2021考研数学三真题及答案解析

数学（三）试题及解析第数学（三）试题及解析第9页（共12页）13.设平面区域。由曲线y=J7sin心（0冬1）与x轴围成，则。绕x轴旋转所成旋转体的体积 .【答案】74【解析】利用旋转体体积计算公式得7Lrsin^xdx=—7Lrsin^xdx=—414.差分方程或。的通解乂= t【答案】h=；”-1）+C.【解析】先解齐次差分方程yl+l-y,=0,y,=C再设非齐次的解为，代入差分方程«+l）［4）+4（t+l）］T（&+&）整理得4）+2J,/+=t对比系数后得得通解H=a（i）+c

15.多项式/(%)=21x215.多项式/(%)=21x2-112x；中的J项的系数为【解析】¥项为（一1广”4》3+（_1）誓=_5》3,因此y项系数为一5甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球，令分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则的相关系数为 L【答案】-5【解析】EXY=—EX=-EY=-TOC\o"1-5"\h\z10 2 2DX=EX2-(EX)2=-,DY=EY2-(EY)2=-4 4p丄152三、解答题：17〜22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（本题满分10分）已知limx—0【解析】limlO"aarctan—+(1+x)x=—a+e,

x 2limx-»0"已知limx—0【解析】limlO"aarctan—+(1+x)x=—a+e,

x 2limx-»0"aarctan—由于limx->0aarctan—；。+|亦存在，得頒+e=_扣-得日（本题满分12分）求函数/（》,》）=2In|同+（xT）~+T的极值.2x~

I解而I解而g）宀心事地=2+胃一些yz=o,XX X以"片哉=§=°，得尸0、代入广（&）.）二2|匸1（XT）?二2胃+胃7_》2+火_1=2x2+x-\二（2x-1）（x+1）=°,八，Xx?得x=S，x=_l.故得坐标成小号号号3士峰也竺4（P）=-李以（"）=宀在点-,012丿处，得A=24;B=0;C=4,AC-B2=96>0.A>0,取极小值牛,。=顼4项在点（—1,0）处，得A=3;B=0;C=lfAC-B2=3>0.A>0,在点-,012丿（本题满分12分）设有界区域。是圆x2+/=l和直线*=x以及x轴在第一象限围成的部分，计算二重积分JJe^（x2-/）dxdj,D【解析】JJ（X2-y2^xdy=jjd可""5瑚r3cos26tlr=Jjd可：e户海2OdrD广宀函标=!_[%2产_e%/=f-e2^-M04Jo 8 04=!£汕J?e"广宀函标=!_[%2产_e%/=f-e2^-M04Jo 8 04=E・（本题满分12分）

设〃为正整数，y=yn（x）是微分方程个'-（〃+1）*=0满足条件丹⑴=〃（〃+］）的解.⑴求2）.8（2）求级数Z*，，（x）的收敛域及和函数.n=l【解析】（1）由微分方程xy,-（n+\）y=0得K（x）=C-e^=Cv^1代入片⑴二点‘得“湍习，故儿（少沽if”'(2)p=lim〃一>8=1』=丄=i,当x=±i时，£j(2)p=lim〃一>8P n=\S(》)=£n(x)=「丄[\广,"[-1，1],则有，〃(》)=£广=土，得n=l +1丿 忡 1—XS'(x)=j>〃(g+S，(O)=J；a/+O=-ln(lf),5(x)=£，5,(/)d/+5(0)=£V-ln(1-/>1/+0=(1-x)ln(1-x)+x.21.设矩阵4=21.设矩阵4=仅有两不同的特征值,若4相似于对角矩阵，求。0的值，并求可逆矩阵P，使P'AP^J对角矩阵.【解析】2-2-1-12-22-2-1-12-2-1-a\XE-A\=00X-b=32)0—2)2—1]=(A-Z>)(22-42+3)=(2-W-l)(2-3)=0.

当b=\时，。=1,W=3,&=%=1,P=1-1J0-1当b=3时，白=一1,4=%=3,石=1,P-1-II22.（本题满分12分）在区间（0,2）上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度记为X，较长一段的长Y度记为V,令Z=—.A（1） 求X的概率密度；（2） 求Z的概率密度：(X\⑶求E—.【解析】（1）由题意得，X〜U（O,l）,/（x）=10<x<l,0其他(2)Z=—X2-X2当z<l时,尤