电磁场和电磁波第四版课后答案及解析

.78/78共138页电磁场与电磁波〔第四版课后答案第一章习题解答1.1给定三个矢量、和如下：求：〔1；〔2；〔3；〔4；〔5在上的分量；〔6；〔7和；〔8和。解〔1〔2〔3－11〔4由,得〔5在上的分量〔6〔7由于所以〔81.2三角形的三个顶点为、和。〔1判断是否为一直角三角形；〔2求三角形的面积。解〔1三个顶点、和的位置矢量分别为,,则,,由此可见故为一直角三角形。〔2三角形的面积1.3求点到点的距离矢量及的方向。解,,则且与、、轴的夹角分别为1.4给定两矢量和,求它们之间的夹角和在上的分量。解与之间的夹角为在上的分量为1.5给定两矢量和,求在上的分量。解所以在上的分量为1.6证明：如果和,则；解由,则有,即由于,于是得到故1.7如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积,那么便可以确定该未知矢量。设为一已知矢量,而,和已知,试求。解由,有故得1.8在圆柱坐标中,一点的位置由定出,求该点在：〔1直角坐标中的坐标；〔2球坐标中的坐标。解〔1在直角坐标系中、、故该点的直角坐标为。〔2在球坐标系中、、故该点的球坐标为1.9用球坐标表示的场,〔1求在直角坐标中点处的和；〔2求在直角坐标中点处与矢量构成的夹角。解〔1在直角坐标中点处,,故〔2在直角坐标中点处,,所以故与构成的夹角为1.10球坐标中两个点和定出两个位置矢量和。证明和间夹角的余弦为解由得到1.11一球面的半径为,球心在原点上,计算：的值。解1.12在由、和围成的圆柱形区域,对矢量验证散度定理。解在圆柱坐标系中所以又故有1.13求〔1矢量的散度；〔2求对中心在原点的一个单位立方体的积分；〔3求对此立方体表面的积分,验证散度定理。解〔1〔2对中心在原点的一个单位立方体的积分为〔3对此立方体表面的积分故有1.14计算矢量对一个球心在原点、半径为的球表面的积分,并求对球体积的积分。解又在球坐标系中,,所以1.15求矢量沿平面上的一个边长为的正方形回路的线积分,此正方形的两边分别与轴和轴相重合。再求对此回路所包围的曲面积分,验证斯托克斯定理。解又所以故有1.16求矢量沿圆周的线积分,再计算对此圆面积的积分。解1.17证明：〔1；〔2；〔3。其中,为一常矢量。解〔1〔2〔3设,则,故1.18一径向矢量场表示,如果,那么函数会有什么特点呢？解在圆柱坐标系中,由可得到为任意常数。在球坐标系中,由可得到1.19给定矢量函数,试求从点到点的线积分：〔1沿抛物线；〔2沿连接该两点的直线。这个是保守场吗？解〔1〔2连接点到点直线方程为即故由此可见积分与路径无关,故是保守场。1.20求标量函数的梯度及在一个指定方向的方向导数,此方向由单位矢量定出；求点的方向导数值。解题1.21图故沿方向题1.21图点处沿的方向导数值为1.21试采用与推导直角坐标中相似的方法推导圆柱坐标下的公式。解在圆柱坐标中,取小体积元如题1.21图所示。矢量场沿方向穿出该六面体的表面的通量为同理因此,矢量场穿出该六面体的表面的通量为故得到圆柱坐标下的散度表达式1.22方程给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。解由于故椭球表面上任意点的单位法向矢量为1.23现有三个矢量、、为〔1哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？〔2求出这些矢量的源分布。解〔1在球坐标系中故矢量既可以由一个标量函数的梯度表示,也可以由一个矢量函数的旋度表示；在圆柱坐标系中故矢量可以由一个标量函数的梯度表示；直角在坐标系中故矢量可以由一个矢量函数的旋度表示。〔2这些矢量的源分布为,；,；,1.24利用直角坐标,证明解在直角坐标中1.25证明解根据算子的微分运算性质,有式中表示只对矢量作微分运算,表示只对矢量作微分运算。由,可得同理故有1.26利用直角坐标,证明解在直角坐标中所以1.27利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明及,试证明之。解〔1对于任意闭合曲线为边界的任意曲面,由斯托克斯定理有题1.27题1.27图由于曲面是任意的,故有〔2对于任意闭合曲面为边界的体积,由散度定理有其中和如题1.27图所示。由斯托克斯定理,有,由题1.27图可知和是方向相反的同一回路,则有所以得到由于体积是任意的,故有第二章习题解答2.1一个平行板真空二极管内的电荷体密度为,式中阴极板位于,阳极板位于,极间电压为。如果、、横截面,求：〔1和区域内的总电荷量；〔2和区域内的总电荷量。解〔1〔22.2一个体密度为的质子束,通过的电压加速后形成等速的质子束,质子束内的电荷均匀分布,束直径为,束外没有电荷分布,试求电流密度和电流。解质子的质量、电量。由得故2.3一个半径为的球体内均匀分布总电荷量为的电荷,球体以匀角速度绕一个直径旋转,求球内的电流密度。解以球心为坐标原点,转轴〔一直径为轴。设球内任一点的位置矢量为,且与轴的夹角为,则点的线速度为球内的电荷体密度为故2.4一个半径为的导体球带总电荷量为,同样以匀角速度绕一个直径旋转,求球表面的面电流密度。解以球心为坐标原点,转轴〔一直径为轴。设球面上任一点的位置矢量为,且与轴的夹角为,则点的线速度为球面的上电荷面密度为故2.5两点电荷位于轴上处,位于轴上处,求处的电场强度。解电荷在处产生的电场为电荷在处产生的电场为故处的电场为2.6一个半圆环上均匀分布线电荷,求垂直于圆平面的轴线上处的电场强度,设半圆环的半径也为,如题2.6图所示。解半圆环上的电荷元在轴线上处的电场强度为题题2.6图在半圆环上对上式积分,得到轴线上处的电场强度为2.7三根长度均为,均匀带电荷密度分别为、和地线电荷构成等边三角形。设,计算三角形中心处的电场强度。解建立题2.7图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为题2题2.7图则故等边三角形中心处的电场强度为2.8－点电荷位于处,另－点电荷位于处,空间有没有电场强度的点？解电荷在处产生的电场为电荷在处产生的电场为处的电场则为。令,则有由上式两端对应分量相等,可得到①②③当或时,将式②或式③代入式①,得。所以,当或时无解；当且时,由式①,有解得但不合题意,故仅在处电场强度。2．9一个很薄的无限大导电带电面,电荷面密度为。证明：垂直于平面的轴上处的电场强度中,有一半是有平面上半径为的圆内的电荷产生的。解半径为、电荷线密度为的带电细圆环在轴上处的电场强度为题2.10图故整个导电带电面在轴上题2.10图而半径为的圆内的电荷产生在轴上处的电场强度为2.10一个半径为的导体球带电荷量为,当球体以均匀角速度绕一个直径旋转,如题2.10图所示。求球心处的磁感应强度。解球面上的电荷面密度为当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时,球面上位置矢量点处的电流面密度为将球面划分为无数个宽度为的细圆环,则球面上任一个宽度为细圆环的电流为细圆环的半径为,圆环平面到球心的距离,利用电流圆环的轴线上的磁场公式,则该细圆环电流在球心处产生的磁场为故整个球面电流在球心处产生的磁场为2.11两个半径为、同轴的相同线圈,各有匝,相互隔开距离为,如题2.11图所示。电流以相同的方向流过这两个线圈。〔1求这两个线圈中心点处的磁感应强度；〔2证明：在中点处等于零；〔3求出与之间的关系,使中点处也等于零。解〔1由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度得到两个线圈中心点处的磁感应强度为〔2两线圈的电流在其轴线上处的磁感应强度为题题2.11图所以故在中点处,有〔3令,有即故解得题2.12图2.12一条扁平的直导体带,宽为,中心线与轴重合,通过的电流为。证明在第一象限内的磁感应强度为,式中、和如题2.12图所示。题2.12图解将导体带划分为无数个宽度为的细条带,每一细条带的电流。由安培环路定理,可得位于处的细条带的电流在点处的磁场为则所以2.13如题2.13图所示,有一个电矩为的电偶极子,位于坐标原点上,另一个电矩为的电偶极子,位于矢径为的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为题2.13图式中,,是两个平面和间的夹角。并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大？题2.13图解电偶极子在矢径为的点上产生的电场为所以与之间的相互作用能为因为,,则又因为是两个平面和间的夹角,所以有另一方面,利用矢量恒等式可得因此于是得到<>故两偶极子之间的相互作用力为<><>由上式可见,当时,即两个偶极子共线时,相互作用力值最大。2.14两平行无限长直线电流和,相距为,求每根导线单位长度受到的安培力。解无限长直线电流产生的磁场为直线电流每单位长度受到的安培力为式中是由电流指向电流的单位矢量。同理可得,直线电流每单位长度受到的安培力为2.15一根通电流的无限长直导线和一个通电流的圆环在同一平面上,圆心与导线的距离为,如题2.15图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为题2.15图题2.15图解无限长直线电流产生的磁场为圆环上的电流元受到的安培力为由题2.15图可知所以2.16证明在不均匀的电场中,某一电偶极子绕坐标原点所受到的力矩为。解如题2.16图所示,设,则电偶极子绕坐标原点所受到的力矩为题2.16图当题2.16图故得到第三章习题解答3.1真空中半径为的一个球面,球的两极点处分别设置点电荷和,试计算球赤道平面上电通密度的通量<如题3.1图所示>。赤道平面题3.1图解由点电荷和赤道平面题3.1图则球赤道平面上电通密度的通量3.21911年卢瑟福在实验中使用的是半径为的球体原子模型,其球体内均匀分布有总电荷量为的电子云,在球心有一正电荷〔是原子序数,是质子电荷量,通过实验得到球体内的电通量密度表达式为,试证明之。解位于球心的正电荷球体内产生的电通量密度为原子内电子云的电荷体密度为题3.3题3.3图电子云在原子内产生的电通量密度则为故原子内总的电通量密度为3.3电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中,体密度为,两圆柱面半径分别为和,轴线相距为,如题3.3图所示。求空间各部分的电场。解由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布,不能直接用高斯定律求解。但可把半径为的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为的两种电荷分布,这样在半径为的整个圆柱体内具有体密度为的均匀电荷分布,而在半径为的整个圆柱体内则具有体密度为的均匀电荷分布,如题3.3图所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。在区域中,由高斯定律,可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点产生的电场分别为题3.3图＝＋题3.3图＝＋在且区域中,同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点产生的电场分别为点处总的电场为在的空腔区域中,大、小圆柱中的正、负电荷在点产生的电场分别为点处总的电场为3.4半径为的球中充满密度的体电荷,已知电位移分布为其中为常数,试求电荷密度。解：由,有故在区域在区域3.5一个半径为薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜,球内充满总电荷量为为的体电荷,球壳上又另充有电荷量。已知球内部的电场为,设球内介质为真空。计算：〔1球内的电荷分布；〔2球壳外表面的电荷面密度。解〔1由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为〔2球体内的总电量为球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷,而且在球壳外表面上还要感应电荷,所以球壳外表面上的总电荷为2,故球壳外表面上的电荷面密度为3.6两个无限长的同轴圆柱半径分别为和,圆柱表面分别带有密度为和的面电荷。〔1计算各处的电位移；〔2欲使区域内,则和应具有什么关系？解〔1由高斯定理,当时,有当时,有,则当时,有,则〔2令,则得到3.7计算在电场强度的电场中把带电量为的点电荷从点移到点时电场所做的功：〔1沿曲线；〔2沿连接该两点的直线。解〔1〔2连接点到点直线方程为即故3.8长度为的细导线带有均匀电荷,其电荷线密度为。〔1计算线电荷平分面上任意点的电位；〔2利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场,并用核对。解〔1建立如题3.8图所示坐标系。根据电位的积分表达式,线电荷平分面上任意点的电位为题3.8题3.8图〔2根据对称性,可得两个对称线电荷元在点的电场为故长为的线电荷在点的电场为由求,有3.9已知无限长均匀线电荷的电场,试用定义式求其电位函数。其中为电位参考点。解由于是无限长的线电荷,不能将选为无穷远点。3.10一点电荷位于,另一点电荷位于,求空间的零电位面。解两个点电荷和在空间产生的电位令,则有即故得由此可见,零电位面是一个以点为球心、为半径的球面。3.11证明习题3.2的电位表达式为解位于球心的正电荷在原子外产生的电通量密度为电子云在原子外产生的电通量密度则为所以原子外的电场为零。故原子内电位为3.12电场中有一半径为的圆柱体,已知柱内外的电位函数分别为〔1求圆柱内、外的电场强度；〔2这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。解〔1由,可得到时,时,〔2该圆柱体为等位体,所以是由导体制成的,其表面有电荷分布,电荷面密度为3.13验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足〔1其中；〔2圆柱坐标；〔3圆柱坐标；〔4球坐标；〔5球坐标。解〔1在直角坐标系中而故〔2在圆柱坐标系中而故〔3故〔4在球坐标系中而故〔5故3.14已知的空间中没有电荷,下列几个函数中哪些是可能的电位的解?〔1；〔2；〔3〔4。解〔1所以函数不是空间中的电位的解；〔2所以函数是空间中可能的电位的解；〔3所以函数不是空间中的电位的解；〔4所以函数不是空间中的电位的解。3.15中心位于原点,边长为的电介质立方体的极化强度矢量为。〔1计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；〔2证明总的束缚电荷为零。解〔1同理〔23.16一半径为的介质球,介电常数为,其内均匀分布自由电荷,证明中心点的电位为解由,可得到时,即,时,即,故中心点的电位为3.17一个半径为的介质球,介电常数为,球内的极化强度,其中为一常数。〔1计算束缚电荷体密度和面密度；〔2计算自由电荷密度；〔3计算球内、外的电场和电位分布。解〔1介质球内的束缚电荷体密度为在的球面上,束缚电荷面密度为〔2由于,所以即由此可得到介质球内的自由电荷体密度为总的自由电荷量〔3介质球内、外的电场强度分别为介质球内、外的电位分别为3.18〔1证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度；〔2导出束缚电荷密度的表达式。解〔1由,得束缚电荷体密度为在介质内没有自由电荷密度时,,则有由于,有所以由此可见,当电介质不均匀时,可能不为零,故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷体密度。〔2束缚电荷密度的表达式为3.19两种电介质的相对介电常数分别为=2和=3,其分界面为=0平面。如果已知介质1中的电场的那么对于介质2中的和,我们可得到什么结果？能否求出介质2中任意点的和？解设在介质2中在处,由和,可得于是得到故得到介质2中的和在处的表达式分别为不能求出介质2中任意点的和。由于是非均匀场,介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。3.20电场中一半径为、介电常数为的介质球,已知球内、外的电位函数分别为验证球表面的边界条件,并计算球表面的束缚电荷密度。解在球表面上故有,可见和满足球表面上的边界条件。球表面的束缚电荷密度为3.21平行板电容器的长、宽分别为和,极板间距离为。电容器的一半厚度<>用介电常数为的电介质填充,如题3.21图所示。<1>板上外加电压,求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；<2>若已知板上的自由电荷总量为,求此时极板间电压和束缚电荷；<3>求电容器的电容量。解〔1设介质中的电场为,空气中的电场为。由,有题题3.21图又由于由以上两式解得,故下极板的自由电荷面密度为上极板的自由电荷面密度为电介质中的极化强度故下表面上的束缚电荷面密度为上表面上的束缚电荷面密度为题3.22图〔题3.22图得到故〔3电容器的电容为3.22厚度为、介电常数为的无限大介质板,放置于均匀电场中,板与成角,如题3.22图所示。求：〔1使的值；〔2介质板两表面的极化电荷密度。解〔1根据静电场的边界条件,在介质板的表面上有由此得到〔2设介质板中的电场为,根据分界面上的边界条件,有,即所以介质板左表面的束缚电荷面密度介质板右表面的束缚电荷面密度3.23在介电常数为的无限大均匀介质中,开有如下的空腔,求各腔中的和：〔1平行于的针形空腔；〔2底面垂直于的薄盘形空腔；〔3小球形空腔〔见第四章4.14题。解〔1对于平行于的针形空腔,根据边界条件,在空腔的侧面上,有。故在针形空腔中,〔2对于底面垂直于的薄盘形空腔,根据边界条件,在空腔的底面上,有。故在薄盘形空腔中,3.24在面积为的平行板电容器内填充介电常数作线性变化的介质,从一极板处的一直变化到另一极板处的,试求电容量。解由题意可知,介质的介电常数为设平行板电容器的极板上带电量分别为,由高斯定理可得所以,两极板的电位差故电容量为3.25一体密度为的质子束,束内的电荷均匀分布,束直径为,束外没有电荷分布,试计算质子束内部和外部的径向电场强度。解在质子束内部,由高斯定理可得故在质子束外部,有故3.26考虑一块电导率不为零的电介质,设其介质特性和导电特性都是不均匀的。证明当介质中有恒定电流时,体积内将出现自由电荷,体密度为。试问有没有束缚体电荷？若有则进一步求出。解对于恒定电流,有,故得到介质中有束缚体电荷,且3.27填充有两层介质的同轴电缆,内导体半径为,外导体内半径为,介质的分界面半径为。两层介质的介电常数为和,电导率为和。设内导体的电压为,外导体接地。求：〔1两导体之间的电流密度和电场强度分布；〔2介质分界面上的自由电荷面密度；〔3同轴线单位长度的电容及漏电阻。解〔1设同轴电缆中单位长度的径向电流为,则由,可得电流密度介质中的电场由于于是得到故两种介质中的电流密度和电场强度分别为〔2由可得,介质1内表面的电荷面密度为介质2外表面的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为〔3同轴线单位长度的漏电阻为由静电比拟,可得同轴线单位长度的电容为3.28半径为和的两个同心的理想导体球面间充满了介电常数为、电导率为的导电媒质<为常数>。若内导体球面的电位为,外导体球面接地。试求：〔1媒质中的电荷分布；〔2两个理想导体球面间的电阻。解设由内导体流向外导体的电流为,由于电流密度成球对称分布,所以电场强度由两导体间的电压可得到所以媒质中的电荷体密度为媒质内、外表面上的电荷面密度分别为〔2两理想导体球面间的电阻3.29电导率为的无界均匀电介质内,有两个半径分别为和的理想导体小球,两球之间的距离为,试求两小导体球面间的电阻。解此题可采用静电比拟的方法求解。假设两小球分别带电荷和,由于两球间的距离、,可近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上。由电荷和的电位叠加求出两小球表面的电位差,即可求得两小导体球面间的电容,再由静电比拟求出两小导体球面间的电阻。设两小球分别带电荷和,由于、,可得到两小球表面的电位为所以两小导体球面间的电容为由静电比拟,得到两小导体球面间的电导为故两个小导体球面间的电阻为3.30在一块厚度的导电板上,由两个半径为和的圆弧和夹角为的两半径割出的一块扇形体,如题3.30图所示。求：〔1沿厚度方向的电阻；〔2两圆弧面之间的电阻；沿方向的两电极的电阻。设导电板的电导率为。解〔1设沿厚度方向的两电极的电压为,则有题3.30题3.30图故得到沿厚度方向的电阻为〔2设内外两圆弧面电极之间的电流为,则故得到两圆弧面之间的电阻为〔3设沿方向的两电极的电压为,则有由于与无关,所以得到故得到沿方向的电阻为3.31圆柱形电容器外导体内半径为,内导体半径为。当外加电压固定时,在一定的条件下,求使电容器中的最大电场强度取极小值的内导体半径的值和这个的值。解设内导体单位长度带电荷为,由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为由内外导体间的电压得到由此得到圆柱形电容器中的电场强度与电压的关系式在圆柱形电容器中,处的电场强度最大令对的导数为零,即由此得到故有3.32证明：同轴线单位长度的静电储能等于。为单位长度上的电荷量,为单位长度上的电容。解由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为内外导体间的电压为则同轴线单位长度的电容为同轴线单位长度的静电储能为3.33如题3.33图所示,一半径为、带电量的导体球,其球心位于两种介质的分界面上,此两种介质的电容率分别为和,分界面为无限大平面。求：〔1导体球的电容；〔2总的静电能量。解〔1由于电场沿径向分布,根据边界条件,在两种介质的分界面上,故有。由于、,所以。由高斯定理,得到即题3.33题3.33图导体球的电位故导体球的电容〔2总的静电能量为3.34把一带电量、半径为的导体球切成两半,求两半球之间的电场力。解先利用虚位移法求出导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力,然后在半球面上对积分,求出两半球之间的电场力。导体球的电容为故静电能量为根据虚位移法,导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力方向沿导体球表面的外法向,即这里在半球面上对积分,即得到两半球之间的静电力为3.35如题3.35图所示,两平行的金属板,板间距离为,竖直地插入在电容率为的液体中,两板间加电压,证明液面升高其中为液体的质量密度。解设金属板的宽度为、高度为。当金属板间的液面升高为时,其电容为题3.35题3.35图液体受到竖直向上的静电力为而液体所受重力与相平衡,即故得到液面上升的高度3.36可变空气电容器,当动片由至电容量由至直线地变化,当动片为角时,求作用于动片上的力矩。设动片与定片间的电压为。解当动片为角时,电容器的电容为此时电容器中的静电能量为作用于动片上的力矩为3.37平行板电容器的电容是,其中是板的面积,为间距,忽略边缘效应。题3.37图〔1如果把一块厚度为的不带电金属插入两极板之间,但不与两极接触,如题3.37图所示。则在原电容器电压一定的条件下,电容器的能量如何变化？电容量如何变化？题3.37图〔2如果在电荷一定的条件下,将一块横截面为、介电常数为的电介质片插入电容器<与电容器极板面积基本上垂直地插入,如题3.37图所示,则电容器的能量如何变化？电容量又如何变化？解〔1在电压一定的条件下,未插入金属板前,极板间的电场为电容为静电能量为当插入金属板后,电容器中的电场为此时静电能量和电容分别为故电容器的电容及能量的改变量分别为〔2在电荷一定的条件下,未插入电介质板前,极板间的电场为静电能量为当插入电介质板后,由介质分界面上的边界条件,有题3.37图题3.37图于是得到极板间的电场为两极板间的电位差位此时的静电能量为其电容为故电容器的电容及能量的改变量分别为3.38如果不引入电位函数,静电问题也可以通过直接求解法求解的微分方程而得解决。〔1证明：有源区的微分方程为,；〔2证明：的解是解〔1由,可得,即又故得到〔2在直角坐标系中的三个分量方程为,,其解分别为故3.39证明：解由于,所以由题3.38<2>可知故第四章习题解答4.1如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽,槽可视为无限长,其上有一块与槽相绝缘的盖板,槽的电位为零,上边盖板的电位为,求槽内的电位函数。解根据题意,电位满足的边界条件为①②③根据条件①和②,电位的通解应取为题4.1题4.1图由条件③,有两边同乘以,并从0到对积分,得到故得到槽内的电位分布4.2两平行无限大导体平面,距离为,其间有一极薄的导体片由到。上板和薄片保持电位,下板保持零电位,求板间电位的解。设在薄片平面上,从到,电位线性变化,。yoyyoyboydy题4.2图其中,为不存在薄片的平行无限大导体平面间〔电压为的电位,即；是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位,其边界条件为：①②③根据条件①和②,可设的通解为由条件③有两边同乘以,并从0到对积分,得到故得到4.3求在上题的解中,除开一项外,其他所有项对电场总储能的贡献。并按定出边缘电容。解在导体板〔上,相应于的电荷面密度则导体板上〔沿方向单位长相应的总电荷相应的电场储能为其边缘电容为4.4如题4.4图所示的导体槽,底面保持电位,其余两面电位为零,求槽内的电位的解。解根据题意,电位满足的边界条件为①题4.4图题4.4图③根据条件①和②,电位的通解应取为由条件③,有两边同乘以,并从0到对积分,得到故得到槽内的电位分布为4.5一长、宽、高分别为、、的长方体表面保持零电位,体积内填充密度为的电荷。求体积内的电位。解在体积内,电位满足泊松方程〔1长方体表面上,电位满足边界条件。由此设电位的通解为代入泊松方程〔1,可得由此可得或〔2由式〔2,可得故4.6如题4.6图所示的一对无限大接地平行导体板,板间有一与轴平行的线电荷,其位置为。求板间的电位函数。解由于在处有一与轴平行的线电荷,以为界将场空间分割为和两个区域,则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。而在的分界面上,可利用函数将线电荷表示成电荷面密度。电位的边界条件为题4.6图题4.6图②③由条件①和②,可设电位函数的通解为由条件③,有〔1〔2由式〔1,可得〔3将式〔2两边同乘以,并从到对积分,有〔4由式〔3和〔4解得故b题4.7图4.7如题4.7b题4.7图解由于在处有一与轴平行的线电荷,以为界将场空间分割为和两个区域,则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。而在的分界面上,可利用函数将线电荷表示成电荷面密度,电位的边界条件为①,②③由条件①和②,可设电位函数的通解为由条件③,有〔1〔2由式〔1,可得〔3将式〔2两边同乘以,并从到对积分,有〔4由式〔3和〔4解得故若以为界将场空间分割为和两个区域,则可类似地得到4.8如题4.8图所示,在均匀电场中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱,圆柱的半径为。求导体圆柱外的电位和电场以及导体表面的感应电荷密度。解在外电场作用下,导体表面产生感应电荷,圆柱外的电位是外电场的电位与感应电荷的电位的叠加。由于导体圆柱为无限长,所以电位与变量无关。在圆柱面坐标系中,外电场的电位为〔常数的值由参考点确定,而感应电荷的电位应与一样按变化,而且在无限远处为0。由于导体是等位体,所以满足的边界条件为题4.8图题4.8图②由此可设由条件①,有于是得到故圆柱外的电位为若选择导体圆柱表面为电位参考点,即,则。导体圆柱外的电场则为导体圆柱表面的电荷面密度为4.9在介电常数为的无限大的介质中,沿轴方向开一个半径为的圆柱形空腔。沿轴方向外加一均匀电场,求空腔内和空腔外的电位函数。解在电场的作用下,介质产生极化,空腔表面形成极化电荷,空腔内、外的电场为外加电场与极化电荷的电场的叠加。外电场的电位为而感应电荷的电位应与一样按变化,则空腔内、外的电位分别为和的边界条件为①时,；②时,为有限值；③时,,由条件①和②,可设带入条件③,有,由此解得,所以题4.10图4.10一个半径为、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆柱面,如题4.10图所示。第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地,第一象限和第三象限分别保持电位和。求圆柱面内部的电位函数。题4.10图解由题意可知,圆柱面内部的电位函数满足边界条件为①为有限值；②；由条件①可知,圆柱面内部的电位函数的通解为代入条件②,有由此得到故4.11如题4.11图所示,一无限长介质圆柱的半径为、介电常数为,在距离轴线处,有一与圆柱平行的线电荷,计算空间各部分的电位。解在线电荷作用下,介质圆柱产生极化,介质圆柱内外的电位均为线电荷的电位与极化电荷的电位的叠加,即。线电荷的电位为〔1题4.11图而极化电荷的电位满足拉普拉斯方程,且是的偶函数。介质圆柱内外的电位和满足的边界条件为分别为题4.11图①为有限值；②③时,由条件①和②可知,和的通解为〔2〔3将式〔1～〔3带入条件③,可得到〔4〔5当时,将展开为级数,有〔6带入式〔5,得〔7由式〔4和〔7,有由此解得,故得到圆柱内、外的电位分别为〔8〔9讨论：利用式〔6,可将式〔8和〔9中得第二项分别写成为其中。因此可将和分别写成为由所得结果可知,介质圆柱内的电位与位于〔0的线电荷的电位相同,而介质圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生,它们分别为：位于〔0的线电荷；位于的线电荷；位于的线电荷。4.12将上题的介质圆柱改为导体圆柱,重新计算。解导体圆柱内的电位为常数,导体圆柱外的电位均为线电荷的电位与感应电荷的电位的叠加,即。线电荷的电位为〔1而感应电荷的电位满足拉普拉斯方程,且是的偶函数。满足的边界条件为①；②。由于电位分布是的偶函数,并由条件①可知,的通解为〔2将式〔1和〔2带入条件②,可得到〔3将展开为级数,有〔4带入式〔3,得〔5由此可得,故导体圆柱外的电为〔6讨论：利用式〔4,可将式〔6中的第二项写成为其中。因此可将写成为由此可见,导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生,它们分别为：位于〔0的线电荷；位于的线电荷；位于的线电荷。4.13在均匀外电场中放入半径为的导体球,设〔1导体充电至；〔2导体上充有电荷。试分别计算两种情况下球外的电位分布。解〔1这里导体充电至应理解为未加外电场时导体球相对于无限远处的电位为,此时导体球面上的电荷密度,总电荷。将导体球放入均匀外电场中后,在的作用下,产生感应电荷,使球面上的电荷密度发生变化,但总电荷仍保持不变,导体球仍为等位体。设,其中是均匀外电场的电位,是导体球上的电荷产生的电位。电位满足的边界条件为①时,；②时,,其中为常数,若适当选择的参考点,可使。由条件①,可设代入条件②,可得到,,若使,可得到〔2导体上充电荷时,令,有利用〔1的结果,得到4.14如题4.14图所示,无限大的介质中外加均匀电场,在介质中有一个半径为的球形空腔。求空腔内、外的电场和空腔表面的极化电荷密度〔介质的介电常数为。解在电场的作用下,介质产生极化,空腔表面形成极化电荷,空腔内、外的电场为外加电场与极化电荷的电场的叠加。设空腔内、外的电位分别为和,则边界条件为①时,；②时,为有限值；③时,,由条件①和②,可设题4.14题4.14图带入条件③,有,由此解得,所以空腔内、外的电场为空腔表面的极化电荷面密度为4.15如题4.15图所示,空心导体球壳的内、外半径分别为和,球的中心放置一个电偶极子,球壳上的电荷量为。试计算球内、外的电位分布和球壳上的电荷分布。解导体球壳将空间分割为内外两个区域,电偶极子在球壳内表面上引起感应电荷分布,但内表面上的感应电荷总量为零,因此球壳外表面上电荷总量为,且均匀分布在外表面上。球壳外的场可由高斯定理求得为题4.15题4.15图外表面上的电荷面密度为设球内的电位为,其中是电偶极子的电位,是球壳内表面上的感应电荷的电位。满足的边界条件为①为有限值；②,即,所以由条件①可知的通解为由条件②,有比较两端的系数,得到,,最后得到球壳内表面上的感应电荷面密度为感应电荷的总量为题4.16图4.16题4.16图解设球内的均匀场为,球外的场为,如题4.16图所示。根据边界条件,球面上的电流面密度为若令,则得到球面上的电流面密度为这表明球面上的绕线密度正比于,则将在球内产生均匀场。4.17一个半径为的介质球带有均匀极化强度。〔1证明：球内的电场是均匀的,等于；〔2证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子产生的电场相同,。题4.17图解〔题4.17图建立如题4.17图所示的坐标系,则介质球面上的极化电荷面密度为介质球内、外的电位和满足的边界条件为①为有限值；②；③因此,可设球内、外电位的通解为由条件③,有,解得,于是得到球内的电位故球内的电场为〔2介质球外的电位为其中为介质球的体积。故介质球外的电场为可见介质球外的电场与一个位于球心的偶极子产生的电场相同。4.18半径为的接地导体球,离球心处放置一个点电荷,如题4.18图所示。用分离变量法求电位分布。解球外的电位是点电荷的电位与球面上感应电荷产生的电位的叠加,感应电荷的电位满足拉普拉斯方程。用分离变量法求解电位分布时,将点电荷的电位在球面上按勒让德多项式展开,即可由边界条件确定通解中的系数。设,其中是点电荷的电位,是导体球上感应电荷产生的电位。电位满足的边界条件为①时,；②时,。题4.18图由条件①题4.18图为了确定系数,利用的球坐标展开式将在球面上展开为代入条件②,有比较的系数,得到故得到球外的电位为讨论：将的第二项与的球坐标展开式比较,可得到由此可见,的第二项是位于的一个点电荷所产生的电位,此电荷正是球面上感应电荷的等效电荷,即像电荷。题4.19图4.19一根密度为、长为2的线电荷沿轴放置,中心在原点上。证明：对于的点,有题4.19图解线电荷产生的电位为对于的点,有故得到4.20一个半径为的细导线圆环,环与平面重合,中心在原点上,环上总电荷量为,如题4.20图所示。证明：空间任意点电位为解以细导线圆环所在的球面把场区分为两部分,分别写出两个场域的通解,并利用函数将细导线圆环上的线电荷表示成球面上的电荷面密度题4.20题4.20图再根据边界条件确定系数。设球面内、外的电位分别为和,则边界条件为：①为有限值；②③,根据条件①和②,可得和的通解为〔1〔2代入条件③,有〔3〔4将式〔4两端同乘以,并从0到对进行积分,得〔5其中由式〔3和〔5,解得,代入式〔1和〔2,即得到4.21一个点电荷与无限大导体平面距离为,如果把它移到无穷远处,需要作多少功？题4.21图解利用镜像法求解。当点电荷移动到距离导体平面为的点处时,其像电荷,与导体平面相距为,如题4.21图所示。像电荷在点处产生的电场为题4.21图所以将点电荷移到无穷远处时,电场所作的功为外力所作的功为4.22如题4.22图所示,一个点电荷放在的接地导体角域内的点处。求：〔1所有镜像电荷的位置和大小；〔2点处的电位。解〔1这是一个多重镜像的问题,共有5个像电荷,分布在以点电荷到角域顶点的距离为半径的圆周上,并且关于导体平面对称,其电荷量的大小等于,且正负电荷交错分布,其大小和位置分别为题题4.22图〔2点处电位4.23一个电荷量为、质量为的小带电体,放置在无限大导体平面下方,与平面相距为。求的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡〔设,。解将小带电体视为点电荷,导体平面上的感应电荷对的静电力等于镜像电荷对的作用力。根据镜像法可知,镜像电荷为,位于导体平面上方为处,则小带电体受到的静电力为令的大小与重力相等,即题4.24图〔题4.24图〔>图2.13题4.24图〔题4.24图〔>4.24如题4.24〔图所示,在的下半空间是介电常数为的介质,上半空间为空气,距离介质平面距为处有一点电荷,求：〔1和的两个半空间内的电位；〔2介质表面上的极化电荷密度,并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷。解〔1在点电荷的电场作用下,介质分界面上出现极化电荷,利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知,镜像电荷分布为〔如题4.24图〔、〔所示,位于,位于上半空间内的电位由点电荷和镜像电荷共同产生,即下半空间内的电位由点电荷和镜像电荷共同产生,即〔2由于分界面上无自由电荷分布,故极化电荷面密度为极化电荷总电量为4.25一个半径为的导体球带有电荷量为,在球体外距离球心为处有一个点电荷。〔1求点电荷与导体球之间的静电力；〔2证明：当与同号,且成立时,表现为吸引力。题4.25图解〔1导体球上除带有电荷量之外,点电荷还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷。根据镜像法,像电荷和的大小和位置分别为〔如题4.25图所示题4.25图,,导体球自身所带的电荷则与位于球心的点电荷等效。故点电荷受到的静电力为〔2当与同号,且表现为吸引力,即时,则应有由此可得出4.26两个点电荷和,在一个半径为的导体球直径的延长线上,分别位于导体球的两侧且距球心为。〔1证明：镜像电荷构成一个电偶极子,位于球心,电偶极矩为；〔2令和分别趋于无穷,同时保持不变,计算球外的电场。解〔1点电荷和都要在球面上引起等量异号的感应电荷,可分别按照点电荷与不接地导体球面的镜像确定其等效的像电荷。根据镜像法,点电荷的像电荷为,位于：有题4.26图有题4.26图而点电荷的像电荷为,位于：,位于：如题4.26图所示。由此可见,像电荷和等值异号,且同时位于球心,故球心处总的像电荷为零；而像电荷和也等值异号,且位置关于球心对称,故构成位于球心的电偶极子,其电偶极矩为〔2球外的电位由和以及像电荷和共同产生,即当和分别趋于无穷,同时保持不变时,有球外的电场为4.27一根与地面平行架设的圆截面导线,半径为,悬挂高度为。证明：单位长度上圆柱导线与地面间的电容为。题4.27图解地面的影响可用一个像圆柱来等效。设导线单位长度带电荷为,则像圆柱单位长度带电荷为。根据电轴法,电荷和可用位于电轴上的线电荷来等效替代,如题4.27图所示。等效线电荷对导体轴线的偏移为题4.27图则导线与地间的电位差为故单位长度上圆柱导线与地面间的电容为4.28在上题中设导线与地面间的电压为。证明：地面对导线单位长度的作用力。解导线单位长度上的电场能量为由虚位移法,得到地面对导线单位长度的作用力为第五章习题解答5.1真空中直线长电流的磁场中有一等边三角形回路,如题5.1图所示,求三角形回路内的磁通。解根据安培环路定理,得到长直导线的电流产生的磁场题5.1题5.1图穿过三角形回路面积的磁通为由题5.1图可知,,故得到5.2通过电流密度为的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔,如题5.2图所示。计算各部分的磁感应强度,并证明腔内的磁场是均匀的。解将空腔中视为同时存在和的两种电流密度,这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内,另一个电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内。由安培环路定律,分别求出两个均匀分布电流的磁场,然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。题5.2图由安培环路定律,可得到电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内的电流产生的磁场为题5.2图电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内的电流产生的磁场为这里和分别是点和到场点的位置矢量。将和叠加,可得到空间各区域的磁场为圆柱外：圆柱内的空腔外：空腔内：式中是点和到点的位置矢量。由此可见,空腔内的磁场是均匀的。5.3下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是,求其源变量。<1>〔圆柱坐标<2><3><4>〔球坐标系解根据恒定磁场的基本性质,满足的矢量函数才可能是磁场的场矢量,否则,不是磁场的场矢量。若是磁场的场矢量,则可由求出源分布。〔1在圆柱坐标中该矢量不是磁场的场矢量。〔2该矢量是磁场的矢量,其源分布为〔3该矢量是磁场的场矢量,其源分布为〔4在球坐标系中该矢量是磁场的场矢量,其源分布为5.4由矢量位的表示式证明磁感应强度的积分公式并证明解:5.5有一电流分布,求矢量位和磁感应强度。解由于电流只有分量,且仅为的函数,故也只有分量,且仅为的函数,即。在圆柱坐标系中,由满足的一维微分方程和边界条件,即可求解出,然后由可求出。记和的矢量位分别为和。由于在时电流为零,所以〔〔由此可解得和满足的边界条件为①时,为有限值②时,,由条件①、②,有,,由此可解得,故〔〔式中常数由参考点确定,若令时,,则有。题5.6题5.6图〔〔5.6如题5.6图所示,边长分别为和、载有电流的小矩形回路。〔1求远处的任一点的矢量位,并证明它可以写成。其中；〔2由求磁感应强度,并证明可以写成式中场点对小电流回路所张的立体角。解〔1电流回路的矢量位为式中：根据矢量积分公式,有而所以对于远区场,,所以,故〔2由于故又由于故5.7半径为磁介质球,具有磁化强度为其中和为常数,求磁化电流和等效磁荷。解磁介质球内的磁化电流体密度为等效磁荷体密度为磁介质球表面的磁化电流面密度为题5.8题5.8图等效磁荷面密度为5.8如题5.8所示图,无限长直线电流垂直于磁导率分别为和的两种磁介质的分界面,试求：〔1两种磁介质中的磁感应强度和；〔2磁化电流分布。解〔1由安培环路定理,可得所以得到〔2磁介质在的磁化强度题5.9图题5.9图在处,具有奇异性,所以在磁介质中处存在磁化线电流。以轴为中心、为半径作一个圆形回路,由安培环路定理,有故得到在磁介质的表面上,磁化电流面密度为5.9已知一个平面电流回路在真空中产生的磁场强度为,若此平面电流回路位于磁导率分别为和的两种均匀磁介质的分界平面上,试求两种磁介质中的磁场强度和。解由于是平面电流回路,当其位于两种均匀磁介质的分界平面上时,分界面上的磁场只有法向分量,根据边界条件,有。在分界面两侧作一个小矩形回路,分别就真空和存在介质两种不同情况,应用安培环路定律即可导出、与的关系。在分界面两侧,作一个尺寸为的小矩形回路,如题5.9图所示。根据安培环路定律,有〔1因垂直于分界面,所以积分式中。这里为与小矩形回路交链的电流。对平面电流回路两侧为真空的情况,则有〔2由于和是分界面上任意两点,由式〔1和〔2可得到即于是得到故有5.10证明：在不同介质分界面上矢量位的切向分量是连续的。解由得题5.10图媒质题5.10图媒质②媒质①在媒质分界面上任取一点,围绕点任作一个跨越分界面的狭小矩形回路,其长为、宽为,如题5.10图所示。将式〔1应用于回路上,并令趋于零,得到由于为有限值,上式右端等于零,所以由于矢量平行于分界面,故有5.11一根极细的圆铁杆和一个很薄的圆铁盘样品放在磁场中,并使它们的轴与平行,〔铁的磁导率为。求两样品内的和；若已知、,求两样品内的磁化强度。解对于极细的圆铁杆样品,根据边界条件,有对于很薄的圆铁盘样品,根据边界条件,有5．12如题5.12图所示,一环形螺线管的平均半径cm,其圆形截面的半径cm,鉄芯的相对磁导率,环上绕匝线圈,通过电流。〔1计算螺旋管的电感；〔2在鉄芯上开一个的空气隙,再计算电感。〔假设开口后鉄芯的不变〔3求空气隙和鉄芯内的磁场能量的比值。题5.12图解〔1由于,可认为圆形截面上的磁场是均匀的,且等于截面的中心处的磁场。题5.12图与螺线管铰链的磁链为故螺线管的电感为〔2当铁芯上开有小空气隙时,由于可隙很小,可忽略边缘效应,则在空气隙与鉄芯的分界面上,磁场只有法向分量。根据边界条件,有,但空气隙中的磁场强度与铁芯中的磁场强度不同。根据安培环路定律,有又由于、及,于是可得所以螺线管得磁链为故螺线管得电感为〔3空气隙中的磁场能量为鉄芯中的磁场能量为故5.13证明：单匝线圈励磁下磁路的自感量为,为磁路的磁阻,故激励下,电感量为。磁路中单匝激励下的磁场储能,则激励下的。解在单匝线圈励磁下,设线圈中的电流为,有。则在激励下,磁路的磁通为故电感量为在单匝线圈励磁下,。在激励下,磁路的磁能为①②题5.14图5.14如题5.14图所示,两个长的矩形线圈,放置在同一平面上,长度分别为和,宽度分别为和,两线圈最近的边相距为,两线圈中分别载有电流和。设>>,且两线圈都只有一匝,略去端部效应。证明：两线圈的互感是①②题5.14图解由于>>,因此可近似认为线圈①中的电流在线圈②的回路中产生的磁场与两根无限长的平行直线电流产生的磁场相同。线圈①中的电流在线圈②的回路中产生的磁场为与线圈②交链的磁通为故两线圈间的互感为5.15长直导线附近有一矩形回路,回路与导线不共面,如题5.15图<>所示。证明：直导线与矩形回路间的互感是题题5.15图<>题5.15图<>解设长直导线中的电流为,则其产生的磁场为由题5.15图<>可知,与矩形回路交链的磁通为其中故直导线与矩形回路间的互感为题5.16图5.16如题5.16图所示的长螺旋管,单位长度密绕匝线圈,通过电流,鉄心的磁导率为、截面积为,求作用在它上面的磁场力。题5.16图解由安培环路定理可得螺旋管内的磁场为设铁心在磁场力的作用下有一位移,则螺旋管内改变的磁场能量为则作用在鉄心上的磁场力为磁力有将铁心拉进螺旋管的趋势。第六章时变电磁场6.1有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动,整个装置位于正弦时变磁场之中,如题6.1图所示。滑片的位置由确定,轨道终端接有电阻,试求电流i.解穿过导体回路abcda的磁通为故感应电流为6.2一根半径为a的长圆柱形介质棒放入均匀磁场中与z轴平行。设棒以角速度绕轴作等速旋转,求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。解介质棒内距轴线距离为r处的感应电场为故介质棒内的极化强度为极化电荷体密度为极化电荷面密度为则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为6.3平行双线传输线与一矩形回路共面,如题6.3图所示。设、、,求回路中的感应电动势。解由题给定的电流方向可知,双线中的电流产生的磁感应强度的方向,在回路中都是垂直于纸面向内的。故回路中的感应电动势为式中故则6.4有一个环形线圈,导线的长度为l,分别通过以直流电源供应电压U0和时变电源供应电压U〔t。讨论这两种情况下导线内的电场强度E。解设导线材料的电导率为,横截面积为S,则导线的电阻为而环形线圈的电感为L,故电压方程为当U=U0时,电流i也为直流,。故此时导线内的切向电场为当U=U〔t时,,故即求解此微分方程就可得到。6.5一圆柱形电容器,内导体半径为a,外导体内半径为b,长为l。设外加电压为,试计算电容器极板间的总位移电流,证明它等于电容器的传导电流。解当外加电压的频率不是很高时,圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同〔准静态电场,即故电容器两极板间的位移电流密度为则式中,是长为l的圆柱形电容器的电容。流过电容器的传导电流为可见6.6由麦克斯韦方程组出发,导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。解点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程和由得据散度定理,上式即为利用球对称性,得故得点电荷的电场表示式由于,可取,则得即得泊松方程6.7试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程：〔1在直角坐标中；〔2在圆柱坐标中；〔3在球坐标中。解〔1在直角坐标中〔2在圆柱坐标中〔3在球坐标系中6.8已知在空气中,求和。提示：将E代入直角坐标中的波方程,可求得。解电场E应满足波动方程将已知的代入方程,得式中故得则由得将上式对时间t积分,得6.9已知自由空间中球面波的电场为求H和k。解可以和前题一样将E代入波动方程来确定k,也可以直接由麦克斯韦方程求与E相伴的磁场H。而此磁场又要产生与之相伴的电场,同样据麦克斯韦方程求得。将两个电场比较,即可确定k的值。两种方法本质上是一样的。由得将上式对时间t积分,得〔1将式〔1代入得将上式对时间t积分,得〔2将已知的与式〔2比较,可得含项的Er分量应略去,且,即将代入式〔1,得6.10试推导在线性、无损耗、各向同性的非均匀媒质中用E和B表示麦克斯韦方程。解注意到非均匀媒质的参数是空间坐标的函数,因此而因此,麦克斯韦第一方程变为又故麦克斯韦第四方程变为则在非均匀媒质中,用E和B表示的麦克斯韦方程组为6.11写出在空气和的理想磁介质之间分界面上的边界条件。解空气和理想导体分界面的边界条件为根据电磁对偶原理,采用以下对偶形式即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件式中,Jms为表面磁流密度。6.12提出推导的详细步骤。解如题6.12图所示,设第2区为理想导体〔。在分界面上取闭合路径。对该闭合路径应用麦克斯韦第一方程可得〔1因为为有限值,故上式中而<1>式中的另一项为闭合路径所包围的传导电流。取N为闭合路径所围面积的单位矢量〔其指向与闭合路径的绕行方向成右手螺旋关系,则有因故式〔1可表示为〔2应用矢量运算公式,式〔2变为故得〔3由于理想导体的电导率,故必有,故式〔3变为6.13在由理想导电壁〔限定的区域内存在一个由以下各式表示的电磁场：这个电磁场满足的边界条件如何？导电壁上的电流密度的值如何？解如题6.13图所示,应用理想导体的边界条件可以得出在x=0处,在x=a处,上述结果表明,在理想导体的表面,不存在电场的切向分量Ey和磁场的法向分量Hx。另外,在x=0的表面上,电流密度为在x=a的表面上,电流密度则为6.14海水的电导率,在频率f=1GHz时的相对介电常数。如果把海水视为一等效的电介质,写出H的微分方程。对于良导体,例如铜,,比较在f=1GHz时的位移电流和传导电流的幅度。可以看出,即使在微波频率下,良导体中的位移电流也是可以忽略的。写出H的微分方程。解对于海水,H的微分方程为即把海水视为等效介电常数为的电介质。代入给定的参数,得对于铜,传导电流的幅度为,位移电流的幅度。故位移电流与传导电流的幅度之比为可见,即使在微波频率下,铜中的位移电流也是可以忽略不计的。故对于铜,H的微分方程为6.15计算题6.13中的能流密度矢量和平均能流密度矢量。解瞬时能流密度矢量为为求平均能流密度矢量,先将电磁场各个分量写成复数形式故平均能流密度矢量为6.16写出存在电荷J的无损耗媒质中E和H的波动方程。解存在外加源和J时,麦克斯韦方程组为〔1〔2〔3〔4对式〔1两边取旋度,得而故〔5将式〔2和式〔3代入式〔5,得这就是H的波动方程,是二阶非齐次方程。同样,对式〔2两边取旋度,得即〔6将式〔1和式〔4代入式〔6,得此即E满足的波动方程。对于正弦时变场,可采用复数形式的麦克斯韦方程表示〔7〔8〔9〔10对式〔7两边取旋度,得利用矢量恒等式得〔11将式〔8和式〔9代入式〔11,得此即H满足的微分方程,称为非齐次亥姆霍兹方程。同样,对式〔8两边取旋度,得即〔12将式〔7和式〔10代入式〔12,得此即E满足的微分方程,亦称非齐次亥姆霍兹方程。6.17在应用电磁位时,如果不采用洛伦兹条件,而采用所谓的库仑规范,令,试导出A和所满足的微分方程。解将电磁矢量位A的关系式和电磁标量位的关系式代入麦克斯韦第一方程得利用矢量恒等式得〔1又由得即〔2按库仑规范,令,将其代入式〔1和式〔2得〔3〔4式〔3和式〔4就是采用库仑规范时,电磁场A和所满足的微分方程。6.18设电场强度和磁场强度分别为证明其坡印廷矢量的平均值为解坡印廷矢量的瞬时值为故平均坡印廷矢量为6.19证明在无源空间〔,可以引入一个矢量位Am和标量位,定义为试推导m和的微分方程。解无源空间的麦克斯韦方程组为〔1〔2〔3〔4据矢量恒等式和式〔4,知D可表示为一个矢量的旋度,故令〔5将式〔5代入式〔1,得即〔6根据矢量恒等式和式〔6,知可表示为一个标量的梯度,故令〔7将式〔5和式〔7代入式〔2,得〔8而故式〔8变为〔9又将式〔7代入式〔3,得即〔10令将它代入式〔9和式〔10,即得Am和的微分方程6.20给定标量位及矢量位,式中。〔1试证明：；〔2B、H、E和D；〔3证明上述结果满足自由空间中的麦克斯韦方程。解〔1故则〔2而〔3这是无源自由空间的零场,自然满足麦克斯韦方程。第七章正弦电磁波7.1求证在无界理想介质内沿任意方向en〔en为单位矢量传播的平面波可写成。解Em为常矢量。在直角坐标中故则而故可见,已知的满足波动方程故E表示沿en方向传播的平面波。7.2试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。解表征沿+z方向传播的椭圆极化波的电场可表示为式中取显然,E1和E2分别表示沿+z方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。7.3在自由空间中,已知电场,试求磁场强度。解以余弦为基准,重新写出已知的电场表示式这是一个沿+z方向传播的均匀平面波的电场,其初相角为。与之相伴的磁场为7.4均匀平面波的磁场强度H的振幅为,以相位常数30rad/m在空气中沿方向传播。当t=0和z=0时,若H的取向为,试写出E和H的表示式,并求出波的频率和波长。解以余弦为基准,按题意先写出磁场表示式与之相伴的电场为由得波长和频率分别为则磁场和电场分别为7.5一个在空气中沿方向传播的均匀平面波,其磁场强度的瞬时值表示式为〔1求和在时,的位置；〔2写出E的瞬时表示式。解〔1在t=3ms时,欲使Hz=0,则要求若取n=0,解得y=899992.m。考虑到波长,故因此,t=3ms时,Hz=0的位置为〔2电场的瞬时表示式为7.6在自由空间中,某一电磁波的波长为0.2m。当该电磁波进入某理想介质后,波长变为0.09m。设,试求理想介质的相对介电常数以及在该介质中的波速。解在自由空间,波的相速,故波的频率为在理想介质中,波长,故波的相速为而故7.7海水的电导率,相对介电常数。求频率为10kHz、100kHz、1MHz、10MHz、100MHz、1GHz的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。解先判定海水在各频率下的属性可见,当时,满足,海水可视为良导体。此时f=10kHz时f=100kHz时f=1MHz时f=10MHz时当f=100MHz以上时,不再满足,海水属一般有损耗媒质。此时,f=100MHz时f=1GHz时7.8求证：电磁波在导电媒质内传播时场量的衰减约为55dB/λ。证明在一定频率范围内将该导电媒质视为良导体,此时故场量的衰减因子为即场量的振幅经过z=λ的距离后衰减到起始值的0.002。用分贝表示。7.9在自由空间中,一列平面波的相位常数,当该平面波进入到理想电介质后,其相位常数变为。设,求理想电介质的和波在电介质中的传播速度。解自由空间的相位常数,故在理想电介质中,相位常数,故电介质中的波速则为7.10在自由空间中,某均匀平面波的波长为12cm；当该平面波进入到某无损耗媒质时,波长变为8cm,且已知此时的,。求该均匀平面波的频率以及无损耗媒质的、。解自由空间中,波的相速,故波的频率为在无损耗媒质中,波的相速为故〔1无损耗媒质中的波阻抗为〔2联解式〔1和式〔2,得7.11一个频率为f=3GHz,ey方向极化的均匀平面波在,损耗正切的非磁性媒质中沿方向传播。求：〔1波的振幅衰减一半时,传播的距离；〔2媒质的本征阻抗,波的波长和相速；〔3设在x=0处的,写出H<x,t>的表示式。解〔1故而该媒质在f=3GHz时可视为弱导电媒质,故衰减常数为由得〔2对于弱导电媒质,本征阻抗为而相位常数故波长和相速分别为〔3在x=0处,故则故7.12有一线极化的均匀平面波在海水<>中沿+y方向传播,其磁场强度在y=0处为〔1求衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及透入深度；〔2求出H的振幅为0.01A/m时的位置；〔3写出E<y,t>和H<y,t>的表示式。解〔1可见,在角频率时,海水为一般有损耗媒质,故〔2由即得〔3其复数形式为故电场的复数表示式为则7.13在自由空间〔z<0内沿+z方向传播的均匀平面波,垂直入射到z=0处的导体平面上。导体的电导率,。自由空间E波的频率f=1.5MHz,振幅为1V/m；在分界面<z=0>处,E由下式给出对于z>0的区域,求。解可见,在f=1.5MHz的频率该导体可视为良导体。故分界面上的透射系数为入射波电场的复数表示式可写为则z>0区域的透射波电场的复数形式为与之相伴的磁场为则7.14一圆极化波垂直入射到一介质板上,入射波电场为求反射波与透射波的电场,它们的极化情况又如何？解设媒质1为空气,其本征阻抗为；介质板的本征阻抗为。故分界面上的反射系数和透射系数分别为式中都是实数,故也是实数。反射波的电场为可见,反射波的电场的两个分量的振幅仍相等,相位关系与入射波相比没有变化,故反射波仍然是圆极化波。但波的传播方向变为-z方向,故反射波也变为右旋圆极化波。而入射波是沿+z方向传播的左旋圆极化波。透射波的电场为式中,是媒质2中的相位常数。可见,透射波是沿+z方向传播的左旋圆极化波。7.15均匀平面波的电场振幅,从空气中垂直入射到无损耗的介质平面上〔介质的,求反射波和透射波的电场振幅。解反射系数为透射系数为故反射波的电场振幅为透射波的电场振幅为7.16最简单的天线罩是单层介质板。若已知介质板的介电常数,问介质板的厚度应为多少方可使频率为3GHz的电磁波垂直入射到介质板面时没有反射。当频率分别为3.1GHz及2.9GHz时,反射增大多少？题7.16图解天线罩示意图如题7.16图所示。介质板的本征阻抗为,其左、右两侧媒质的本征阻抗分别为和。设均匀平面波从左侧垂直入射到介质板,此问题就成了均匀平面波对多层媒质的垂直入射问题。设媒质1中的入射波电场只有x分量,则在题7.16图所示坐标下,入射波电场可表示为而媒质1中的反射波电场为与之相伴的磁场为故媒质1中的总电场和总磁场分别为〔1同样,可写出媒质2中的总电场和总磁场〔2媒质3中只有透射波〔3在式〔1、〔2、〔3中,通常已知入射波电场振幅,而、、和为待求量。利用两个分界面①和②上的四个边界条件方程即可确定它们。在分界面②处,即z=0处,应有。由式〔2和〔3得〔4由式〔4可得出分界面②上的反射系数〔5在分界面①处,即z=-d处,应有,。由式〔1和〔2得〔6将分界面①上的总电场与总磁场之比定义为等效波阻抗〔或称总场波阻抗,由式〔1得〔7将式〔6代入式〔7得〔8将式〔5代入式〔8,并应用欧拉公式,得〔9再由式〔7得分界面①上的反射系数〔10显然,若分界面①上的等效波阻抗等于媒质1的本征阻抗,则,即分界面①上无反射。通常天线罩的内、外都是空气,即,由式〔9得欲使上式成立,必须。故频率f0=3GHz时则当频率偏移到f1=3.1GHz时,故而故此时的等效波阻抗为反射系数为即频率偏移到3.1GHz时,反射将增大6%。同样的方法可计算出频率下偏到时,反射将增加约5%。[讨论]〔1上述分析方法可推广到n层媒质的情况,通常是把坐标原点O选在最右侧的分界面上较为方便。〔2应用前面导出的等效波阻抗公式〔9,可以得出一种很有用的特殊情况〔注意：此时。取,则有由式〔9得若取,则此时,分界面①上的反射系数为即电磁波从媒质1入射到分界面①时,不产生反射。可见,厚度的介质板,当其本征阻抗时,有消除反射的作用。7.17题7.17图所示隐身飞机的原理示意图。在表示机身的理想导体表面覆盖一层厚度的理想介质膜,又在介质膜上涂一层厚度为d2的良导体材料。试确定消除电磁波从良导体表面上反射的条件。解题7.17图中,区域〔1为空气,其波阻抗为区域〔2为良导体,其波阻抗为区域〔3为理想介质,其波阻抗为区域〔4为理想导体,其波阻抗为利用题7.16导出的公式〔9,分界面②上的等效波阻抗为应用相同的方法可导出分界面③上的等效波阻抗计算公式可得〔1式中的是良导体中波的传播常数,为双曲正切函数。将代入式〔1,得〔2由于良导体涂层很薄,满足,故可取,则式〔2变为〔3分界面③上的反射系数为可见,欲使区域〔1中无反射,必须使故由式〔3得〔4将良导体中的传播常数和波阻抗代入式〔4,得这样,只要取理想介质层的厚度,而良导体涂层的厚度,就可消除分界面③上的反射波。即雷达发射的电磁波从空气中投射到分界面③时,不会产生回波,从而实现飞机隐身的目的。此结果可作如下的物理解释：由于电磁波在理想导体表面〔即分界面①上产生全反射,则在离该表面处〔即分界面②出现电场的波腹点。而该处放置了厚度为d2的良导体涂层,从而使电磁波大大损耗,故反射波就趋于零了。7.18均匀平面波从自由空间垂直入射到某介质平面时,在自由空间形成驻波。设驻波比为2.7,且介质平面上有驻波最小点；求介质的介电常数。解自由空间的总电场为式中是分界面上的反射系数。驻波比的定义为得据此求得因介质平面上是驻波最小点,故应取反射系数得则7.19如题7.19图所示,z>0区域的媒质介电常数为,在此媒质前置有厚度为d、介电常数为的介质板。对于一个从左面垂直入射过来的TEM波,试证明当且时,没有反射〔为自由空间的波长。解媒质1中的波阻抗为〔1媒质2中的波阻抗为〔2当时,由式〔1和〔2得〔3而分界面O1处〔即处的等效波阻抗为当、即时〔4分界面O1处的反射系数为〔5将式〔3和〔4代入式〔5,则得即时,分界面O1上无反射。的介质层称为匹配层。7.20垂直放置在球坐标原点的某电流元所产生的远区场为试求穿过r=1000m的半球壳的平均功率。解将电场、磁场写成复数形式平均坡印廷矢量为故穿过r=1000m的半球壳的平均功率为式中dS为球坐标的面积元矢量,对积分有贡献是故7.21在自由空间中,。试求平面内的边长为30mm和15mm长方形面积的总功率。解将已知的电场写成复数形式得与相伴的磁场故平均坡印廷矢量为则穿过z=0平面上的长方形面积的总功率为7.22均匀平面波的电场强度为〔1运用麦克斯韦方程求出H：〔2若该波在z=0处迁到一理想导体平面,求出z<0区域内的E和H；〔3求理想导体上的电流密度。解〔1将已知的电场写成复数形式由得写成瞬时值表示式〔2均匀平面波垂直入射到理想导体平面上会产生全反射,反射波的电场为即区域内的反射波电场为与之相伴的反射波磁场为至此,即可求出区域内的总电场E和总磁场H。故同样故〔3理想导体平面上的电流密度为7.23在自由空间中,一均匀平面波垂直投射到半无限大无损耗介质平面上。已知在平面前的自由空间中,合成波的驻波比为3,无损耗介质内透射波的波长是自由空间波长的。试求介质的相对磁导率和相对介电常数。解在自由空间,入射波与反射波合成为驻波,驻波比为由此求出反射系数设在介质平面上得到驻波最小点,故取。而反射系数为式中的,则得求得得〔1又得〔2联解式〔1和〔2得7.24均匀平面波的电场强度为,该波从空气垂直入射到有损耗媒质的分界面上〔z=0,如题7.24图所示。〔1求反射波和透射波的电场和磁场的瞬时表示式；〔2求空气中及有损耗媒质中的时间平均坡印廷矢量。解〔1根据已知条件求得如下参数。在空气中〔媒质1在有损耗媒质中分界面上的反射系数为透射系数为故反射波的电场和磁场的复数表示式为则其瞬时表示式为而媒质2中的透射波电场和磁场为故其瞬时表示式为〔27.25一右旋圆极化波垂直入射到位于z=0的理想导体板上,其电场强度的复数表示式为〔1确定反射波的极化方式；〔2求导体板上的感应电流；〔3以余弦为基准,写出总电场强度的瞬时值表示式。解〔1设反射波的电场强度为据理想导体的边界条件,在z=0时应有故得则可见,反射波是一个沿方向传播的左旋圆极化波。〔2入射波的磁场为反射波的磁场为故合成波的磁场为则导体板上的感应电流为〔3合成电场的复数表示式为故其瞬时表示式为7.26如题7.26图所示,有一正弦均匀平面波由空气斜入射到z=0的理想导体平面上,其电场强度的复数表示式为〔1求波的频率和波长；〔2以余弦函数为基准,写出入射波电场和磁场的瞬时表示式；〔3确定入射角；〔4求反射波电场和磁场的复数表示式；〔5求合成波电场和磁场的复数表示式。解〔1由已知条件知入射波的波矢量为故波长为频率为〔2入射波传播方向的单位矢量为入射波的磁场复数表示式为则得其瞬时表示式而电场的瞬时表示式为〔3由,得故〔4据斯耐尔反射定律知,反射波的波矢量为而垂直极化波对理想导体平面斜入射时,反射系数。故反射波的电场为与之相伴的磁场为〔5合成波的电场为合成波的磁场为7.27一个线极化平面波从自由空间入射到的电介质分界面上,如果入射波的电场矢量与入射面的夹角为45°。试求：〔1入射角为何值时,反射波只有垂直极化波；〔2此时反射波的平均功率流是入射波的百分之几？解〔1由已知条件知入射波中包括垂直极化分量和平行极化分量,且两分量的大小相等。当入射角等于布儒斯特角时,平行极化波将无反射,反射波中就只有垂直极化分量。〔2时,垂直极化分量的反射系数为故反射波的平均功率流为而入射波的平均功率流为可见,7.28垂直极化波从水下的波源以入射角投射到水与空气的分界面上。水的,试求：〔1临界角；〔2反射系数；〔3透射系数；〔4波在空气中传播一个波长距离时的衰减量。解〔1临界角为〔2反射系数为〔3透射系数为〔4由于,故此时将产生全反射。由斯耐尔折射定律得此时式中取"",是考虑到避免时,场的振幅出现无穷大的情况。这是因为空气中的透射波电场的空间变化因子为由上式即得透射波传播一个波长时的衰减量为第八章习题解答8.1为什么一般矩形波导测量线的纵槽开在波导的中线上？解：因为矩形波导中的主模为模,而由的管壁电流分布可知,在波导宽边中线处只有纵向电流。因此沿波导宽边的中线开槽不会因切断管壁电流而影响波导内的场分布,也不会引起波导内电磁波由开槽口向外辐射能量。<如题8.1图>a/2题8.1图8.2下列二矩形波导具有相同的工作波长,试比较它们工作在模式的截止频率。<1>

；<2>

。解：截止频率当介质为空气〔1当,工作模式为〔m=1,n=1,其截止频率为〔2当,工作模式仍为〔m=1,n=1,其截止频率为的由以上的计算可知：截止频率与波导的尺寸、传输模式及波导填充的介质有关,与工作频率无关。8.3推导矩形波导中模的场分布式。解：对于TE波有应满足下面的波动方程和边界条件：〔1由均匀导波系统的假设,将其代入式<1>,得〔2其中该方程可利用分离变量法求解。设其解为：<3>将式<.3>代入式<2>,然后等式两边同除以,得上式中等式左边仅为x的涵数,等式右边仅为y的函数,要使其相等,必须各等于常数。于是,该式可分离出两个常微分方程<4a><4b><5>式<4a>的通解为<6>由于在x=0和x=a的边界上,满足由纵向场与横向场的关系,得则在x=0和x=a的边界上,满足于是将其代入式<6>得所以同理得式<4>的通解满足的边界条件为于是得所以,得到矩形波导中TE波的纵向场分量式中H0=CD由激励源强度决定本征值由式利用纵向场与横向场的关系式可求得TE的其他横向场分量8.4设矩形波导中传输模,求填充介质〔介电常数为时的截止频率及波导波长。解：截止频率对于〔m=1,