た+1+3〃ー2%—1、313= <—( )=-〃6 6 3 6,.•たW2+1二等号不成立。二分火来源:09年广东中山市月考二题型:解答题,难度:中档已知数列｛ム｝中，a,=1,a„+1an_t=anan^+an =〃+an- — =〃+an- —•=n•(n-1) 21 =n!an an-Xムー2 a\(1)求证:k=l；(2)设g(x)=%J,/(x)是数列｛g(x)｝的前〃项和,求人幻的解析式;(3)求证:不等式/(2)くーg(3)对于〃eN+恒成立。答案:(1),/ =女〃+1,：.—=a2=k+1an a\又因为《=1,し+M〃t +qj(〃eN*,几N2),则。3。1=ム6+ムユ,即纟=1+ム，又2=2%+1,:・%=2k,k=la2 a2

因为g(X)=^J=〃x"T,所以(〃ー1)!当尤=1时,/⑴=1+2+3+…+〃上〃+D当ス学1时,/(%)=1+2x+3x24--••+nxn~x,①.•.ザ(x)=x+2x?+3x^+・・・+nx",②①■②：(1-x)/(x)=14-X4-x24-•••4-x"T-nxn=---——〃X〃1-xl-xn

(1-x)2l-xn

(1-x)2ゴー.综上所述,1—X/(无)ユn(n+1)2 ，\-xn__nxn

(1-x)2-1一元(3)ソ/⑵= ,_三二(1)2:+1,(1-2)21-2又エg(3)=3",易验证当〃=1,2,3时不等式成立n假设〃=た伙23),不等式成立,即3*>(k-l)2"+1,两边乘以3得3*+i>3(k-l)2"+3=b2*+l+3(k-l)2*-il2*+1+2又因为3伏-1)2*-セ2ハ|+2=2*(3k-3-2た)+2=(k-3)2"+2〉〇所以3*+i>レ2*+1+3(たー1)2*-k2k+l+2>k-2k+'+l即〃=た+1时不等式成立.故不等式恒成立来源:09年山东师大附中月考一题型:解答题,难度:较难数列｛《,｝满足q=1,%=5,。m=5ムー6an_[,(〃と2)

(1)是否存在非零常数/1,使数列｛ム+1+え。“｝成等比数列,并证明:(2)懸列｛4｝的通项ち:(3)求证:—+—+•••+—<—.a2ムI。答案:(1)设‘)+スし=q=5an-6。“1+Aan=りM+ス。“i解得え=2,或ス=35(2)卜=3 k=2[2=-2[2=-3an+\an+\~3。ハ=2"ci.—2。—3”、〃+1 n=ム=3レ2".(3)由于an=3"-2"=(3—2)(3"-1+3"-221+312?+…+2"-1)>5x3"-2n>2 1 F，•

1 F，•

a2ana,513 3"-2 52 3110来源:09年浙江金华月考一题型:解答题,难度:较难已知数列L0｝中,4=一1,且ム=3%_|—2〃+3(〃N2,〃eN")

(1)求知,。3,并证明数列｛《1ー〃｝是等比数列;(II)求。1+% 1■%的值.答案:•.・。］二一1,且。n=3%_1—2れ+3,(れと2ノ7£汽・)エ。2=3%—4+3=—4,。3=3。つ—6+3=—15当れ22时,有an-n—3a自-2n+3-n=3(an_1-n+1)且。］—1——2w0,所以数列｛%-〃｝是ー个以-2为首项,3为公比的等比数列•：an-n=-2-3"~l,/.a„=n-2-3n-1.(i\+ti2+,,,+£/„=(1—2-1)+(2—213)+(3—2-32)+•,,+(/?-2"3"1)=(1+2+3+…+〃)-(222?32斤..•+22T)_«(«+02(l-3")_ガ+れ1-3— —, J1T1*1-3来源:09年北京海淀月考一题型:解答题,难度:中档设数列｛%｝的前〃项和为S”,且满足S1=2,5„+1=3S„+2(〃=1,2,3,…).(I)证明数列｛し｝是等比数列并求通项ち:(II)求数列｛〃4｝的前〃项和?；.答案:(I)vSn+l=3S“+2ハS”=3S“t+2(〃=2,3,-)S“+1-s“=3(S“一S,I). 即。“+1=3し(n=2,3,--).5,=2,/.a1=2.又">"5n+l=3sli+2,a2=6.a2=3al.\｛し｝是以2为首项,3为公比的等比数列..•.し=2梦|(〃1,2,3,---).(II),：Tn=l-al+2-a2+---+n-an=lx2x3°+2x2x3'+---+nx2x3,M,37；,=1x2x3+2x2x32+---+(n-l)x2x3,,_|+nx2x3,'..•.-27；=2(1+3+32+…+3"-ツー〃x2x3”.（2n-l）3"+l2来源:09年北京海淀月考一题型:解答题,难度:中档由正数组成的数列｛4｝,也｝,若a向,%是关于x的方程メーシな+a也クm=0的两 根,(1)求证:也｝为等差数列:(2)已知a,=2,a2=6分别求数列｛a“｝,也｝的通项公式(3)在(2)的条件下求数列｛争｝的前n项和S“答案:⑴证明:由己知得。“+an+l=2b：anall+l=a,也也,即an+l=bnbn+l•・山一仇+b也+广2F故いし….从而也｝为等差数列⑵由q+ム=26,ム＞0得ム=2又a2=btb2得b2=3故bn=n+1ム=如4=11(11+1) 8 分(3)由Q)得S.uZxg+BxJ+dx9+…+(〃+l)x*1C、 1ヽ1 , 1 1 , 1=2x-I+3xp-+4x-p-+...+nx—+(«+l)x-p；T2 2 ,イ メ 2ス マ丄S-+二^_一(〃+l)xd)N………一2 2 「」 22S“=3-(〃+3)x(丄)" 。。来源:09年浙江宁波市月考一题型:解答题,难度:中档已知数列｛4｝,其中％=1,a“=3"T.。1(/と2,〃eN),5„=log3fe(〃eN)(1)求数列｛も｝的通项公式;(2)求数列｛勿｝的通项公式;一13分〇〇〇〇〇14分数列｛カ〃｝的前〃项的和—SK=2x—+rH—s-+...H—--(n+l)x--(3)求数列｛IaI｝的前n项和7；.vlog3an=log3+(〃ー1),累加得, . fハC/ハn(n-\)log3^rt-Iog3=1+2+3+...+(/i-l)=---5...嗚/=";リ,则%=32.(或者用累乘得an=a"an-»...^2.a[=3~)…4分;an-1an-l cin—inV册=32,・・・S“=iog3(涼)=区ザ(〃£N);而ム=S[=-2,当〃N2时,ん=s“-S,』=れー3,〃=1时也适合,所以数列他〃｝的通项公式为bn=n-3(neN). ……9分;(3)当a=〃ー340,即〃43时,Tn=-Sn=5w~W~,当人〃=〃ー3>0,即n>3时,Tn=1.1+1ち1+…+lb〃l=S[+ん+・・・+力)_(仿+b2+b3)=Sn-2s3=5n-n-ロ综上所述Tn=< (n<3,且综上所述Tn=<n—5n+12/ロ (n>3,fingN).来源:09年浙江金华市月考一题型:解答题,难度:较难已知数列｛%｝中,。］=2(。］+。2+…+ム)(〃GN").(II)求数列｛%｝的通项七:(III)设数列色｝满足ム=丄也+]=丄照+クI,求证:2<1(〃くk).

2 %答案:(I)出=2,%=3,ム=4(II)九%十］=2(。］+%+,,•+)(〃ー1)。“=2(。1+%+•••+。〃ー1)①一@得〃%+1-(〃ー1)ム=2an^\i：nan+l=(n+\)an,^-=”…a7”…a7a.a„所以〃〃—--——・・, aia2an-\— =〃(〃22),所以々〃=n(れeN*)12n-1(IID由(II)得:仇ラ%ア,—ハ…〉仇〉。,所以ゆ“｝是单调递增数列,故要证:4<1(〃4公只需证ス<1若ん=1,则ム=丄<1显然成立;若セ22,则ル川=丄ザ+”<丄んO"+1+"2 k k所以 >—%b„k因此:—=(- -)+•••+(-——!-)+丄〉ー^^+2=^^,所以ん<-^-<1bkbk瓦: b2bl瓦k kkk+\所以わ〃<1(〃エk)来源:09年四川成都市月考一题型:解答题,难度:较难观察下列三角形数表1 第一行2 2 第二行3 4 3 第三行4 7 7 4 第四行5 11 14 11 5・・・・・・・・・・・・假设第〃行的第二个数为し(〃N2,〃eN*),(1)依次写出第六行的所有6个数字;(II)归纳出。“十］与。”的关系式并求出。“的通项公式:(III)设。也=1,求证:b2+b3+—+bn<2答案:(1)第六行的所有6个数字分别是6,16,25,25,16,6；(2)依题意。〃十］と2),a2=2ム=〃2+(〃3_ )+(〃4_ )+ +(an~しー1)(H—2)(/2+1)TOC\o"1-5"\h\z=2+2+3+……+(n-l)=2+- ——所以。=—ガ—〃+1(n>2)；”2 22 2 1 1(3)因为。渋〃=1,所以クニコ -<——=2(--ーーー〃+2n—nn-1n

瓦+3+……+ク<2[(；(二]-:)]=2(4)<2-15分来源:09年江苏高邮月考一题型:解答题,难度:中档已知数列｛斯｝中,«1=2,点(n，2%+|—a.)(neN*)在直线y=x上,(1)计算。2,の，44的值;(2)令ん=厮+1一％一1，求证:数列｛瓦｝是等比数列;(3)设Sn、Tn分别为数列｛斯｝、｛ん｝的前n项和，是否存在实数3使得数歹リ｛峠％｝为等差数列?若存在，试求出入.的值；若不存在，请说明理由.答案:(1)由题意,2an+i—an=n,又a]=ラ所以2a2—ai=l,解得a2=qp同理a3=7",同理a3=7",画35丘(2)因为2%+1—an=n,gr：r.. _ _ _1an^i+n+l所以瓦+1—an+2an+j1— 2bnbn=an+]-an-1=%+i-(2an+i-n)-1=n—%+|-1=2bn+i,bn又b|=a2-a]一1=一ネ所以数列｛%｝是以一:为首项,W为公比的等比数列.3ハ1、よ1 «, -jx(l-y).々(3)由(2)得,bn=-^x(2)n-1=-3x(2)n+1,Tn= j =3x(]/+1-/.1ース又an+j=n—1—bn=n—l+3x(1)n+1»所以an=n—2+3x(2)n»ー宀、1ー宀、1n(n+l)所以Sn=っ3ア由题意,记ス=亠ア」.要使数列｛品｝为等差数列,只要Cn+1一品为常数.Sn+XTn(-V+3ー牙)+M3x(2)n+l―分“一3・-3ハ デCn=-ii-= n =2+〇-2^x—ii-'_n_4 _3 ,2n-1故当入=2时,品ーd:4为常数,即数歹リ｛叶』!｝为等差数歹レ来源:09年江苏高邮月考一题型:解答题,难度:较难设数列｛册｝、｛%｝满足:bn=——— —(neN*).(I)若Z;〃=〃+2,求数列｛册｝的通项公式;(II)若｛ん｝是等差数列,求证｛册｝也是等差数列.答案:设凡)的前〃项和为5“.(I)由题意:ん=丝=飽+2,即5“=“("+2)(〃wN*)①,

当〃wN*,〃N2时,有5“_i=(〃ー1)(〃+1)②,由①②两式相减可得:册=2〃+1,当〃=1时,%=S]=3,也可用。〃=2〃+1表不，所以对任意的〃wN都有:册=2〃+1.(H)若｛几｝是等差数列,设首项为伍,公差为d,由ん=%・可得—=+(n-l)d.于是5“=叫+〃("-l)d①，当〃eN*,”22时，有S“_i=("-1泗+("-l)(n-2)d②，由①②两式相减可得:an=bf+(n—1),2J>当"=1时，％=5]=仇，也可用”“=仇+(n-l),2d表小,所以对任意的〃eN・都有:an=b\+("-l)-2J,而a“-a“_i=2d(.neN*,n>2),由等差数列的定义知:｛册)也是等差数列来源:09年广东东莞市月考一题型:解答题,难度:中档题型:解答题,难度:中档设数列｛册｝的首项为=a片丄,且。“+14记b“=a2n_x=1,2,3,-•••(I)求°?,。3；(II)判断数列g〃｝是否为等比数列,(II)因为ぬ=+丄=丄°+コ，所以〃42 8, 11,1、, 1し1、bj=a-i—=—(a—),b-i=««—=—(a—).42 4 J’44 433为偶数’a〃+丄,〃为奇数并证明你的结论.：=—cia=-a+—.所以瓦=ci\ =a =0,244 16 1 14 4猜想,他〃)是公比为:的等比数列.（1，）因为リ+宀2“+—=丁2Lス=5（。2漢+：）一卜1»+）=1,（作ボ）所以｛九｝是首项为a-：,公比为［的等比数列来源:09年广东东莞市月考一题型:解答题,难度:中档数列｛%｝的前n项和记为Sn,已知为=1,册+1=±Us“（"=l,23"）.n证明:（I）数列｛2｝是等比数列:（U）5.+1=4%.答案:(I)Van+l=Sn+i-S„,a„+1= S„, (n+2)5“=n(S„+l-S„),n整理得〃5向=2("+1)5”,所以多出・=2x1.故｛1｝是以2为公比的等比数列;(0)由(I)知""I=4.S〃ー： 2),于是S“+]=4(〃+1)・ユユ=4a(〃22)，n+1 n-\ n-\又=3S[=3,故$2=+。2=4,因此对于任意正整数/1>1»都有S〃+]=4a〃来源:09年广东东莞市月考一题型:解答题,难度:中档已知函数/は)=之ヨ的图象过原点,且关于点(-1,1)成中心对称.X4-1(I)求函数，(X)的解析式;(II)若数列｛。〃｝(nwN*)满足:>0,円=1,册+]=レ(m:)｝,求数列｛。〃)的通项公式4”；(III)若数列｛册｝的前n项的和为S“,判断S”与2的大小关系,并证明你的结论.答案:(I)因为函数"x)=史把的图象过原点，即/(0)=0,所以c=0,数“幻='=ムー，一的图象关于点(-1,1)成中心对称,所以わ=1,X+l X+1即，(x)= .又函X+1“幻=ー・(11)由题意圖+|=レ(向)]2，开方取正得:可;=姿・,即yjan+1西+1ヽanハ呢'之ー/"••・数列点是以I为首项'I为公差的等差数列."'•^==l+(n-l)=n,即诉ニ:，-'.an=^2.(III)当色2时""<詣=キー:.所以S”=fl|+4ク+…+%<1+1--+---+•••+ 〃 , 2 " 223 n-\-=2--<2I故S“<2nn来源:09年广东东莞市月考一题型:解答题,难度:较难已知点集厶=｛(x,y)[y="〃卜其中，"=(2x-2瓦1),〃=(1,1+26)为向量,点列匕(ム,包)在点集厶中,片为ム的轨迹与y轴的交点,已知数列｛4｝为等差数列,且公差为1,meN\(1)求数列｛ム｝,｛ル｝的通项公式;(2)求丽•崎的最小值;(3)设c“= +リ(">2),求。2+。3+。4+…+C”的值.小4H答案:(1)由y=机〃,根=(2スー2み,1),n=(1,l+2b),得:y=2x+l即L:y=2x+1•••片为L的轨迹与y轴的交点,.•・匕(0,1)则6Z1二0,Z?|—1•.•数列血｝为等差数列,且公差为1, =〃ー1(〃eN，),代入y=2尤+1,得:bn=2n-\(«eN,)(2)v^,("-1,2"-1),/.^1+|(",2"+1), . 1ゝ21二.0Pn•。ク十］=(〃ー1,2〃ー1)•(九,2〃+1)=5n~-n-\=5(〃ー—)---vmgN*,所以当〃二1时,。り・。りM有最小值,为3.(3)当〃N2时,匕(〃ー1,2〃ー1),得:。〃.«几卜お(〃一1),ハ . _ 1 = 1__1"n-a-\pp~\〃(〃ー1)〃ー1n

C2+C3C2+C3++C"=")+(Mr"1)=1-n来源:09年广东中山市月考二题型:解答题,难度:中档(文)已知q=\,a2=4,a“+2=4a“+|+an,bn=^-,neN*.an⑴求ム也也的值:(2)设c“=b也+戸“为数列｛c“｝的前〃项和,求证:Sn>l7n；(3)求证:囚"一么|<え崙•答案:17 72(l)va2=4,a3=17,a4=72»所以ム=4力ユ——也="j—(2)由ム+2=4。用+〇“得—=4+エー即2+1=4+J«„+1 «„+l bn所以当〃ふ2时,或>4于是9=ム,ム=17,c“=ク"+|=4ク+1>17(〃，2)所以S〃=.+。2+…+qN17n(3)当〃=1时,结论れーム|=—<ー成立~ 464

当〃さ2时,有区“一"|=|4+丄ー4ーー-1=1"1,1+ln|bb,bb.

n n-1 nn-\2)《台皖一1一ケ-21…电ームト2(〃2)所以ル2"一"|く1%"A|+|或+2ー或+11+…+ル2"ーる"-11](か’(1「)]1(〃eN*)- q (〃eN*)4 . 1 6417"-21 17来源:09年高考重庆卷题型:解答题,难度:较难已知/(x)=log,“x(m为常数,m>0且mH1)设…N+)是首项为4,公差为2的等差数列.(1)求证:数列｛も｝是等比数列;(2)若ク=ム/(ム),且数列｛或｝的前n项和S“，当/n=拒时,求Sバ(3)若ら=a"ga"，问是否存在m,使得｛ら｝中每ー项恒小于它后面的项?若存在，求出m的范围;若不存在,说明理由.答案:(I)由题意，3〃)=4+2(〃ー1)=2〃+2,即log“j%=2n+2,

••dn—771=z-z—=m2 且/nW1, mユ为非零常数,へm"2.•.数列｛%｝是以n?为首项,n/为公比的等比数列(11)由题意。“=%/(%)=旭2"+2bgi2"+2=(2n+2)-m2n+2,当m=V2M,bn=(2〃+2)-2n+l=(〃+1)•2n+2：.Sn=2-23+3-24+4-25+--+(n+l)-2n+2①①式两端同乘以2,得2Sn=2-24+3-2s+4-26+•••+«•2"+2+(n+l)-2n+3②②一①并整理,得Sn=-2-23-24-25-26 2"2+(〃+]).2"+3=-23-[23+24+25+…+2"2]+(〃+1)-2"+3="23="23冷+5+D*=-23+23(1-2,)+(〃+1>2-3=2(III)=2(III)由题意cn=an1gan=(In+2)-m2n+2Igzn要使c〃t<c〃对一切〃N2成立,即〃lgm<(〃+1)ツノ/•Ig〃2对一切nN2成立,①当m>!时,/I<(n4-1)ガ对〃>2成立;②当0<m<!时,7?>(n4-V)m2/j・对一切〃22成立,只需一J<2,1-771" 1-TH"V6V6 <771<V6V6 <771< ,考虑到0<m<l,.V60<m< >3综上,当0Vmく^^或m>l时,数列｛品｝中每ー项恒小于它后面的项.来源:09年广东中山市月考二题型:解答题,难度:较难已知数列｛凡｝中,％=5且。“=2ムー1+2”一1（〃22且〃wN*）.（1）求的，a!的值;（2）是否存在实数え,使得数列｛当4｝为等差数列,若存在,求出Z1的值;若不存在，请说明理由.答案:.*«。つ=2。］+2?—1=13,4=2。2+2‘-1=33.4分（2）方法1:（2）方法1:假设存在实数/1,使得数列%+ノ2"为等差数列,55+233+2 1 2 8设"ニヱ二，由也,｝为等差数列，则有2ら=优+如ー。,+スu,+A,U-,+A 13+スA2x- =-!——+\. ；. 22 2 23 2解得,2=-1. 事实上,％也=竽!一票=击[（。用ー2ム）+1]=击[『ー1）+1]=1-综上可知,存在实数え=-1,使得数列｛黑二｝为首项是2、公差是1的等差数列. 14分方法2:假设存在实数え,使得｛号=｝为等差数列,设"=宅ユ，由｛"｝为等差数列，则有2"+1=ク+仇+2（〃eN*）.■ +•_ム+-।ム+2+。2"+1 つ" 2ハ+2 *；・ノ=4ム+|一4勺ー4+2=2（ム+|-2。“，-（県一2%）=2（2n+1-l）-（2n+2-l）=-l.综上可知，存在实数え=-1,使得数列｛宅ス｝为首项是2、公差是1的等差数来源:09年浙江绍兴月考一题型:解答题,难度:较难（文）已知点（1,是函数，（x）=a*（a>0,且aHl）的图象上一点，等比数列｛4｝的前〃项和为，（〃）-c,数列｛4｝（">0）的首项为。，且前〃项和S“满足S”一S"-产 +JS“+i（〃22）.（1）求数列｛ム｝和｛或｝的通项公式;（2）若数列｛—!一｝前〃项和为7；,问7；>竺”的最小正整数〃是多少?.或或m 2009Q/(l)=«=1,.-./(x)=^j«l=/(1)-C=1-C-«2=[/(2)-C]-[/(1)-C]=-1«4=[/(3)ー。[-[/(2)-°]=ーす-4又数列出｝成等比数列,q=2=臨-=一§=§一c,所以c=i；~Z7マハル«21us 2(/T ノ1丫 、,*又公比ク===—,所以〃“=—— =-2—neN；q3 313丿y3JQS“—S-=(后一反)(后+瓦)=6+g(〃22)又と,>0,疽>0,•••厄一反=1；数列｛£"｝构成一个首相为1公差为1的等差数列，7\=l+(n-l)xl=n，Sn=n2当〃N2, %=S“一S“t=〃2_(〃ー1)2=2〃ー1；/.hn=2〃ー1(〃£N*)；1111レ1: 1 1 bL4 = 1 1 FK+ フ rb｝h2b2b3b3bう "ム+i1x33x55x7 (2〃ーl)x(2〃+l)的最小正整数为112.n 1000 1000梶日十的最小正整数为112.- > 得〃〉 ,满足T；> 2〃+12009 9 2009来源:09年髙考广东卷题型:解答题,难度:中档(文)设数列｛4｝的通项公式为ム=p〃+q(〃eN*,P>0).数列｛々｝定义如下:对于正整数m,bm是使得不等式。“>m成立的所有n中的最小值.(I)若p=丄,q=—一,求a:2 3(II)若p=2,q=-I,求数列｛或,｝的前2m项和公式;(III)是否存在夕和の使得ル［=3〃7+2(seN*)?如果存在,求p和q的取值范围;如果不存在,请说明理由.答案:(I)由题意，得—n—,解一n—〉3,得〃?—.."2 3 2 3 3.•.丄〃ー丄？3成立的所有〃中的最小整数为7,即ん=7.2 3(II)由题意，得。“=2〃ー1,对于正整数,ゝ对于正整数,ゝm+I得〃と 根据。“的定义可知当か=2えー1时,"・ハ・);当か=2セ时,bm=k+\(keN'yュム+b2+…+ム,“=(ム+ム+…+%,1)+(ら+〃(+••，+%«)=(l+2+3+-->+/n)+[2+3+4+---+(m+l)]m(m+l)m(m+3] .=二 ^+― 」m2+2m.2 2(III)假设存在p和g满足条件,由不等式p〃+qNm及p>0得〃Nー丄.P•.•勾=3/71+2(%eN"),根据""的定义可知，对于任意的正整数m都有3m+l<竺纟<3m+2,即ー2p-りW(3p-1)T〃く一p-q对任意的正整数m都成立.P当3P-1〉0(或3p—l<0)时,得mくーと过(或mWーーと士纟)，TOC\o"1-5"\h\z3p-l 3p-l这与上述结论矛盾!1 2 1 2 1当3p—l=0,即p=ー时,得 q<0< q,解得ーー<q<ーー,・・・存在p和の使得超=3团+2(mwN*)；1 2 1p和ク的取值范围分别是p=—,Wqく—..来源:09年高考北京卷题型:解答题,难度:较难已知数集ん=｛も,ム,…ム｝(1W。]<旳<…ム，〃22)具有性质P;对任意的, ヽ a.j(l<z<J<n),q%与二两数中至少有一个属于A.(I)分别判断数集｛1,3,4｝与｛1,2,3,6｝是否具有性质尸,并说明理由;(„)证明:4=1,且产+■••+/ ―

(in)证明:当〃=5时,成等比数列・答案:(I)由于3x4与一均不属于数集｛1,3,4｝,.•・该数集不具有性质P.由于1x2,1x3,1x6,2x3,—,—,一,—9—,一都属于数集｛1,2,3,6｝,231236・・・该数集具有性质P.(II)丁A=｛。い。2,…%｝具有性质ビよ。〃凡与"中至少有一个属于A，an由于1Vq＜。2,エ《。〃〉。〃,故。〃〃〃/A..从而1=gAt*,*qanV1=a,<a2<---<an, •••。ん。〃>。〃，故。人。〃七4（攵=2,3,•••,九）由A具有性质P可知%wA(k=1,2,3,・・・,〃).又・又・.ユ＜亠a2%••一=1， =〃2' 。〃ー1'―=。“。〃 。〃ー】 。2 。1a2%从而ユ=，-+•••+—+—=aj+a2d Fan_x+a2%(Ill)由(【【)知,当〃=5时,有&=〃2，”二〃3，即。5=。2。4=。;，

^^4 3二•1=%Vム<•,•<。5， 。3“4>。ッ〃4=。5，,'ル"4eん,由A具有性质P可知巴・€A.%a2a4=。;，W—=—gA»且1<纟=。,，.'.—=—=a2,a^yci (i> ^^3ci)...2_=幺=幺="=。ハ即々4〇〃〇是首项为i,公比为生成等比数列..k.s.5.a.a.a.a.来源:09年高考北京卷题型:解答题,难度:较难(文)已知数列｛%｝的前“项和5”=ガ+Z",数列｛ん｝的前"项和ア“=2ーん(I)求数列｛斯｝与｛瓦,｝的通项公式;(H)设c„=a^b„,证明:当且仅当介3时,cn+l<cn.答案:（1）由于《=チ=4当"N2时,an=sn-sn_｝=（In2+2〃）一［2（〃一I）?+2（〃ー1）］=4〃？.am=4〃（〃ミN）

又当x2〃时"=7；-%-(2-6,0)-(2一%)・•.2bn=%••.数列出｝项与等比数列,其首项为1,公比为g.•也=(;尸.(n+1)2

2n2IC(n+1)2

2n2(2)由(1)知孰=。:也=16n2-(-r)ラ叩= f G16n2由ら<1得5+D-<1即〃2-2〃ー1>0.•.〃>1+血即〃23G2〃又〃23时生£<1成立,即C组<1由于C,>0恒成立..

2ガ C "因此,当且仅当〃N3时,C“+i<C”来源:09年高考安徽卷题型:解答题,难度:较难(文)数列｛。“｝的通项ち=〃2(852三一5也2チ)，其前〃项和为S“.(1)求S“； (2)或=斗,求数列｛2｝的前”项和小n-4答案:丄丁2n7r.2〃ア 2n兀丄厶(1)由ナcos〜 sin〜—=cos ,故3 3

^3k=（。1+。2+。3）+（。4+a5+。6）+~，+（。3"2+。3*-1+。3«）=（ヾ22+32）+（_42；5%）+...+（_（女-"（31）2+（弘）2））1331= 1 1 F184-52((9(+4)22 2((4-9()2S3k-2=^3k-\((4-9()(3(-I)1331= 1 1 F184-52((9(+4)22 2((4-9()2S3k-2=^3k-\((4-9()(3(-I)2_1,_3(-21 1 ——k- ,2 2 2 3 6n1ーデ](〃+1)(1-3〃)6〃(3〃+4)6 ，〃=3(-2〃=3(-1〃=3(((wN*),S.9〃+4(2)b=—:—= ,〃か4” 2・4“, !1322 9/1+4,T=—[—+—+•••+ 1,"2442 4"__ 1ri_22 9/2+4.47?=—[13h F…4 —“2 4 4'-'两式相减得ケしい9 9 9/2+4.1…3T=[134 F・・・H ： ]=ー[13+〃2 4 4,,_, 4〃 244"9〃+44ス1=8-9/7来源:09年高考江西卷题型:解答题,难度:较难各项均为正数的数列{%}, =a,a2=b,且对满足m+〃=p+4的正整数m,〃,p,q都有し+ム=册+% .（1+%）（1+。〃） （1+。ハ）（1+.）1 4(1)当。=5，/?=ヌ时,求通项し;.⑵儼:对便。,存在与。有关的常数/1,使得对于每个正整数〃,肺-<a<A.2答案:(1)由乌+%-=巴ク+%—.得(1+«,„)(1+«„)(1+.)(1+%)一2%+1所以とム」丄.上一1+ム31+%故数列｛匕"｝为等比数列,从而1+凡可验证,a„=-~^满足题设条件."3"+1(2)由题设一ー的值仅与胆+〃有关,记为九+“,则(1+ち)(1+4) m+"q+。+an(1+即(1+ム)(1+の(1+%).

考察函数/(x)= (x>0),则在定义域上有.(l+a)(l+x)1, ,a>11+a/(尤)Ng(a)=,g,a=l0<a<l故对neN*,“小>g(a)恒成立..又b2n又b2n2ム(1+がNg(a),注意到〇<g(a)く丄,解上式得 g(6p _—(のー屮ー2g⑷<<l-g(a)+，l-2g(a)l-g(a)+，l-2g(a) g(a) "-g(a)取え、匕g(の金正辿1,即有g(a)来源:09年高考江西卷题型:解答题,难度:较难(文)已知等差数列｛ム｝的公差d不为〇,设S"=%+。2り+…+。"グー'7；=ち_02マ+…グ"，［ホ。，〃gn*(I)若タ=1吗=1同=15,求数列｛a,,｝的通项公式;(II)若・=ム且$ぶ2バ3成等比数列,求・的值。(III)若タw±I,证明(I一のS2n_(1+のア2“=2歯(1_,り,〃gN*i-q答案:⑴解:由题设,S3=.+（%+d）q+3i+2のザ,将g=1吗=1バ3=15代入解得d=4,所以*=4〃ー3〃gN*（2）解:=d,Si=d,S2=d+2dq,S3=d+2dq+3dグ,：S,,S2,S3成等比数列,所以§2? 即（d+2歯）2=イ（d+2歯+3歯2）,注意到イ*0,整喇q=-2（3）证明:由题设,可得ル=グヘ则s2n=«i+a2q+a3q2+'--a2nq2"~' ©T2n=0!-a2q+a3q' ちア"। ②①-②得,S2n~T2n=2（a2q+a4q^+•■■+a2nq2,"'）①+@得，5211+72"=2（。＞+。3グ+…+。2.ー闯21）③③式两边同乘以q,得ワ⑸“+72”）=2（。闯+。3グ+…+。2“ー闯方つ）所以（1ーのS2“-（1+q）T2n=2d（q+グ+…+グ"t）=ユザープ）1-り（3）证明:Cj-c2=（aki-。ム）ム+（%,一々ハ）。2+（ム”ー。し）"“=（ムー，］）曲+（七ー/2）あ闯+•,,+（&〃ー，〃）3グI因为d工0,ムエ〇,所以

C\~C2二（ムー，1）+（ん2ー】C\~C2若ん〃エノ〃,取i=〃»若ん〃二，〃,取i满足ん:エル,且号=し,i+l<j<n由（1）（2）及题设知,lviエ〃,且1 2=（ん］一/1）+（ん2—/2）り・1 h（ん〃ーノ〃）グ।・他①当ム<lj时,ムーム4—1,由q之几,ムー，j4q—1,j=1,2…,i—1即もー，］くワー1,（ルー/2）りvq（q一D,…（ムtームー1）り2-q（q-1）,2所以ユ 二ヱ（q—1）+（q—l）q+…+（q—IM'?—qi=（¢—1）-"- q,］="1db｛ \-q因止匕らーぐ2。〇②当ム〉ル时,同理可得丄」ユ«—1,因此ルー。ユエ。曲综上,C1ナc2来源:09年高考天津卷题型:解答题,难度:较难（文）对于数列｛ち｝,若存在常数M>0,对任意的〃eN*,恒有レ，"+1—"J+レ，“ー〃"_J+…+|〃2-“J《M' 则称数列｛〃“｝为5ー数列.（1）首项为1,公比为ー丄的等比数列是否为Bー数列?请说明理由;2（2）设S,是数列｛七｝的前〃项和.给出下列两组判断:A组:①数列｛ム｝是B-数列, ②数列は“｝不是Bー数列;B组:③数列｛S,,｝是B-数列,④数列｛S“｝不是Bー数列.请以其中一组中的ー个论断为条件,另ー组中的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假,并证明你的结论:(3)若数列｛ム｝是B-数列，证明:数列｛ピ｝也是Bー数列。答案:⑴设满足题设的等比数列为｛ム｝,则an=(ー丄)漢.于是\an~an-l\=(-;)"-1-(-92=*|xg)『〃N2U+Iー。"1+1%-勺ー11+…+レ2ーム13=—X3=—X2<3.所以首项为1,公比为ー丄的等比数列是Bー数列 .2(2)命题1:若数列・“｝是B-数列,则数列｛S/是B-数列.此命题为假命题.事实上设ム=1,neN”,易知数列｛ム｝是B-数列,但S“=〃,IS"+「S"I+1sli-スコ+…+⑸一SJ=".由〃的任意性知，数列｛S“｝不是Bー数列。命题2:若数列｛S/是B-数列，则数列｛乙｝不是B-数列。此命题为真命题。事实上,因为数列｛S“｝是B-数列，所以存在正数M,对任意的〃eN*,有l5n+I-Snl+l5n-SB_1l+-+IS2-SIl<M,即IX.+J+ば,1+…+lx2KM.于是脸ーx.|+|x"一X"」+…+卜2一小-卜”+1|+2卜1+2k“_J+…+2同+闻<2M+闻,所以数列｛ム｝是B-数列。(注:按题中要求组成其它命题解答时,仿上述解法)(3)若数列｛ム｝是B-数列,则存在正数M,对任意的〃eN•,有H+1ー。』+|ムーa,i|+…+E-因为|ム|=|。"_ム-1+an-\+an-2+…+々ーq+ |《レ"一4ー1|+|ムー1ーし1+…+,2-4||+同く"+同一记K=M+同,则有卜:十］ー蜀=|(a“+i+an)(an+l-a„)\4(|%+iI+1«„|)\an+l-a„\<2K\an^-an\.因此卜:+iー蜀+卜:ー。3|+…+归ー/42KM.故数列｛展｝是B-数列.来源:09年高考湖南卷题型:解答题,难度:较难（文）设数列｛4｝的前〃项和为5“,对任意的正整数〃,都有a,,=5S“+l成立,记（1）求数列｛6,｝与数列出｝的通项公式:（II）设数列也｝的前〃项和为ル，是否存在正整数k,使得R.24k成立?若存在，找出ー个正整数え:若不存在，请说明理由;（HI）记％=ち"ー”ベ（〃6バ），设数列也｝的前〃项和为7；,求证:对任意正整数n都有Tn<—；答案:(I)当〃=1时,q=5S]+q=ース又・•.4=5S〃+L-=5S"|+1M+iーム=5。“+”即 =-;.••数列｛《,｝是首项为り=一;,公比为4=一;的等比数列,・.a4+(ーか，b“= (〃eN*)1(II)不存在正整数え，使得凡24セ成立。证明:4+(ーか由(I)知",= y—=4+l-(-y)n5

(-4)--!s5 5= 520=_15x16.40(U)2i-1(-4产ー1 16*-116*+4 (16*-1)(16*+4)...当“为偶数时，设〃=2/n(mwN*)4=(ム+ち)+他+Z)+…+(%+必)<8m=4〃当"为奇数时，设〃=2m-l(/neN*)R“=(伉+b2)+(b3+b4)+---+(b2m_3+b2m_2)+b2m_l<8(m-l)+4=8/M-4=4n.•・对于一切的正整数",都有此,<4k...不存在正整数k,使得此？4k成立。 8分(III)由ケ=4+-—得" (一4)"一15 5 _ 15x16" _ 15x16" 15x16"_15" 2"-1+2"42"-1+42fl-1+l-(16"-1)(16"+4)"(16")2+3x16"-4<"(16")2"16"メー13 4又仇=3,仇=—ら=—,3 33当〃=1时,T.<—92当〃22时,T„<+25x(1,162<-+25x-^-3 ,1693一<—482来源:09年高考四川卷题型:解答题,难度:较难设m个不全相等的正数卬,ム,…，%(切N7)依次围成一个圆圈.⑴若隕=2009l且4,取，…吗005是公差为d的等差数列,而2009，q2(»8，…吗006是公比为り=d的等比数列;数列q,。2,…,ち的前”项和S„(n<m)满足:S3=15,S2OO9=S2007+12q,求通项an(n<m)；(2)若每个数ム(n<m)是其左右相邻两数平方的等比中项,求证:q+…+ム+。;+…+《;>碗禺2am；（I）因。］,。2009，〇2008，…，々1006是公比为d的等比数列,从而。2000=2008=由02009=02009=Sじ2008+12q得。2008+42009=12。1,解得d=3或［=一4（舍去）。因此d=3又S3=3。］+3d=150解得卬=2从而当"く1005时,%=。1+(〃—l)d=2+3(/1—1)=3n—1当1006<n<2009时,由。］,a2m,a2008,•••,a1006是公比为d的等比数列得。“=。/2°°9-(〃t)=〃储201。ー〃(［006<n<2009)3n-1,n<1005因此。=<れず009-”,1006W〃42009(II)由题意ピ=スる(1〈〃(m),へ=ぐー避:,一=得TOC\o"1-5"\h\zan=an.lan+l(\<n<m), ①②=a,na2 ③有①得4=4=丄，。5=一，〇6=2 ④由①，②，③得。］。2…。〃=(。］。2…。〃)2，故。］。2…。〃=1. ⑤又。「+3=ー八エ=ユ寸 =—(1<r<w—3),故有J凡。用明ar+6= =ar(l<r<m-6).©ar+3下面反证法证明:m=6k若不然,设团=6k+p,其中1WpW5若取p=l即n?=6k+l,则由⑥得ム,=。6*+1=q,而由③得ち=幺,故q=ム,Cly得。2=1,由②得しー1=4",从而。6=%1=。,“一1，而4=5,故如=。2=1，④及⑥可推得。“=1(1<〃<m)与题设矛盾a2同理若P=2,3,4,5均可得。〃=1(l<n</n)与题设矛盾,因此m=6え为6的倍数由均值不等式得"1+〃2+〃3+K+へ=(4—)+(Q)h )+(~~H——)N6I ^12 ([ヽ由上面三组数内必有一组不相等(否则4]=。2=。3=1，从而ム=。5=K=。〃]=1与题设矛盾),故等号不成立,从而q+4+/+K+ム>6又m=6k,由④和⑥得巧+K+%?=(a；+K+〃う)+K+(a；4_5+K+a気)=(kT)(〃:+K+〃:)=(k-!.)(。汁!"+76 。2d-)>。1 a23a"因此由⑤得/+。つ+。3+K+。6+%+K+。;>6+6(k—1)=6k=机=ma]a2a3Kain来源:09年高考重庆卷题型:解答题,难度:较难设数列®｝的前n项和S“=4一%一白,求明.答案:5“=4_”“一^T,得S"+i=4_a“+]-77t，册+i=S"+i—s*氏ー%+1+（ホ••・プンム+产;册+:，两边同乘以2"L得2同册+尸2"4”+2,セ"圖｝是首项为1公差为2的等差数列,2"a=2+（h—1）,2=In,解得: a=；1-来源:09年广东东莞市月考一题型:解答题,难度:中档已知数列｛4｝的前〃项和S“=-an一色严+2（〃为正整数）。（I）令"=2"ム,求证数列｛4｝是等差数列,并求数列｛4｝的通项公式;（II）令C"=——%,Tn=C]+c2+........+c“试比较?;与メ一的大小,并予以证n 2n+\明。⑴在S“=ーしー(丄产+2中,令〃=1,可得号=ーしーl+2=q,即《=丄

2 2当〃22时，S„_,当〃22时，S„_,+2,an=Sn-S“_]=-an+an^+••・2へ=%+(;严,即2a=2"T*+1.Vb“=2"a"bn=%+1,即当岫2b n-a=1.又ム=2q=1,.•.数列也｝是首项和公差均为1的等差数列.于是"=l+(n-l)4=n=2an.:.an=—.TOC\o"1-5"\h\z(II)由⑴得=とり。〃=(〃+1)(:プ,所以n 2T=2=丄+3x(丄ア+4+(丄イ+K+(n+l)(-)"2 2 2 2屮+K+(；)"-(〃+吗严4=2x(l)2+3x(l)3+4x(i)4+K+(n屮+K+(；)"-(〃+吗严3〃+3一(“十22"+,由①-②得万・1=1+3〃+3一(“十22"+,丄~2〃+32"1 5〃n+35n(n+3)(2"-2n-l)n~2〃+l 2" 2〃+l" 2"(2〃+l)于是确定？;与ニー的大小关系等价于比较2〃与2〃+1的大小2〃+1由2<2x1+1；2?<2x2+12<2x3+l;24<2x4+1;2‘<2x5;K可猜想当〃23B寸,2">2〃+1.证明如下:证法1：(1)当〃=3时,由上验算显示成立。(2)假设〃=k+1时2ヒ|=2宠’>2(2k+l)=4k+2=2(k+l)+l+(2k-l)>2(k+l)+l所以当〃=女+1时猜想也成立综合(1)(2)可知,对一切〃N3的正整数,都有2”>2〃+1.证法2:当〃23时2"=(1+け=C：+C：+C；+K+C丁+C：NC：+C：+C丁+C：=2n+2>2n+l综上所述,当〃二1,2时7;〈ニー,当〃と3时4>一一2〃+1 2〃+1来源:09年高考湖北卷题型:解答题,难度:较难数列｛”"｝定义如下:ム=丄‘且。"十1=2ヽ ，"=1,2,…2 。“-%+1证明:对每ー个正整数〃,都有q+旳+…+。“<1・答案:证油于パー—戸沁所以%>。,〃叫,又an-an+l2a“-a”所以,。于是ケピU7Tan-\an-\

所以q+%■1 Fan<1,“=1,2,…。来源:1题型:解答题,难度:较难已知数列ス｝的前〃项和S“满足S〃+[=娯“+2,又为=2,牝=L⑴求k的值;⑵求S“：C—trj1(3)是否存在正整数加,〃,使ユ——くと成立?若存在求出这样的正整数;若不存在,。ー加2说明理由又为=2,%—1,2+1=2た+2 :.k=⑵由（D知=gS"+2 ①当〃と2时,S,,=-5„,+2②2①②,得。“+1-2ム5>2） 4又ムニ丄易见%H0（/1£川・） /.—〜2 a于是｛%｝是等比数列,公比为;,所以S",I2=4"2.）2ぐ 1 4（1 ）一m5—m 1 う界（3）不等式巴——<-,即 % <5n+]-m2 メハ1ヽ用 4（1一戸）一切整理得2<2"（4ー〃7）<6 8分假设存在正整数m,〃使得上面的不等式成立,2"（4ー机）=4f f 2分2分虫=2ケeN*）,6分,丄'2由于2n为偶数,4ー用为整数,则只能是10分[4-m—2;[4-m=\因此,存在正整数〃i=2,〃=1;或〃2来源:08年高考探索性专题=3,"=2,使ーれ=”?〈丄 12S“+iー〃[ 2题型:解答题,难度:较难数列｛a»｝中,a7=3,当n22时,an=3""^+43 7~an-l(1)求28再9向〇的值;(2)是否存在自然数叫当n>m时,an<2;当nくm时,an>2?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由。(3)当n210时，证明“"-+ム+しVa*2答案:(1)a^=3a7(1)a^=3a7+4,へ 3他+4--——=12,a9=--——(2)an-2=3a"-|+4

フー。〃ー17-Qg2=55〃ー］-2)7ー。〃ーI5(册-2)3+册••.当2V2时,an<2»又a9=・8V2,故当n>85(册-2)3+册由an= 得an.i=1 ,an.1-2=7ー。〃ー1 3+。〃.•.当题>2时,an-i>2o又a8=12>2,...当nW8时,an>2。综上所述,满足条件的m存在,且m=8.(3)an.|+an+「2%=( an)+(——--a„)3+ム7-a,,a„+37-an(7-a„)(a„+3) 3下面证明,当n210时,-3<%<2,其中当n210时,an<2已证,只需证当n210时,an>-3〇an+3=3a^'+4an+3=3a^'+4+3=

7一%257-a当an“e(-3,2)时,n-l- ->0,即an>-3..,.当n210时,-3<an<2o7ー。〃ーi因此,当n210时,az+an+i-2an=_^超匸立一<〇,即ムユ+.2〈a*(7-a„)(an+3) 2来源:08年高考探索性专题题型:解答题,难度:较难求满足pq+qp=r的所有质数p,q,r.答案:显然pホq.不妨设p<q.因为r为质数.所以p与q不能全为奇数.故p=2.⑴当り为不小于5的质数时.有pq+プ=2"+ダ=⑵+1)+(ザー1)=3x—+(92-l)=3(2*-,-2*-2+-+l)+(^+l)(g-l)由于ワ不是3.也不是3的倍数.而q-l.q.q+1是三个连续的自然数.则其中必有一个数是3的倍数.又q不是3的倍数.得(q+l)(q-1)必为3的倍数.所以p9+グ是3的倍数.这与r是质数矛盾!(2)当り<5时.只有り=3.这时p=2,q=3,r=17.综上所述.有p=2,q=3,r=17.来源:1题型:解答题,难度:较难已知数列｛%｝的各项均为正数,它的前n项和Sn满足S“=?M+1)(4+2),并且a2,a4,ag成等比数列.(I)求数列｛%｝的通项公式:(II)设ル=(-1严ン"％+』为数列初｝的前n项和,求耳.答案::对任意〃eN*,有s“=丄(册+1)(册+2)①6当n>2时，有=?(%_]+1)3”t+2)②当①一②并整理得(册+an_x)(an-an_x-3)=0而｛%｝的各项均为正数,所以%ームー[=3.•,.当n=l时,有S]=〃|=丄(4+1)(〃]+2),解得ai=l或26 1当a)=l时,an=1+3(〃-1)=3n-2,此时〃:=42a9成立;当ai=2时，甌=2+3(〃ー1)=3〃ー1,此时=。2砌不成立;舍去・所以。〃=3n-2,nwN*T2n=bj+シ2+…+ち”=。1。2ー。2%+。3。4一%〃5…ー。2メ2ハ+1=七⑼-&)+%(%ー。5)…+。2〃(。2ハー1ー。2〃+1)/ J ヽエ〃(4+6〃ー2) 1。2/=—6^2—6〃4…-6I〃=ー伏〃2+%…+。2“)=一^x =-]8〃ー6〃来源:09年江苏月考一题型:解答题,难度:中档已知数列｛ム｝中,«1=1,且点Z>(ム,ム+])(〃€叱)在直线スー>+1=0上.(1)求数列｛4｝的通项公式;若函数/(〃)= + + +・・・+ (〃gN,且〃>2),求函数〃+ル〃+。2 〃+。3 〃+%/(«)的最小值;(3)设ク=丄,S,表示数列物,｝的前项和。试问:是否存在关于〃的整式gレ),使得あ+S2+S3+…+S,I=(s“-l>g(〃)对于一切不小于2的自然数〃恒成立?若存在,写出g(〃)的解析式，并加以证明:若不存在，试说明理由。(1)••・点、P(斯,。"+1)在直线x-y-l=O上,即〃〃+「”,尸1,且。|=1••・数列｛恁｝是以1为首项,1为公差的等差数列/.an=1+(n-1)*1=n(n>2),ai=!也适合,cin-n(2vf(n)=—^—+——+•••+—,/24-1714-2 271111f(n4-1)= 4- 4-

〃f(n4-1)= 4- 4-

〃+2714-3714-4.•./(714-l)-/(7l)=11

4

2714-12714-2.•./(714-l)-/(7l)=11

4

2714-12714-2— —=o,714-1 2714~2 271+2714~1TOC\o"1-5"\h\z.•.れ〃)是单调递增的,故的最小值是。分(2>— 8(3.比.=丄=も=1+；+；+…+丄,'S"一5べ=丄(〃22), 1071 23n n即M厂ぎ〃-DS“t=S,T+L.•.(〃ー1)S“T_(〃ー2)S„,2=S吁2+1,……52-S,=51+lnSn-S1=5]+邑+…+5n_1+m—1,5,+S2+…+S“_]=nSn-n=(Sn-l)-n(n>2)g(“)=n. 13分故存在关于的整式,g価等式对于一切不小于的自然魏恒成立分〃 ……14来源:08年高考探索性专题题型:解答题,难度:较难直线x+y="(”eN*)与x轴、y轴所围成区域内部(不包括边界)的整点个数为册,所围成区域内部(包括边界)的整点个数为ん.(整点就是横坐标,纵坐标都为整数的点)(1)求％和名的值:(2)求册及わ”的表达式:(3)对册个整点中的每ー个点用红、黄、蓝、白四色之一着色,其方法总数为An，对ん个整点中的每ー个点用红、黄两色之一着色，其方法总数为B”，试比较An与Bn的大小.〃=3时,直线x=0上有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3)个点,直线x=l上有(1,0),(1,1),(1,2),直线x=2上有(2,0),(2,1)，直线x=3上有(3,0)二ち=1 2分么=4+3+2+1=10 2分〃=1时,ム=3,q=0 〃=2时,ん=6,ルニ。当〃23时，b=(n+1)+71+(71—1)4-...+24-1=1〃土、("±2)3分2,2,“丄1、丄ス(〃ー1)(〃ー2) クATOC\o"1-5"\h\z册=bn-3(724-1)4-3= 27T当〃=1,2时也满足,...%=)二3小,bn=n+3n+2 (〃N*)1分；r-3/1+2A“=4 2 , 1分パ+3”+2B„=22 ； 1分来源:07年上海市月考四题型:解答题,难度:较难一列火车自4城驶往B城，沿途有〃个车站（包括起点站A和终点站8）,车上有一节邮政车厢,每停靠ー站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各ー个，试求:（1）列车从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋数是多少个?（2）第几站的邮袋数最多?最多是多少?•2分4•2分4分16分12分设列车从各站出发时邮政车厢内的邮袋数构成一个数列｛ム｝（1）由题意得:a]=n—l,a2=（n—1）+（n—2）—1,a3=（n—1）+（n-2）+（n—3）-1—2.在第え站出发时,前面放上的邮袋共:（〃ー1）+（〃ー2）+・・・+（〃一え）个而从第二站起,每站放下的邮袋共:1+2+3+…+（k-1）个故ム=（〃ー1）+（〃ー2）4 1■（〃ーん）-[1+2+・・・+（たー1）]=6ー丄バA+Dー丄た（えー1）=加一22/=1,2,•••,〃）即列车从第ス站出发时，邮政车厢内共有邮袋数え〃-セ2伏=1,2,…〃）个TOC\o"1-5"\h\z当”为偶数时,k=ー〃时,最大值为一〃22 4当〃为奇数时，た=丄（〃ー1）或左=丄（〃+1）时，最大值为丄（パー1）.2 2 4所以，当〃为偶数时，第り站的邮袋数最多,最多是丄〃2个:2 4当"为奇数时,第ヨ或第四站的邮袋数最多，最多是丄（ガ-1）个题型:解答题,难度:中档已知正项数列｛獅｝满足4]=4,（0<4<1）,且"%）=」«又〃“.1<f（an）,（れと1,且〃£バ）.\+x求证:（1）バーク—；l+（n-l）a”+"+…+ム<i.证（1）由条件可知:%+14-^-再变形,得丄ー丄211+% %+1册-->1,--->1,...,-———>1叠加可知a2aX。3a2 anan-\— —>n-l而Q[=a,则%< （6 分）anq 1+（〃ー1）〃（2）0<«<]及a< 可知%4-： <"l+d）a 1+„-1a从而ユ<_1_=丄ー-Lk+\k（k+l）kk+l(12分)..・ナムー＜1得证.合(12分)来源:06武汉调考I题型:解答题,难度:中档已知数列｛斯｝满足递推关系:a„+i=2a"+3an+a(nGN+),又为=1。%+1①在。=1时,求数列｛〃"｝通项斯;②问。在什么范围内取值时,能使数列｛斯｝满足不等式即+1»即恒成立?

③在ー3Wavl时,证明: + Q|③在ー3Wavl时,证明: + Q|+1 02+1+…+(1)a„=2n―1；(2)aN—3；(3)略。题型:解答题,难度:较难根据如图所示的程序框图,将输出的x、y值依次分别记为xl,x2,---,x„,---,x2OO7;yi，y2»…，yn>…，y20070(I)求数列｛ム｝的通项公式ム;(II)写出yメ丫2，y3，丫4，由此猜想出数列｛yj的ー个通项公式y”,并证明你的结论:「结束］(III)求z”=占.+x2y24 fxnyn(xeN*,n<2007).「结束］解:(I)由框图,知数列｛居｝中,Xi=l,xn+i=xn+2/.xn=1+2(〃ー1)=2〃ー1(〃gN*,〃<2007) 3分(文4分)(II)yi=2,y2=8,y3=26,y4=80o由此,猜想 =3〃ー1(〃wN*,〃く2007). 5分(文6分)证明:由框图,知数列｛yノ中,yn+i=3yn+2,y用+1=3(爲+1).•・①ゴ1=3,月=3. (文8分)y„+1••・数列｛yn+1｝是以3为首项,3为公比的等比数列。.•・齐+1=3・3[1-=311Ayn=3n—1(〃eN*,〃く2007) 8分(文12分)(III)(理)zn=xIy1+x2y24 Fxnyn=1X(3—1)+3X(32—1)+,,•+(2n—1)(3n—1)=1X3+3X32+—+(2n-l)•3n-[l+3+-+(2n-l)]记Sn=lX3+3X3?+…+(2n—1),3n,①贝リ3Sn=lX32+3X33+・・・+(2n-l)X3n+I②①一②,得一2Sn=3+2•3ゝ2•3ゝ…+2•3n-(2n—1)•3n+I=2(3+32+—+3n)-3-(2n-l)»3n+l=2X3(1-3，，)-3-(2n-l)3"+l1-3=3n+,-6-(2n-l)-3n+l=2(1-n)-3n+1-6S“=(〃ー+3.又1+3+…+(2n—1)=n212分/.z„=("-l>3"+i+3-M("€N*,〃420012分来源:1题型:解答题,难度:较难已知函数/は）=イーax+a（aeR）同时满足:①不等式バx）40的解集有且只有一个元素;②在定义域内存在〇＜为＜ス2,使得不等式/（尤1）＞/（ち）成立・设数列｛ム｝的前〃项和为s“=a〃）（1）求数列｛《｝的通项公式;（2）设各项均不为零的数列｛c“｝中,所有满足q-q+1＜0的正整数i的个数称为这个数列｛c“｝的变号数,令c“=l一巴（〃为正整数）,求数列｛c.｝的变号数答案:（1）由（D/（x）WO的解集有且只有一个元素知TOC\o"1-5"\h\z△=a—-4a=0na=0或。=4 （2 分）当。=0时，函数/（X）=ド在（〇,+8）上递增，此时不满足条件②综上可知。=4,/（无）=ズー4尤+4 （3分）つ f1,M=1S”=，ーー4〃+4,・ニ4 （6分）” 〃 [2/1-5,72＞2

—3.（2）由条件可知％=,n>2—3.（2）由条件可知％=,n>2（7分）当れと2时,_ 2〃ー92〃ーフcn+}<0=> 2〃ー52〃ー33 57 9<0=>一<〃く一或ーV〃<—TOC\o"1-5"\h\z所以〃=2或〃=4 （9分）又丁G=-3,じ2=5,/.〃=1时,也有6・。2く〇 （11分）综上可得数列｛c〃｝的变号数为3 （12分）来源:08年高考荆州中学月考一题型:解答题,难度:中档设数列｛叫的前〃项和为5“.已知q=a,4川=S“+3",neN*.⑴设"=S"一3",求数列出｝的通项公式;（2）若。“十】»。"，neN',求。的取值范围.答案:

⑴依题意,S“M-S”=a“M=S"+3”,即511M=2S“+3”,由此得Sm-3"i=2(S“一3"). 4分因此,所求通项公式为bn=Sn-3n=(a-3)2n-l,〃wN*.①6分⑵由①知S“=3"+(a-3)2"L〃eN”,于是，当〃»2时，an=Sn-S“_|=3"+(a-3)x2"-1-3n-,-(a-3)x2n-2=2x3n-1+(a-3)2"-2,an+i-<?„=4x3n-1+(a-3)2"-2=2"-2ね+a-3,当〃22时，a“+]»否012d+a-30=a2-9.又。2=。1+3>%.TOC\o"1-5"\h\z综上,所求的a的取值范围是[-9,+00). 12分来源:08年高考全国卷二题型:解答题,难度:中档已知数列｛%｝是由正数组成的等差数列，ハ外r为自然数。证明:(