数值分析第一章课件

第一章绪论1.1数值分析的研究对象与特点数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它是研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现的一门科学。计算机解决实际问题的一般步骤如下:实际问题→数学模型→数值计算方法→程序设计→上机求解由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立数学模型之过程，通常作为应用数学的任务，而根据数学模型提出求解的数值计算方法则为计算数学的任务，也是数值分析的研究对象。数值分析的内容包括：插值、函数逼近与曲线拟合、数值微分与积分、数值代数（线性代数方程组得求解、非线性方程得求根问题、矩阵的特征值与特征向量的求法）、常微分与偏微分方程的数值计算。数值分析是研究适合在计算机上使用的实际可行、理论可靠、计算复杂性好的数值计算方法.即第一面向计算机,即算法只能由计算机可执行的加减乘除四则运算和各种逻辑运算组成.第二要有可靠的理论分析.基本概念包括误差、稳定性、收敛性、计算量、存储量等.第三要有良好的复杂性及数值实验,计算复杂性包括时间复杂和空间复杂性,并通过数值试验检验其计算复杂性.一误差的来源1.模型误差:在建立数学模型过程中,不可能将所有因素均考虑,必然要进行必要的简化,这就带来了与实际问题的误差。2.

观测误差:测量已知参数时,数据带来的误差。3.

截断误差:在设计算法时,近似处理带来的误差。4.

舍入误差:计算机的字长是有限的,每一步运算均需四舍五入,由此产出的误差。1.2误差二、误差的基本概念1.误差和误差限设x*是准确值x的一个近似值,称e(x*)=x*-x为近似值x*的绝对误差,简称误差.e(x*)又简记e*.误差是有量纲的，可正可负。误差是无法计算的(因为准确值x不知道),但可以估计出它的一个较小上界,即|x*-x|

(x*),称(x*)是近似值x*

的绝对误差限,简称误差限.2.相对误差和相对误差限为近似值x*的相对误差。简记为er*。实际计算中,由于准确值x总是未知的,且由于称是er(x*)的平方项级.当er(x*)较小时,常取相对误差是无量纲的,也可正可负,它的绝对值的较小上界称为该近似值的相对误差限,记作简记为,即所以x*=3.14作为π的近似值,有3位有效数字；又取x*=3.1416时,所以x*=3.1416作为π的近似值,有5位有效数字。例π=3.1415926535,取x*=3.14时，即m-n+1=-

2,m=0,n=3,所以x*=3.14作为π近似值时,就有3位有效数字。有n位有效数字，。则其相对误差限为证明故此定理说明，相对误差是由有效数字决定的。定理1设近似值，从而

取绝对值得其中为近似数x*的误差限。函数运算误差1.设f(x)在(a,b)内连续可微,x的近似值为x*,f(x)的近似值为f(x*),其误差为e[f(x*)],误差限为第二节数值运算中误差的传播2.多元函数自变量的近似值为的近似值为函数值y*的运算误差为可得出一元函数运算的误差限和相对误差限分别为：记则上式简记为相对误差限于是误差限由此可得四则运算的误差,以两数为例写出用递推算法:最终Pn(x)=un共需n次乘法和n次加法运算。一般地要注意:能在循环外计算,就不要放在循环内计算。如用四位有效数字计算:例2结果只有一位有效数字；两个相近的数相减,有效数字会大大损失。二、注意避免两个相近数的相减如改为：有四位有效数字,新算法避免了两个相近数的相减。如改为0.1就没有被吃掉。这也是构造算法时要注意的问题,避免重要的参数被吃掉。当|x|>>|y|时,舍入误差会扩大四、避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值。例4的舍入误差均为,而的舍入误差为:,则很小的数作除数有时还会造成计算机的溢出而停机。于是I7*

,I8*与精确值已经面目全非。n精确值In

近似值In*n精确值In

近似值In*012340.632120.367870.264240.207270.170890.63210.36780.26420.20740.1704567890.145530.126800.112380.100930.091610.14080.11200.2180-0.72807.5520算法一In=1-nIn-1,代入得下表由于计算I0有误差不计中间再产生的舍入误差|e(In*)|=n!|e(I0*)

|到I8

时|e(I8*)|=8!ε=40320ε

误差扩大了4万倍,因而该算法是不稳定的。e(In*)

=-ne(In-1*

)分析：In=1-nIn-1,可以估计出故算法二

如果递推式改为

In-1=(1-In)/n

则