材料力学：组合变形

材料力学第八章组合变形Tuesday,November8,2022本章内容

§8-1组合变形的叠加原理§8-2

拉弯组合变形§8-3

弯扭组合变形

四种基本变形计算：变形轴向拉压

剪切扭转平面弯曲外力轴向力横向力

外力偶横向力或外力偶内力轴力(FＮ)

剪力(FS)扭矩(T)

剪力(FS)弯矩(M)应力

正应力

切应力

切应力切应力正应力

计算公式分布规律T

构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形,

则构件的变形称为组合变形。一、工程实例§8-1

组合变形和叠加原理屋

架

檩条二、解决组合变形问题的基本方法－叠加法

1.叠加原理：弹性范围小变形情况下，各荷载分别单独作用所产生的应力、变形等可叠加计算。

2.计算方法：“先分解，后叠加。”先分解----应先分解为各种基本变形，分别计算各基本变形。后叠加----将基本变形计算某量的结果叠加即得组合变形的结果。

本章主要研究应力和强度计算。

在外力作用下同时发生拉伸(压缩)与弯曲两种基本变形，称为拉弯组合变形。

在计算时不考虑剪力的作用。§8-2

拉伸（压缩）与弯曲的组合变形●

横向力与轴向力共同作用●

偏心拉（压）外力分解一、横向力与轴向力共同作用2．内力计算在m-m

截面上3．应力计算C点的总应力为4．强度计算危险截面在固定端处,最大应力为拉应力，发生在梁的固定端截面处的下边缘，其值为其强度条件为

上边缘的应力叠加后，也可能出现压应力。对抗压强度与抗拉强度不同的材，还应对上边缘的压应力进行强度计算。

例8.1

结构如图所示，已知最大吊重Fmax

=8kN，AB为工字钢梁，材料为Q235，许用应[σ]=100MPa

，试选用工字钢型号。1.先计算出CD

的杆长2.取AB为研究对象，为计算方便将FCD分解3.画出FN图和M图C截面左侧具有最大的轴力和弯矩为危险截面。+=C截面左侧下边缘两种压应力叠加，达到最大应力，为危险点。4.

在还未选定工字钢型号之前，可先不考虑轴向内力FN的影响，根据弯曲强度条件来选择，然后根据组合应力进行校核。+=查表选用:I165.校核危险点+=由于最大应力超出很小，超出部分在5%以内，仍可认为是安全的。因此可以选择I16

例8.2

混凝土拦水坝如图所示，横截面为矩形，宽度为，受水压和自重作用，混凝土的重力密度，水的重力密度，取一米长坝体分析，求坝体宽度的尺寸，使坝底不出现拉应力。【解】取单位长坝体分析，水的分布压力为

坝底的轴力为

坝底的弯矩为

最可能出现拉应力的是A点,令A点的应力为零，即

解出

当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起轴向拉伸（压缩）和平面弯曲两种基本变形。二、偏心拉（压）

1.横截面上的内力

轴力FN=F弯矩由叠加原理，得C点处的正应力为式中A为横截面面积;Iy

,Iz

分别为横截面对y轴和z

轴的惯性矩;

(

ey，ez

)为力F

作用点的坐标;(y,z)为所求应力点的坐标.

2.任意横截面C

点的应力利用惯性矩与惯性半径的关系3.中性轴与强度计算上式可改写为立柱的最大压应力发生在角点D1处(危险点),其强度条件为

yzO对于没有棱角的截面，必须首先确定中性轴的位置，然后找到离中性轴最远的点，这就是危险点。

令

y0,z0代表中性轴上任一点的坐标，即得中性轴方程中性轴ayazD1D2

中性轴在y,z

两轴上的截距为此处介绍一下截面核心的概念例8.3

正方形截面立柱的中间处开一个槽，使截面面积为原来截面面积的一半。求开槽后立柱的的最大压应力是原来不开槽的几倍。FFaaaa11FFa/2未开槽【解】Faa开槽后1-1是危险截面危险截面为偏心压缩未开槽前立柱的最大压应力开槽后立柱的最大压应力例8.4

小型压力机的铸铁框架如图所示。已知材料的许用拉应力[t]=30MPa，许用压应力[c]=160MPa。试按立柱的强度确定压力机的许可压力F。yzz0z1350FF5050150150【解】(1)确定中性轴位置及惯性矩yzz0nnFNMy(2)分析立柱横截面上的内力和应力在n—n

截面上有轴力FN及弯矩Mynn350FFyzz0轴力FN产生的拉伸正应力为FnnFNMynnyzz0z1350FF5050150150由弯矩My产生的最大弯曲正应力为5050150150yzz0z1拉nn350FFFnnFNMy（3）叠加在截面内侧有最大拉应力[F]45.10kN5050150150yzz0z1拉压nn350FFFnnFNMy在截面外侧有最大压应力[F]171.3kN[F]45.0kN所以取5050150150yzz0z1拉压nn350FFFnnFNMy同时发生弯曲和扭转两种基本变形，称为弯扭组合变形。§8-3

弯曲与扭转的组合变形1.内力分析

设一直径为

d

的等直圆杆AB,B端具有与AB成直角的刚臂。研究AB杆的内力。将力F

向AB

杆右端截面的形心B简化得横向力F

（引起平面弯曲）力偶矩m=Fa

（引起扭转）AB

杆为弯、扭组合变形画出AB段的内力图，可见固定端A截面为危险截面。FaTFlM危险点的应力状态

（D1点)2.应力分析

用第三强度理论将主应力代入上式，得到用第三强度理论表达的强度条件为用第四强度理论将和的表达式代入上二式，并考虑到圆截面Wt＝2W，得

将主应力代入上式，得到用第四强度理论表达的强度条件为轴的受力如图，图中，

例8.5图示手摇绞车。轴的直径，其许用应力为，试按第三强度理论确定绞车的最大吊重F。【解】由第三强度理论得解出

例8.6

图示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮C

上作用有铅垂切向力5kN，径向力1.82kN；齿轮D上作用有水平切向力10kN，径向力3.6

kN

。齿轮

C

的节圆直径d1=400mm,齿轮D

的节圆直径d2=200mm。设许用应力=100MPa

,试按第四强度理论求轴的直径。BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.6kN【解】(1)外力的简化将每个齿轮上的外力向该轴的截面形心简化BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.6kNxyzACBD5kN1kN·m1.82kN3.6kN10kN1kN.m1kN·m

使轴产生扭转

5kN

，3.64kN

使轴在xz

纵对称面内产生弯曲

1.82kN，10kN使轴在xy

纵对称面内产生弯曲

(2)轴的变形分析T=1kN·m圆杆发生的是双向弯曲与扭转的组合变形1CT图-My图0.57CB0.36xyzACBD5kN1kN·m1.82kN3.6kN10kN1kN.m(3)绘制轴的内力图Mz图0.2271CB1kN·mCT图-My图0.57kN·mCB0.36kN·mB截面的总弯矩最大Mz图0.2271CB(4)由强度条件求轴的直径

具有双对称截面的梁，它在任何一个纵向对称面内弯曲时均为平面弯曲。*双向弯曲1.外力分解：2.内力计算：3.应力计算：利用叠加原理得x

截面上C

点处的正应力为上述分析计算中，式中各物理量均可取绝对值，而各项应力的正、负号可按拉为正，压为负直观地判断。4．强度计算图示矩形截面梁的危险截面显然在固定端截面处，而危险点则在角点和处。危险点的最大应力与强度条件为对于有外凸角点的截面，例如矩形截面、工字形截面等，最大应力一定发生在角点处。而对于没有外凸角点的截面，需要先求截面上中性轴的位置。根据中性轴定义，中性轴上各点处的正应力均为零，令代表中性轴上任意点的坐标，由式（12.1）令，即得中性轴方程为中性轴与y轴的夹角q为上式表示中性轴为通过截面形心的直线。

式中，为合弯矩与轴的夹角。

斜弯曲平面弯曲中性轴将横截面分为两部分，一部分受拉应力，一部分受压应力。作平行于中性轴的两直线，分别与横截面的周边相切，这两个切点D1，D2就是该截面上拉应力和压应力为最大的点。将危险点的坐标代入应力计算式，即可求得横截面上的最大拉应力和最大压应力。危险点的应力状态为单向应力状态或近似当作单向应力状态，故其强度条件为

例8.7

工字形截面简支梁，跨长为，作用在跨中的集中力，力的作用线与横截面铅直对称轴