线性代数第9讲课件

解线性方程组公式法行列式矩阵克拉默法则解的判定定理解的结构定理向量消元法第四章向量组的线性相关性上页下页返回引例首页结束铃§1向量组及其线性组合§2向量组的线性相关性§3向量组的秩§4线性方程组的解的结构§5向量空间§4.1向量组及其线性组合或aT(a1

a2

an)

向量

n个有次序的数a1

a2

an所组成的数组称为n维向量这n个数称为该向量的n个分量第i个数ai称为第i个分量

其中a称为列向量(即列矩阵)aT称为行向量(即行矩阵)由数组a1

a2

an所组成的n维向量可记为上页下页铃结束返回补充例题首页(2)分量全为实数的向量称为实向量分量为复数的向量称为复向量

或aT(a1

a2

an)

向量

n个有次序的数a1

a2

an所组成的数组称为n维向量这n个数称为该向量的n个分量第i个数ai称为第i个分量

由数组a1

a2

an所组成的n维向量可记为说明(3)规定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算

其中a称为列向量(即列矩阵)aT称为行向量(即行矩阵)下页向量

n个有次序的数a1

a2

an所组成的数组称为n维向量这n个数称为该向量的n个分量第i个数ai称为第i个分量

向量组若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组

向量举例

一个mn矩阵对应一个m维列向量组也对应一个n维行向量组下页

向量

n个有次序的数a1

a2

an所组成的数组称为n维向量这n个数称为该向量的n个分量第i个数ai称为第i个分量

向量组若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组

向量举例

一个mn矩阵对应一个m维列向量组也对应一个n维行向量组下页

向量

n个有次序的数a1

a2

an所组成的数组称为n维向量这n个数称为该向量的n个分量第i个数ai称为第i个分量

向量组若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组

向量举例

一个mn矩阵对应一个m维列向量组也对应一个n维行向量组下页今后由列向量组A

a1

a2

am所构成的矩阵简记为A或(a1

a2

am)定理1

向量b能由向量组A

a1

a2

am线性表示的充分必要条件是矩阵A(a1

a2

am)与矩阵B(a1

a2

am

b)的秩相等即R(A)R(B)

向量b能由向量组A

a1

a2

am线性表示线性方程组x1a1x2a2xmam=b有解R(A)=R(B)分析：

向量组的等价

若向量组B

b1

b2

bl中的每个向量都能由向量组A

a1

a2

am线性表示则称向量组B能由向量组A线性表示若向量组A与B能相互表示则称这两个向量组等价

下页问题:

如何判断向量组B能否由向量组A线性表示？等价？

反之若BAK则矩阵B的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示>>>向量组的等价

若向量组B

b1

b2

bl中的每个向量都能由向量组A

a1

a2

am线性表示则称向量组B能由向量组A线性表示若向量组B组能由向量组A线性表示则存在矩阵K(kij)使若向量组A与B能相互表示则称这两个向量组等价

下页即B=AK.

向量组的等价

若向量组B

b1

b2

bl中的每个向量都能由向量组A

a1

a2

am线性表示则称向量组B能由向量组A线性表示(1)列向量组B组能由列向量组A线性表示

存在矩阵K,使得B=AK.若向量组A与B能相互表示则称这两个向量组等价

下页(2)行向量组B组能由行向量组A线性表示

存在矩阵K,使得B=KA.(3)列向量组A组和列向量组B等价

存在矩阵S,T,使得A=BS,B=AT.(4)行向量组A组和行向量组B等价

存在矩阵S,T,使得A=SB,B=TA.

向量组的等价

若向量组B

b1

b2

bl中的每个向量都能由向量组A

a1

a2

am线性表示则称向量组B能由向量组A线性表示若向量组A与B能相互表示则称这两个向量组等价

定理2

向量组B

b1

b2

bl能由向量组A

a1

a2

am线性表示的充分必要条件是R(A)R(A

B)

下页分析:向量组B能由向量组A线性表示存在矩阵X,使得B=AX定理4

矩阵方程AXB有解的充分必要件是R(A)R(A

B)

回忆:

向量组的等价

若向量组B

b1

b2

bl中的每个向量都能由向量组A

a1

a2

am线性表示则称向量组B能由向量组A线性表示若向量组A与B能相互表示则称这两个向量组等价

定理2

向量组B

b1

b2

bl能由向量组A

a1

a2

am线性表示的充分必要条件是R(A)R(A

B)

下页分析:R(A)=R(A,B)向量组B能由向量组A线性表示存在矩阵X,使得B=AX

向量组的等价

若向量组B

b1

b2

bl中的每个向量都能由向量组A

a1

a2

am线性表示则称向量组B能由向量组A线性表示若向量组A与B能相互表示则称这两个向量组等价

定理2

向量组B

b1

b2

bl能由向量组A

a1

a2

am线性表示的充分必要条件是R(A)R(A

B)

推论向量组A

a1

a2

am与向量组B

b1

b2

bl等价的充分必要条件是R(A)R(B)R(A

B)

下页A能由B线性表示分析:R(B)R(A

B)B能由A线性表示R(A)R(A

B)R(A)=R(B)R(A

B)

若矩阵A与B行等价则这两个矩阵的行向量组等价

矩阵等价与向量组等价的关系向量组的等价

若向量组B

b1

b2

bl中的每个向量都能由向量组A

a1

a2

am线性表示则称向量组B能由向量组A线性表示若向量组A与B能相互表示则称这两个向量组等价

下页分析:A与B行向量组等价矩阵A与B行等价?可逆阵P,使得B=PA

B=PA,A=P-1B

B=SA,A=TB

思考1:为什么不等价？

若矩阵A与B行等价则这两个矩阵的行向量组等价

矩阵等价与向量组等价的关系向量组的等价

若向量组B

b1

b2

bl中的每个向量都能由向量组A

a1

a2

am线性表示则称向量组B能由向量组A线性表示若向量组A与B能相互表示则称这两个向量组等价

下页非齐次线性方程组有解或Axb

矩阵的秩R(A)R(A

b)向量的线性表示bx1a1x2a2xnan方程观点矩阵观点向量观点矩阵方程

AXB有解矩阵的秩R(A)R(A

B)向量组的线性表示B

b1

b2

bl能由A

a1

a2

am线性表示方程观点矩阵观点向量观点小结概念：向量，线性组合，线性表示，向量组，向量组的线性表示，向量组的等价.性质：定理1

b能由向量组A

a1

a2

am线性表示R(A)R(B)

定理2向量组B能由向量组A线性表示

R(A)R(A

B)

定理3

向量组B能由向量组A线性表示R(B)R(A)

推论向量组A与向量组B等价

R(A)R(B)R(A

B)

性质1向量组B能由向量组A线性表示存在矩阵K，使得BAK性质2向量组A与向量组B等价存在矩阵S,T使得ABS,B=AT§4.2向量组的线性相关性上页下页铃结束返回补充例题首页向量组的线性相关与线性无关给定向量组A

a1

a2

am

如果存在不全为零的数k1

k2

km

使k1a1k2a2

kmam0则称向量组A是线性相关的否则称它线性无关

给定向量组A

a1

a2

am

如果不存在不全为零的数k1

k2

km

使

k1a1k2a2

kmam0.则称向量组A是线性无关的.

§4.2向量组的线性相关性上页下页铃结束返回补充例题首页向量组的线性相关与线性无关给定向量组A

a1

a2

am

如果存在不全为零的数k1

k2

km

使k1a1k2a2

kmam0则称向量组A是线性相关的否则称它线性无关

换言之,

给定向量组A

a1

a2

am

若

k1a1k2a2

kmam0,

必有k1=k2==

km=0,则称向量组A是线性无关的.

向量组的线性相关与线性无关给定向量组A

a1

a2

am

如果存在不全为零的数k1

k2

km

使k1a1k2a2

kmam0则称向量组A是线性相关的否则称它线性无关

向量组A

a1

a2

am(m2)线性相关向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示这是因为

:如果向量组A线性相关则有k1a1k2a2

kmam0其中k1

k2

km不全为0不妨设k10于是

a1(1/k1)(k2a2

kmam)即a1能由a2

am线性表示

下页

向量组的线性相关与线性无关给定向量组A

a1

a2

am

如果存在不全为零的数k1

k2

km

使k1a1k2a2

kmam0则称向量组A是线性相关的否则称它线性无关

向量组A

a1

a2

am(m2)线性相关向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示这是因为

:如果向量组A中有某个向量(不妨设am)能由其余m1个向量线性表示即有1

2

m1使am1a12a2

m1am1于是1a12a2

m1am1(1)am0因为1

2

m1

1不全为0所以向量组A线性相关

下页

向量组的线性相关与线性无关给定向量组A

a1

a2

am

如果存在不全为零的数k1

k2

km

使k1a1k2a2

kmam0则称向量组A是线性相关的否则称它线性无关

下页问题:

如何判断向量组A是否线性表相关？

向量组的线性相关与线性无关给定向量组A

a1

a2

am

如果存在不全为零的数k1

k2

km

使k1a1k2a2

kmam0则称向量组A是线性相关的否则称它线性无关

定理1

向量组A:a1

a2

am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A(a1

a2

am)的秩小于向量个数m

向量组线性无关的充分必要条件是R(A)m

这是因为

向量组A

a1

a2

am线性相关

x1a1x2a2

xmam0即Ax0有非零解R(A)m

下页（i)(定义)若k1a1k2a2

kmam0,必有k1=k2==

km=0；给定向量组A

a1

a2

am线性无关的等价条件：（ii)(方程组)Ax0仅有零解；（iii)(矩阵)R(A)=m.给定向量组A

a1

a2

am线性相关的等价条件：（i)(定义)存在不全为零的k1,k2,km使得k1a1k2a2

kmam0（ii)(方程组)Ax0有非零解；（iii)(矩阵)R(A)<m.矩阵的秩R(A)<n向量的线性相关性a1,a2,an线性相关齐次线性方程组有非零解或Ax0

方程观点矩阵观点向量观点矩阵的秩R(A)=n向量的线性相关性a1,a2,an线性无关齐次线性方程组仅有零解或Ax0

方程观点矩阵观点向量观点三个角度各有长短，取长补短，灵活运用，举一反三,挥洒自如,游刃有余。庖丁解牛《庄子·养生主》

庖丁为文惠君解牛。手之所触，肩之所倚，足之所履，膝之所踦，砉然向然，奏刀騞然，莫不中音：合于《桑林》之舞，乃中《经首》之会。

文惠君曰：“嘻，善哉！技盖至此乎？”

庖丁释刀对曰：“臣之所好者，道也；进乎技矣。始臣之解牛之时，所见无非牛者；三年之后，未尝见全牛也。方今之时，臣以神遇而不以目视，官知止而神欲行。依乎天理，批大郤，导大窾，因其固然，技经肯綮之未尝，而况大？乎！良庖岁更刀，割也；族庖月更刀，折也。今臣之刀十九年矣，所解数千牛矣，而刀刃若新发于硎。彼节者有间，而刀刃者无厚；以无厚入有间，恢恢乎其于游刃必有余地矣！是以十九年而刀刃若新发于硎。虽然，每至于族，吾见其难为，怵然为戒，视为止，行为迟。动刀甚微，？然已解，如土委地。提刀而立，为之四顾，为之踌躇满志；善刀而藏之。”

文惠君曰：“善哉！吾闻庖丁之言，得养生焉。”

学习线性代数不仅是会做题目，更重要的学习线性代数提供的思想和方法，用这些方法指导你做事。过十年，二十年后，也许题目你忘记怎么做了，但你学习到的思想和方法在你头脑中根深蒂固，为你提供强大的思想武器，使你终生受益。

注意：这些思想方法不通过勤奋学习，苦思冥想是不可能变为己有的。设有x1

x2

x3使

x1b1x2b2x3b30即x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)0亦即(x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a30

因为a1

a2

a3线性无关故有

例1已知向量组a1

a2

a3线性无关

b1a1a2

b2a2a3b3a3a1试证向量组b1

b2

b3线性无关

证法一（定义）

由于此方程组的系数行列式故方程组只有零解x1x2x30

所以向量组b1

b2

b3线性无关下页把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式

例1已知向量组a1

a2

a3线性无关

b1a1a2

b2a2a3b3a3a1试证向量组b1

b2

b3线性无关

证法二（线性方程组）

因为矩阵A的列向量组线性无关所以可推知Kx0

又因|K|20知方程Kx0只有零解x0

所以矩阵B的列向量组b1

b2

b3线性无关

记作BAK设Bx0以BAK代入得A(Kx)0下页

例1已知向量组a1

a2

a3线性无关

b1a1a2

b2a2a3b3a3a1试证向量组b1

b2

b3线性无关

证法三（矩阵的秩）因为A的列向量组线性无关所以R(A)3从而R(B)3

因此b1

b2

b3线性无关因为|K|20知K可逆所以R(B)R(A)

把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式记作BAK下页例2设向量组B：b1,b2,…,br能由向量组A：a1,a2,…as线性表示为（b1,…,br)=(a1,..,as)K,其中K为sr矩阵，且A线性无关.证明B组线性无关的充要条件是K的秩R(K)＝r.

证明

向量组B线性无关设Bx0

A(Kx)0把(b1,…,br)=(a1,..,as)K记作BAK充分性：A线性无关Kx0R(K)＝rx0例2设向量组B：b1,b2,…,br能由向量组A：a1,a2,…as线性表示为（b1,…,br)=(a1,..,as)K,其中K为sr矩阵，且A线性无关.证明B组线性无关的充要条件是K的秩R(K)＝r.

证明

BAK

R(K)R(B)

把b1,…,br)=(a1,..,as)K记作BAK必要性：B线性无关rR(K)R(K)＝r

R(B)=r

R(K)r

定理2(1)若向量组A

a1

a2

am线性相关则向量组B

a1

a2

am

am1也线性相关反之若向量组B线性无关则向量组A也线性无关

这是因为记A(a1

a2

am)

B(a1

a2

am

am1)有R(B)R(A)1

若向量组A线性相关则有R(A)m从而R(B)R(A)1m1

因此向量组B线性相关

下页

定理2(1)若向量组A

a1

a2

am线性相关则向量组B

a1

a2

am

am1也线性相关反之若向量组B线性无关则向量组A也线性无关

这个结论可一般地叙述为一个向量组若有线性相关的部分组则该向量组线性相关一个向量组若线性无关则它的任何部分组都线性无关

特别地含零向量的向量组必线性相关下页

定理2(1)若向量组A

a1

a2

am线性相关则向量组B

a1

a2

am

am1也线性相关反之若向量组B线性无关则向量组A也线性无关

(2)m个n维向量组成的向量组当维数n小于向量个数m时一定线性相关特别地

n1个n维向量一定线性相关

这是因为

m个n维向量a1

a2

am构成矩阵Anm(a1

a2

am)

有R(A)n

若nm则R(A)nm

故m个向量a1

a2

am线性相关下页

定理2(1)若向量组A

a1

a2

am线性相关则向量组B

a1

a2

am

am1也线性相关反之若向量组B线性无关则向量组A也线性无关

(2)m个n维向量组成的向量组当维数n小于向量个数m时一定线性相关特别地

n1个n维向量一定线性相关

(3)设向量组A

a1

a2

am线性无关而向量组B

a1

a2

am

b线性相关则向量b必能由向量组A线性表示且表示式是唯一的

这是因为记A(a1

a2

am)

B(a1

a2

am

b)有即向量b能由向量组A线性表示且表示式唯一有唯一解(a1

a2

am)xb因此方程组即有R(B)R(A)mmR(A)R(B)m1下页

例3设向量组a1

a2a3线性相关向量组a2a3a4线性无关证明(1)a1能由a2a3线性表示

(2)a4不能由a1

a2a3线性表示

a2a3a4线性无关

证：

a1

a2a3