圆与方程知识点总结典型例题

圆与方程圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2+y2=r2.点与圆的位置关系：.设点到圆心的距离为d,圆半径为r：a•点在圆内U^dVr；b•点在圆上U^d二r；c•点在圆外c">d>r⑵.给定点M(x0,y0)及圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2•M在圆C内o(x-a)2+(y-b)2<r200M在圆C上o(x°-a)2+(y°-b)2=r2③M在圆C外o(x-a)2+(y-b)2>r2003)涉及最值：思考：过此A点作最短的弦(此弦垂直AC)3.圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.

⑴当D2+E2—4F〉0时，方程表示一个圆，其中圆心Cf-D，-,半径r=^D2+E2~4F.(22丿2fDE、⑵当D2+E2-4F=0时，方程表示点-一，-一•I22丿⑶当D2+E2-4F<0时，方程不表示任何图形.注：方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是：B=0且A=C丰0且D2+E2-4AF©0.直线与圆的位置关系：直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2圆心到直线的距离d=匹+B"+CA2+B2d〉ro直线与圆相离o无交点；d=ro直线与圆相切o只有一个交点；d<ro直线与圆相交o有两个交点；弦长|AB|=2\72—d2rdrd一…,IAx+By+C=0还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组｛求解，通过解[x2+y2+Dx+Ey+F=0的个数来判断：当A>0时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；当A=0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；当A<0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；两圆的位置关系⑴设两圆J"-叮+(y-少=ri2与圆C2：(x-«2)2+(y-"2)2=J

圆心距d=、(a—a)2+(b—b)2V1212d>r+ro外离o4条公切线；12d=r+ro外切o3条公切线；12|r—r|<d<r+ro相交o2条公切线；1212d=|r—r|o内切o1条公切线；120<d<|r一r|o内含o无公切线；12外离外切相交内切外离外切相交内切（2）两圆公共弦所在直线方程圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,1111圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,2222则（D—D）x+（E—E）y+（F—F）=0为两相交圆公共弦方程.121212补充说明：若C与C相切，则表示其中一条公切线方程；12若C1与C2相离，则表示连心线的中垂线方程.3）圆系问题过两圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0和C:x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系11112222+y2+Dx+Ey+F222方程为x2+y+y2+Dx+Ey+F222111补充：上述圆系不包括C；22）当X=—1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）③过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+X(Ax+By+C)=0过一点作圆的切线的方程：(1)过圆外一点的切线：k不存在，验证是否成立k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离二半径，即y1-y0=k(x1-xo)v=lb_y]_k(a_x])1R=I、&R2+1求解k,得到切线方程【一定两解】例1.经过点P(1,—2)点作圆(x+1)2+(y—2)2=4的切线，则切线方程为⑵过圆上一点的切线方程：圆(x—a)2+(y—b)2=r2，圆上一点为(X。，y0)，则过此点的切线方程为(x—a)(x—a)+(y—b)(y—b)二r200特别地，过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.例2•经过点P(—4,—8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线，则切线方程为。7■切点弦⑴过。C：(x—a)2+(y—b)2=r2外一点P(x,y)作0C的两条切线，切点分别为A、B,00则切点弦AB所在直线方程为：(x—a)(x—a)+(y—b)(y—b)=r200切线长：若圆的方程为(xa)2(yb)2=r2,则过圆外一点P(x。,y。)的切线长为”=心0—a)2+(y°—b)2—r2.圆心的三个重要几何性质:3333①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在某一条弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法例已知圆C:X2+y2—2x二0和圆C:X2+y2+4y=0,试判断圆和位置关系，12若相交，则设其交点为A、B,试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。一、求圆的方程例1(06重庆卷文)以点(2,—1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为((A)(x一2)2+(y+1)2=3(B)(x+2)2+(y一1)2=3(C)(x—2)2+(y+1)2=9(D)(x+2)2+(y—1)2=9二、位置关系问题的取值范例2（06安徽卷文）直线x+y=1与圆x2+y2―2ay二°（a>°）没有公共点，则a的取值范⑻(迈—1,⑻(迈—1,J2+1)(D)(°，叵+1)⑴(°,迈—1)(c)(—壬2—】，丫2+1)三、切线问题例3（06重庆卷理）过坐标原点且与圆x2+y2―4x+2y+=°相切的直线方程为（(a)y(a)y=—3x或y=(b)y=3x或y=—(c)y(c)y=—3x或y=—(d)y=3x或y=四、弦长问题例4（06天津卷理）设直线ax—y+3=°与圆（x—1）2+（y—2）2二4相交于A、B两点，且弦AB的长为2\2，则a二五、夹角问题例5(06全国卷一文)从圆x2-2x+y2-2y+1二0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为()13(A)2(B)5■v'3(C)2(D)0六、圆心角问题例6(06全国卷二)过点(1^2)的直线1将圆(x—2)2+y2二4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线1的斜率k=七、最值问题例7(06湖南卷文)圆x2+y2—4x—4y—10二0上的点到直线x+y―14=0的最大距离与最小距离的差是()(A)30(B)18(C)62(D)5丫2八、综合问题例8(06湖南卷理)若圆x2+y2—4x—4y—10二0上至少有三个不同的点到直线1:ax+by=0的距离为2J2，则直线1的斜率k取值范围圆的方程1■方程X2+y2—2(t+3)x+2(1—4t2)y+16t4+9=0(tWR)表示圆方程，贝ljt的取值范围是1A.—1〈t〈711B卄2C.—7<t<1<t<2—圆与y轴相切，圆心在直线x—3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2*7，求此圆的方程.方程X2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2—4F>0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则（）+E=0B.+F=0+F=0D.D+E+F=0（2004年全国II,8）在坐标平面内，与点A（1,2）距离为1,且与点B（3,1）距离为2的直线共有（）条条条条（2005年黄冈市调研题）圆x2+y2+x—6y+3=0上两点P、Q关于直线kx—y+4=0对称,则k=.（2004年全国卷111,16）设P为圆X2+y2=1上的动点，则点P到直线3x—4y—10=0的距离的最小值为.y7•已知实数x、y满足方程X2+y2—4x+1=0•求（1）的最大值和最小值；（2）y—x的最小值；x（3）X2+y2的最大值和最小值.经过两已知圆的交点的圆系例1.求经过两已知圆：x2+y2—4x—6=0和x2+y2—4y—6=0的交点且圆心的横坐标为3的圆的方程。例2．