安徽省芜湖市2020-2021学年高二上学期期末数学(理)试题

安徽省芜湖市2020-2021学年高二上学期期末数学（理）试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题已知平面a和直线a,b,若aIIa,则"b丄a"是"b丄&'的（）充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件如图，^ABC的斜二测直观图为等腰其中4〃'=2,则AABC的面积D.4^2D.4^23・已知两条不同的直线/,加和两个不同的平面Z0,有如下命题:若lua、muaH加110,则a"卩；若/ua，/〃0，=加，则/||w；若a丄0,/丄0,贝ij/ca.其中正确的命题个数为0E・1C・2D・34・已知空间直角坐标系o—中有一点4（—1,72）,点3是平面xOy内的直线x+y=l上的动点，则4，3两点的最短距离是（）A.y/6B.C.3D.2^12当圆x2+y2+2x+2ky^+2k2=0的面积最大时，圆心坐标是（）A・（0,—1）E・（―1，0）C・（1、—1）D・（―1、1）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：C/H2）为（）

A.48+1272B.48+2472C.36+1272D.36+24迈与直线x-y-4=0和圆疋+尸+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是A.(x+l)'+(y+l)'=2B.(x-l)2+(y+l)2=4C.(x-1)-+(y+l)2=2D.(%+l)~+(y+l)~=4著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，女U：&-盯+0-眄可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述观点，可得TOC\o"1-5"\h\zf(x)=Jx'+4x+20+Jx'+2x+10的最小值为()A.2怎B.5>/2C.4D.8已知直线/方程为f(x,y)=O,人(兀,耳)和厶(耳,儿)分别为直线/上和/外的点，则方程f(x,y)-/(兀,-/(花，旳)=0表示()A.过点片且与/垂直的直线B.与/重合的直线C.过点巴且与/平行的直线D.不过点巴，但与/平行的直线如图，在正方体ABCD-A^Cfi^,点尸是线段上的动点，则下列说法错■误的是()■A.当点F移动至中点时，直线人尸与平面BDC,所成角最大且为60’无论点F在BC\上怎么移动，都有人尸丄QQ当点尸移动至中点时，才有人尸与QD相交于一点，记为点E,且-^-=2EF无论点、F在BC\上怎么移动，异面直线人尸与CD所成角都不可能是30已知一个正方体的各顶点都在同一球面上，现用一个平面去截这个球和正方体，得到的截面图形恰好是一个圆及内接正三角形，若此正三角形的边长为则这个球的表面枳为().2A.—7TCI4B.3勿’c.67TC123.D.一兀CT2x+v-2<0.12.己知X,满足约束条件｛—2)-250,若2x+)叶RX0恒成立，则直线2x-y+2>0,2x+y+k=0被圆(x-l)z+(v-2)2=25截得的弦长的最大值为()TOC\o"1-5"\h\zA.10B.2忑C.4>/5D.3书二、填空題已知p：点M(l,2)在不等式x-y+m<0表示的区域内,q：直线2x-y+m=0与直线mx+y-l=0相交，若p/\q为真命题,则实数m的取值范围是—.求经过点(7,3),且在X轴上的截距是在J轴上的截距2倍的直线方程为.如图，四棱柱ABCD-A^C^的底面ABCD是平行四边形，且AB=1,BC=2,ZABC=60°,E为BC的中点，人人丄平面ABCD,若DE=Afi，试求异面直线\DCE同时绕AD所在的直线/旋转一周，则所得旋转体的体积是•已知圆M:(x_l_cos&)2+(y_2_sin&)2=],直线/：滋—),一&+2=0,下面五个命题：对任意实数R与&,直线/和圆M有公共点；存在实数R与&,直线/和圆M相切：存在实数R与&,直线/和圆M相离：对任意实数R，必存在实数0,使得直线/与和圆M相切；对任意实数8,必存在实数使得直线/与和圆M相切.其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）.三、解答题己知点4（5,-1）,3（1,1）,C（2,m）.（1）若A,B,C三点共线，求实数加的值.（2）若△43C为直角三角形，求实数加的值.某个几何体的三视图如图所示（单位：m）,俯视图（1）求该几何体的表面枳（结果保留n）；（2）求该几何体的体枳（结果保留n）.已知直线:ax+3y+l=0j2.x+（a-2）y+a=0.（1）若厶丄人，求实数a的值；（2）当“仏时，求直线人与人之间的距离.21.如图，在三棱锥D一ABC中，DA=DB=DC,D在底面ABC上的射影E在4C上,M丄43于F.⑴求证:平W\DAB丄平WiDEF;rr⑵若ABAC=ZADC=求直线BE与平面DAB所成角的正弦值.3在平面直角坐标系xOy中，点4(0,3),直线/:y=2x—4,圆C:x设棱的中点为D，证明：C.D//平面PQB设棱的中点为D，证明：C.D//平面PQB、；若AB=2,AC=AA[=ACl=4,ZAA.B,=60°,且平面AA^C^C丄平面AA^B.(i)求三棱柱ABC_的体积V；(ii)求二面角的余弦值.求b的取值范I制，并求出圆心坐标；有一动圆M的半径为1，圆心在/上，若动圆M上存在点N,使|N4|=|NO|,求圆心M的横坐标a的取值范闱.如图，在三棱柱ABC-A^C,中，P、0分别是人人、人口的中点.参考答案B【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】根据空间中直线与平面之间的位置关系，由a〃a,b丄a,可得b丄a,反之不成立，可能b与a相交或平行.・・・“b丄a”是“b丄a”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断，以及空间位置关系的判定.D【分析】由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，计算原图形的面积即町.【详解】解：由题意，的斜二测直观图为等腰皿△AFC',ACXB'=45°AC/ZOy',=2A!C,2=AB,2^CB,2:.AfCf=2忑由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，则AB=2,AC=4忑,且AC丄肋.•.5^c=|a5AC=|x2x4V2=4>/2•••原平面图形的面枳是4JI故选：D.【点睛】本题考查平面图形的直观图，考查直角三角形的面积，属于基础题，B【解析】【分析】利用线面平行的性质定理和判定定理对三个命题分别分析解答.【详解】对于①，若lua,加ua,〃/0,加//0,则a与0可能相交；故①错误；对于②，若/ua,〃/0,ar>p=m，满足线面平行的性质定理，故l//nu故②正确：对于③，若&丄0,/丄0,如果/ua，贝M丄a：故③错误；故选E.【点睛】本题考查了线面平行的性质定理和判定定理的运用，关键是正确运用定理进行分析解答.B【分析】根据空间中两点间的距离公式，将两点间距离的最小值，转化为二次函数的最小值问题；【详解】•••点B是平面xOy内的直线x+y=1上的动点，•••可设点〃(呱1一〃7,0),由空间两点之间的距离公式，得\AB\=J(—1—加)'+[—1—(1—加尸]+(2—0)」=—2加+9,(if17令t=2/w2-2/77+9=2tn——+—，2丿2当m=A时，f的最小值为兰，2所以当ffl=L时，的最小值为誓=半,即两点的最短距离是孚，故选：B.【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式、一元二次函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.B【分析】先列圆面积解析式，再根据圆面积最人时k的值确定对应圆心坐标.【详解】因为F+y2+2x+2ky+2k2=0,所以(x+l)2+(y+k)2=1-k2,因此圆面积为=0时圆面积最大，此时圆心坐标为(—1,0),选B.【点睛】本题考查圆的标准方程，考查基本化简求解能力.A【详解】试题分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，其底面是腰长为6的等腰直角三角形，顶点在底面的投影是斜边的中点，由底面是腰长为6的等腰直角三角形知其底面积是*

><6x6=18,又直角三角形斜边的中点到两直角边的距离都是3,棱锥高为4,,所以三个侧面中与底面垂直的侧面三角形高是4,底面边长为6忑,其余两个侧面的斜高5,故三个侧面中与底面垂直的三角形的面积为，*x4x6jj=12迈另两个侧面三角形的面枳都是*x6x5=15,故此几何体的全面积是18+2x15+12=48+1272故选A点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面枳与体积，本题求的是三棱锥的体枳.三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”.三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视C【解析】圆x2+r+2x-2y=0的圆心坐标为(-1,1),半径为JI，过圆心(—1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0t所求圆的圆心在此直线上，又圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为=3^2,则所求圆的半径为设所求圆的圆心为(线x-y-4=0的距离为=3^2,则所求圆的半径为设所求圆的圆心为(ab),且圆心在直线x-y-4=0的左上方,则=V2,且a+b=解得a=l、b=-l(a=30=—(a=30=—3不符合题意，舍去),故所求圆的方程为a_l『+(y+1)2=2.故选C.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力,属于中档题.E【解析】=x/.r+4.r+2O+x/.r+2.r+10=x/(x4-2)2H-(0—4)2+l)2-F(0—3}2,・・.几丫)的几何意义为点M(x,0)到两定点人(一2,4)与3(—1,3)的距离之和，设点人(一2,4)关于x轴的对称点为从则川为(一2,-4).要求几丫)的最小值，可转化为|MA|+|MB|的最小值,利用对称思想可知|M4|+|MB即VB|=V（-丨+2尸+（3+4）2=5,即几丫）=店+4.卄20+店#2卄10的最小值为5.选B.C【分析】先判断直线与/平行，再判断直线过点鬥，得到答案.【详解】由题意直线/方程为f（兀,y）=0,则方程f（x,y）-f（xl,yi）-f（x29y2）=0两条直线平行，片（兀，〉1）为直线/上的点,/&,〉i）=o,/（x,y）-f（不」）-/（花,力）=0,化为/（兀），）一/（花,儿）=o'显然马（x2,y2）满足方程f（x,y）-f（西,yj-y（x2,y2）=o,所以/（兀刃一/（无』）一/（吃，力）=°表示过点£且与/平行的直线.故答案选c.【点睛】本题考查了直线的位置关系，意在考查学生对于直线方程的理解情况.A【解析】【分析】根据题意，分别对选项中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】对于4,当点尸移动到BC；的中点时，直线AF与平面BDC、所成角由小到大再到小，如图1所示;

V6且尸为QC的中点时最人角的余弦值为卑=辛=£＜；,最人角人于60。，所以4错A{F(632T误；对于B，在正方形中，丄面A0G，又AFu面40C；,所以4/丄B、D,因此〃正确；对于C,F为的中点时，也是QC的中点，它们共面于平面A^CD,且必相交，=2,所以C4EDA设为E，连和Bf,如图2,根据\A\DEs\FB\E,可得士7=说brD{=2,所以C对于D,当点尸从3运动到G时，异面直线人尸与CD所成角由人到小再到人，且尸为◎QC的中点时最小角的正切值为运=返逅，最小角大于30。，所以Q正确;~T~~TT

故选4.【点睛】本题考查了异面直线所成角的余弦值的求法，也考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系等应用问题，考查了空间想象能力、运算求解能力，是中档题.D【分析】根据已知条件作出截面图，可以看出正三角形的边长与正方体的棱长的关系，并且由外接球的直径与正方体的棱长的关系得出正三角形的边长与外接球的半径的关系，再利用球的表面枳的公式得解.【详解】由已知作出截面图形如图1,可知正三角形的边长等于正方体的面对角线长，正方体与其外接球的位置关系如图2所示，可知外接球的直径等于正方体的体对角线长，设正方体的棱长为加，外接球的半径为R,则a=j2m,=所以R=所以外接球的表面积为S=4龙用=4所以外接球的表面积为S=4龙用=4托X2故选：D.【点睛】本题考查正方体的外接球、正方体的截面和空间想彖能力，分析出外接球的半径与正三角形的边长的关系是本题的关键，属于中档题.B【解析】作出不等式组表示的平面区域如图所示，不等式2x+y+k>0恒成立等价于k>(-2x-y)^9设z=—则由图知，当目标函数Z=-2x-y经过点A(-2-2)时取得最大值,即召瘁=—2x(—2)—(―2)=6,所以k>6.因为圆心(1,2)到直线2x+y+k=0的距离d==辛,所以直线被圆截得的弦长V2"+r3L=2后一沪=2』-伙+?+12»,所以当k=6时，乙取得最人值2的，故选B.2x-p+2=0/Jf工+八2=0^2-2)z='-2x-■7(-oo,-2)kJ(-2,l)【分析】先根据命题p、q的分别求出m的取值范闱，再根据复合命题的真假作得到m的取值范I制.【详解】已知p：点M(l,2)在不等式x-y+m<0表示的区域内，则1一2+〃?V0,/.m<1,又q：直线2x-y+m=0与直线mx+y-l=0相交,，则〃7丰-2,由pAq为真命题,，可得m<I且mH-2,即答案为(Y,—2)u(—2,1).【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的范鬧，是基础题.、y=-—xI^x+2y-2=0【分析】根据截距是否为零分类求解.【详解】当在X轴上的截距为零时，所求直线方程可设为y=^9因为过点(-4,3),所以

,33&=_"=_*；4当在x轴上的截距不为零时，所求直线方程可设为—+-=1,因为过点（-4,3）,所以2mm〃7=l,x+2y-2=0・；3所以直线方程为y=--x!^x+2y-2=04【点睛】本题考查根据截距求直线方程，考查基本分析求解能力，属中档题.6【解析】【分析】取的中点F,连接£F、AF,则异面直线AE与AD所成角为ZAEF（或其补角），在三角形△AEF中根据边角关系得到答案.【详解】取3艮的中点F,连接“、AF,连接厲C,VABBiC中，EF是中位线，:.EF//B1C•:A^BJ/ABZ/CD,A"i=AB=CD,・•・四边形ABCD是平行四边形，可得B.C//A.D:.EF//AiD,可得ZAEF（或其补角）是异面直线AE与AiD所成的角.VACDE中，ZECD=120°,・・.DE=羽CD=羽=A】E=趴人'+AE?,又AE=AB=l,・・・Ap4二血，由此可得・・・Ap4二血，由此可得BF=£V62iF=笃::二广=£'即异面直线旅与卫所成角的余弦值为罟【点睛】本题考查了异面直线夹角的定义及作法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.271【分析】将将和\DCE同时绕AD所在的直线/旋转一周,所得几何体为一个圆柱挖去两个同底的圆锥，再由圆柱及圆锥的体枳公式求解即可.【详解】解：旋转体的体积V等于圆柱的体积减去两个同底的圆锥的体积之和，两个同底圆锥的体积之和为：兀xxl+—7ixl~x2=h,圆柱的体枳为7ixI2x3=3兀，3所以V=3兀一兀=2兀.【点睛】本题考查了空间旋转体的体积，重点考查了空间想象能力及运算能力，属中档题.①②④【解析】【分析】由题意结合直线的性质和圆性质整理计算即町求得最终结果.【详解】直线l:kx-y-k+2=Q恒过定点(1,2),

x=1,y=2KA(x-1-cosOy+(y-2-sinO^=1,等式成立，即圆过定点(1,1)，据此可知：对任意实数R与&,直线/和圆M有公共点；存在实数R与0,直线/和圆M相切；不存在实数R与&,直线/和圆M相离：说法①®正确，说法③错误：对任意实数必存在实数&，使得直线/与和圆M相切；说法④正确：当0=0时，圆的方程为：(x—2)'+(y—2)'=l,此时不存在实数k,使得直线/与和圆M相切，即说法⑤错误.综上可得：真命题的代号是①©④.【点睛】本题主要考查直线恒过定点问题，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.(1)//?=-：(2)m=2,3,-2,-7.2【分析】(1)由A,B,C三点共线，则kAB=kBC,解之即可得到结果；(2)利用两条有斜率的直线垂直，斜率之积为一1列出方程，分别求出当ZABC=-,ZACB=-,ZACB=-时222m的值即可.【详解】(1)vA,B,C三点共线,^kAB=kBC,即肘=罟，解得”斗m+l"T"若如V则(加一1)._午1卜_1m+l"T"若如V则(加一1)._午1卜_1m—±2・若*彳故m=2,3,-2,-7.【点睛】本题考查直线斜率的应用，考查两直线平行和垂直与斜率的关系，注意认真计算和分类讨论的思想运用，属基础题.(1)(244-7i)m2(2)(8+)m3【分析】(1)通过三视图判断几何体是一个组合体，上部为一个半径为1的半球，下部为棱长为2的正方体，该几何体的表面积=正方体的表面枳+半球面面积-球的底面积(2)该几何体的体枳为正方体的体积+半球的体积；【详解】由三视图可知该几何体的下半部分是棱长为2m的正方体，上半部分是半径为1m的半球.(1)几何体的表面枳为S=6X2X2+2ttX2-kXl2=24+n(/??2).⑵几何体的体积为V=23+丄X夕7rxl3=(8+M)(m3)233【点睛】本题考查三视图还原几何体形状的判断，考查几何体的表面积与体积的求法，考查空间想彖能力与计算能力.(1)6/=-；(2)包E.23【分析】由垂直可得两直线系数关系，即可得关于实数d的方程.由平行可得两直线系数关系，即可得关于实数d的方程，进而可求出两直线的方程，结合直线的距离公式即可求出直线厶与厶之间的距离.【详解】3(1)由厶丄h知d+3(d-2)=0,解得«=-.(2)当“仏时，有(2)当“仏时，有(a(a-2)-3=0(3a-(d-2)H0此时/「3x+3y+l=0」2:x+y+3=0,即l2:3j+3y+9=0,则直线厶与人之间的距离〃=|9-1|

则直线厶与人之间的距离〃=|9-1|

血+3,4^23【点睛】本题考查了由两直线平行求参数，考查了由两直线垂直求参数的值，属于基础题.(1)证明见解析；(2)亜.5【分析】丄M，ABIDE，推出A3丄平面DEF，即可证明平面DAB丄平面DEF.在ADEF中过E作DF的垂线，垂足日，说明ZEBH即所求线面角，通过求解三角形推出结果.【详解】解:(1)证明：因为D在底面ABC上的射影E在4C上，DE丄面ABC,ABc面ABC,:.DE丄AB•••DF丄AB•・・DFnDE=D,DFu平面DEF,DEu平面DEF所以43丄平面DEF又因为ABU平面DAB所以平面DAB丄平面DEF;⑵在QEF中过E作DF的垂线，垂足H由⑴知£7/丄平面D43,即所求线面角由尸是中点，AB丄EF得EA=EB设AC=29则旋=1,因为ABAC=AADC=-y3哋DE"EF書,DF=誓,EH=辱所以所求线面角的正弦值为smZE吩鲁=于.【点睛】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想彖能力以及计算能力.(1)b的取值范围为(yU3),圆心C坐标为(3,2)；(2)［译，普］【分析】根据圆的一般方程得出关于实数b的不等式，即可求出实数b的取值范围，再利用圆心坐标公式可求出圆心坐标；由题意可知点M的坐标为仏加-4),由|N4|=|NO|可知线段04的垂直平分线与圆M有公共点，由此可得出关于实数“的不等式，进而可求出实数a的取值范围.【详解】由于方程x2+