矩阵位移法哈工大结构力学

关于矩阵位移法哈工大结构力学第1页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五1.概述结点：杆件交汇点、刚度变化点、支承点。有时也取荷载作用点。图中1、2、3、4点均为结点。

单元：两结点间的等直杆段。图中1-3、2-4、3-4为

单元。编码：黑的结点编号称整体码。红的1、2局限于单元，称

局部码。坐标：兰的坐标称

整体坐标。红的x、y局限于单元，称局部坐标1342xy121122yx右手系①②③

将结构分解为杆件集合，为进行分析，事先需做下面称为离散化的工作第2页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五

对于如下所示的结构，离散化时需先做以下的工作第3页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五2.单元刚度方程基本原理：在弹性小变形条件下，叠加原理成立。已有知识：转角位移方程、单跨梁形常数和载常数。目的：像位移法一样，通过“一拆、一合”来解决结构分析。为此，必须首先掌握单元的特性。第4页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五利用叠加原理单元刚度方程平面拉压-(桁架)单元第5页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五EE连续梁单元利用叠加原理单元刚度方程刚度矩阵等效结点荷载矩阵第6页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五不考虑轴向变形的平面梁柱单元q(x)根据形、载常数，利用叠加原理可得梁柱单元的单元刚度方程为第7页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五单元刚度矩阵(应熟记)是转角位移方程的矩阵表示单元杆端位移矩阵第8页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五单元等效结点荷载矩阵向上满跨均布荷载q作用逆时针满跨均布力偶m作用根据单跨梁的载常数，可得第9页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五计轴向变形的平面自由式梁柱单元单元刚度矩阵可根据叠加原理得到拉压梁柱这一结果对应的杆端位移矩阵如何？单元等效结点荷载可同理叠加得到补充第10页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五单元刚度矩阵的性质

根据反力互等定理，单元刚度矩阵一定是对称矩阵。

除连续梁单元刚度矩阵外，其它三种单元刚度矩阵是奇异的。

解释一：从数学上看，因为存在相关的行、列，所以对应的行列式为零，矩阵不可逆。

解释二：从物理概念上看，因为杆端相当于没有约束（均可位移），自由体系在平衡外力作用下，可以产生惯性运动，所以无法由平衡的外荷唯一地确定位移。

刚度矩阵元素kij的物理意义为：单元仅发生第个j杆端单位位移时，在第个i杆端位移对应的约束上所需施加的杆端力。第11页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五3.坐标转换问题

在搞清单元特性后，像位移法一样，需将单元拼装回去。在结点处位移自动满足协调条件的基础上，令全部结点平衡，即可建立求解位移的方程，这是下一节将讨论的内容。

除连续梁外，一般结构单元不全同方位，为保证协调和平衡，应将杆端位移和杆端力都转换成统一的，对整体坐标的量，因此要先解决坐标转换问题。下面先讨论自由式梁单元的转换问题。第12页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五力的转换位移的转换将局部量向整体量方向投影，可得将整体量向局部量方向投影，可得第三、六两个量不存在转换问题。第13页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五如果记结点位移坐标转换矩阵为单元杆端位移坐标转换矩阵为因此位移力第14页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五刚度方程的转换力转换刚度方程位移转换如果记整体坐标单元刚度矩阵为则整体坐标单元刚度方程为局部坐标第15页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五连续梁单元需要进行坐标转换吗？连续梁的局部坐标与整体坐标一致，所以不需要转换。第16页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五桁架单元如何进行坐标转换？力的转换位移的转换第一种做法第17页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五第二种做法位移扩展为刚度矩阵改为转换矩阵第18页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五局部坐标与整体坐标成900时，局部单刚和整体单刚间有何关系？局部坐标单元刚度矩阵整体坐标单元刚度矩阵To47第19页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五4.整体分析以图示简例来说明

图中有两套编号，红的是单元杆端编号，黑的是结构整体编号。4-1)结点示意121221①②③

图中蓝色的表示结点荷载（已知），红色的表示杆端力（未知的），、分别①、②单元杆端力子矩阵。对1、4结点“荷载”含有未知反力。2第20页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五4-2)结点平衡

由示意图可见，结构结点的平衡方程为121221①②③2134第21页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五若记2134则平衡方程为式中(I)、0分别为单位和零矩阵。第22页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五若引入矩阵记号则结点平衡方程可改写作

这一结论虽然是由一个例子得到的，但是显然对一切结构都是成立的。问题在于不同结构，(A)矩阵是不同的。①②③第23页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五4-3)杆端位移用结点位移来表示121221①②③仍以上述简单例子来说明若记

由结点、杆端位移的协调条件，可得()、()的对应关系为

式中(A)T是前面力关系(A)的转置，因此(A)T称为位移转换矩阵。第24页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五4-4)整体刚度方程——结点平衡121221①②③若记引入位移转换关系，则第25页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五

这就是整体刚度方程，它的物理实质是结点平衡。(K)称作结构刚度矩阵（或整体刚度矩阵），(P)称作综合等效结点荷载矩阵，它由两部分组成:

Pd

直接结点荷载矩阵由结点荷载组成

PE

等效结点荷载矩阵由单元荷载组成综合等效结点荷载矩阵整体(总体)刚度矩阵整体(总体)刚度方程第26页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五单元个数③②①4-5)整体刚度矩阵的建立121221①②③

若将(A)按单元分成图示三个子矩阵

则第27页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五121221①②③

由此可见，整体刚度矩阵可由各单元整体刚度矩阵装配累加得到。为说明如何装配，先将单元刚度矩阵进行分割整体结点码

则由矩阵乘法可证明，(A)I(k)I(A)iT的结果是，将刚度矩阵子矩阵按整体结点码r、s

送整体刚度矩阵相应位置。这一装配规则称为“对号入座”。第28页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五整体结点码刚度矩阵对号入座集装规则第29页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五4-6)任意结构情况

上面结论是通过具体例子（全刚结点平面刚架）得到的，由理论分析可证明，任意结构其结论同此例。1)结点位移编号

如果按结点顺序，对结点非零位移进行依次编号，这一序号称作结点位移码。为便于计算机处理并减少结构刚度矩阵的阶次，将零位移的号码变为零。①②③④

对图示三铰刚架，当仅用一种单元（梁柱自由是单元）时结点位移编号如图所示。2)单元定位向量

按单元局部结点码顺序，将结点位移码排成的向量，称作单元的定位向量。第30页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五①②③④

对图示刚架各单元的定位向量为①

(0,0,1,3,4,5)②(0,0,2,10,11,12)③

(3,4,5,6,7,8)④

(6,7,9,10,11,12)

如果如图所示采用各种不同的单元（一端有铰），则定位向量为①②③④①②③④①

(0,0,1,2,3)②

(0,0,,6,7,8)③

(1,2,3,4,5)④

(4,5,6,7,8)如何获得带铰的单元刚度矩阵和等效荷载矩阵第31页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五一端带铰的单元如下图所示

其单元刚度矩阵和等效结点荷载矩阵可有两种方法获得：直接用形、载常数叠加来的到；由自由式单元刚度方程，以铰结端弯矩为零为约束条件，从这个方程解出铰结端的转角位移（用其它位移表示），代回其它刚度方程，整理后即可得到。这类单元的单元刚度矩阵可在(Ⅱ)P.40找到第32页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五定位向量①②③④①②③④1)刚度集装(以④单元为例)定位向量单元局部位移码4-7)按单元定位向量集装刚度矩阵和综合荷载

前面说明的是分块子矩阵集装,下面说明如何按定位向量来集装.

根据单元局部位移码和定位向量的对应关系用定位向量位移码送元素。第33页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五位移码位移码总荷111213141522232425333444354555对称“总荷”第④单元集装后的“总刚”小结第34页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五①②③④①②③④2)荷载集装

以②单元为例来说明定位向量局部位移码此结论同样适用于刚度集装根据单元局部位移码和定位向量的对应关系用定位向量位移码送元素，定位向量元素为零时不送。第35页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五整体分析小结1)对局部坐标和整体坐标不一致的单元，要对刚度、荷载进行坐标转换。2)需对“结构”进行结点、位移的局部和整体编号。4)整体刚度矩阵是对称、带状稀疏矩阵，支撑条件能限制刚体位移时，矩阵非奇异。3)根据单元局部位移码和定位向量的对应关系用定位向量位移码送元素，定位向量元素为零时不送。据此可集装、累加得到整体刚度矩阵。第36页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五5)综合荷载由两部分组成，因此首先要将直接作用结点的荷载按结点位移码送入，如果还有单元等效荷载，再按定位向量集装、累加。★8)如果有某位移码方向弹性支撑，需进行将弹簧刚度送入位移码对应的对角线元素位置累加。★9)如果有某位移码方向已知支撑位移，需进行将“边界条件处理”。具体做法以后介绍。7)整体刚度方程实质是全部结点的平衡条件。6)刚度矩阵带状稀疏，其带宽取决于结点、位移编码。最大半带宽=定位向量中最大元素差+1。整体分析小结第37页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五4-8）边界条件的处理1)乘大数法2)置换法(划零置1)

设第i个位移为已知值a。设第i个位移为已知值a，N=108或更大的数。乘大数法是将刚度矩阵Kii改为NKii，将Pi改为Na。

当按子矩阵(后处理法)集装形成整体刚度方程时，整体刚度矩阵是奇异的。此外，当需分析的结构有已知支座位移时，上述两情况均需进行边界条件处理。请考虑为什麽这样做能使边界条件得到满足？第38页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五刚度方程为：上述置换工作量大一些，显然可看出边界条件得到精确满足。第39页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五★3)关于斜边界的处理

如图示意的斜支座情况，有多种处理方案。3-1)通过单元的坐标转换来处理xyr3-2)通过增加一个单元来处理3-3)对整体刚度矩阵进行处理(参见有关教材)

图示有斜支座单元，r结点处以倾角-

来进行坐标转换，也即在r结点处整体坐标为图示xy。图示有斜支座单元，r结点处沿y方向增加一个刚结的单元，此单元有“无穷大”的抗拉刚度、但没有抗弯刚度。单元长度可任意。第40页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五5.刚度与荷载元素的速算方法目的：为调试程序准备测试数据。元素Kij的物理意义：仅j位移码处单位位移，i位移码处所需施加的力。举例试求图示结构的整体刚度矩阵元素K11。根据元素物理意义，求K11的计算简图如有所示。因为仅j位移码处单位位移，故可改为5-1）“总刚”元素第41页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五根据形常数，取隔离体如图，由此可得K11根据元素物理意义，由图示计算简图还可求得K41K31结论：根据整体刚度矩阵元素的物理意义，在熟记形常数的前提下，取相关部分为对象，即可方便地求得刚度元素。第42页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五求K22、K23、K25、K26应取什么样的隔离体做计算简图？求K33、K35、K36应取什么样的隔离体做计算简图？第43页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五5-2）“总荷”元素

综合结点荷载包含两部分：直接结点荷载和单元荷载等效的结点荷载。

因为在固端力正向和杆端力正向规定相同时，有

所以如图所示，将实际的固端力反向等效作用于结点，由集装规则可得第44页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五

试求图示结构在所示编码下的综合结点荷载矩阵第45页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五5-3）任一截面的内力计算

在求解整体刚度方程，获得结构位移矩阵后，根据定位向量，可得到各单元的杆端位移矩阵，由单元刚度方程可得到单元杆端力。

需注意：如图所示，单元杆端力和前几章单元杆端内力的正向规定是不同的。

求得单元杆端力后，如图取隔离体，由平衡条件可得第46页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五第47页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五第48页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五程序编制题试参考随书光盘所给的平面与空间桁架计算程序（F90）自行编制平面刚架静力计算程序返首第49页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五看课程教材第50页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五单元杆端位移示意图示量均是正的第51页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五单元杆端力示意图示量均是正的第52页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五单一位移时的单元杆端力第53页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五单一位移时的单元杆端力第54页，共64页，2022年，5月20日，13点49分，星期五单一位移时的单元杆