市普陀区晋原中学2015-2016学年高二上期中数学试卷解析版

2015-2016学年市普陀区晋原中学高二（上）期中数学试一、填空已知{an]为等差数列，a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，则 已知数列{an}的前n项和Sn=5﹣4×2﹣n，则其通项公式 在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，如果EH、FG相交于一点M，那么M一定在直线 在等差数列{an}中，若an+an+2=4n+6（n∈N*），则该数列的通项公式 若存在，则实数r的取值范围 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值 已知数列{an}的通项公式为an=log3（n∈N*），设其前n项和为Sn，则使Sn＜﹣4成立的最小自然数n等于 等比数列{an}的公比0＜q＜1，a172=a24，则使a1+a2+…+an＞++…+成立的正整数n的最 数列{an}的通项公式an= ，前n项和为Sn，则 在等差数列{an}中，＜﹣1，若它的前n项和Sn有最大值，则使Sn取得最小正数 所有n的和为 意大利著名数学家那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数列{an}为 那契数列中的 项f（x）R上的增函数，数列{xn}2+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0，则x2015的值 二、选择在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角的取值范围是（A．0＜θ＜B．0＜θ≤C．0≤θ≤已知数列{an}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有，其中Sn表示数列{an}的前n项和．则 某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一都有A，B两种菜可供选择．资料表明，凡是在星期一选A种菜的，下星期一会有20%的人改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%的人改选A种菜．用an，bn分别表示在第n个星期一选A种菜的人数和选B种菜的人数，如果a1=300，则a10为（ A．300B．350C．400数列{an}满足a1=1，，记数列{an2}前n项的和为Sn，若对任意的n∈N*恒成立，整数t的最小值为（ 三、解答四面体A﹣BCD的棱长均为a，E、FAD、BCAF与CE所成的20．2014年，中国联想以28亿元收购摩托罗拉移动公司，并计划投资30亿元来发展该品牌2014年摩托罗拉的销售量为100万部．据，从2015年起，摩托罗拉的销售量10010%20143002014n到2020年年底，中国联想能否通过摩托罗拉实现？（即销售利润超过总投资21．数列{an}na2，a3，a4的值，并求{an}正项等差数列{bn}的前n项和为Tn，且T3=9，并满足a1+b1，a2+b2，a3+b3，成等比数列求数列{bn}的通项设Bn=++…+，试确定Bn与的大小关系，并给出证明22．设函数 a1，a2，a3bn=an+1﹣anbn与bn+1的递推关系，并求{bn}设数列{cn}cn=log2（3an﹣2）﹣10，n∈N*，数列{cn}nSn，1000是否为数列{cn•Sn}中的项？若是，求出相应的项数，若不是，请说明理由．列{an}前nSn若数列{an}是等比数列，求c的值和若数列{an}m与cc=1，当n≥2，n∈N*时，求证 是一个常数2015-2016学年市普陀区晋原中学高二（上）期中数学试参考答案与试一、填空已知{an]为等差数列，a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，则 a3，a4a3+a4a3=3，a4=5，已知数列{an}的前n项和Sn=5﹣4×2﹣n，则其通项公式为【分析】由数列{an}的前n项和Sn=5﹣4×2﹣n，利用公式直接求解 当n=1时， 故答案为 【分析】把数列an==1+，根据单调性，项的符号判断最大项【解答】解：∵an=∴an=数列{an}在[1，7]，[8，+∞）单调递减∵在[1，7]上an＜1，在[8，+∞）上∴a8为最大项，在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，如果EH、FG相交于一点M，那么M一定在直线BD 【分析】根据题意，可得直线EH、FG分别是平面ABD、平面BCD内的直线，因此EH、FG的交点必定在平面ABD和平面BCD的交线上．而平面ABD交平面BCDBD，由此即可得到点P在BDE、HAB、ADAB、ADABD∴E∈平面ABD，H∈平面ABD，可得直线EH⊂平面F、GBC、CDBC、CDBCD∴F∈平面BCD，G∈平面BCD，可得直线FG⊂平面EHFGABDBCD∵平面ABD∩平面EH、FGBD的位置关系，着重考查了在等差数列{an}中，若an+an+2=4n+6（n∈N*），则该数列的通项公式 【解答】解：设等差数列{an}的公差为4d=8d=2，n=1an+an+2=4n+6 存在，则实数r的取值范围．r【解答】解 存在 ∴3r2+4r+1≥0∴r≤﹣1或r≥﹣故答案为：ABCD﹣A1B1C1D1中，EC1D1AEBC所成的角的余弦值为．【分析题意知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得结果【解答】解：连接DE，设∴∠DAEAEBC在△RtADE中，由于 ，AD=2，可得∴cos∠DAE==故答案为：．故答案为：．已知数列{an}的通项公式为an=log3（n∈N*），设其前n项和为Sn，则使Sn＜﹣4成立的最小自然数n等于 nn的最小值．【解答】解：an=log3nn+1＞81n＞80，n81．等比数列{an}的公比0＜q＜1，a172=a24，则使a1+a2+…+an＞++…+成立的正整数n的最大值为18 n【解答】解：设首项为a1，公比为q，依题意有∴a1q9=1．则a1＞0，且∵{an}为等比数列，∴{}是以为首项，为公比的等比数列． ∵0＜q＜1a1=q﹣9a12=q﹣18代入整理，q﹣18（1﹣qn）＞q1﹣n（1﹣qn），n＜19，∵n∈N*，∴n18．n项和的应用，考查数列与不等式的应用，综合性数列{an}的通项公式 ，前n项和为Sn，则．【分析】先利用裂项相消法求出Sn，再求极限即可 =．故答案为：．在等差数列{an}中，＜﹣1，若它的前n项和Sn有最大值，则使Sn取得最小正数的 【分析由题意可知，等差数列{an}中a1＞0，公差d＜0，可将＜﹣1转化为：0a11＜0，a10＞0nSn【解答】解：∵等差数列{an}中，它的前n项和Sn有最大值，∴a1＞0∴Sn=an2+bn中其对称轴n=﹣又S19==19a10＞0，而S20=119n=10Snn=1或n=19．故答案为：119．n项和公式，考查分析问题与解决问题的能 ＜所有n的和为 2an+2+an+1﹣2an+1=0，n=1时，2a2+a1=3，则a2=，满足即2an+1=an即数列{an}是公比q=，首项a1=的等比数列则前n项和为 7＜2n＜17，n=3【点评】本题主要考查递推数列的应用，根据递推数列得到数列{an}是公比q=，首项a1=的等比意大利著名数学家那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数列{an}为 那契数列中的第 项【分析】令a0=0，根据那契数列的性质可得：那==a101，即可得出【解答】解：令a0=0，根据那契数列的性质可得：那= 是那契数列中的第101项．【点评】本题考查了那契数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题f（x）R上的增函数，数列{xn}2+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0，则x2015的值 x8=a，则x9=a+2，x10=a+4，x11=a+6f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，结合x2015的值．【解答】解：设x8=a，则∴f（a）＜0设数列{xn}通项∴x8=x1+14=﹣3．解得二、选择在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角的取值范围是（A．0＜θ＜B．0＜θ≤C．0≤θ≤【分析】由题意在正方体ABCD﹣A1BC1D1中，点P段AD1上运动，根据A1B∥D1C，将A1BCPD1C∴CPA1BCPD1C∵△AD1C是正三角形可知当P与A重合时成角为∵PD1D1CA1BCPA1BCPD1C成已知数列{an}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有，其中Sn表示数列{an}的前n项和．则 n=14an=4Sn﹣4Sn﹣1an﹣an﹣1=2，从而得到数列{an}是∴a1=1n≥2n ∴2（an+an 2，又{an}各项n ∴an﹣an﹣1=2．数列{an}是等差数列 某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一都有A，B两种菜可供选择．资料表明，凡是在星期一选A种菜的，下星期一会有20%的人改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%的人改选A种菜．用an，bn分别表示在第n个星期一选A种菜的人数和选B种菜的人数，如果a1=300，则a10为（ A．300B．350C．400【分析由题意可得数列递推公式：，又an+bn=500，两式联立消去bn得数列{an}a1=300a2=300，从而可知a10值．【解答】解：依题意 消去bn得：an+1=A．数列{an}满足a1=1，，记数列{an2}前n项的和为Sn，若对任意的n∈N*恒成立，整数t的最小值为（ 【分析】由题干中的等式变形得出数列{}是首项为1，公差为4的等差数列，得出an2的通项公m【解答】解 ∴{}是首项为1，公差为4的等差数列 =S3﹣S1=a22+a32==又∵m是正整数，A．三、解答四面体A﹣BCD的棱长均为a，E、FAD、BCAF与CE所成的【分析】画出图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线角转化为一个三角形的内角来计A﹣BCD为正四面体，如图，连接BE，取BE的中点KFK，FK∥CE，故∠AFK设这个正四面体的棱长为2，在△AKF中，AF==CE，KF=CE=，KE== △AKF中，由余弦定理可得cos∠AFK= 20．2014年，中国联想以28亿元收购摩托罗拉移动公司，并计划投资30亿元来发展该品牌2014年摩托罗拉的销售量为100万部．据，从2015年起，摩托罗拉的销售量10010%20143002014n到2020年年底，中国联想能否通过摩托罗拉实现？（即销售利润超过总投资【分析】（Ⅰ）100100的等差数列．每部的销售利润构成首项为300，公比为0.9的等比数列．求出关于n的通项公式n【解答】解：（Ⅰ）∵摩托罗拉的销售量每年比上一年增加100万部，因此的销售量构成100，100∵销售利润按照每年比上一年减10%，因此每部的销售利润构成首项为300，公比为∴第n年的销售利润记为cn，则（Ⅱ）2020SS=30000（1+2×0.9+3×0.92+4×0.93+5×0.94+6×0.95+7×0.96）①，①﹣②S=30000（100﹣170×0.97）≈603000万元=60.328+30=58∵60.3＞58，∴可以答：（Ⅰ）n30000n×0.9n﹣1（Ⅱ）到2020年年底，中国联想能通过摩托罗拉实现【点评】本题了等差，等比数列的定义，通项公式，前n项和的求解，错位相减法的运用，考21．数列{an}na2，a3，a4的值，并求{an}正项等差数列{bn}的前n项和为Tn，且T3=9，并满足a1+b1，a2+b2，a3+b3，成等比数列求数列{bn}的通项设Bn=++…+，试确定Bn与的大小关系，并给出证明（n﹣1），可得an+1﹣an=an+1，变形为an+1+1=2（an+1），即可得出（2）（i）设正项等差数列{bn}的为d＞0，由T3=9，可得3b2=9，解得b2．由于d． n≥2时，an=Sn﹣1+（n﹣1），∴an+1﹣an=an+1an+1+1=2（an+1），n≥2时，数列{an+1}4an=2n﹣1．∴an=（2）（i）设正项等差数列{bn}的为∵T3=9，∴=3b2=9，解得∵a1+b1，a2+b2，a3+b3，成等比数列 d2+12d﹣13=0，d=1d=﹣13（舍去∴Bn=++…++++…++=∴Bn＜22．设函数 a1，a2，a3bn=an+1﹣anbn与bn+1的递推关系，并求{bn}设数列{cn}cn=log2（3an﹣2）﹣10，n∈N*，数列{cn}nSn，1000是否为数列{cn•Sn}中的项？若是，求出相应的项数，若不是，请说明理由．【分析】（1）由函数f（n），结合an，可得cn•Sn1000是否在其中． （2）bn=an+1﹣an=f（2n+1）