2022年黑龙江省高考文科数学一模试卷及答案解析

第第PAGE1614页2022年黑龙江省高考文科数学一模试卷注意事项：条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2B号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。3试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）15分）已知集合A＝|x≤2，B＝﹣＜1，则AB＝（ ）A．{x|﹣3＜x≤2} B．{x|﹣3≤x≤2} C．{x|﹣2≤x＜1} 25分）若复数z满足（3+）＝|3+，则z的虚部为（ ）5A．0 B．−5

4 D．−45C．i5535分）已知mαααmα”的（ ）充要条件C

充分不必要条件D45分在等差数an中+8a13n表示数n的前n项和则15（ ）A．43

B．44

C．45

D．4655分）若向𝑎

→ → 𝑎𝑎−

=1，则向与→ ），𝑏满足|𝜋

𝜋

）22𝜋

𝑏的夹角为（5𝜋A．6

B．3

3 D．665分）已知＞0，＞0，两直线（）+1，：+b+1，且1⊥，则1+

2的最小值为（ ）𝑎 𝑏A．2 B．4 C．8 75分）已知函数（）＝•﹣2，则下列结论正确的是（ ）A．f（x）是偶函数，递增区间是（﹣∞，0）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（0，+∞）85分其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第天后剩余木棍的长度为a，数列{a

n

，则使得不等式S31成立的正整n n数n的最小值为（ ）A．5 B．6

nC．7

n 32D．89（5分）函数)=𝑥+−𝜋𝜑) 𝜋2 的图象向左平移6个单位长度后所得图象8关于直𝑥=𝜋对称，则函数f（x）的一个递增区间是（ ）8A．[−5𝜋，𝜋] B．[−𝜋，7𝜋]24 3 4 24C．[19𝜋，31𝜋]

D．[−𝜋，𝜋]24 24 4 315分）⊥底面ABCABA＝4．设该𝑅四棱锥的外接球半径为R，内切球半径为r，则𝑟的值（ ）√41 √41A．3 B．3√41 C．√41 D．215分）若函数（）＝2a+2•x在R上无极值，则实数a的取值范围是（ ）A（，） B2√√) C232] D．﹣22]15分）已知抛物线：2p（＞）的准线与圆E：+2+﹣＝0只有一个𝑂𝐴→𝑂𝐴AM

⋅𝐹=−（O为坐标原点，则点A的坐标是（ ）A（，）或C1，）

B1，）或D（1，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）15分）已知taπ）＝

𝑠𝑖𝑛𝛼 = ．𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼𝑏，1．5分已知向→→ 𝑎=𝑏，

𝑏=1−2 )→⊥

→−𝑏|= ．15分）设，，，若+2+＝，则++2的最小值为 ．15分）𝐶：2−2=𝑎0的左、右焦点分别为F

，F，若双曲1 𝑎2

𝑏2 1 2→CC：x2+y2﹣b2＝0

|𝑀𝐹1|

1= C的1 ，在第二象限的交点为M，且→ 3 1|𝑀𝐹2|离心率为 ．三、解答题（本大题共6题，共70分）1（10分）n的前n项和为n，满足n+a∈N，且3a31，{an}的通项公式；记n＝lo（nn+n的前n项和为n．1（12分ABCABC所对的边长分别为bsi=√bco，a2﹣c2＝2b2．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积为21√3，求b的值．1（12分）已知函数）﹣a|++2（∈R．a＝1f（x）≥5的解集；x∈[0，1]f（x）≤|x+4|a的取值范围．2（12分）在三棱锥﹣BCDA是CDA＝AB＝，P＝B√，PC＝12．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD＝6√3，求点A到平面PBC的距离．2（12

𝑥2

𝑦2

=1（a＞b＞0

1，过点0√．2分）椭圆C：2𝑎（Ⅰ）求椭圆方程；

𝑏2

，离心率为212（Ⅱ）过（，0）的直线与椭圆交于A，B两点，椭圆左顶点为D，求kAD•kBD．2𝑥2（12分）已知函数）a−𝑥aaR．𝑥x＝1f（x）af（x）的单调性；1＜x＜e时，f（x）≤0a的取值范围．2022年黑龙江省高考文科数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）15分）已知集合A＝|x≤2，B＝﹣＜1，则AB＝（ ）A．{x|﹣3＜x≤2} B．{x|﹣3≤x≤2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|﹣2≤x≤1}【解答】解：∵A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|﹣3＜x＜1}，∴A∩B＝{x|﹣2≤x＜1}．故选：C．25分）若复数z满足（3+）＝|3+，则z的虚部为（ ）5A．0 B．−5

4 D．−45C．i55解：复数z3+＝|3+，所以（3+4i）z=√32+42=5，所以5

=3−4i，3+4𝑖 (3−4𝑖)(3+4𝑖) 5 55所以z的虚部是−4．5故选：D．35分）已知mαααmα”的（ ）充要条件C

充分不必要条件Dl与α不垂直，∴充分性不成立，②当l⊥α时，∵m⊂α，∴l⊥m，∴必要性成立，∴l⊥m45分在等差数an中+8a13n表示数n的前n项和则15（ ）A．43 B．44 C．45 D．46【解答】解：在等差数列{an}中，由a3+a8+a13＝9，得3a8＝9，即a8＝3，∴S =(𝑎1+𝑎15)×15=15𝑎

=15×3=45．15 2 8故选：C．55分）若向𝑎

→

𝑎𝑎−

=1，则向与→ ），𝑏满足|𝜋

𝜋

）22𝜋

𝑏的夹角为（5𝜋A．6

B．3

C．3

D．6【解答解：由已𝑎＝|→ 𝑎（→−𝑏 =1，→2−𝑎⋅𝑏=1，所→⋅𝑏=1，所以向𝑎

𝑏|＝1，且 ）2 2 2→→→𝑎⋅𝑏 =1，与𝑏的夹角的余弦值为→→ 2所以向𝑎

|𝑎||𝑏|𝜋与𝑏的夹角为3．故选：B．65分）已知＞0，＞0，两直线（）+1，：+b+1，且1⊥，则1+

2的最小值为（ ）𝑎 𝑏A．2 B．4 C．8 D．9解：已知＞b0，两直线1（﹣1+1＝，：+2b+0，且1⊥l2，所以a﹣1+2b＝0，整理得a+2b＝1；𝑏𝑎1+2𝑏𝑎

1 2 2𝑏 2𝑎 1所以 =(𝑎+2𝑏)(𝑎+𝑏)=1+4+𝑎+𝑏≥9，当且仅当a＝b=时，等号成立．故选：D．75分）已知函数（）＝•﹣2，则下列结论正确的是（ A．f（x）是偶函数，递增区间是B．f（x）是偶函数，递减区间是C．f（x）是奇函数，递减区间是D．f（x）是奇函数，递增区间是【解答】解：根据题意，f（x）＝x•|x|﹣2x={

𝑥2−2𝑥，𝑥≥0，−𝑥2−2𝑥，𝑥＜0其定义域为Rf（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，在区间[0，1）上递减，[1，+∞）上递增，又由（）为奇函数，则（）在区间（10（﹣∞，1上递增，（）的递减区间是（1，故选：C．85分其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第天后剩余木棍的长度为a，数列{a}的前n项和为S，则使得不等式S

31成立的正整n n n数n的最小值为（ ）A．5 B．6 C．71

n 32D．8n【解答】解：由题设可得：数列{a}是首项、公比为的等比数列，n21 1[1−(1)𝑛] 1∴an=2𝑛，Sn=2

21−12

=1﹣（）n，231 1 312𝑆𝑛＞32可得：1﹣（）n32，解得：n＞5，2∵n∈N*，∴nmin＝6，9（5分）函数)=𝑥+−𝜋𝜑) 𝜋2 的图象向左平移6个单位长度后所得图象8关于直𝑥=𝜋对称，则函数f（x）的一个递增区间是（ ）8A．[−5𝜋，𝜋] B．[−𝜋，7𝜋]24 3 4 24C．[19𝜋，31𝜋]

D．[−𝜋，𝜋]24 24 4 3【解答解：函𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜑)(−𝜋𝜋23可得y＝sin（2x+𝜋+φ）的图象．3

的图象向左平移6个单位长度后，根据所得图象关于直𝑥=𝜋对称，可得2×𝜋+𝜋+φ＝kπ+𝜋 8 8 3 2，kk＝0φ=−

𝜋，∴（）＝2si（2−𝜋．12 12由2nπ−𝜋≤2x−

≤2nπ+

π−5𝜋≤x≤nπ+7𝜋

π−5𝜋2 127𝜋

2求得n

4f

24，nπ+24]，

19𝜋

31𝜋令n＝1，可得函数f（x）的一个递增区间为[24，故选：C．

24]，15分）⊥底面ABCABA＝4．设该𝑅四棱锥的外接球半径为R，内切球半径为r，则𝑟的值（ ）√41 √41A．3 C．√41 D．2【解答】解：将该四棱锥补形得到一个长方体，该长方体的体对角线为四棱锥的外接球的直径2R，长方体的长、宽、高分别为AD，AB，AP2，因为PA＝3，BC＝AB＝4，所以（2R）2＝AB2+BC2+AP2＝42+42+32＝41，解得𝑅=√412，ABCDABCDO1的内切圆，设内切球球心O1在侧面PAD上的射影为O2，连结O2P，O2A，O2D，则由𝑆

=1𝑃𝐴𝑟1𝑃𝐷𝑟1𝐴𝐷𝑟 1×4×3=1⋅𝑟⋅(3+4+5)，解得2 2 r＝1，

2 2 2 ，即𝑅所以𝑟

=√41．2故选：D．15分）若函数（）＝2a+2•x在R上无极值，则实数a的取值范围是（ ）A（，） B√√) C] D．﹣22]【解答】解：f′（x）＝（2x+a）ex+（x2+ax+2）ex＝ex[x2+（a+2）x+a+2]，要使f（x）在R上无极值，则导函数f′（x）恒大于等于零或恒小于等于零，故（a+2）2﹣（+）＝a+﹣2），∴﹣2≤a≤2，即实数a的取值范围为[﹣2，2]．故选：D．15分）已知抛物线：2p（＞）的准线与圆E：+2+﹣＝0只有一个𝑂𝐴→𝑂𝐴AM

⋅𝐹=−（O为坐标原点，则点A的坐标是（ ）A（，）或C1，）

B1，）或D（1，）2【解答】解：抛物线M的准线方程为x=−𝑝，22圆E可化为﹣）++2＝1，圆心E为Ed=3+𝑝=4p＝2，2故抛物线M的方程为4，焦点F（，0，𝑦2设A（04→

𝑦0𝑦2

→ 4则𝑂𝐴=（44

，𝑦0

𝐹=1

0，−→ → 所𝑂𝐴⋅𝐴𝐹= 0(1− 0)−

=−4，解得y0＝±2，4 4 0故点A的坐标为，）或二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）𝑠𝑖𝑛𝛼 215分）已知taπ）＝，则 = ．𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼 3【解答】解：因为tan（π+α）＝tanα＝2，𝑠𝑖𝑛𝛼所以𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼2故答案为：．3

= 𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛼+1

2 2=2+1=3．=𝑏，1（5分已知向→→ 𝑎=𝑏，

𝑏=1−2+→⊥

→−𝑏|= √2 ．，𝑏满足，【解答解：∵向→ → 𝑎=，𝑏满足，

𝑏=1−2+→⊥𝑏，∴→⋅𝑏2×1y+×（2）＝＝→=（﹣6𝑎−→则→−𝑏|=√5+5√，，故答案为：5√2．315分）设，，，若+2+＝，则++2的最小值为 2 ．解：由柯西不等式++2（2++）≥a++2，可得a2+b2+c2≥3，当且仅当a=1，b＝1，c=1时取等号，2 2 23∴a2+b2+c2的最小值为，23故答案为：．215分）

𝑥2−𝑦2=F

，F，若双曲1 𝑎2

𝑏2 1 2→CC：x2+y2﹣b2＝0

|𝑀𝐹1|

1= C的1 ，在第二象限的交点为M，且→ 3 1离心率为 √3 ．【解答解：如图，由题知|=b，| |

|𝑀𝐹2|| |−| |=2𝑎，∴| |=3𝑎，| |=a，∴| |2+| | |2，

{| |=3| |∴MF

⊥OM，cos∠MF

O=| |=𝑎=𝑎2+4𝑐2−9𝑎2，1 1

| 𝑐 2×2𝑐×𝑎∴12a2＝4c2，∴e2＝3，∴e=√3．故答案为：√3．三、解答题（本大题共6题，共70分）1（10分）n的前n项和为n，满足n+a∈N，且3a31，{an}的通项公式；记n＝lo（nn+n的前n项和为n．）由a+＝nNan是公比为2的等比数列，S3＝2a3﹣1a1+2a1+4a1＝8a1﹣1，解得a1＝1，所以an＝2n﹣1；（2）bn＝log2（an•an+1）＝log2（2n﹣1•2n）＝2n﹣1，则数列{b

n

=𝑛(1+2𝑛−1)=n2．n n 21（12分ABCABC所对的边长分别为bsi=√bco，a2﹣c2＝2b2．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积为21√3，求b的值．【解答】（本小题满分12分）（Ⅰ）∵siCsi=√3siBcoC，∵sinB≠0，∴tanC=√3，3∴C=𝜋．…（5分）3（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，cos

=𝑎2+𝑏2−𝑐2=1，∴a2+b2﹣c2＝ab，又∵a2﹣c2＝2b2，∴a＝3b，∴由题意可知，S

C 2𝑎𝑏 2=1absinC=3√3b2＝21√3，ABC 2 4∴b2＝28，可得：b＝2√7．…（12分）1（12分）已知函数）﹣a|++2（∈R．a＝1f（x）≥5的解集；x∈[0，1]f（x）≤|x+4|a的取值范围．1a1时，函数（）﹣1|++2，不等式（）5即为﹣1|++2|≥5，x≤﹣2时，不等式化为当﹣2＜x≤1时，不等式化为x＞1x﹣1+x+2≥5x≥2；综上所述，不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤﹣3或x≥2}；（2）当x∈[0，1]时，|x+2|＝x+2，|x+4|＝x+4，不等式f（x）≤|x+4|，即为|x﹣a|+x+2≤x+4，化为|x﹣a|≤2，解得a﹣2≤x≤a+2；根据题意得，

𝑎−2≤𝑥𝑚𝑖𝑛，𝑚𝑎𝑥{𝑎+2≥𝑥𝑚𝑎𝑥x∈[0，1]

𝑎−2≤0

{𝑎+2≥1，所以实数a的取值范围是[﹣1，2]．2（12分）在三棱锥﹣BCDA是CDA＝AB＝，P＝B√，PC＝12．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD＝6√3，求点A到平面PBC的距离．【解答】（Ⅰ）证明：∵A是CD的中点，AB＝AC，在△BCD中，AB＝AC＝AD，∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，即BC⊥BD，由已知PB＝6√3，PC＝12，BC＝6，得PC2＝PB2+BC2，∴BC⊥PB，又BD∩PB＝B，BD、PB⊂平面PBD，∴BC⊥平面PBD；（Ⅱ）解：由（1）可知，BC⊥平面PBD，﹣ DPBCdVDPBC＝VCPBD﹣ 𝑆1𝑆3可得 3

⋅𝑑=

13

△𝑃𝐵𝐷

⋅6，∵△PBD

=1×6√3×6√3×√3=27√3，△𝑃𝐵𝐷 2△PBC为直角三角形，且PB=6√3，BC＝6，∴𝑆

2=1×6×6√3=18√3，27√3×6=9

△𝑃𝐵𝐶 29可得d=

8√3

，而A是CD的中点，则点A到平面PBC的距离为．2𝑥2

+𝑦2= 12（12分）椭圆C：𝑎2

𝑏2

1＞b＞，离心率为，过点0√．2（Ⅰ）求椭圆方程；12（Ⅱ）过（，0）的直线与椭圆交于A，B两点，椭圆左顶点为D，求kAD•kBD．2𝑐（Ⅰ）离心率𝑎

1，即a＝2c，2过点0√．可得=√，∵a2＝3+c2，∴𝑎=2{𝑐=1

𝑥2

+𝑦2

=1；∴椭圆方程为4 31 12（Ⅱ）设过（，0）的直线方程为x＝my+ ．2212过（，0）的直线与椭圆交于（，1，（，）两点，2+=1 45联{4 3 ，消去x，可(4+3𝑚2)𝑦2+3𝑚𝑦−4=0；2𝑥=𝑚