11.3　离散型随机变量及其分布列

11.3

离散型随机变量及其分布列第十一章课标要求1.通过具体实例,了解离散型随机变量的概念,理解离散型随机变量分布列.2.理解两点分布的特点.3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法与性质,并能解决实际问题.备考指导离散型随机变量及其分布列是高考命题的重点,高考中本节知识一般在解答题中考查,有时也在选择题中出现,难度中等.对本部分知识的考查主要借助实际背景,抽象出模型特点,运用相应的概率公式逐一求解.从素养角度,要加强数学建模、数学运算、数据分析的培养.内容索引010203第一环节必备知识落实第二环节关键能力形成第三环节学科素养提升第一环节必备知识落实【知识筛查】

1.随机变量一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.2.离散型随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.3.离散型随机变量的分布列(1)定义一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.(2)性质①pi≥0,i=1,2,…,n;②p1+p2+…+pn=1.问题思考只取两个不同值的随机变量一定服从两点分布吗?举例说明.只取两个不同值的随机变量不一定服从两点分布.例如:随机变量X的分布列为此时X不服从两点分布,因为X的取值不是0和1.【知识巩固】

1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)在离散型随机变量分布列中,各个概率之和可以小于1.(

)(2)抛掷质地均匀的硬币一次,出现正面朝上的次数是随机变量.(

)(3)离散型随机变量的每个取值对应的概率都相等.(

)(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.(

)(5)离散型随机变量的每个取值对应的概率可以是任意的实数.(

)×√×√×2.若随机变量X的分布列为

则P(X<1)=(

)A.0.8 B.0.5

C.0.3

D.0.2B由题意知P(X<1)=P(X=0)+P(X=-1)+P(X=-2)=0.2+0.2+0.1=0.5.3.(多选)设随机变量X的分布列为

,则(

)A.15a=1

B.P(0.5<X<0.8)=0.2C.P(0.1<X<0.5)=0.2

D.P(X=1)=0.3ABC4.有一批产品共12件,其中次品有3件,每次从中任取1件,在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是

.

5.已知离散型随机变量X的分布列为

则a=

.

0,1,2,3第二环节关键能力形成能力形成点1离散型随机变量分布列的性质例1

(1)已知离散型随机变量X的分布列为

则c的值为(

)B解题心得1.利用离散型随机变量分布列的性质既可以求与概率有关的参数的值,还可以检验所求分布列是否正确.2.求离散型随机变量在某一范围内取值的概率,只需将离散型随机变量在这一范围内所有取值对应的概率相加即可.对点训练1(1)已知离散型随机变量X的分布列为A(2)已知随机变量X的分布列为

若P(X<a)=0.8,则a的取值范围为

.

(1,2]由题意可知P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,又P(X<a)=0.8,故1<a≤2.能力形成点2离散型随机变量的分布列命题角度1两点分布例2

袋中装有除颜色外完全相同的5个白球,6个红球,从中任意摸出2个球,记

求随机变量X的分布列.命题角度2一般离散型随机变量的分布列例3

(2021福建三明三模)双败淘汰制是一种竞赛形式,与普通的单败淘汰制输掉一场即被淘汰不同,参赛者只有在输掉两场比赛后才丧失争夺冠军的可能.在双败淘汰制的比赛中,参赛者的数量一般是2的次方数,以保证每一轮都有偶数名参赛者.第一轮通过抽签,两人一组进行对阵,胜者进入胜者组,败者进入负者组.之后的每一轮直到最后一轮之前,胜者组的选手两人一组相互对阵,胜者进入下一轮,败者则降到负者组参加本轮负者组的第二阶段对阵;负者组的第一阶段,由之前负者组的选手(不包括本轮胜者组落败的选手)两人一组相互对阵,败者被淘汰(已经败两场),胜者进入第二阶段,分别对阵在本轮由胜者组中降组下来的选手,胜者进入下一轮,败者被淘汰.最后一轮,由胜者组最终获胜的选手(此前从未败过,记为A)对阵负者组最终获胜的选手(败过一场,记为B),若A胜,则A获得冠军;若B胜,则双方再次对阵,胜者获得冠军.某围棋赛事采用双败淘汰制,共有甲、乙、丙等8名选手参赛.第一轮对阵双方由随机抽签产生,之后每一场对阵根据赛事规程自动产生对阵双方,每场对阵没有平局.(1)设“在第一轮对阵中,甲、乙、丙都不互为对手”为事件M,求M的概率;(2)已知甲对阵其余7名选手获胜的概率均为,①求甲恰在对阵三场后被淘汰的概率;②若甲在第一轮获胜,设甲在该项赛事的总对阵场次为随机变量X,求X的分布列.解题心得1.判断一个随机变量是否服从两点分布要注意以下两点:(1)看取值:随机变量只取0和1两个值.(2)验概率:检验概率之和是否为1.若满足以上两点,则该随机变量服从两点分布,否则不服从两点分布.2.离散型随机变量分布列的求解步骤3.求离散型随机变量分布列的关键是求随机变量取每个值的概率,在求解时,要注意应用计数原理、古典概型等知识.对点训练2(1)已知一批100件的待出厂产品中,有1件不合格品,现从中任意抽取2件进行检查,设抽取的2件产品中不合格品数为X,求X的分布列.(2)某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图如图所示,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.

①求此人到达当日空气重度污染的概率.②设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列.第三环节学科素养提升易错辨析——对随机变量的意义理解有错典例

某人进行一项试验.若成功,则停止试验;若失败,则重新试验一次;若试验3次均失败,则放弃试验.已知每次试验成功的概率为,各次试验成功与否互不影响,求此人试验次数X的分布列.错误解法试验次数X的可能取值为1,2,3.出现这种错误解法的原因是没有明确随机变量X的意义,X=1表示第一次试验成功;X=2表示第一次试验失败,第二次试验成功;X=3表示前两次试验均失败,第三次试验无论成功与否,之后都停止试验.而错误解法误认为X=3表示前两次试验均失败,第三次试验成功.正确解法依题意,X的可能取值为1,2,3,解题心得在确定随机变量