2013考研数学高分导学班讲义

2013考研数学高分导学班讲线性代数部分—矩阵理

a1n

a2n，称为矩阵mn，记为A(a

ij

am

amn13A

a2n

b2n

,B

m

mn

m

mna11

a12

ABa21

a22

a2nb2n。

m m

mnkA

ka2n。

m mnA

a2n

b1s b2s ,B

，

m

mn c1s

n

nsABC

c2s

cm

cms其中cijai1b1jainbnj（i1,2,mj1,2,nABOAOBOABABBAf(x)axnaxafA)

AnaA

1

a11x1a12x2a1nxna21a

a22

a2nxn

am1x1am2x2amnxna11x1a12x2a1nxna21a

a22

a2n

am1x1am2x2amnxn

a1n

b1 A

a2nXx2bb2，则（1（2）

am

amn

xn

bmAX

及AX对方程组x1x2

【例题1 方程组

3【例题2 方程组xx

对方程组

x1x2【例题1 方程组x

【例题2 方程组

x1x2【例题3 方程组

axa0axb11ax1bxb a0b0axba0b0axb线性方程组的类似问题：方程组AXb的解AnBBAAXb两边左乘BBAXBb，于是XBb；AnBBAE方程组AXb是否有解及解的情况；AmnmAXb（一）1AnnBBAEABBA121nA（事实上不存在可逆矩阵的矩阵大量存在2nA可逆（即逆矩阵存在AnA可逆的充分必要条件是|A|0第二步矩阵的三种初等行变换第三步三种初等矩阵Eij—单位矩阵的ij行对调或者ij性质：1）|

|10 2）E1

E2E3）EijAA的ijAEijA的ijEi(c)(c0)—单位矩阵的i行乘以c或单位矩阵的i列乘以c。性质：1）|E(c)|c0； 2）E1(c)E(1)； i3）Ei(cAA的i行乘以非零常数c所得到的矩阵，AEi(cA的i列乘以非零常数c所Eij(kjk倍加到i行或者单位矩阵的ikj性质：1）|

(k)|10 2）E1(k)

(k)3）AEij(kAjk倍加到iEij(kAA的i列的kj列1AnA【问题2】设A为n阶不可逆矩阵，A能够经过有限次初等行变换化为 O O3A

Or阶不可逆矩阵，A能够经过有限次初等变换化为 r O定理（初等变换法求逆阵）AnA可以经过有限次初等行变换化为初等矩（二）矩阵的秩（记住：在方程组中矩阵的秩本质上就是约束条件1A为mnAr阶非零子式，但所有的r1阶子式（如果有）都rArA)r。A为mnrAmin{mn}An阶矩阵，若|A|0，则rA)nA为满秩矩阵。矩阵可逆、满秩及非奇异rA)0AOrA)1AOrA)2Aa1 设a2r()0,O

anr(A)r(AT)r(ATA)r(AAT)ABrAB)rA)r(BrAB)min{rAr(B)}，等价于rAB)rAr(AB)AmnBnsABOrAr(B)nAmnPmQnrA)r(PA)rAQ)r(PAQ1】设ATTrA)22AnA3AmnBnmnmABEr(B)m4AnA23A2EOr(EAr(2EA)n

二、定积分的定义—设f(x)为[a,b]上的有界函数，若 f()x存在，称f(x)在[a,0bfx在[abb极限与区间的划分及i的取法无关0n

f(x)dx

b f(x)dx f()b 0若一个函数可积，则bf(x)dxlimba

f[ai(baa

x

定理1

f(xC[ab]，令(x

f

，则(x)

fx)的一个原函数，即(x)

f(x)d(x)f(t)dt

f[(x)](xd

2(x)f(t)dt

f

(x)](xf[(x)](x11

1fx连续，且(x)x(xtf(t)dt，求(x02fxF(x)xtf(x2t2dtF(x02（牛顿—莱布尼兹公式）f(xC[ab]Fxfxbb

f(x)dxF(bF(a、换元积分法—设

f(xC[ab]，令x(t)，其中(t)(t)0a()a,()ba

bf(x)dxf[(t)](t)dt2、分部积分法—设u,v在[a,b]上连续可导

budvuvbbvdu1b

af(xg(x)]dxaf(x)dxag(x)dx cbakf(x)dxkcb

f(x)dxbb

f(x)dx

f(x)dx

f(x)dxbadxbabbf(x0(axb，则b

f(x)dx0bbb推论1f(xg(x)(axb，bbb

af(x)dxag(x)dxbbbb

af(x)dxa|f(x|dx(abfx在[abm

f(xM，则m(ba

f(x)dxM(bab（7（积分中值定理）f(xC[ab]，则存在[ab]b

f(x)dx

f()(ba 1）设f(xC[aa，则af(x)dx0f(xf(x)]dx 2）设f(xC[aa，且f(x)

f(x)

af(x)dx

f(x)dxa3）设f(xC[aa，且f(x)f(x，则af(x)dx0aT设fx)以T为周期，则Ta

f(x)dx

f(x)dxaxf0

x f(xC[0,1，则2f(sinx)dx2f(cosx)dx，特别地0

n 2sinxdx2cosxdxIn，且In In2,I0

I11 00sinxdx22sinxdx2In00 22cosxdxn为偶0cosxdx 设f(x)C[0,1]，则

2 sin

21

dx22114114

第一 极限与连fxf(x)

f(xfxf(x)f(xfx1

fxD，若存在T0xDxTDf(xT)

f(x)fx【例题2】函

x1x2Dx1x2f(x1f(x2fxD上为单调增M0xD，有|f(x|MfxD2数列极限N)—若对任意的0N0nN|anA| 成立，称数列{a}A为极限，记为limaA fxxa（—若对任意的00

0|xa|

|f(x)A|Afxxa时的极限，记为

f(xAfxx时的极限（X）—若对任意的0X0，当|x|X时|f(x)A|Afxx时的极限，记为

f(xA

f(x)AAfxxaf(a0)A

f(x)BBfxf(a0)B，注意limf(xf(a0f(a0k形如axb(a0xa 若对limex1limex10limex1

又 又 f(x)1212

f(00)1f(00)1，故limf(x3无穷小的层次—设00

lim

0为o(若lim

k0与O(，特别地，若lim

1，称为等价无穷小，记为~

f(xA的充分必要条件是f(xA，其中01）~2）若~~3）若~~，则~若~~且

A，则lim

Ax02）1cosx~1x223）(1x)a1~ax

3】计算极限

ex2cos。4】计算极限

tanxsinx

1sin1etanxex

。【例题6】计算极限

xx4函数在一点处连续的定义—设fx)xa

f(x)

f(a

f(xafxxaf(a0)

f(a0)

f(afx在[abfx在[abfx在(abf(a0)

f(a),f(b0)

f(bfx在[ab

fxxaf(a0),f(a0)xafxf(a0)f(a0xafxf

0)

f(a0xafxfxxaf(a0),f(a0)xafx8f(x)ln|x|x2ex19f(x)

x1e1

ln(1x2【例题10】求函数f(x) 的间断点及类型tan（一）1（唯一性定理）2（保号性定理）（1）若limf(x)A0(0，则存在0，当0|xa|f(x)0(0（2）设f(x0(0且limf(xA，则A0(0（二）1情形一：设{an}ManM，则limann情形二：设{an}ManM，则limann定理2（定理数列型：设anbncn，且limanlimcnA，则limbnA11

n2n2n2

n2n2

函数型：设f(xg(x)h(x，且limf(xlimh(xA，则limg(xA1、limsinx1 （1） （2）x0ln(1x)x2lim11xe

尤其sinxx（x0 ：{(11n单调增加收敛于en1（最大值最小值定理）f(xC[ab]fx在[ab上取到最小值和最大值。2（有界性定理）设f(xC[ab]，则fx)在[ab上有界。3（零点定理）f(xC[abf(af(b)0，则存在abf()0（1）f(xC[ab]，对任意的[mM]，存在[ab]，使得f()，即位于最小

f(xC[ab

f(a)

f(bf(a)

f(b，则对任意的[f(a),f(b存在[ab]f()f(xC[ab]f(，基本确定使用零点定理或介值定理，一般开区间用零1f(xC[0,1f(0)0,f(1)1，证明：存在c0,1f(c)1c2f(xC[ab]p0q0，存在[ab]pf(aqf(b)pqf(【例题3】设f(xC[ab]k1kn1，存在[ab]f()k1f(x1)knf(xn

xi[a,b]ki0(i1,2,n)

第二 一元函数微分学基本理1、导数—设y

f(xD上的函数，x0Dy

f(x0xf(x0，若极限limy存在，称yf(xxx处可导为yf(xxx处的导数，记为f(xx0 dy dxx（1）x0同时包括x0与x0若limyy

f(xx

f

limyx0

x0y

f(xxx0f(x0y

f(xxx0f(x0f(x0y

f(xxx0f

)

y

f(x0h)f(x0)

f(x)f(x0。0 x0

x

xy

f(xxx0y

f(xxx0、可微—设y

f(x)为定义于D上的函数，x0Dy

f(x0xf(x0，若yAxo(x，称y

f(xxx0dyAxdyAdxA

f(x0fxdf(x)f(x)dx（一）

a

1 (x)(x)x)1、(C)0 2、

)

，特别 122a3、(ax)axlna，特别地(ex)ex。4、a

x)

xln

，特别地(lnx)1x5（1）(sinx)cosx （2）(cosx)sinx（3）(tanx)sec2x （4）(cotx)csc2x（5）(sec （6）(csc（7）(sinx)(n)sinxn （8）(cosx)(n)cos(xn 1x1x6（1）(arcsinx) （2）(arccos1x1x（3）(arctanx)

1x

（4）(arccotx)

。1x（二）1、(uv)uv 2、(uv)uvuv3、(ku)ku 4、(u)uvuv v5、(uv)(n)C0u(n)vC1u(n1)vCnuv(n) （三）y

f(u)u(x)y

f[(xdydydu

f(u)(x)

f[(x)](x) duy

f(xf(x)0xyy

f(xdx(y)1

f

d2

(y)

d[(y)]

[df[

[df[

]/

f。

dy/

f3fxxa处连续，若

f(x)A，则f(a)0（一）sin2

xax

f(a)【例题1】设y xln(tan22xsecx)，求y2yxsinxy（二）x

d2y

f(x由y(t确定，其中,dxdx2xln(1 d21】设yarctantdxdx2（三）1】设exy3xy2xdy（四）1

0,sinf(x)1ln(),

f(x)2（五）

0f(0存在，求ab1f(x)exsinxf(nx2f(x)

x23x

f(nx一、预备知

第三讲中值定理及应1y

f(x)(xDx0D。若存在0，当0|xx0|时f(xf(x0xx0fx的极大点；若存在0，当0|xx0|时，f(x)f(x0xx0fxf(a)0，即

f(xf(a)0，由极限的保号性，存在0，当0|xa|x

f(xf(a)0xxaaf(x)

f(a)xaaf(x)

f(axafxf(a)0，即

f(xf(a)0，由极限的保号性，存在0，当0|xa|x

f(xf(a)0xxaaf(x)

f(axaaf(x)

f(axafx1fxxaf(a)0f(a2fxxaf(a)0。（1）（2）（3）f(a)f(b，则存在(abf()02（Lagrange中值定理）fx（1）f(xC[ab（2）fx在(ab则存在(abf()

f(b)f。bf(b)f(a)f(b)f(a)

f()(ba，其中(abf[a(ba)](ba，其中01ababf(x