线性代数复习课新课件

第一章复习矩阵及其运算(加法，数乘，乘法，幂，转置)特殊矩阵零矩阵，单位矩阵，对角矩阵，三角矩阵，对称矩阵，行矩阵(向量),列矩阵(向量)矩阵乘法运算的可行性A的列数=B的行数!矩阵乘法一般不成立交换律，消去律AB=BABA=CAB=C

一般情况下:AB=OA=O或B=O

行列式的计算二、三阶行列式的对角线法则矩阵的余子式和代数余子式行列式的按行或按列展开计算（Laplace展开定理）利用行列式的性质计算一般结合3,4，先利用行列式的性质化零，再按照零元素多的行或列展开计算矩阵的初等变换利用初等行变换将矩阵化为阶梯矩阵利用初等行变换将矩阵化为行标准形利用初等行变换求矩阵的秩克拉默法则的系数行列式

则方程组①有唯一解:若线性方程组齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式

第二章复习线性方程组有解判定条件n元线性方程组为增广矩阵)①无解②有唯一解③有无穷多解齐次线性方程组有非零解的充要条件是求解线性方程组的一般步骤：1.对给定的线性方程组，写出它的增广矩阵，利用初等行变换，将其化为阶梯矩阵或行标准形矩阵；2.根据增广矩阵和系数矩阵的秩以及线性方程组的可解条件，分析给定的线性方程解的情况；3.当线性方程组有唯一解时，直接写出其解；当线性方程组有无穷多个解时，由行标准形矩阵还原成方程组，再确定自由变量，写出其通解。向量与向量组向量经向量组线性表出向量组的线性相关性其中存在一个向量可经其余向量线性表出存在向量组的非零线性组合使之等于零向量组的线性无关性（不是线性相关的）若向量组的线性组合等于零，则组合系数全为零向量组的线性相关性判别方法方法1:对矩阵

作初等行变换

小于s时,线性相关等于s时,线性无关方法2:当向量维数n=向量个数n时,利用行列式

=0,线性相关0,线性无关及其它向量用该最大无关组的线性表出式的方法：的一个最大线性无关组，求一般向量组第一步：对矩阵施行初等行变换化为行标准形矩阵则该向量组线性无关，的一个最大无关组.零元所在列对应的矩阵的相应列构成的向量组为向量组第二步：令矩阵的非零行数,如果第四步:位于其它各列的向量由最大无关组线性表出的组合系数即为行标准形矩阵对应列的相应分量.则它的一个最大无关组就是它本身.矩阵第三步：当的每一个非零行的第一个非齐次线性方程组基础解系本身由解向量组成，且线性无关任何解均可由其线性表出求基础解系和齐次方程组通解的步骤：先将系数矩阵经过行初等变换化为行标准型；非零行中第一个非零元所在列的未知元（r个）留下，其余未知元作为自由变量（n－r个）；分别令自由变量中某一个取1，其余全取零，得到

n－r个解向量。这些解向量即构成一个基础解系；通解即为基础解系中向量的线性组合。非齐次线性方程组解的结构的通解为齐次方程通解非齐次方程特解非齐次线性方程组的求解过程求齐次线性方程组的一个基础解系（可得通解）求非齐次线性方程组的一个特解（如令自由变量全为零）第三章复习二次型二次型的表示法(A为对称矩阵)二次型的矩阵对称矩阵A

二次型的秩矩阵A的秩二次型的标准形(Λ为对角矩阵)可逆的线性变换(C为可逆的矩阵)二次型经可逆的线性变换化为则(合同关系)特征值与特征向量的性质

k为kA的特征值m

为Am

的特征值

A可逆时,

矩阵的不同特征值对应的特征向量线性无关

向量的内积向量间的长度（大小或模）单位向量非零向量间的夹角满足关系向量α,β正交的充要条件是设线性无关向量组：第一步.正交化:第二步.规范化:

正交矩阵

AA的列向量为正交规范向量组A的行向量为正交规范向量组

正交矩阵

A可逆

正交变换x=PyP为正交矩阵

正交变换x=Py

保持长度不变二次型化成标准形的方法配方法正交变换法配方法化二次型为标准形的步骤（以3元二次型为例）首先：将含有x1的项和在一起，进行配方

其次：将剩余的项中含有x2的项和在一起，进行配方然后：由于剩下的项仅含有x3的平方项，二次型已经化成了标准形，写出相应的可逆的线性变换注意：若果二次型只有交叉项，则需先进行一次可逆线性变换，使之变换之后含有平方项正交变换法化二次型为标准形的步骤（以3元二次型为例）写出二次型的矩阵A（对称）求出矩阵A的特征值（构成标准形的矩阵的对角元）对于每个特征值，求出特征向量满足的齐次方程组的基础解系并将其正交化、单位化写出正交变换矩阵P（其列由上述正交规范的特征向量组成）写出正交变换和二次型的标准形正定矩阵二次型的标准形满足等价条件：

二次型的正惯性指数等于n；

A的所有特征值都