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文档简介

Chap1―1

集合及其运算一.惯用集合N:自然数集(不包含0)，Z:整数集，Q:有理数集，R:实数集，R+:正实数集，有限集：元素个数有限(n个)。单点集：n＝1无限集：非有限集集合。可列(数)集:可按某一规律排成一列无限集.即不可列集：非可列无限集。例1证实区间(0,1)内有理数集是可列集.二.逻辑符号:任意，或任给.:存在例2设a，bR.证实例3设a，bR.证实例4设a，bR.证实:逻辑非。若P为命题，则P表示命题P否定。例5设命题P为：试给出P必定叙述。碰到变为，碰到变为，

再把最终结论改为否定形式。三.集合运算Descarte直积：“AB＝{(a,b)|aA，bB}”.四.集族

设X为集合，若集合C每个元素都是X子集,则称C是X一个集族。集族记法：

其中为指标集。

通常为数集(可为有限集,无限集,不可列集)例6设X＝{足球，篮球，排球，乒乓球}={张三，李四，王五}，试结构一X集族。集族运算并：交：当＝{1,2,,n}时，写成当＝N时，集族写成{An},其并和交写成例7设求例8设证实

Chap1―2

惯用不等式举例2.Bernoulli不等式设x>1，nN，则有3.均值不等式设xk>0,k=1,2,，n，则有

其中等号当且仅当x1=x2＝＝xn时成立。例设证实数列{xn}单调增加且xn<4.Ex.设n

N,证实不等式

Chap1―3

实数集及其确界一.邻域设aR，

>0,定义a邻域：

a去心邻域：

a左邻域：

其中a称为邻域中心，称为邻域半径。

不强调半径时，可写成U(a),等等。二.数集界

设A为数集，若MR，使得xA有xM，则称M是A一个上界。此时A称为上有界集。试一试

下界和下有界集定义？有界集现有上界，又有下界集合。即

上无界集、下无界集、无界集必定叙述？

集合上、下界含有不唯一性（无穷多）！定义1设A为数集，若R，使得(1)

任意xA,有x；(2)

任意b<,存在xbA，使得xb

>b.则称是A上确界，记为＝supA.试一试

下确界＝infA定义？确界？

定义中(2)可换为结论若M是数集A任一上界，则有supAM.定理1若数集A有上(下)确界,则其上(下)确界唯一.确界公理非空上(下)有界集必有上(下)确界。

若A为上无界集，则要求supA＝＋若A为下无界集，则要求infA＝(合理性？)

要求sup＝－，inf＝＋例1设证实例2设A为非空数集，证实(1)

supAAA中存在最大数,此时supA＝maxA(2)

infAAA中存在最小数,

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