广东省珠海市2021届高三数学上学期摸底考试试题

广东省珠海市2021届高三数学上学期摸底考试试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A=ixIx2>4},1.设集合A=ixIx2>4},B={xIx2-x<30},B=2.A.(-5,-2)(2,6)C.(—8,-5)U(6,+8)(Ifi7B.(-2,2)D.(-8,-2)(2,+8)UA.1B.2C.-iD.-2i3.8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a不能去甲医院，则不同的选派方式共有A.280种B.350种C.70种D.80种4•一球O内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形ABC，过C作与球O相切的平面a，则直线AC与平面a所成的角为A.30°B.45°A.30°B.45°C.15°D.60°5.现有8位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛，现从这8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是A.B.2C.A.B.2C.8D.6•若定义在R上的奇函数f(x)在(0,+8)单调递增，且f(-5)=0，则满足xf(x)<0的解集是(-8,-5)(5,+8)B.(-8,-5)(0,5)C.(-5,0)(5,+8)D.(-5,0)1(0,5)7•已知P是边长为1的正方形ABCD边上或正方形内的一点，则AP-BP的最大值是11A.B.2C・1D.一428.直线l:y=kx+b是曲线f(x)=ln(x+1)和曲线g(x)=ln(e2x)的公切线，则b=

1eA.2B.C.InD.ln(2e)22二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9.已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为y=±2x，则双曲线E的离心率为A.D.~5~A.D.~5~10•如图是函数f(x)=Asin(ox+屮)(®〉0)的部分图象，则(第10(第10题图)11..1兀11..1兀A.f(x)—2sin^-x+)241兀C.f(x)=—2sinqx--)已知ab<0，贝y.1兀B.f(x)—2sin(x+—)D.f(x)=2cos(*x)A.a2+bA.a2+b2>2abB.a2+b2<2abC.a(a-b)〉0D.>2已知随机变量X的取值为不大于n(n&N*)的非负整数，它的概率分布列为X0123•••nppppp•••p10111123n其中p(i—。,1,2,3,,n)满足p&[0,1]，且p+p+p++p—1.定义由X生成的ii012n函数f(x)—p+px+px2+px3++pxi++pxn，g(x)为函数f(x)的导函数，0123in••・••・E(X)为随机变量X的期望.现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1,2,3,4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X，此时由X生成的函数为fjx),则

A.E(X)=g(2)B.f(2)二15C.E(X)=g(1)D.f(2)二手三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。x2y2椭圆E:孑+y=1的左、右焦点分别为件、©，过原点的直线1与E交于AB两点,TOC\o"1-5"\h\zAF、BF都与x轴垂直，则|AB|=.12将数列｛2n｝与｛2n｝的公共项从小到大排列得到数列｛a｝,则｛a｝的前10项和为nn(用数字作答).15.已知a、0为锐角三角形的两个内角，sina=—，sin(a+卩)=，则cos20=.16.一半径为R的球的表面积为64兀，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则该长方体体积的最大值为.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(10分)1在①cosB=-,②cosC=-,③cosC=—222这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在非直角AABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC，b=1，?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.(12分)已知数列｛a｝是正项等比数列，满足2a+a=a，a+a=1.n345121)求｛a｝的通项公式；n2)设t=log(3a)，求数列n22)设t=log(3a)，求数列n2n1tt

n+1n+2的前n项和T.n19.(12分)如图，三棱锥P—ABC中，CBAC二BC二PC二PB二2,ZACB=120,平面PBC丄底面ABC,D,E分别是BC,AB的中点.。证明：PD丄平面ABC；求二面角P—CE-B的正切值.(第19题图)20.(12分)某药企对加工设备进行升级,现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本检测某项质量指标值:该项质量指标值落在［25,30)内的产品为优等品,每件售价240元；质量指标值落在［20,25)和［30,35)内的为一等品,每件售价为180元；质量指标值落在［35,40)内的为二等品,每件售价为120元；其余为不合格品,全部销毁.每件产品生产销售全部成本50元.下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图(第20题图)下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表质量[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)频数2184814162以样本估计总体,若生产的合格品全部在当年内可以销售出去,计算设备升级前一件产品的利润X(元)的期望的估计值.以样本估计总体,若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件,设其支付的费用为E(单位：元)，求E(元)的分布列.21.(12分)已知函数f(x)=xex+ax-2(ex+ax)+a,a>0.讨论函数f(x)的单调性；讨论f(x)的零点的个数.p22.(12分)已知抛物线E的顶点在原点，焦点F(0,-2)(p〉0)到直线l:y=x-2的距离为亟2，P(x，y丿为直线l上的点，过P作抛物线E的切线PM、PN，切点为M、N.200求抛物线E的方程；若P(3,1)，求直线MN的方程；⑶若P为直线l上的动点，求IMFI-1NFI的最小值.珠海市2020-2021学年度第一学期高三摸底测试数学2020.9解析及评分参考一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1・设集合Ax|x24,Bx|x2x30，则ABAA・(5,2)(2,6)B・(2,2)C.(,5)(6,)D・(,2)U(2,)U(1i)2u2.Bi7A・1B・2C・iD・2i3．8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a不能去甲医院，则不同的选派方式共有BA.280种B.350种C.70种D.80种4•—球°内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形ABC，过C作与球。相切的平面，则直线AC与所成的角为DA.30°B.45°C.15°D.60°5.现有8位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛，现从这8人中随机选—人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是A1A41B的概率是A1A41B・23C・85D・86•若定义在R上的奇函数f(x)在(0,)单调递增，且f(5)0,则满足xf(x)0的解集是DA.(,5)(5,A.(,5)(5,)B.(,5)(0,5)C.(5,0)(5,)D.(5,0)(0,5)7•已知P是边长为1的正方形ABCD边上或正方形内的一点，则APBP的最大值是CB.2C.1B.2C.1D・28•直线l:ykxb是曲线f(x)lnx8•直线l:ykxb是曲线f(x)lnx1)和曲线g(x)lne2x)的公切线，则bCA.2eC.%D.ln(2e)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。则双曲线E的9.已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为y=±则双曲线E的离心率为AB10．yjIff\□1、\A11．1兀A.f(x)=2sin(2x+-)1兀f(x)=—10．yjIff\□1、\A11．1兀A.f(x)=2sin(2x+-)1兀f(x)=—2sin(2x--)已知ab<0，贝yacd1兀f(x)=2sin(2x+-)D.f(x)=2cos(+x)A.a2+b2>2abB.a2+b2<2abC.a(a—b)>0D.ba小-+->2ab12.已知随机变量X的取值为不大于n(n&N*)的非负整数，它的概率分布列为X0123•••nppppp•••pnI0I11123其中p(i=0,1,2,3,,n)满足p&[0,1]，且p+p+p++p=1.定义由X生成的TOC\o"1-5"\h\zii012n函数f(x)=p+px+px2+px3++pxi++pxn，g(x)为函数f(x)的导函数，0123in••・••・E(X)为随机变量X的期望.现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X，此时由X生成的函数为f1(x)贝CD15225A.E(X)=g⑵B.f(2)=yC.E(X)=g(1)D.f(2)=〒提示：

X234pX234p12316161656784321161616161234321x2+—x3+—x4+—x5+—x6+—x7+—x8116161616161616f(2)二—X22+—X23+—X24+—X25+—X26+—X27+—X28116161616161616225三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。x2y213-椭圆E才+T=1的左、右焦点分别为F1、F，过原点的直线1与E交于A，B两点,AF、BF都与x轴垂直，则|ab|=.JT312TOC\o"1-5"\h\z14.将数列n｝与｛2n｝的公共项从小到大排列得到数列｛a｝,则｛a｝的前10项和为nn（用数字作答）.20464J35运15.已知a、0为锐角三角形的两个内角，sina=',sin（a+卩）=,则7141cos20二.一216.一半径为R的球的表面积为64兀，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则该长方体体积的最大值为.64J2四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）在①cosB=-，21J2②cosC=一，③cosC=——22这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在非直角AABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，b=1，?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解：AABC中，由sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC22得sinB+2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinAcosC=sinB+sinAcosC…………1分(2sinB一sinA)cosC=0•・•△ABC不是直角三角形cosC丰04分3分2sinB=sinA4分3分即a=2b•b=16分1cf兀选①：由cosB=—,及0<B<兀得B=—23分bAl由=得sinA=、；3>1sinBsinA9分不合理，故Aabc不存在.10分选②：由cosC=12c=pa2+b2一2aBcosC=、：38分...b2+c2=A29分・•・A为直角，不合题设，故△ABC不存在.10选③：由cosC=2得c=\a2+b2—2abcosC=\5—2<2-10分18．（12分）已知数列｛a｝是正项等比数列，满足2a+a二a,a+a=1.n34512（1）求｛a｝的通项公式;n>的前n项和T.(2)设t—log>的前n项和T.n2n解：（1）设正项等比数列｛a｝的公比为q>0n12a+a—12a+a—a由i3丄4厂Ia+a—1122aq2+aq3=i11a+aq=111解得i1a——13、q—2{a}n分—2a4分2)t—log(3a)—log2n-1—n—1n2n21111故————ttn(n+1)nn+1n+1n+2r的前r的前n项和:ttn+1n+21111111nT=(1—恳)+(牙一)+G-一)++(—一)=n22334nn+1n+112分B19.（12分）如图，三棱锥P—ABC中，AC—BC—PC—PB—2,BZACB—120，平面PBC丄底面ABC，D，E分别是BC，AB的中点.A22证明：PD丄平面ABC；求二面角P—CE-B的正切值.证明：TPC=PB,D是BC中点・・・PD丄BC1分・・•平面PBC丄底面ABC,PDu平面PBC,平面PBC|底面ABC=BC・・・PD丄平面ABC.4分解：如图，取CE中点F，连接DF,PF则DF//AB………………5分・AC=BC=PC=PB=2,e是AB的中点，ZACB二120.・・CE丄AB,6分BE=、3,PD=•訂:.DF丄CE,7分DA'丄--E•PD丄平面ABC.・・CE丄PD,PDDF=D.・・CE丄平面PDF…・・・ZPFD为二面角P—CE—B的平面角.分8分9分………………10在RtAPDF中,tanZPFD=D胡=211分12・•・二面角P-CE-B的正切值为2.12分20．(12分)某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本检测某项质量指标值:该项质量指标值落在[25,30)内的产品为优等品，每件售价240元；质量指标值落在[20,25)和[30,35)内的为一等品，每件售价为180元；质量指标值落在[35,40)内的为二等品，每件售价为120元；其余为不合格品，全部销毁．每件产品生产销售全部成本50元．下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表质量[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)频数2184814162(1)以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产品的利润X(元)的期望的估计值．(2)以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付的费用为E(单位：元)，求E(元)的分布列.1分解：⑴由题设知，X=—1分X的分布列为X—5070130190P0.140.180.280.43分设备升级前利润的期望值为4分E(X)二0.14x(—50)+0.18x70+0.28x130+0.4x190二4分TOC\o"1-5"\h\z・•・升级前一件产品的利润的期望估计值为118元.5分(2)升级后设患者购买一件合格品的费用为耳(元)贝前=120,180,2406分患者购买一件合格品的费用耳的分布列为120180240P111632TOC\o"1-5"\h\z贝yg=240,300,360,420,48010分111P(g二240)二-x-二—6636111P(g二300)二-x-二-3391115P(g=360)=2x—x—+—x—=-63318111P(g二420)二2x-x-二-23111P(g=480)=-x-=-224贝升级后患者购买两件合格品的费用的分布列为g240300360420480P11511369183412分21.(12分)已知函数f(x)=xex+ax2一2(ex+ax)+a,a>0.讨论函数f(x)的单调性；讨论f(x)的零点的个数.解：(1)•/f(x)=xex+ax2一2(ex+ax)+a・•・f'(x)=(x—1)(ex+2a)1分a>0时x<1时f'(x)<0,x>1时f'(x)>03分

TOC\o"1-5"\h\z・•・a>0时，f(x)的减区间是(—s,1)，增区间是(1,+8).4分(2)①a>0时，•・•f'(1)=0且f(x)的减区间是(—s,1)，增区间是(1,)・•・f(1)=—e<0是f(x)的极小值，也是最小值5分f