北师大版七年级数学上册前三章知识点总结

北师大版七年级数学上册前三章知识点总结前言：七年级上知识点很简单，主要是衔接作用，很多知识点在六年级涉及过，现在是对六年级的加深与拓展。重点难点章节有三个：第二章有理数及其运算、第三章整式及其加减、第五章一元一次方程。第一章丰富的图形世界备注：本单元两个易错点：1、图形的展开与折叠2、“三视图”判断图形个数1、几何图形从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。•圆柱柱球丄棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱、锥」圆锥［棱锥2、生活中的立体图形•圆柱柱球丄棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱、锥」圆锥［棱锥生活中的立体图形齐（按名称分）-3、点、线、面、体（1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。面：包围着体的是面，分为平面和曲面。体：几何体也简称体。（2）点动成线，线动成面，面动成体4、常见的几何体及其特点长方体：有8个顶点，12条棱，6个面，且各面都是长方形。（正方形是特殊的长方形），正方体是特殊的长方体。棱柱：上下两个面称为棱柱的底面，其它各面称为侧面，长方体是四棱柱。棱锥：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形。圆柱：有上下两个底面和一个侧面（曲面），两个底面是半径相等的圆。圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。圆锥：有—底面和—侧面（曲面）。侧面展开图是扇形，底面是圆。球：由一个面（曲面、围成的几何体。5、棱柱及其有关概念：何相邻I5、棱柱及其有关概念：何相邻In棱柱有两个底面,n个侧33棱：在棱I柱中，，任目邻两个面的交线，都叫做棱。侧棱：■相邻两个侧面的交线叫做侧棱.侧面，共（n+2、个面；3n条棱，；条侧棱|；22个顶点。6、正方体的平面展开图：11种7、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四边形、非等腰梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形其他几何体的截面形状：正方体：三角形、正方形、长方形、梯形、五边形、六边形圆柱：圆、长方形、（正方形）、……圆锥：圆、三角形、……球：圆8、三视图物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。主视图：从正面看到的图，叫做主视图。左视图：从左面看到的图，叫做左视图。俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。第二章有理数及其运算备注：1*、数轴是新知识很多地方用到2*、去绝对值与绝对值的几何意义很重要，有些学生在去绝对值和利用绝对值几何意义做题时比较容易出错（去绝对值的主要数学思想是“分情况讨论”这也是贯穿初高中的一个重要数学思想）3*、有理数混合运算中去去括号变号很多同学容易在这块丢分。1、有理数的分类整数和分数统称为有理数。因为有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以把有限小数和无限循环小数都看作分数。正有理数零负有理数2、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零有理数有限小数和无限循环小数或有理数整数分数1①在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等单独存在，单独的一个数不能说是相反数规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴P②相反数是成对出现的口3、数轴：正有理数零负有理数2、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零有理数有限小数和无限循环小数或有理数整数分数1①在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等单独存在，单独的一个数不能说是相反数规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴P②相反数是成对出现的口3、数轴：迪数轴时,TFFT要任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。解题时要真正掌握一述规定的三要素缺一不可）列吉合的丿，并能灵活运用4、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。5、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|>0）o零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|二a,则a>0；若|a|二-a，则a<0o绝对值的有关性质对任意有理数a,都有|a|MO；若|a|=0,贝I」a=0；若|a|=|b|，则a=b或a二-b；若|a|=b（b>0）,则a=±b；若|a|+|b|=O,贝I」a=0且b=0；对任意有理数a,都有|a|=|-a|.6、有理数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。7、有理数的运算:（1）五种运算：加、减、乘、除、乘方多个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负因数有偶数个时，积的符号为正。只要有一个数为零，积就为零。有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。异号两数相加，绝对值值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。—个数同0相加，仍得这个数。互为相反数的两个数相加和为0。有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数！有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0。有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0的数都得0。注意：0不能作除数。有理数的乘方求n个相同因数a的积的运算叫做乘方。2是重要的非负数，即a2$0若a2+|b|=0则a=0,b=0；据规律底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如5=51；当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。乘方的运算性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；任何数的偶数次幂都是非负数；（除0以外任何数的0次方都得1）1的任何次幂都得1,0的任何次幂（除0次）都得0；-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；

在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。2）有理数的运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。3）运算律加法交换律a+b二b+a加法结合律（a+b）+c=a+（b+c）ab+ac=a(b+c)乘法交换律ab二ba乘法结合律ab+ac=a(b+c)乘法对加法的分配律a（b+c）=ab+ac变形公式8、科学记数法—般地，一个大于10的数可以表示成的形式，其中，门是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。（n二整数位数-1）第三章整式及其加减备注：这章算是这册比较难的一个知识点。一是对单项式、多项式的理解，其次是对同类项的理解和计算。容易出错的地方大多在化简计算，有几点：1、是化简计算过程中去括号变号。2、化简求值中“整体思想”的运用。3、化简计算中一个字母表示另个字母代入换算。知识点一、字母表示数字母可以表示任何数，用字母表示数的运算律和公式法则；?加法交换律a+b二b+a加法结合律a+b+c二a+（b+c）2乘法交换律ab二ba乘法结合律（ab）c二a（be）乘法分配律a（b+c）二ab+ac用字母表示计算公式：1长方形的周长2（a+b）.面积ab（a、b分别为长、宽）2正方形的周长4a,面积a2（a表示边长）3长方体的体积abc.表面积2ab+2bc+2ac（a、b、c分别为长、宽、高）4正方体的体积03,表面积6a2（a表示棱长）5圆的周长2nr,面积nr2（r为半径）16三角形的面积一竺h（a表示底边长，h表示底边上的高）在同一问题中，同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示

用字母表示实际问题中某一数量时，字母的取值必须使这个问题有意义，并且符合实际4、注意书写格式的规范：表示数与字母或字母与字母相乘时乘号，乘号可以写成“"，但通常省略不写；数字与数字相乘必须写乘号；数和字母相乘时，数字应写在字母前面；带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数；除法运算写成分数形式，分数线具“-"号和“括号"的双重作用。在代数式的运算结果中，如有单位时，结果是积或商直接写单位；结果是和差加括号后再写单位。典型例题：例题1.有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度，先称出这捆钢筋的总质量为m千克，再从中截取5米长的钢筋，称出它的质量为n千克，那么这捆钢筋的总长度为()米TOC\o"1-5"\h\zmmn5m5mA、B、C、D、(—-5)n55'n'例题2.用代数式表示“2a与3的差"为()A.2a-3B.3-2aC.2(a-3)D.2(3-a)_】ct0例题3.如图1—3—1，轴上点A所表示的是实数a，则到原点的距离是()I—■■A、aB.-aC.±aD.-|a|111例题4.已知a=20x+20，b=20x+19，c=^0x+21，那么代数式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值为（）A、A、4B、3C、2D、1练习:1、温度由tC。下降3C。后是C。.2、飞机每小时飞行a千米，火车每小时行驶b千米，飞机的速度是火车速度的倍.3、无论a取什么数，下列算式中有意义的是()1A.、a-1111B.aC.2a1D.2a-14、全班同学排成长方形长队，每排的同学数为a，排数比每排同学数的3倍还多2,那么全班同学数为()a•3a+2B.a(3a+2)C.a+3a+2D.3a(a+2)5、轮船在A、B两地间航行，水流速度为m千米/时，船在静水中的速度为n千米/时，则轮船逆流航行的速度为千米/时6、甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为x元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要想购买这种商品最划算，应到的超市是()(A)甲(B)乙(C)丙(D)乙或丙7、下列说法中：①-a—定是负数；②1a1—定是正数；③若abc>0，则a、b、c三个有理数中负因数的个数是0或2,其中正确的序号是8、设三个连续整数的中间一个数是n，则它们三个数的和9、设三个连续奇数的中间一个数是x，则它们三个数的和10、设n为自然数，则奇数表示为偶数表示为能被5整除的数为；被4除余3的数为二、代数式1、代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。如：n-2、0.8a、2n+500、abc、2ab+2bc+2ac（单独一个数或一个字母也是代数式）注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；代数式中不含有“二、＞、＜、工”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。※代数式的书写格式：代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；17带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如23xa应写作3a；数字与数字相乘，一般仍用“x”号，即“x”号不省略；4在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式口4=（a-4）应写作一4；注意：分数线具有号和括号a-4的双重作用。在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如（a2-b2）平方米。例：下列不是代数式的是（）sA-0B-C-x二1D-x-0.1y2t2、单项式：表示数与字母的积的形式的代数式叫单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。其中的数字因数（连同符号）叫单项式的系数，所有的字母的指数的和叫单项式的次数。注意：1.单独的一个数或一个字母也是单项式；单独一个非零数的次数是0；3•书写时，当单项式的系数为1或-1时，这个“1”应省略不写，如-ab的系数是-1,ab的系数是1。4.兀是数字，不是字母。1例：ab2的系数是;如―x2的系数是;如―-兀x2的系数是；3、多项式：几个单项式的和叫多项式。多项式中，每个单项式叫做多项式的项；次数最高的项的次数叫做多项式的次数。例：代数式5x-y+x2-x-1有项，第二项的系数是，第三项的系数是，第四项的系数是4、单项式多项式统称为整式。整式是代数式的一部分，在代数式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。练习：

1、某商品售价为a元，打八折后又降价20元，则现价为元2、橘子每千克a元，买10kg以上可享受九折优惠，则买20千克应付元钱.3、如图，图1需4根火柴，图2需根火柴，图3需根火柴，……图n需根火柴。（图1）（图2）（图n）4、温度由tC。下降3C。后是C。.5、飞机每小时飞行a千米，火车每小时行驶b千米，飞机的速度是火车速度的倍.6、无论a取什么数，下列算式中有意义的是（）11A.B.C.a—1A.a27、全班同学排成长方形长队，每排的同学数为a，排数比每排同学数的3倍还多2,那么全班同学数为（）A.a•3A.a•3a+2a(3a+2)a+3a+23a(a+2)8、填空--—的系数为，次数为:3a+2b2的次数为；ab2的系数是；—x2的系数1是；—尹x2的系数是;代数式5x—y+x2—x—1有项，第二项的系数，第三项的系数是，第四项的系数是9、下列不是代数式的是（）sA-0B-C-x二1D-x—0.1y2t三、合并同类项1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。注意：①同类项有两个条件：a•所含字母相同；b•相同字母的指数也相同。同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；几个常数项也是同类项。如:100a和200a，240b和60b，-2ab和10ba2、合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。合并同类项法则：（1）写出代数式的每一项连同符号，在其中找出同类项的项；（2）合并同类项:同类项的系数相加所得的结果作为系数.字母和字母的指数不变.（3）不同种的同类项间，用“+”号连接（4）没有同类项的项，连同前面的符号一起照抄如：合并同类项3x2y和5x2y,字母x、y及x、y的指数都不变，只要将它们的系数3和5相加，即3x2y+5x2y二3+5）x2y=8x2y．

3.合并同类项的步骤：（1）准确的找出同类项（2）运用加法交换律■把同类项交换位置后结合在一起（3）利用法则■把同类项的系数相加■字母和字母的指数不变（4）写出合并后的结果4.注意：（1）不是同类项不能合并（2）求代数式的值时■如果代数式中含有同类项.诵常先合并同类项再代入数值进行计算.例1.判断下列各组中的两个项是不是同类项：25⑴3a2b和-7a2b（2）2m2np和-pm2n（3）0和-1371111例2.下列各组中：①5x2y与-xy;②—5x2y与-yx2:③厶ax2与-yx2匚④^与兀3匚⑤―x2与-兀x2;@3x2JJJ厶与x⑦与x⑦3x2与2,-1例3.如果3xky与一3x2y是同类项,同类项有(填序号)11贝0k=,3xky+(-3x2y)二-例4.直接写出下列各式的结果：11-2Xy+2例4.直接写出下列各式的结果：11-2Xy+2Xy=—11x2y--x2y-3x2y二(2)7a2b+2a2b=；(3)-x-3x+2x=5)3xy2-7xy2=例5.合并下列多项式中的同类项.1)4x2y-8xy2+7-4x2y+10xy2-4；(2)a2-2ab+b2+a2+2ab+b2.⑶3x2+5x一6x2一1(4)6xy2一2x2+4x2y一5yx2+x2例6例6.若x丰0,y丰0练习：—xy2+axy2=01、单项式2axb2与一a3by是同类项■则x—■y=1112、下列各组中：①5x2y与-xy:②一5x2y与-yx2:③5ax2与-yx2:④83与x3:⑤一x2与-兀x2;@3x2」」」厶与x⑦3x2与2■同类项有（填序号）3、合并同类项：①3、合并同类项：①3x2+5x一6x2―1②6xy2一2x2+4x2y一5yx2+x24、若4、若x丰0,y丰0—xy2+axy2=0四、去括号法则1、根据去括号法则去括号：（1）括号前是“+"号■把括号和前面的“+"号去掉■括号里的各项的符号都不改变

（2）括号前是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里的各项都要改变符号。2、根据去括号法则中乘法分配律的应用去括号：若括号前有因式，应先利用乘法分配律展开，同时注意去括号时符号的变化规律。3、多重括号的化简原则：（1）由里向外逐层去掉括号（2）由外向里逐层去掉括号注意：1、添括号法则添“＋”号和括号，添到括号里的各项符号都不改变；添“－”号和括号，添到括号里的各项符号都要改变。2、整式的运算：整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。例1、一个两位数，十位数字是x，个位数字比十位数字2倍少3,这个两位数是例2、去括号，合并同类项（1）－3（2s－5）+6s(2)3x-[5x-(2x-4)]（3）6a2-4ab-4(2a2+|ab)(4)-3(2x2-xy)+4(x2+xy-6)（5）(x+y)-(x-y)(6)2(m-n)-3(m-x)+2x（7）2x2-3x+1-(5-3x+x2)(8)(2a2—+3a)—4(a—a2+-^)（9）a+(5a-3b)-2(-a-2b)11110)—m2n-nm2-mn2+n2m(10)326②2(m-n)-3(m②2(m-n)-3(m-x)+2x1、化简：①（x+y）-（X-y）2、一个两位数，十位数字是x，个位数字比十位数字2倍少3，这个两位数3、化简：（1）3、化简：（1）2x2-3x+1-（5-3x+x2）（3）a+（5a—3b）—2（—a—2b）五、代数式求值——先化简，再求值(2)(2a2—+3a)—4(a—a2+㊁)111⑷m2n-nm2-mn2+n2m(4)326代数式求值：1、用具体的数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算，所得的结果是代数式的值。2、求代数式的值时应注意以下问题:（1）严格按求值的步骤和格式去做．（2）—个代数式中的同一个字母，只能用同一个数值代替，若有多个字母，代入时要注意对应关系，千万不能混淆．3）在代入值时，原来省略的乘号要恢复，而数字和其他运算符号不变4）字母取负数代入时要添括号2)(x-2)(x-y)2

xy-11例1当x二3，y=-3时，求下列代数式的值：（1）3x2-2y2+1；例2当x二—时，求代数式5x-（4x-1）的值例3已知a,b互为倒数，m,n互为相反数，求代数式-（2m+2n-3ab）2的值例4化简，求值：21①9ab+6b2一3（ab一一b2）一1，其中a二一，b=-132②2x-2(x-3y2)+(-2/r