2023届九江市重点中学数学九年级上册期末考试试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．若一组数据为3，5，4，5，6，则这组数据的众数是（）A．3 B．4 C．5 D．62．若点在反比例函数的图象上，且，则下列各式正确的是（）A． B． C． D．3．设，下列变形正确的是（）A． B． C． D．4．如图，P、Q是⊙O的直径AB上的两点，P在OA上，Q在OB上，PC⊥AB交⊙O于C，QD⊥AB交⊙O于D，弦CD交AB于点E，若AB=20，PC=OQ=6，则OE的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.55．如图，过反比例函数的图像上一点A作AB⊥轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．56．如图，△∽△，若，，，则的长是（）A．2 B．3 C．4 D．57．若，则下列各式一定成立的是（）A． B． C． D．8．如图，矩形草坪ABCD中，AD＝10m，AB＝m．现需要修一条由两个扇环构成的便道HEFG，扇环的圆心分别是B，D．若便道的宽为1m，则这条便道的面积大约是（）（精确到0.1m2）A．9.5m2 B．10.0m2 C．10.5m2 D．11.0m29．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为()A．16 B．20 C．24 D．2810．在△ABC中，∠C=90°，则下列等式成立的是（）A．sinA= B．sinA= C．sinA= D．sinA=11．下列函数中，变量是的反比例函数是（）A． B． C． D．12．某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的实验可能是（）A．抛一枚硬币，出现正面朝上B．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数C．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球D．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，矩形中，边长，两条对角线相交所成的锐角为，是边的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是_______．14．如图，抛物线y＝﹣2x2+2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，连结EF．则图中阴影部分图形的面积为______．15．在中，，，则______．16．如图，点在双曲线（）上，过点作轴，垂足为点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交轴于点，交轴于点，连接.若，则的值为______.17．在中，，，，则的值是__________．18．圆内接正六边形的边长为6，则该正六边形的边心距为_____．三、解答题（共78分）19．（8分）阅读下列材料，完成相应的学习任务:如图（1）在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和BC两条线段，其中AC＞BC．若AC，BC，AB满足关系AC2＝BC•AB．则点C叫做线段AB的黄金分割点，这时＝≈0.618，人们把叫做黄金分割数，我们可以根据图（2）所示操作方法我到线段AB的黄金分割点，操作步骤和部分证明过程如下：第一步，以AB为边作正方形ABCD．第二步，以AD为直径作⊙F．第三步，连接BF与⊙F交于点G．第四步，连接DG并延长与AB交于点E，则E就是线段AB的黄金分割点．证明：连接AG并延长，与BC交于点M．∵AD为⊙F的直径，∴∠AGD＝90°，∵F为AD的中点，∴DF＝FG＝AF，∴∠3＝∠4，∠5＝∠6，∵∠2+∠5＝90°，∠5+∠4＝90°，∴∠2＝∠4＝∠3＝∠1，∵∠EBG＝∠GBA，∴△EBG∽△GBA，∴＝，∴BG2＝BE•AB…任务：（1）请根据上面操作步骤与部分证明过程，将剩余的证明过程补充完整；（提示：证明BM＝BG＝AE）（2）优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数．为优选法的普及作出重要贡献的我国数学家是（填出下列选项的字母代号）A．华罗庚B．陈景润C．苏步青20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC．（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC=8，CD=5，则CE=．21．（8分）在一个三角形中，如果有一边上的中线等于这条边的一半，那么就称这个三角形为“智慧三角形”．（1）如图1，已知、是⊙上两点，请在圆上画出满足条件的点，使为“智慧三角形”，并说明理由；（2）如图2，是等边三角形，，以点为圆心，的半径为1画圆，为边上的一动点，过点作的一条切线，切点为，求的最小值；（3）如图3，在平面直角坐标系中，⊙的半径为1，点是直线上的一点，若在⊙上存在一点，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，求出此时点的坐标．22．（10分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y轴交于点C.（1）=，=；（2）根据函数图象可知，当＞时，x的取值范围是；（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线OP与线段AD交于点E，当：=3：1时，求点P的坐标.23．（10分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=；（1）作⊙O，使它过点A、B、C（要求尺规作图保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的圆中，求圆心角∠BOC的度数和该圆的半径24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，弦PB与CD交于点F，且FC＝FB．（1）求证：PD∥CB；（2）若AB＝26，EB＝8，求CD的长度．25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE交AC于点E，且∠A＝∠ADE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD＝16，DE＝10，求BC的长．26．小王、小张和小梅打算各自随机选择本周六的上午或下午去高邮湖的湖上花海去踏青郊游.（1）小王和小张都在本周六上午去踏青郊游的概率为_______；（2）求他们三人在同一个半天去踏青郊游的概率.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据众数的定义即可求解．【详解】一组数据为3，5，4，5，6中，5出现的次数最多，∴这组数据的众数为5；

故选：C．【点睛】本题考查了众数的概念，众数是一组数据中出现次数最多的数，注意一组数据的众数可能不只一个．2、C【分析】先判断反比例函数所在象限，再根据反比例函数的性质解答即可．【详解】解：反比例函数为，函数图象在第二、四象限，在每个象限内，随着的增大而增大，又，，，．故选C．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，属于基本题型，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键．3、D【分析】根据比例的性质逐个判断即可．【详解】解：由得，2a=3b,A、∵，∴2b=3a，故本选项不符合题意；

B、∵，∴3a=2b，故本选项不符合题意；

C、，故本选项不符合题意；

D、，故本选项符合题意；

故选：D．【点睛】本题考查了比例的性质，能熟记比例的性质是解此题的关键，如果，那么ad=bc．4、C【分析】因为OCP和ODQ为直角三角形，根据勾股定理可得OP、DQ、PQ的长度，又因为CPDQ，两直线平行内错角相等，∠PCE=∠EDQ，且∠CPE=∠DQE=90°，可证CPE∽DQE，可得，设PE=x，则EQ=14-x，解得x的取值，OE=OP-PE，则OE的长度可得．【详解】解：∵在⊙O中，直径AB=20，即半径OC=OD=10，其中CPAB，QDAB，∴OCP和ODQ为直角三角形，根据勾股定理：，，且OQ=6，∴PQ=OP+OQ=14，又∵CPAB，QDAB，垂直于用一直线的两直线相互平行，∴CPDQ，且C、D连线交AB于点E，∴∠PCE=∠EDQ，（两直线平行，内错角相等）且∠CPE=∠DQE=90°，∴CPE∽DQE，故，设PE=x，则EQ=14-x，∴，解得x=6，∴OE=OP-PE=8-6=2，故选：C．【点睛】本题考察了勾股定理、相似三角形的应用、两直线平行的性质、圆的半径，解题的关键在于证明CPE与DQE相似，并得出线段的比例关系．5、C【解析】试题分析：观察图象可得，k＞0，已知S△AOB=2，根据反比例函数k的几何意义可得k=4，故答案选C.考点：反比例函数k的几何意义.6、C【分析】根据相似三角形的性质，列出对应边的比，再根据已知条件即可快速作答.【详解】解：∵△∽△∴∴解得：AB=4故答案为C.【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找对相似三角形的对应边，并列出比例进行求解.7、B【分析】由等式的两边都除以，从而可得到答案．【详解】解：等式的两边都除以：，故选B．【点睛】本题考查的是把等积式化为比例式的方法，考查的是比的基本性质，等式的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．8、C【分析】由四边形ABCD为矩形得到△ADB为直角三角形，又由AD＝10，AB＝10，由此利用勾股定理求出BD＝20，又由cos∠ADB＝，得到∠ADB＝60°，又矩形对角线互相平分且相等，便道的宽为1m，所以每个扇环都是圆心角为30°且外环半径为10.1，内环半径为9.1．这样可以求出每个扇环的面积．【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴△ADB为直角三角形，又∵AD＝10，AB＝，∴BD＝，又∵cos∠ADB＝，∴∠ADB＝60°．又矩形对角线互相平分且相等，便道的宽为1m，所以每个扇环都是圆心角为30°，且外环半径为10.1，内环半径为9.1．∴每个扇环的面积为．∴当π取3.14时整条便道面积为×2＝10.4666≈10.1m2．便道面积约为10.1m2．故选：C．【点睛】此题考查内容比较多，有勾股定理、三角函数、扇形面积，做题的关键是把实际问题转化为数学问题．9、B【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】根据题意知=20%，解得a=20，经检验：a=20是原分式方程的解，故选B．【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．10、B【解析】分析：根据题意画出图形，进而分析得出答案．详解：如图所示：sinA=．故选B．点睛：本题主要考查了锐角三角函数的定义，正确记忆边角关系是解题的关键．11、B【解析】根据反比例函数的一般形式即可判断．【详解】A.不符合反比例函数的一般形式的形式，选项错误；B.符合反比例函数的一般形式的形式，选项正确；C.不符合反比例函数的一般形式的形式，选项错误；D.不符合反比例函数的一般形式的形式，选项错误．故选B．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的一般形式是解题的关键．12、C【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的频率，约为0.33者即为正确答案．【详解】解：A、抛一枚硬币，出现正面朝上的频率是＝0.5，故本选项错误；B、从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数频率约为：＝＝0.5，故本选项错误；C、从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球概率是＝≈0.33，故本选项正确；D、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是＝0.25，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】根据对称性，作点B关于AC的对称点B′，连接B′M与AC的交点即为所求作的点P，再求直角三角形中30的临边即可．【详解】如图，作点B关于AC的对称点B′，连接B′M，交AC于点P，∴PB′＝PB，此时PB＋PM最小，∵矩形ABCD中，两条对角线相交所成的锐角为60，∴△ABP是等边三角形，∴∠ABP＝60，∴∠B′＝∠B′BP＝30，∵∠DBC＝30，∴∠BMB′＝90，在Rt△BB′M中，BM＝4，∠B′＝30°，∴BB’=2BM＝8∴B′M＝，∴PM＋PB′＝PM＋PB＝B′M=4．故答案为4．【点睛】本题主要考查了最短路线问题，解决本题的关键是作点B关于AC的对称点B′．14、1【分析】由S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE，即可求解．【详解】令y＝0，则：x＝±1，令x＝0，则y＝2，则：OB＝1，BD＝2，OB＝2，S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝1．故：答案为1．【点睛】本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定S阴影部分图形＝S四边形BDFE是本题的关键．15、【分析】根据题意画出图形，进而得出cosB=求出即可．【详解】解：∵∠A=90°，AB=3，BC=4，

则cosB==．

故答案为：．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题的关键．16、【分析】设OA交CF于K．利用面积法求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出AB、OB即可解决问题；【详解】解：如图，设OA交CF于K．由作图可知，CF垂直平分线段OA，∴OC=CA=1，OK=AK，在Rt△OFC中，CF=，∴AK=OK=，∴OA=，∵∠AOB+∠AOF=90°，∠CFO+∠AOF=90°，∴∠AOB=∠CFO，又∵∠ABO=∠COF，∴△FOC∽△OBA，∴，∴，∴OB=，AB=，∴A（，），∴k=×=．故答案为：．【点睛】本题考查了尺规作图-作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17、【分析】直接利用正弦的定义求解即可．【详解】解：如下图，在中，故答案为：．【点睛】本题考查的知识点是正弦的定义，熟记定义内容是解此题的关键．18、3【分析】根据题意画出图形，利用等边三角形的性质及锐角三角函数的定义直接计算即可．【详解】如图所示，连接OB、OC，过O作OG⊥BC于G．∵此多边形是正六边形，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBG=60°，∴边心距OG=OB•sin∠OBG=6(cm)．故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形与圆、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟知正六边形的性质是解答本题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）A【分析】（1）利用相全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质以及平行线的性质证明BM=BG=AE即可解决问题．

（2）为优选法的普及作出重要贡献的我国数学家是华罗庚．【详解】（1）补充证明：∵∠2＝∠4，∠ABM＝∠DAE，AB＝AD，∴△ABM≌△DAE（ASA），∴BM＝AE，∵AD∥BC，∴∠7＝∠5＝∠6＝∠8，∴BM＝BG＝AE，∴AE2＝BE•AB，∴点E是线段AB的黄金分割点．（2）优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数．为优选法的普及作出重要贡献的我国数学家是华罗庚．故答案为A．【点睛】本题考查作图-相似变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题型．20、（1）见解析；（2）1．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等知作出∠A的平分线即可；根据平行四边形的性质可知AB=CD=5，AD∥BC，再根据角平分线的性质和平行线的性质得到∠BAE=∠BEA，再根据等腰三角形的性质和线段的和差关系即可求解．【详解】（1）如图所示：E点即为所求．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE是∠A的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠BEA，∴BE=BA=5，∴CE=BC﹣BE=1．考点：作图—复杂作图；平行四边形的性质21、（1）见解析；（2）；（1）或【分析】（1）连接AO并且延长交圆于，连接AO并且延长交圆于，即可求解；

（2）根据MN为⊙的切线，应用勾股定理得，所以OM最小时，MN最小；根据垂线段最短，得到当M和BC中点重合时，OM最小为，此时根据勾股定理求解DE，DE和MN重合，即为所求；

（1）根据“智慧三角形”的定义可得为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当写斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为1，根据勾股定理可求得另一条直角边，再根据三角形面积可求得斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．【详解】（1）如图1，点和均为所求理由：连接、并延长，分别交于点、，连接、，∵是的直径，∴，∴是“智慧三角形”同理可得，也是“智慧三角形”（2）∵是的切线，∴，∴，∴当最小时，最小，即当时，取得最小值，如图2，作于点，过点作的一条切线，切点为，连接，∵是等边三角形，，∴，，∴，∵是的一条切线，∴，，∴，当点与重合时，与重合，此时．（1）由“智慧三角形”的定义可得为直角三角形，根据题意，得一条直角边.∴当最小时，的面积最小，即最小时．如图1，由垂线段最短，可得的最小值为1．∴.过作轴，∵，∴．在中，，故符合要求的点坐标为或．【点睛】本题考查了圆与勾股定理的综合应用，掌握圆的相关知识，熟练应用勾股定理，明确“智慧三角形”的定义是解题的关键．22、（1），16；（2）－8＜x＜0或x＞4；（3）点P的坐标为（）.【分析】（1）将点B代入y1＝k1x＋2和y2＝，可求出k1=k2=16.（2）由图象知，－8＜x＜0和x＞4（3）先求出四边形ODAC的面积，从而求出DE的长，然后得出点E的坐标，最后求出直线OP的解析式即可得出点P的坐标．【详解】解：（1）把B（-8，-2）代入y1=k1x+2得-8k1+2=-2，解得k1=∴一次函数解析式为y1=x+2；把B（-8，-2）代入得k2=-8×（-2）=16，

∴反比例函数解析式为故答案为：，16；（2）∵当y1＞y2时即直线在反比例函数图象的上方时对应的x的取值范围，

∴-8＜x＜0或x＞4；

故答案为：-8＜x＜0或x＞4；(3)由(1)知y1＝x＋2，y2＝，∴m＝4，点C的坐标是(0，2)，点A的坐标是(4，4)，∴CO＝2，AD＝OD＝4，∴S梯形ODAC＝·OD＝×4＝12.∵S梯形ODAC∶S△ODE＝3∶1，∴S△ODE＝×S梯形ODAC＝×12＝4，即OD·DE＝4，∴DE＝2，∴点E的坐标为(4，2)．又∵点E在直线OP上，∴直线OP的解析式是y＝x，∴直线OP与反比例函数y2＝的图象在第一象限内的交点P的坐标为(4，2)．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形、梯形的面积，根据图象找出自变量的取值范围.在解题时要综合应用反比例函数的图象和性质以及求一次函数与反比例函数交点坐标是本题的关键．23、（1）见解析；（2）∠BOC=90°，该圆的半径为1【分析】（1）作出AC的垂直平分线，交AB于点O，然后以点O为圆心、以OA为半径作圆即可；（2）根据等腰直角三角形的性质和圆周角定理即可求出∠BOC，根据圆周角定理的推论可得AB是⊙O的直径，然后根据勾股定理求出AB即得结果．【详解】解：（1）如图所示，⊙O即为所求；（2）∵∠ACB=90°，AC=BC=，∴∠A=∠B=45°，，∴∠BOC=2∠A=90°，∵∠ACB=90°，∴AB是⊙O的直径，∴⊙O的半径=AB=1．【点睛】本题考查了尺规作三角形的外接圆、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理及其推论等知识，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．24、（1）证明见解析；（2）CD＝1．【解析】（1）欲证明PD∥BC，只要证明∠P＝∠CBF即可；（2）由△ACE∽△CBE，可得，求出EC，再根据垂径定理即可解决问题.【详解】（1）证明：∵FC＝FB，∴∠C＝∠CBF，∵∠P＝∠C，∴∠P＝∠CBF，∴PD∥BC．（2）连接AC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AB⊥CD，∴CE＝ED，∠AEC＝∠CEB＝90°，∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，∴∠CAE＝∠BCE，∴△ACE∽△CBE，∴，∴，∴EC2＝144，∵EC＞0，∴EC＝12，∴CD＝2EC＝1．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定