全国2022年高三数学上半期竞赛试卷带答案与解析

全国2022年高三数学上半期竞赛试卷带答案与解析选择题乒乓球集训队有10名队员，每两人组成一对练球，其不同的组对方式共有（）种．A.972B.945C.864D.891【答案】B【解析】依题意，共有选择题种．设、、都是锐角．给出下列三个命题：①，②，③、、成等差数列．则由①、②、③中两个推出第三个所得的命题中，真命题的个数是（）．A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】注意到．又，，则，即，、、成等差数列，故①②③．同理，①③②．又，所以，②③①．选择题已知常数，．则函数的值域是（）．A.B.C.D.或【答案】D【解析】因为则为偶函数，且当时，，当时，，所以，不妨设．，其中，，，为锐角．因，在单调递增，在单调递减，所以，当时，函数的值域为；当时，函数的值域为．选择题篮球场上有5名球员在练球，其战术是：由甲开始发球，经过6次传球跑动后（中途每人的传接球机会均等）回到甲，由甲投3分球．其不同的传球方式有（）种．A.4100B.1024C.820D.976【答案】C【解析】转化为用5种颜色给六边形的顶点染色，每点染一色，颜色已定，相邻的点染不同色，共多少种染法．由，，，得．选择题设有心圆锥曲线面积是（）．上一点P与两个焦点、的连线互相垂直．则的A.B.mC.D.不确定【答案】A【解析】，曲线为椭圆．则，①．．②得，类似地，选择题时，．表示不超过实数x的最大整数，设N为正整数．则方程在区间中所有解的个数是（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】显然，下设为方程的一个解．，，．则．原方程为，即．又，为整数，则共个．因为，所以，这类数共有在区间个．故方程填空题中所有解的个数为．已知关于x的不等式在区间上恒成立．则正实数a的取值范围是________．【答案】a≥【解析】略.填空题设．则集合的含r个元素的子集中最大数的算术平均数是________．【答案】【解析】集合M含r个元素的子集共有个，M中以正整数k为最大数的含r个元素的子集共有含r个元素的子集中最大数的算术平均数为个，所以，M的．填空题设,是复系数多项式,且当时,.那么,当时,的取值范围是______.【答案】【解析】当时,因为,.所以故,.则.故答案为：填空题从集合中取出5个不同的且互不相邻的数的取法有________种．【答案】20349【解析】设是的5个互不相邻数的子集，且．令，即．取，得．显然，，且．故所求为填空题．已知递增数列1，3，4，9，10，12，13，…的每一项，或者是3的幂或者是若干个不同的3的幂之和．则此数列的第100项是________．【答案】981【解析】该数列的项即为，其中，．当时，可组成个数，第64项是．从第65项开始，不含的项有个，第96项是，第100项是，下面是，，．填空题设定义在上，其值域，且对任意，都有，及．则________．【答案】39【解析】由，知．若，则，矛盾．因此，则．，．，．，．，又，故，，因为，，所以，，因此，解答题．已知都是不等于零的常数，变量满足不等式组试求的最大值.【答案】见解析【解析】令约束条件转化为于是，问题转化为：求单位圆③在①、②区域内点的纵坐标的最大值.下面分4种情况讨论.（1）.此时，约束条件描述的是图中卡阴影部分的圆弧.显然，直线（2）与单位圆的交点纵坐标为所求最大值.计算得..单位圆上的点始终满足①、②.故.（3）（4）.类似（1）可得.类似（1）可得.当时，.时，.当解答题如果圆锥曲线（含退化圆锥曲线）内接六边形的三组对边都不平行，则该三组对边所在直线的交点共线．【答案】见解析【解析】设曲线的方程为所在直线的方程为锥曲线系方程为，简记为．（下同），曲线的内接六边形的边（），对角线的方程为．则过点、、、的圆又、、、在曲线上，因此，必存在、，使得．①同理，过点、、、的圆锥曲线系方程为，且存在、，使得．②式①、②中消去g得．③设，，．由于点P的坐标适合同理，点Q、R也在曲线③上．，因此，点P在曲线③上．又P、Q、R都不在曲线上，因此，其坐标使得于是，P、Q、R三点共线于直线解答题．．试求出所有满足下述条件的函数：（1）是定义在上的单调函数；（2）对任意实数x、y都有；（3）．【答案】【解析】引理设A、B为常数．如果对于任意的，都有．，则．引理的证明：假定，则据题意知令．取．则，与题设矛盾．．所以，．下面解答原题．根据题意，当n为整数时，归纳易得到由及不恒为零知，且．当时，因为，设，所以，在上是增函数．．对任一则．由，，得．取对数得故．．以代x得，即．由引理得当，即．时，同理可证．故所有满足条件的函数为．解答题如图，与内切于点P，的弦AB切于点C．（1）若和的半径分别为常数R、r，求；（2）若PC交于点G，PA、PB分别交于点E、F，EF交PC于点D，AD交于点H，求证：G、F、H三点共线．【答案】(1)(2)见解析【解析】（1）如图2，联结．注意到，于是，．（2）延长PA到M，使AM=FB．其余所联结的辅助线如图2．由又，，可得．，．，知因为，所以，．于是，因此，．．设MF与AB交于点N．则．由，知又．与都是等腰三角形，因此，．故N、F、B、G四点共圆．则．所以，G、F、H三点共线．解答题设，，且．试求的最大值及此时的值．【答案】,【解析】对于，令，其余的故．则，有，且显然．，．可见，对于中的各，当小数变小、大数变大时，的值增大，所以，使得取最大值的各中，最多有一个既不是1也不是3．设使取最大值的中有p个1，q个3．若若，则，则（奇数）；，即，得，，．因此，使取最大值的中，有16个1，1990个3和1个2．故．解答题设．求最小的正整数n，使得对A的任意11个子集，只要它们中任何5个的并的元素个数都不少于n，则这11个子集中一定存在3个，它们的交非空．【答案】22【解析】n的最小值为22．首先证明：．令，，，．/