2014春统计学讲义-第七章抽样分布

第一节概率分布2012经济学类1-5班2第七章一、概率的基本概念：随机事件随机的三个定义随机现象 随机试验概率的三个定义古典概率 统计概率概率二、随（一）随量与概率函数：量：3第七章一次试验的结果的数值性描述一般用X、Y、Z

来表示例如:投掷两枚硬币出现正面的数量定义域：样本空间值域：实数集合根据取值情况的不同分为离散型随2012经济学连类1续-5班型随量量ni

1p

i

1（二）概率函数：定义：能够将随

量的所有取值与与其值相应的概率值对应起来的函数，称为此随 量的概率函数。一般用P（x）来表示,0

P

(

X

)

12012经济学类1-5班4第七章（三）随量与概率函数的联系：1.随

量函数定义域：样本空间---值域：实数集合概率函数定义域：实数集合---值域：实数（概率值）集合两者结合样本空间元素---概率值2012经济学类1-5班5第七章三、概率分布：（一）离散型随1.离散型随量的概率分布：量…随 量

X取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来

X1

,

X2，…以确定的概率取这些不同的值2012经济学类1-5班6第七章2.离散型随量的概率函数：量X的所有可能取值量取这些值的概率列出随列出随通常用下面的表格来表示X=

xix1

，x2

，…

，xnP(X

=xi)=pip1

，p2

，…

，pn量的P(X=xi)=pi

称为离散型随概率函数2012经济学类1-5班7第七章2012经济学类1-5班83.离散型随

量的概率分布：1）定义：是指一些表格、图形、公式或其他设计，这些设计指定了该离散变量所有可能的取值及其相应概率。2）X=

xi0

，

1，2P(X

=xi)=pi1/4，

1/2，1/4xP(x)第七章4.概率分布的数学期望和方差：1）期望值…在离散型随量X的一切可能取值的完备组中，各可能取值xi与其取相对应的概率pi乘积之和描述离散型随量取值的集中程度计算公式为nxi

pi

(X

取有限个值）xi

pi

(X

取无穷个值）E

(

X

)

i

1E

(

X

)

i

12012经济学类1-5班9第七章2）方差…随量X的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望，记为D(X)描述离散型随 量取值的分散程度计算公式为D

(

X

)

E

[

X

E

(

X

)]

2若X

是离散型随量，则D

(

X

)

x

E

(

X

)

2

pi

ii

12012经济学类1-5班10第七章（二）连续型随1.连续型随量的概率分布：量…随 量

X取无限个值所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点连续型随 量的一些例子2012经济学类1-5班11第七章2.连续型随量的概率密度函数：设X为一连续型随 量， 不能列出每一个x值及其相应的概率，故近似认为当变量值个数趋于无穷大而取值区间趋于0时，可用一个公式或运算来刻画概率分布的性质，这个函数称为X的概率密度函数，记为f(x)，它满足条件(

2

)

f

(

x

)

d

x

1(

1

)

f

(

x

)

0

2012经济学类1-5班12第七章3.连续型随 量的概率分布：

在平面直角坐标系中画出f(x)的图形，概率(

x

)xf(t)dtF(x)

P(Xx)

2012经济学类1-5班13第七章则对于任何实数a<b，P(a<X

b)是该曲线下从a到b的面积。P(

X)f(x)xab2012经济学类1-5班14第七章4.概率分布的数学期望和方差：1）期望值…连续型随 量的数学期望为2）方差…E(

X

)

xf

(

x)dx

22x

E(X)f(x)dx

D(X)

2012经济学类1-5班15第七章四、常用的概率分布：（一）离散型随

量的概率分布：超几何分布泊松分布二项分布2012经济学类1-5班16第七章1.二项分布：进行n次贝努里试验，出现“成功”的次数的概率分布称为二项分布，记为b(

n,p),p为“成功”的概率设X为n次重复试验中事件A出现的次数，X取x的概率为

n2012经济学类1-5班17第七章n!nx

x

nxx!(n

x)!P X

x

C

p

q(x

0,1,

2,⋯,

n)式中：Cx

数学期望和方差…期望为方差为2012经济学类1-5班18第七章E(

X)

＝

np

D(

X)

＝

npq2.泊松分布：

用于描述在一指定时间或空间范围内随机事件出现（成功）次数的概率分布,记为

—给定的单位区间内“成功”的平均数

e=2.71828x—给定的总区间内“成功”的次数

e2012经济学类1-5班19第七章x

x!PX

x(x

0,1,

2,

⋯

,

n)数学期望和方差…期望

=

方差

=

；

给定t个单位区间的总区间,则随机事件出现次数的概率服从参数为μ=λt的泊松分布；当n很大(n≥20),p很小(p≤

0.05)时,则令

λ=

np，可用泊松分布

近二项分布。2012经济学类1-5班20第七章（二）连续型随量的概率分布：指数分布正态分布均匀分布其他分布2012经济学类1-5班21第七章2012经济学类1

5班

第七章221.正态分布

(1)重要性…量的最重要的分布描述连续型随可用于近似离散型随如:二项分布经典统计推断的基础量的分布f

(x)x（2）概率密度函数：f(x)

=

随 量

X的频数

=总体方差

=3.14159; e

=

2.71828x=

随

量的取值

(-=总体均值<

x<

)221

2

1

x2f(x)

e,

x2012经济学类1-5班23第七章2012经济学类1-5班24第七章（3）正态分布函数的性质：曲线在均值达到最高点，也是分布的中位数和众数正态分布是一个参数为和的分布族，决定曲线的位置；决定曲线的形状，平缓程度。曲线f(x)相对于均值对称，尾端向两个方向无限延伸，以横轴为渐近线。（4）

和对正态曲线的影响：xf(x)CAB2012经济学类1-5班25第七章2012经济学类1-5班

第七章26e

,

x

2

x212(x)

标准正态分布的概率密度函数（5）标准正态分布函数：任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布~

N

(

0

,1

)X

Z

标准正态分布的分布函数

x

xt22d

t

1

e

-2

(

x)

(

x)

d

t

（6）标准正态分布表的使用：将一般正态分布转换为标准正态分布计算概率时，查标准正态概率分布表对于负值的x，可由(-x)x得到对于标准正态分布，即X~N(0,1)，有P(a

X

b)

b

aP(|X|

a)

2a

1对于一般正态分布，即X~N(,)，有2012经济学类1-5班27第七章

P(a

X

b)

b

a

标准化的例子P(5

X6.2)10 0

.

12X

6

.

2

5Z

一般正态分布

xZ标准正态分布

Z变换2012经济学类1-5班28第七章（7）二项分布的正态近似：当n

很大，p固定时，二项分布近似服从正态分布N{np,np(1-p)}，其中np,nq皆应>5。对于一个二项随

量X，

应用正态分布近似求P(x1Xx2)时，计算过程为…（±0.5）12nx2C p

q12x

x

nx

t2e

2

dtP

x

X

x

a

bx

0

.5

npx

0

.5

np

bax1其中：

a

1

,

b

npq

2

npq2012经济学类1-5班29第七章第二节 抽样分布一、抽样的基本概念：统计推断：也称抽样推断，是指利用样本的实际资料，根据概率论的相关知识，对总体的数量特征进行推断。抽样：指从所研究的对象中，依据一定的原则，抽取一部分组成样本，进行数据。2012经济学类1-5班30二、抽样分布的基本概念：1.样本统计量：所有样本指标,如均值、比例、方差等,当它们

样本特征时,称为样本统计量,本章所讲抽样为随机抽样,所以根据概率论相关内容可知----样本统计量是随量.2012经济学类1-5班312.总体参数：上述各类指标,当它们称为总体参数.总体特征时,3.抽样分布：由抽样的随机原则可知,样本统计量是随 量,则它所服从的概率分布称为该统计量的抽样分布.322012经济学类1-5班第七章4.惯用符号：名

称样

本总

体特

征统计量参

数符

号样本容量

n样本平均数x样本比例̃p2样本方差

s样本标准差

s总体容量

N总体平均数

总体比例

p总体方差2总体标准差332012经济学类1-5班第七章342012经济学类1-5班第七章三、常用的样本统计量的抽样分布(一)样本均值的抽样分布(一个例子)1.构造:例:设一个总体，含有4个单位，即总体容量N=4。分别为X1=1、X2=2、X3=3

、X4=4;总体的均值、方差及分布如下…总体分布1423.3.2.10NXi

i1

2

.5N

2352012经济学类1-5班第七章N

i(X

)2

i1

1.25N总体参数---均值和方差362012经济学类1-5班第七章列举所有样本…现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有可能的n=2

的样本（共16个）第一个观察值第二个观察值123411,11,21,31,422,12,22,32,433,13,23,33,444,14,24,34,4计算出各样本的均值，如下表…16个样本的均值（x）第一个观察值第二个观察值123411.01.52.02.521.52.02.53.032.02.53.03.542.53.03.54.0372012经济学类1-5班第七章样本统计量的值---计算所有样本均值的均值和方差…(M为样本数目)M

xii1

1.0

1.5

⋯

4.0

2.5

M

16x

Mi

xxi1

M)22382012经济学类1-5班第七章0.625

2n

(x

(1.0

2.5)2

⋯

(4.0

2.5)216392012经济学类1-5班第七章2.比较及结论：1)样本均值的均值（数学期望）等于总体均值;重复抽样时,样本均值的方差等于总体方差的1/n.

不重复抽样时,方差的矫正系数

(N-n)/(N-1)，在抽样比n/N

小于5%时可忽略不计.3.样本均值的分布与总体分布的比较：抽样分布总体分布140.1.2.3

0

.625x

2P(

x)1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0x

2

.50.1.2.3x2

3

2.52

1.25402012经济学类1-5班第七章样本均值的抽样分布与中心极限定理：当总体服从正态分布N~(μ,σ2

)时，样本统计量---样本均值

也服从正态分布，即x)412012经济学类1-5班第七章2nx

∼N(,x

n

x

X中心极限定理:422012经济学类1-5班第七章设从均值为，方差为2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布.一般的n

30若不是正态分布,可以用正态分布和)X

∼

N(

,2

)1

1

12X

∼

N(

,2

)2

2n2

30近来似(n1

30(二)两个样本均值差的抽样分布：应用于两个总体的均值比较…1.假设条件432012经济学类1-5班第七章从总体X1、X2各自独立的抽取容量为n1

,n2

两个样本；两个总体都服从正态分布，参数为服从正态分布，其期望值为2122n1

n2(

x1

x2

)

E

(

x1

x2其标准误差为)

1

2有限总体不放回抽样，抽样比都小于5%时，校正系数可忽略。x2442012经济学类1-5班第七章2.

均值之差 抽样分布x1

(三)样本比例(成数)的抽样分布：总体比例---指总体中具有某种特征的单位在总体中所占的比例.1.假定条件：设p为总体比例；两类结果---具有、不具有某种特征；总体服从二项分布可以由正态分布来近似.2.样本比例近似服从正态分布一̃p

a

/

ñ 般的np和nq皆>5p∼N(

p,

pq/

n)b(

np,

npq)452012经济学类1-5班第七章(四)两个样本比例差抽样分布：1.当n1，n2≥30，服从正态分布和2.样本比例差似服从正态分布N(

p1

,

p1

q1

/

n1

)N

(

p2

,

p2

q2

/

n2

)̃p1

,̃p2̃p1

̃p212N(

p

-1

p

2,

p1

q1+np2q2

)n注：n1

p1

,n2

p2

,n1q1

,

n2

q2

5̃p1

p̃2462012经济学类1-5班第七章(五)样本方差的抽样分布：1设总体服从正态分布N~(μσ2

)构造关于样本方差s2

的统计量为2(n–

1)注:2

2

(n

1)

s2~

2

(n

1)n472012经济学类1-5班第七章s2i1

(

x

x)

2

/(n

1)2.卡方分布选择容量为n

的简单随机样本计算样本