四川省成都实验外国语学校2023学年高三第六次模拟考试数学试卷（含解析）

2023学年高考数学模拟测试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线：的焦点为，，且上点满足，，，则双曲线的离心率为A． B． C． D．52．函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为（）A． B． C． D．3．已知函数是上的偶函数，且当时，函数是单调递减函数，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．4．函数的部分图象大致为（）A． B．C． D．5．已知定义在上的可导函数满足，若是奇函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．6．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．7．已知双曲线：（，）的焦距为.点为双曲线的右顶点，若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率是（）A． B． C．2 D．38．执行程序框图，则输出的数值为（）A． B． C． D．9．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则（）A．， B．，C．， D．，10．在菱形中，，，，分别为，的中点，则（）A． B． C．5 D．11．如图，四边形为平行四边形，为中点，为的三等分点（靠近）若，则的值为（）A． B． C． D．12．若复数满足（是虚数单位），则的虚部为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，，若线段的垂直平分线与轴交点的横坐标为，则的值为_________.14．的展开式中含的系数为__________．（用数字填写答案）15．复数为虚数单位）的虚部为__________．16．对任意正整数，函数，若，则的取值范围是_________；若不等式恒成立，则的最大值为_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为了解网络外卖的发展情况，某调查机构从全国各城市中抽取了100个相同等级地城市，分别调查了甲乙两家网络外卖平台（以下简称外卖甲、外卖乙）在今年3月的订单情况，得到外卖甲该月订单的频率分布直方图，外卖乙该月订单的频数分布表，如下图表所示.订单：（单位：万件）频数1223订单：（单位：万件）频数402020102（1）现规定，月订单不低于13万件的城市为“业绩突出城市”，填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.业绩突出城市业绩不突出城市总计外卖甲外卖乙总计（2）由频率分布直方图可以认为，外卖甲今年3月在全国各城市的订单数（单位：万件）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表），的值已求出，约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：①从全国各城市中随机抽取6个城市，记为外卖甲在今年3月订单数位于区间的城市个数，求的数学期望；②外卖甲决定在今年3月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国各月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市不开展营销活动，若每按一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖平均需送出红包2元，则外卖甲在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？附：①参考公式：，其中.参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若，则，.18．（12分）已知首项为2的数列满足.（1）证明：数列是等差数列．（2）令，求数列的前项和.19．（12分）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，，是棱的中点.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若存在满足不等式，求实数的取值范围.21．（12分）已知函数．（1）解不等式；（2）若函数存在零点，求的求值范围．22．（10分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，如果方程有两个不等实根，求实数t的取值范围，并证明.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【答案解析】

根据双曲线定义可以直接求出，利用勾股定理可以求出，最后求出离心率.【题目详解】依题意得，，，因此该双曲线的离心率.【答案点睛】本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率，考查了运算能力.2、A【答案解析】

求出函数在处的导数后可得曲线在处的切线方程，从而可求切线的纵截距.【题目详解】，故，所以曲线在处的切线方程为：.令，则，故切线的纵截距为.故选：A.【答案点睛】本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题属于基础题.3、D【答案解析】

利用对数函数的单调性可得，再根据的单调性和奇偶性可得正确的选项.【题目详解】因为，，故.又，故.因为当时，函数是单调递减函数，所以.因为为偶函数，故，所以.故选：D.【答案点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.4、B【答案解析】

图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。【题目详解】，故奇函数，四个图像均符合。当时，，，排除C、D当时，，，排除A。故选B。【答案点睛】图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。5、A【答案解析】

构造函数，根据已知条件判断出的单调性.根据是奇函数，求得的值，由此化简不等式求得不等式的解集.【题目详解】构造函数，依题意可知，所以在上递增.由于是奇函数，所以当时，，所以，所以.由得，所以，故不等式的解集为.故选：A【答案点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.6、B【答案解析】

设，，，根据向量线性运算法则可表示出和；分别求解出和，，根据向量夹角的求解方法求得，即可得所求角的余弦值.【题目详解】设棱长为1，，，由题意得：，，，又即异面直线与所成角的余弦值为：本题正确选项：【答案点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.7、A【答案解析】

由点到直线距离公式建立的等式，变形后可求得离心率．【题目详解】由题意，一条渐近线方程为，即，∴，，即，，．故选：A．【答案点睛】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．8、C【答案解析】

由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案.【题目详解】，，，，，满足条件，，，，，满足条件，，，，，满足条件，，，，，满足条件，，，，，不满足条件，输出.故选：C【答案点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.9、B【答案解析】

分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.【题目详解】可能的取值为；可能的取值为，，，，故，.，，故，,故，.故选B.【答案点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.10、B【答案解析】

据题意以菱形对角线交点为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果.【题目详解】设与交于点，以为原点，的方向为轴，的方向为轴，建立直角坐标系，则，，，，，所以.故选：B.【答案点睛】本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.11、D【答案解析】

使用不同方法用表示出，结合平面向量的基本定理列出方程解出．【题目详解】解：，又解得，所以故选：D【答案点睛】本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．12、A【答案解析】

由得,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数,从而可得的虚部.【题目详解】因为,所以,所以复数的虚部为.故选A.【答案点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【答案解析】

设，写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得，由抛物线定义得焦点弦长，求得，再写出的垂直平分线方程，得，从而可得结论．【题目详解】抛物线的焦点坐标为，直线的方程为，据得.设，则.线段垂直平分线方程为，令，则，所以，所以.故答案为：1．【答案点睛】本题考查抛物线的焦点弦问题，根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键．14、【答案解析】由题意得，二项式展开式的通项为，令，则，所以得系数为．15、1【答案解析】试题分析：，即虚部为1，故填：1.考点：复数的代数运算16、【答案解析】

将代入求解即可；当为奇数时,,则转化为,设,由单调性求得的最小值；同理,当为偶数时,,则转化为,设,利用导函数求得的最小值,进而比较得到的最大值.【题目详解】由题,,解得.当为奇数时,,由,得,而函数为单调递增函数,所以,所以；当为偶数时,,由,得,设,,单调递增,,所以,综上可知,若不等式恒成立,则的最大值为.故答案为:(1)；(2)【答案点睛】本题考查利用导函数求最值,考查分类讨论思想和转化思想.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析，有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.（2）①4.911②100万元.【答案解析】

（1）根据频率分布直方图与频率分布表，易得两个外卖平台中月订单不低于13万件的城市数量，即可完善列联表.通过计算的观测值，即可结合临界值作出判断.（2）①先根据所给数据求得样本平均值，根据所给今年3月订单数区间，并由及求得，.结合正态分布曲线性质可求得，再由二项分布的数学期望求法求解.②订单数低于7万件的城市有和两组，根据分层抽样的性质可确定各组抽取样本数.分别计算出开展营销活动与不开展营销活动的利润，比较即可得解.【题目详解】（1）对于外卖甲：月订单不低于13万件的城市数量为，对于外卖乙：月订单不低于13万件的城市数量为.由以上数据完善列联表如下图，业绩突出城市业绩不突出城市总计外卖甲4060100外卖乙5248100总计92108200且的观测值为，∴有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.（2）①样本平均数，故==，，的数学期望，②由分层抽样知，则100个城市中每月订单数在区间内的有（个），每月订单数在区间内的有（个），若不开展营销活动，则一个月的利润为（万元），若开展营销活动，则一个月的利润为（万元），这100个城市中开展营销活动比不开展每月多盈利100万元.【答案点睛】本题考查了频率分布直方图与频率分布表的应用，完善列联表并计算的观测值作出判断，分层抽样的简单应用，综合性强，属于中档题.18、（1）见解析；（2）【答案解析】

（1）由原式可得,等式两端同时除以,可得到,即可证明结论;（2）由（1）可求得的表达式,进而可求得的表达式,然后求出的前项和即可.【题目详解】（1）证明:因为,所以,所以,从而,因为,所以,故数列是首项为1,公差为1的等差数列.（2）由（1）可知,则,因为,所以,则.【答案点睛】本题考查了等差数列的证明,考查了等差数列及等比数列的前项和公式的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.19、（1）详见解析；（2）.【答案解析】

（1）根据平面，四边形是矩形，由为中点，且，利用平面几何知识，可得，又平面，所以，根据线面垂直的判定定理可有平面，从而得证.（2）分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，得到，，，，分别求得平和平面的法向量，代入二面角向量公式求解.【题目详解】（1）证明：∵平面，∴四边形是矩形，∵为中点，且，∴，∵，，，∴.∴，∵，∴与相似，∴，∴，∴，∵，∴平面，∴平面，∵平面，∴，∴平面，∴.（2）如图，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，则，，解得：，同理，平面的法向量，设二面角的大小为，则.即二面角的余弦值为.【答案点睛】本题主要考查线线垂直、线面垂直的转化以及二面角的求法，还考查了转化化归的思想和推理论证、运算求解的能力，属于中档题.20、（Ⅰ）或.（Ⅱ）【答案解析】

（Ⅰ）分类讨论解绝对值不等式得到答案.（Ⅱ）讨论和两种情况，得到函数单调性，得到只需，代入计算得到答案.【题目详解】（Ⅰ）当时，不等式为，变形为或或，解集为或.（Ⅱ）当时，，由此可知在单调递减，在单调递增，当时，同样得到在单调递减，在单调递增，所以，存在满足不等式，只需，即，解得.【答案点睛】本题考查了解绝对值不等式，不等式存在性问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21、（1）或；（2）．【答案解析】

（1）通过讨论的范围，将绝对值符号去掉，转化为求不等式组的解集，之后取并集，得到原不等式的解集；（2）将函数零点问题转化为曲线交点问题解决，数