集合的含义与表示-完整版课件

1.1.1集合的含义与表示1.1集合提出问题“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:许多的人或物聚在一起.在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的“集合”？

考察下列问题：（1）1～20以内的所有质数；（2）绝对值小于3的整数；（3）师大附中201205班的所有男同学；（4）平面上到定点O的距离等于定长的所有的点.思考1：上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体分别形成一个集合，集合中的每个对象都称为元素.上述4个集合中的元素分别是什么？知识探究（一）：集合的概念

思考2：一般地，怎样理解“元素”与“集合”？思考3：组成集合的元素所属对象是否有限制？集合中的元素个数的多少是否有限制？思考4：美国NBA火箭队的全体队员是否组成一个集合？若是，这个集合中有哪些元素？思考5：试列举一个集合的例子，并指出集合中的元素.知识探究（二）：集合元素的特性任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？思考1：某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？提示：集合中的元素必须是确定的，即确定性.思考2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此说明什么？提示：集合中的元素是不重复出现的，即互异性.思考3：201204班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？由此说明什么？提示：集合中的元素是没有顺序的，即无序性.知识探究（三）:元素与集合的关系思考1：设集合A表示“1～20以内的所有质数”，那么3，4，5，6这四个元素哪些在集合A中？哪些不在集合A中？思考2：对于一个给定的集合A，那么某元素a与集合A有哪几种可能关系？思考3：如果元素a是集合A中的元素，我们如何用数学化的语言表达？思考4：如果元素a不是集合A中的元素，我们如何用数学化的语言表达？知识探究（四）：常见的数集思考1：所有的自然数，正整数，整数，有理数，实数能否分别构成集合？思考2：自然数集，正整数集，整数集，有理数集，实数集等一些常用数集，分别用什么符号表示？

常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法

N*或N＋NZQR知识探究（五）：集合的表示方法观察下列集合：(1)中国古代四大发明组成的集合；(2)20的所有正因数组成的集合；(3)不等式x－2≥3的解集；(4)所有正偶数组成的集合．思考1：上述四个集合中的元素能分别一一列举出来吗？提示：(1)(2)中的元素可以一一列举出来．(3)(4)中的元素不能一一列举，因为元素有无穷多个.思考2：设(3)(4)中的元素为x，请用等式(或不等式)分别将它们表示出来．提示：(3)中元素x≥5；(4)中的元素x＝2n，n∈N＋.表示集合的常用方法(1)列举法：把集合的元素

出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．一般形式：{a1，a2，a3，…，an}．一一列举(2)描述法：用集合所含元素的

表示集合的方法称为描述法，具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号，及

，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的

．一般形式：{x|p(x)}，其中x是集合元素的一般符号，p(x)是集合元素的共同特征.共同特征取值(或变化)范围共同特征理论迁移[例1]

判断下列每组对象能否构成一个集合：（1）高一(4)班成绩较好的同学；（2）2011年度诺贝尔经济学奖获得者；（3）立方接近零的正数；（4）2012年伦敦奥运会所有比赛项目．考点一：集合的基本概念[精解详析]结合集合中元素的特性对四个小题具体分析如下：序号内容分析结论（1）“成绩较好”的界限不明确，不符合集合元素的确定性不能构成集合（2）2010年度诺贝尔经济学奖获得者是两位美国经济学家和一名具有英国和塞浦路斯双重国籍的经济学家，元素是确定的能构成集合（3）“接近零”的界限不明确不能构成集合（4）所有比赛项目是确定的能构成集合[一点通]判断元素能否组成集合，关键看这些元素是否具有确定性．如果是确定的，则能构成集合，否则就不能构成集合．2．判断下列各组对象能否构成一个集合：(1)所有著名的数学家；(2)全校身高超过185cm的部分女生；(3)方程x2－1＝0的所有实数根；(4)大于－5的所有负数．解：序号能否构成集合原因分析(1)否“著名的数学家”无明确标准，构不成集合(2)否“部分女生”不是全体，“部分”包括哪些，不明确(3)能x2－1＝0的所有实数根为1，－1，满足确定性(4)能满足确定性，即{x|－5<x<0}考点二：元素与集合的关系[例2]设集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，若a∈A，b∈B，试判断a＋b与集合A，B的关系．[精解详析]

a∈A，则a＝2k1(k1∈Z)；b∈B，则b＝2k2＋1(k2∈Z)，所以a＋b＝2(k1＋k2)＋1.又k1＋k2为整数，2(k1＋k2)为偶数，故2(k1＋k2)＋1必为奇数，所以a＋b∈B且a＋b∉A.[一点通]判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征．如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征．答案：B考点三：集合的表示方法

(3)大于4的全体奇数构成的集合；

(4)坐标平面内，两坐标轴上点的集合；

(5)所有的三角形构成的集合．

[一点通]1．列举法是把集合中的元素一一列举出来，写在花括号里表示集合的方法．列举时要注意元素的不重不漏，不计次序，且元素与元素之间用“，”隔开．2．用描述法表示集合时，常用的模式是{x|p(x)}，其中x代表集合中的元素，p(x)为集合中元素所具备的共同特征．要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确．6．用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数解组成的集合；(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．解：(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．(2)方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)．故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．7．用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数集合；(3)平面直角坐标系中第一象限的点组成的集合．解：(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N*，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N*}．(3)第一象限内的点的横坐标大于0，且纵坐标大于0，故平面直角坐标系中第一象限的点组成的集合为{(x，y)|x>0，y>0}.考点四：集合中元素特性[例4](12分)已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．[精解详析]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.(4分)当a＝1时，a＝a2，集合A有一个元素，∴a≠1. (7分)当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合互异性．(10分)∴a＝－1. (12分)[一点通]根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对集合中元素进行检验．另外，利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．8．实数集{2x，x2＋x，－4}中元素x的值可以为(

)A．0 B．1C．－1 D．－2解析：把0,1，－2分别代入集合中，可知不满足集合中元素的互异性，－1满足条件．答案：C9．若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}且－3∈A，求实数a的值．解：(1)若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，满足题意.(2)若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性.(3)若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，满足题