正交小波构造

第5讲正交小波构造正交小波概述由ho(n)递推求解4(t)的方法。消失矩、规则性及支撑范围Daubechies正交小波构造接近于对称的正交小波及Coiflet小波我们在上一讲中集中讨论了离散小波变换中的多分辨率分析，证明了在空间 V0中存在正交3—基｛4(t-k),kwZ｝,由6(t)作尺度伸缩及位移所产生的砂j,k(t),j,kwZ｝是Vj中的正交归一基。力⑴是尺度函数，在有的文献中又称其为“父小波”。同时，我们假定Vj的正交补空间Wj中也存在正交归一基1j,k(t),j,kwZ｝,它即是小波基，中(t)为小波函数，又称“母小波”。本章，我们集中讨论如何构造出一个正交小波 中(t)。所谓“正交小波”，指的是由巴t)生成的｛中(t-k),ZZ｝,或叫空间中的正交归一基Hj,k(t),j,kWZ｝。Daubechies在正交小波的构造中作出了突出的贡献。本章所讨论的正交小波的构造方法即是以她的理论为基础的

5.1正交小波概述现在举两个大家熟知的例子来说明什么是正交小波及对正交小波的要求 ，一是Haar小波，二是Shannon」、波。I.Haar小波我们在4..1节中已给出Haar小波的定义及其波形，Haar小波的尺度函数1(t)。重写其定义，即0Mt<1/21/2<t0Mt<1/21/2<t：：1其它(5.1.1)I(t): 10(t)二0(t)二00Mt：二1其它(5.1.2)显然，中显然，中⑴的整数位移互相之间没有重叠,所以^(t-k)W(t-k′»=6(k-k'),即它们是正交的。同理，Wk。),。")/*-k')很容易推出巴t)和1(t)的傅里叶变换是j1''1/2()=j1''1/2()=jesin2/4

/4()=ej/2sin/2

/2注意式中切实际上应为夏。由于Haar小波在时域是有限支撑的，因此它在时域有着极好的定位功能。但是，由于时域的不连续引起频域的无限扩展，因此，它在频域的定位功能极差，或者说频域的分辨率极差。上一章指出，Haar小波对应的二尺度差分方程中的滤波(5.1.5)1(5.1.5)”)二工它们是最简单的两系数滤波器。2.Shannon小波(t)二(t)二sin二t(5.1.6)由于①(。)=・’1由于①(。)=・’1|«|<n

其它(5.1.7)(t-k),(t-k')二1 . •.,*...一 0k(,>,,0,k(■)d,2二1冗2-①4k(01冗2-①4k(0)=]’102<2^

其它(5.1.9)'、e/i)d=、(k-k) (5.1.8)所以布(t-k),k-Z｝构成V。中的正交归一基。巾⑴称为Shannon小波的尺度函数。由于%k(t)€Vo,V。㊉Wo=V」，由二尺度性质,*(2t-k)€V1,因此这样，对中⑴正叫，有(5.1.4.)2 <2^(5.1.4.)其它

于是可求出sin二于是可求出sin二t/2(t)=(f^-)cos(3二t/2)读者可很容易验证(5.1.12),■(t-k),1-(t-k')=、.(k—kj(5.1.12)也即即(t—k),kwZ｝构成W。中的正交归一基。其实，从频域可以看到， 中冰@)和69@)各自及相互之间的整数移位都没有重叠，因此它们是正交的，如图5.1.1所示。4

自及相互之间的整数移位都没有重叠，因此它们是正交的，如图5.1.1所示。4图5.1.1Shannon图5.1.1Shannon小波及其尺度函数度频域波形显然，Shannon小波在频域是紧支撑的，因此，它在频域有着极好的定位功能。但频域的不连续引起时域的无限扩展，也即时域为 Sinc函数。这样，Shannon小波在时域不是紧支撑的，有着极差的定位功能。Haar小波和Shannon小波是正交小波中两个极端的例子。自然，我们欲构造的正交小波应介于两者之间。以前给出了能作为小波的函数中(t)的基本要求，即：中(t)应是带通的；由于”(t)dt=0,因此它应是振荡的；皆(。)应满足容许条件；勺(G)还应满足稳定性条件；止匕外，中(t)、皆(C)最好都是紧支撑的。由二尺度差分方程，①⑼、勺(0)均和Ho®)、Hi(0)有着内在的联系。重写(4..4.14)式和(4..4.15)式，有TOC\o"1-5"\h\zHo(/2j) ,j(5.1.13)()= =H0(2j)(5.1.13)j=1 2 j=1H1(/2)Ho(/2j) ' ,T()二y1二:=Hi(/2)尸2H0(2 )(5.1.14)

这两个式子明确指出，正交小波及其尺度函数可由共扼正交滤波器组作无限次的递推来产生。这一方面给我们指出了构造正交小波的途径，另一方面也指出，在(5.1.13)和(5.1.14)式的递推过程中还存在着一个收敛的问题，这就要求对小波函数还要提出更多的要求，如5.3节要讨论的消失矩和规则性等问题。 为说明这些问题，我们在下一节首先讨论如何由(5.1.13)和(5.1.14)式递推求解9侬)和里(⑴的问题，并说明其中可能存在的问题。5.2 由ho(n)递推求解"t)的方法(4..4.4)式给出了由h0(n),h1(n)递推求解1(t)和中(t)的方法。即00“t)=V2£h0(n)*(2t-n) (5.2.1a)(5.2.1b)(5.1.13)式或n=一兀

,_(5.2.1b)(5.1.13)式或(t)=2h1(n)(2tn)n=- I此即二尺度差分方程，对应的频域关系由(5.1.13)和(5.1.14)式给出。假定"t)和中(t)事先是未知的，当然(5.2.1)式无法利用，这时可用(5.1.14)式递推求解.⑴和中⑴。若令(J) J一1 2j(5.2.2a)Ho(J)(z)…Ho(z2)(5.2.2a)j=0并用它来近似①尸)，那么(5.2.2a)式对应的时域关系是h0(J)(n)=h0(0)(n)*h0⑴(n)* *h0(J1)(n) (5.2.2b)式中h°(0)(n)=h°(n),h。⑴(n)是由h0(0)(n)每两点插入一个点所得到的新序列。同理，儿⑵⑻是将h°(0)(n)每两点插入22—1=3个零所得的新序列。假定ho(O)(n)=h°(n)的长度为N,则h。⑴(n)的长度为2N-1,h。⑼(n)*ho(1)(n)的长度为3N-2,h。⑵(n)的长度为3N+1,…，其余可类推。由此可以看出，(5.2.2)式卷积的结果将使ho(J)(n)的长度急剧增加。例如，若令ho(n)=—(1,3,3,1},则8f-ho⑴(n)=(二)2：1,3,31*,：1,。,3。3,。,1)8=(二■)2(1,3,6,1。,12,12,1。,63118。、 2h。⑵(n)=( )211,3,6,1o,12,12,1o,6,3,1;*11,o,o,o3o,o,o3o,o,o18如此，当J趋近于无穷时，H。⑷(6)逼近68),ho(J)(n)“逼近”连续函数d(t),但这一“逼近”，需要将接近于无限长的ho(J)(n)压缩回到有限的区间内。由于ho(n)的长度为N,我们假定虫t)的“长度”也为N,只不过此处范围O~N-1代表的是连续时间t的序号。也即，®(t)的时间持续区间是O~N-1,在这一范围内应包含h。⑷(n)的所有点，压缩比等于ho(J)(n)的长度/N。MATLAB^的wavefun.m文件可以实现上述的递推算法。对(5.2.1a)式，若令O0Xi1(t)i；2"ho(n)Xi(2t-n) (5.2.3)n二二二并令1o<t<1x。。)， 其它 (524)则当iTS时,Xi(t)逼近尺度函数"(t)。若给定h0(n)=葺/3,3,1},则利用(5.2.3)式递推的结果如图5.2,1所示。由该图可以看出，xi(t),X2(t)都是阶梯状的分段连续曲线，当i=8时，X8(t)已是一光滑的连续曲线。这说明，按给定的ho(n),(5.1.13)式求出的中(m)是收敛的。假定将ho(n)改为％(n)=呸{—1,3,3,_1},则由(5.2.3)和(5.2.4)式递推的结果示于图45.2,2[4,,21]。这时的人(t)产生了较强的振荡，它不会收敛于一个连续的、平滑的且是低通的尺度函数*(t)。总之，二尺度差分方程及其频域关系给出了由滤波器组递推求解正交尺度函数和正交小波的方法。但是，这种递推并不保证总是收敛的，它涉及到离散情况下的正则性条件等问题。5.3消失矩、规则性及支撑范围1.消失矩(Vanishingmoments)oO(5.3.1)令 mk=tk(t)dt(5.3.1)—oO为小波函数Rt)的k阶矩。由傅里叶变换的性质，我们很容易得到kdk；()mk(j)k-甘=o (5.3Zd如果空(0)在切=0处有p阶重零点，即】()=p「0(),彳0()二010 (5.3.3)则 mk=』t%(t)dt=0,k=0,1,,p1 (5.3.4)_oO我们说小波函数中(t)具有p阶消失矩。显然，若k=0,这即是容许条件。假定信号x(t)为一个P-1阶的多项式，即p1kx(t)=Jkt (5.3.5)k=0再假定中(t)有P阶消失矩，由(5.3.4)式，显然x(t),⑴=0也即，x(t)的小波变换恒为零。若x(t)可展成一高阶的多项式(如用台劳级数)，如N阶,N>p。那么其中阶次小于p的多项式部分(对应低频)在小波变换中的贡献恒为零，反映在小波变换中的只是阶次大于P的多项式部分，它们对应高频端，这就有利于突出信号中的高频成分及信号中的突变点。从这个角度讲，我们希望 v(t)能具有尽量高的消失矩。消失矩越高，空(6)在。=0处越平滑地为零，越具有好的带通性质。由(4..3.17)式dj(k)=(x(t)Jj,k(t):正是信号x(t)的小波变换，dj(k)是在尺度j时的小波系数。当我们将小波变换用于实际的信号分析和处理时，不论是从数据压缩的角度，还是从去除噪声的角度以及从突出x(t)中的奇异点的角度，我们都希望小波变换后的能量集中在少数的系数， 也即dj(k)上。也就是说，我们希望dj(k)的绝大部分能为零，或尽量地小。这一方面取决于信号x(t)本身的特点，另一方面取决于中(t)的支撑范围，再一方面即是取决于中(t)是否具有高的消失矩。由(5.1.14)式，阳。)取决于Hi®)和H。侬)。因此，华初是否具有高的消失矩取将取决于Hi(s)和Ho(。)。我们希望中9)在6=0(即z=1)处具有P阶重零点，这等效地要求Hi(z)在z=1处有p阶重零点。由(4..5.5b)式，即H1(z)=Z-1Ho(z-1)＞这等效地要求H0(z)在z=T处有P阶重零点。例如，若令z1H0(z)=2( ——)pQ(z) (5.3.6)则Ho(z)在z=.1处有P阶重零点。这为我们设计具有高阶消失矩的小波提供了一个切实可行的方法。下面的定理进一步明确了有关消失矩的几个相关概念。定理5.1[8]如果空8)在切=0处是p阶连续可微的，则下面三个说法是等效的:(1)小波中(t)有P阶消失矩;(2)中(3)和它的前P-1阶导数在0o0处恒为零；(3)H0g)和它的前P-1阶导数在0=n处恒为零，即(5.3.7)dkHo()(5.3.7)10证明：因为oOr(.)= ⑴e」tdt所以，(k)()=/('=.(-jt)k,-(t)eJtdtd■二二在o=0处，有QO-p(k)(0)=(-1)jtk,-(t)dta于是(1)和⑵等效。由(4..4.8)和(4..5.5b)式，有P(2)=Hi(AM)=-e-jH。(，二川() (5.3.8)由于中侔)是低通的，即小⑼不等于零。对上式连续微分，可证明(2)等效于(3)。证毕(5.3.1)及(5.3.4)式有关消失矩的定义也适用于离散信号。例如，令Hi()=1.hi(n)e-jnnk则 /k')(-jn)khi(n)e.n (5.3.9)dn所以，如果Hi(z)在z=1处有P阶重零点，则hi(n)具有P阶消失矩：、r1khi(n)=0k=0,i, ,p-i (5.3.4.)nii2.规则性规则性(regularly) 又称正则性，在数学上是用于描述函数局部特征的一种度量。在信号处理中，用于描述信号在某点，或某一区间内的平滑性和奇异性。给定信号x(t),假定*代)在1=片处是m次可微的，令m1x(k)(t)Pt0(t)= --(-^2(t to)k (5-3-11)k=0k!显然，Ro(t)是x(t)在t。处的前m-1阶台劳多项式。巳⑴对x(t)的近似误差为%⑹=x⑴-Pto(t)台劳级数理论证明了m_ _^t三%-h,to+h］，有eto(t)--———Isupx(m)(u)I(5.3.12)0 m!lLui0-h,t0h1这样，当tTt。时，x(t)的连续m阶可导性产生了久⑴的上界。Lipschitz规则性用一非整数的”来定量描述这一上界，所以口又称Lipchitz指数。对给定的信号x(t),如果存在常数K>0及阶次m=收」的多项式Pt。。)，使得…R，x(t)-，(t)卜Kt-t0『 (5.3.13)则说x(t)在to处的Lipschitz指数为s,且a之o；若对所有的早towa,b］，(5.3.13)式都可满足，则说x(t)在区间kb】上有均匀的Lipschitz指数仪；x(t)在t。，或在区间a,b】内的规则性定义为Lipschitz指数口的上界12

在to处一次可微，但一阶导数不连续的分段线性函数，在拐点处的 a=1,阶跃函数在阶跃点的口=0，而5(t-to)在to处的s=-1。由上面的讨论可知，a和信号x(t)在to,或在Kb】区间上的可微性有关。若x(t)在此处的导数阶次越高，相应的口越大。反映在信号的特性上，x(t)在此处越平滑。Daubechies将此规则性的概念用于尺度函数平滑性的测量，定义(5.3.14)6(小(5.3.14)时的「的最大值为Wt)的规则性。式中c为常数。此式意味着Wt)是m次可微的，r之m。显然，r越大，领防衰减的越快。其衰减的速度决定了位t)的平滑程度。由图5.2.1和图5.2.2，不同的H0(z)所递推求出的Wt)具有不同的“平滑性”。图5.2.1中，Wt)是平滑的，当然递推是收敛的，在图5.2.2中，递推是不收敛的，因此得不到平滑的外t),现在从规则性的角度来讨论一下这个现象。由于H0(z)是低通滤波器，所以它在z=一1处至少应有一个零点。现设H0(z)在z=.1处有p个重零点，如(5.3.6)式所示，对应的频率响应是pH0©)=cos巴Q侬)，Q@)¥0 (5.3.15)2若H0(z)的阶次为N,则Q(z)的阶次为N-1-p。由(5.1.13)式.2)Q() .2)Q() (5.3.16)①⑼二(口cos；jij=1 2经推导，有13

(5.3.17)sin。/2P(5.3.17)①(co)= Q(o)012式中第一项sin|/|是Sinc函数，随着。的增大它是衰减的，P越大，衰减的越快。从而6(M衰减的也越快。若式中(5.3.18)supQ(0)<2P，(5.3.18)0兔延冗则可保证由ho(n)递推卷积求出的Wt)是收敛的。如果Q®)再满足supQ(©supQ(©)<2pR°0曲M江则递推求出的M)是m次连续可微的。因此,(5.3.19)(5.3.19)式可作为小⑴规则性的一个测量2 .一 对图5.2.1中的儿“y},我们可以结构出1z、3一，、Ho(z)=42( )3Q(z),2 ，显然p=3,Q(z)=1。这样Q侬)在0〜2元内恒为1,它小于23」=4。所以该图中的欠t)收敛于一连续曲线。2 对图12.2.2中的h°(n)=*{-1,3,3,—1},我们可结构出4Ho(z)=&(^-)Q(z),Q(z)=-1-4z，+z”]/2

2 ，式中p=1。可以求出Q(。)在o〜2元内的最大值为2北，显然272>21，=1,所以该例的Q(e侬)不满足(5.3.19)式。因此该图中的巾⑴不收敛。14

3.支撑范围由(5.2.1)式，巾⑴和中(t)均可由h°(n)、h1(n)递推得到，所以，小⑴、中(t)的支撑范围取决于ho(n)和hi(n)的长度。若ho(n)和hi(n)均是FIR的，则巾⑴和中(t)是有限支撑的。下面的定理更准确地回答了这一问题。定理5.2如果ho(n)(或hi(n))是有限支撑的，则尺度函数 4⑴和小波函数中(t)均是有限支撑的。若ho(n)和hi(n)的支撑范围是卜1,21，则欠t)的支撑范围也是瓦.],而中(t)的支N1N1-N2 1撑范围是122N2-N112证明：因为(；)=.2'ho(n)(t-n) (5.3.20a)2 nRS)W尺)，*。-2) (5.3.2Ob)所以，如果Wt)是紧支撑的，则eg)也必然是紧支撑的，由(5.3.2Ob)式，ho(n)是紧支撑的。反之，若ho(n)是有限支撑的，由(5.3.2Oa)式，位t)也必然是紧支撑的。由于％(n)和h°(n)有着同样的长度，由(5.2.1b)式，中(t)也必然是紧支撑的。若ho(n)在后1小2】的范围内非零，幅)在卜1/21的范围内非零，则欠；)应在上《,2K2】的范围内非零。但(5.3.2Oa)式右边的求和范围是卜+M,K2+N2]。由于(5.3.2Oa)式两边的支撑范围应该一样，所以必有K1=N1,K2=N2o所以。⑴和二⑻有着相同的支撑范围。由(5.2.1b)和(4..5.6)式，有(5.3.21)J)=.2%(-1)nho(1-n)(t-n)2 n(5.3.21)15因为ho(n)和*(t)的支撑范围都是卜142］，所以(5.3.21)式右边求和后的范围是Ni-n2+1,m-Ni+1］。考虑到该式右边是中(J),所以中(t)的支撑范围是4尸,"N^L于是定理得证。5.4Daubechies 正交小波构造Daubechies提出了一类正交小波的构造方法， 其思路即是本章前三节所述的内容。 具体地说，即首先由共扼正交滤波器组出发， 先设计出符合要求的H°(z),然后由H°(z)构造Wt)和巴t)。Wt)和巴t)要有限支撑，且中(t)有高的消失矩和高的规则性。将这些要求落实到H0(z),则是要求：H。⑵是FIR的，且H0(z)小=J2；H0(z)在z=.1处应有P阶零点，从而彳^证中(t)具有P阶消失矩。为做到这一点，假定H0(z)可作如下式的分解：Ho(z)=2(1—^)pQ(z) (5.4.1)⑶上式中Q(z)是辅助函数，要求：Q(z)z=T#0；Q(z)z=i=1;sup Q(ej")M2p1；0e缶<2Q(z)的系数是实的，即Q(e产)=Q(ej°)16

现在的问题是，如何求出具有最小阶次 m且满足上述要求的多项式Q(z),使得H0(”|2+|H0e+n)2=2 (5.4.2)这样，H0(z)的阶次N=m+p。Daubechies证明了满足要求的Q(z)的最小阶次m=p―1这样，h0(n)将有N=2p个非零系数。现证明这一结论导出的过程。由(5.4.1)式，有Ho(ejHo(ej)2 2……2 2Q(ej®)22cos!Q(ej”)由于H°由于H°(e叼的系数是实的，所以.一2 H0(ejW)是②的偶函数，因此,；八2 , ， ，，H0(e)可以表为cosw的 一一、 _2 ...- - . … , c … …2函数。那么，Q(ej°)当然也可表为8秒的函数。由于(1—cosco)/2=sinco/2,所以Q(ej。)可， - - 2改为Q(sin2o/2)的形式。这样，继续上式的推导，有Ho(ejHo(eje)222i1-sin—I2一P2。Q(sin2-)(5.4.3)(5.4.4a)(5.4.4b)(5.4.4a)(5.4.4b)ysin2() 0,112并记2

-2°P(y)=Q(sin2-)17这样42 八 ，…、H0(ej)=2(1-y)pP(y) (5，.4c)同理可得2^.2H0(ej(°"))22ypp(1-y) (544d)将(b),(c)两式代入(5.4.2),有(1y)pP(y)ypP(1y)=1 (545)该式称为Bezout方程。显然，当ywb,l】时，多项式P(y)=|Q(y)2应非负。我们现在的任务是寻求这样的多项式P(y)。Bezout定理指出，若Qi(y)和Q2(y)是两个阶次分别为小和国的多项式，且二者之间没有共同的零点，那么，唯一地存在两个阶次分别为电-1,5-1的多项式P,(y)和P2(y),使得Q1(y)P1(y) Q2(y)P2(y)=1 (5.4.6)比较(5.4.6)和(5.4.5)式，若令Qi(y)=(l-y)p,即A=p,令Qz(y)=yp,也即e=p,显然，Q1(y)和Q2(y)间无共同的零点。那么，必有P(y)=P(y),P?(y)=P(1-y)。且P(y)的阶次为p-1,P(1-y)的阶次也是p-1o这样(5.4.5)式左边两项的阶次都是2p-1。因此，h0(n)至少有2P个非零系数。Daubechies提出满足(5.4.5)的多项式P(y)可取如下形式：p1p+nTnP(y)=£ yn+ypR(1-2y) (5.4.7)n=on18

式中R(y)是一奇对称多项式，即R(y)=-R(1-y)oR(y)保证P(y)之0对ywb,1］。对R(y)的不同选择可构造出不同类型的小波，在构造正交小波时， Daubechies选择R(y)=0,于是p1pn1nP(y)=' yn (5.4.8)TOC\o"1-5"\h\zn=0 n由(5.4.4)式，(5.4.8)式的含意应是C缶2 . 2 . * .Q(sin2—)=Q(eF)=Q(e产)Q(e坤)2p1pn1 2(5.4.9)sin—(5.4.9)n=0 n- 2我们的目的是求出(5.4.1)式中的Q(z),从而得到H°(z)。由(5.4.9)式，有1p1p1p1pQ(z)Q(z1)= "n=0n1 2zz1n 4(5.4.4.)对于给定的p,我们可求出上式右边的多项式，其所有的零点应共同属于 Q(z)和Q(z」)此时，我们自然会想到在第七章用过的谱分解。我们可将单位圆内的零点赋予 Q(z),将单位圆外的零点赋予Q(z,)，这样，Q(z)是最小相位的，于是符合共扼正交条件且具有p阶消失矩的H0(z)可以求出。从而巾⑴和平(t)也可递推求出。现举例说明Daubechies小波设计的过程。例5.4.1令P=1,求DB小波中(t)及对应的尺度函数小⑴。解：由(5.4.4.)式，因P=1,所以n=0,故Q(z)=1,再由(5.4.1)式，有19

2 1H0(z)=万(1z1)即h0(0)=何2,h0(1)=何2。由5.2节由h°(n)求W)的方法，我们有%⑴2(母“101")2Dh°⑵⑺小⑴⑺*?』。0,0,1)/)。1,1,1,11L®)"1,"1’由定理5.2,Wt)和h°(n)有着相同的支撑。在本例中，h°(n)的支撑是b,11，所以4(t)的支撑范围是t=0~1。将h°(J)(n)除以(国⑵、让t=0~1内的分点数等于h。⑷(n)的长度，于是得e(t)=0 0e(t)=0 00<t<1其它由(4..5.6)式，可求得hi(n)=«、2 、.2J

2 2,t一二■(-)=•.2'h1(n)(t-n)=(t)-(t-1)2 ni二0Mt<1/21/2<t；1

其它20这正是Haar小波。所以Haar小波是Daubechies正交小波中的一员，但也是最简单的一员。例5.4.2令P=2,求DB小波中(t)及相应的尺度函数小⑴。解：由(5.4.4.)式，有Q(z)Q(zd)-122~z-z=2—1z」z」

4 2 2=1(1 ,3)(1-..3田(1,3)(1-.3)z,14取单位圆内白^零点赋予Q(z),则Q(z)=1(1■..3)-(1-3)zJ1

2由(5.4.1)式，有Ho(z)=—(1zd)2(1 .3)(1-..3)zJ14将该式展开，有h0(0)=0.48296,1^1)=0.83652h0(2)=0.22414,h0(3)=-0.129413可以验证H°(z)zm=£h0(n)=V2,且H0(z)的阶次为2p-1=3。n=0如同例5.4.1,由5.2节由h0(n)递推卷积求®(t)的方法可求出p=2时的@(t)。按同样的方法则可求出小波中⑴。21

Daubechies按此方法构造了p=2〜10时对应的共扼正交滤波器H0(z),H°(z)对应的*(t)及中(t)。表5.4.1给出了P取不同值时ho(n)及中(t)。表5.4.1给出了P取不同值时和"t)的波形5N6N1.52225N6N1.52221 17N0.5-1-2-0.5-2phipsi1.516N0.50-0.50 5 10 15210-1-20 5 10 15图5.4.1db小波在p=2~9^®(t)及中(t)的波形235.5接近于对称的正交小波及 Coiflet小波上一节所构造的DB小波是紧支撑的正交小波，但它们不是对称的，也即H°(z)和Hi(z)不具有线性相位。因此，这一类小波在图像、语音及其它一些信号处理领域中的应用将受到一些限制。Daubechies证明了正交紧支撑的小波不可能具有线性相位。和共扼正交FIR滤波器组不可能具有线性相位。这两个结论其实是互通的，因为Daubechies正交小波即是用正交滤波器组的基本关系一一功率互补关系 (见(5.4.2)式)为基础来构造的。唯一的例外是Haar小波，其临⑴=，-^美｝,h(n)=«=,-=:是对称的。但由于Haar小波的不连续性使其在实际的信号处理中失去了实用价值。Daubechies在保证正交、紧支撑的前提下构造了一类接近于对称的小波滤波器及小波。在MATLA中命名为“SymN,N即是上一节中的p,N=4~10。SymNj、波和DB小波构造的方法基本相同。在由(5.4.4.)式求Q(z)时，DB小波是按最-- - - - 2 . 一 、•一^__…一-小相位原则对Q(z)=Q(z)Q(z」)作分解，即将单位圆内的零点赋予Q(z),单位圆外的零点赋予Q(z」)。我们知道，最小相位序列的能量集中在n=0后的少数点上，因此造成了该序列严重的不对称性。使序列较为对称的办法是令 Q(z)为混合相位系统，即其零点有的在单位圆内，有的在单位圆外。当然，如有复数零点，应共扼成对选取。现举例说明之。24例如，令N=4,也即(5.4.4.)式中的p=4。由该式，有3Q(z)Q(z3Q(z)Q(za)=、、''3+nY2-z-z7=1(2—z—z,)5(2—z—z,)2—(2-z-zJ)38 16=(-5z340z2-131z208-131zJ40z2-5z*/16该多项式有六个零点，它们分别是:Zi=0.3289Z2=3.0407Z3=0.2841j0.2432z4=0.2841-j0.2432Zi=0.3289Z2=3.0407Z3=0.2841j0.2432z4=0.2841-j0.2432Z5=2.0311j1.7390Z6=2.0311-j1.7390DB小波是将Z1、Z3及々赋给Q(z)对Sym4小波，可将Z2、4及々赋给Q(z),再由即可求出刀⑵,H0(z)=.21Z」2、4Q(z)继而求出恤)和中(t)。Sym*Sym4对应的出⑵的系数见文献[5],运行MATLA呼有关SymNj、波的有关命令亦可给出这些系数。N