【精品】2018北师大版高中数学选修1-1学案：第一章-2.3-充要条件

【精品】2018北师大版高中数学选修1-1学案：第一章-2.3-充要条件【精品】2018北师大版高中数学选修1-1学案：第一章-2.3-充要条件【精品】2018北师大版高中数学选修1-1学案：第一章-2.3-充要条件资料仅供参考文件编号：2022年4月【精品】2018北师大版高中数学选修1-1学案：第一章-2.3-充要条件版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：2.3充要条件学习目标1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断．知识点一充要条件的概念思考1命题“若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数”中条件和结论有什么关系它的逆命题成立吗

思考2若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？梳理一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作______．此时，我们说，p是q的____________，简称____________________________________________________．知识点二充要条件的判断1．由原命题与逆命题的真假情况判断充分条件、必要条件和充要条件若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则p”，那么p与q有以下四种情形：原命题逆命题条件p与结论q的关系结论真假p是q成立的充分不必要条件假真p是q成立的必要不充分条件真真p是q成立的充要条件假假p是q成立的既不充分又不必要条件由上表可得充要条件的判断方法：原命题和逆命题均为真命题，p才是q的充要条件．2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．类型一充要条件的判断例1下列各题中，p是q的什么条件(

指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件)

(1)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝eq\r(x－1)；(4)p：sinα>sinβ，q：α>β.反思与感悟充要条件的常用判断方法(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分又不必要条件．(2)集合法：若p与q确定的集合分别是A，B，则当且仅当A＝B时，p是q的充要条件．跟踪训练1(1)“x＞1”是“logeq\f(1,2)(x＋2)＜0”的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件(2)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件类型二充要条件的探求与证明命题角度1探求充要条件例2求关于x的一元二次不等式ax2－ax＋1－a>0对于一切实数x都成立的充要条件．反思与感悟探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．跟踪训练2设a、b、c为△ABC的三边，求方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件．命题角度2充要条件的证明例3求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.反思与感悟一般地，证明“p成立的充要条件为q”，在证充分性时，应以q为“已知条件”，p是要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时，则是以p为“已知条件”，q是要证明的“结论”，即p⇒q.跟踪训练3求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.类型三充分条件与必要条件的应用例4已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．反思与感悟首先应把p与q之间的关系转化为p，q确定的集合之间的包含关系，然后，构建满足条件的不等式(组)求解．同时要注意命题的等价性的应用．跟踪训练4已知p：x≥k，q：eq\f(3,x＋1)<1，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是()A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]1．“x2>2017”是“x2>2016”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．“a>b”是“a>|b|”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件3．已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论中正确的是()①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充分条件；②Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的必要条件；③Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；④Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件．A．③B．①②C．①②③D．①②③④4．直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是________________．5．已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．1．充要条件的判断有三种方法：定义法、命题等价法、集合法．2．充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明是分充分性和必要性两方面来证明的，在证明时要注意两种叙述方式的区别：①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．

答案精析问题导学知识点一思考1只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立．思考2因为p⇒q且q⇒p，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件．梳理p⇔q充分必要条件充要条件知识点二1．p⇒q，但q⇒/pq⇒p，但p⇒/qp⇒q，q⇒p，即p⇔qp⇒/q，q⇒/p题型探究例1解(1)∵四边形的对角线互相平分⇒/四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0D⇒/a2＋b2＝0，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝eq\r(x－1)成立，反过来，当x－1＝eq\r(x－1)成立时，可以推出x＝1或x＝2，∴p是q的充要条件．(4)由sinα>sinβ不能推出α>β，反过来由α>β也不能推出sinα>sinβ，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．则p是q的既不充分又不必要条件．跟踪训练1(1)B[由x＞1⇒x＋2＞3⇒＜0，＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，故“x＞1”是“＜0”成立的充分不必要条件．故选B.](2)C[当x＝1，y＝－2时，x>y，但x>|y|不成立；因为|y|≥y，所以若x>|y|，则x>y.所以x>y是x>|y|的必要不充分条件．]例2解充分性：当0<a<eq\f(4,5)时，判别式Δ＝a2－4a(1－a)＝5a2－4a＝a(5a－4)<0，则ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．而当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0化为1>0.显然当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．必要性：因为ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立，所以a＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝a2－4a1－a<0，))解得0≤a<eq\f(4,5).故0≤a<eq\f(4,5)是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．跟踪训练2解先由题意求出条件：设α是两方程的公共根，显然α≠0，则α2＋2aα＋b2＝0，①α2＋2cα－b2＝0，②①＋②，得2α2＋2α(a＋c)＝0，∴α＝－(a＋c)．代入①，得(a＋c)2－2a(a＋c)＋b2＝0，即a2＝b2＋c2，以上求条件的过程就是必要性的证明过程．再证明充分性：∵a2＝b2＋c2，∴方程x2＋2ax＋b2＝0，可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，它的解为x1＝－(a＋c)，x2＝c－a.同理方程x2＋2cx－b2＝0可化为x2＋2cx－a2＋c2＝0，它的解为x3＝－(a＋c)，x4＝a－c.∵x1＝x3，∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根．综上所述，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是a2＝b2＋c2.例3证明充分性：∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，∴方程一定有两个不等实根，设两实根为x1，x2，则x1x2＝eq\f(c,a)<0，∴方程的两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设两实根为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝eq\f(c,a)<0，且Δ＝b2－4ac>0，即ac<0.综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.跟踪训练3证明①充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx，因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．②必要性：因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，所以b＝0.综上，一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.例4解由3x＋m<0得，x<－eq\f(m,3).∴p：A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－\f(m,3))).由x2－2x－3>0得，x<－1或x>3.∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．∵p⇒q而q⇒/p，∴A是B的真子集，∴－eq\f(m,3)≤－1，∴m≥3，即m的取值范围是[3