大学毕业论文期望的性质及其应用教材

-I--I-简述期望的性质及其应用数学期望是概率论课程中的一个重要概念，是随机变量的重要数字特征之

一，数学期望在人们社会实践中有重要并且广泛的应用。 本文首先介绍了数学期望的几个定义和主要性质，然后通过举例说明数学期望在农业、经济、 日常生活中以及在其他学科知识上的应用，最后总结了数学期望的应用前景和发展方向。关键词：数学期望；随机变量；多维随机变量---简述期望的性质及其应用第一章引言早起的埃及人为了忘记饥饿，经常聚在一起玩一种游戏叫做“猎犬与胡狼”的游戏，实际上就是掷骰子游戏，相对面的数学之和是7的骰子大约产生于公元前1400年的埃及，骰子就是游戏中常用的随机发生器，这类游戏也叫机会性游戏。17世纪中叶,人们开始对机会性游戏的数学规律进行探讨。通过人类的社会实践和生产劳动，概率论同其他数学分支一样在一定的社会条件下发展成为一种。智力积累。期望是概率论发展早期就形成的一个数字特征 ，也是概率论的一个重要内容之一，也是其他诸如方差、高阶矩阵等数字特征的基础。数学期望领域在不断的发展和成熟，通过对数学期望的定义和性质的深刻理解 ，领悟到数学期望在当今乃至未来的重要作用。数学期望是概率论的一个重要且目前仍然非常活跃的领域,又是一门最有实用价值的数学理论，是社会实践与生产中预测与决策的核心，已成为现代生活实践中各种形式与数量关系强有力的工具。预测与决策问题很多都可以转化成期望的运算与求解，特别是经济的发展为期望开辟了广泛的前景。本课题简述了几种期望的性质运算，通过列举一些生产和生活中具有的重要意义的问题，加深对数学期望的性质及其作用的理解，结合现代经济生活中出现的决策问题，运用数学期望的性质进行深入探讨并解决问题。第二章数学期望在很多情况下，人们对随机变量的研究往往需要知道的并不像随机变量的分布那样完全，只需知道关于它的特征值就够了。数学期望是研究随机变量总体取值的水平的一个重要的数字特征，反映的是随机变量取值的平均数，它在理论和实际应用中都很重要，人们可以直接或间接地利用数学期望来解决遇到的问题，是人们做出选择的重要参考数据。2.1数学期望的定义定义1⑶离散型随机变量X的一切可能值xi与对应的概率P(X二为)的乘积的和叫做随机变量X数学期望，记作E(X).如果随机变量X只能取得有限个值X1,X2,,Xn,而取得这些值的概率分别是P(N),P(X2), ,P(Xn),则数学期望EarxeX)X2P(X2) XnP(Xn)n「XiPi如果随机变量X可能取得可数无穷多个值而概率分别是XiXi,X2,,Xn,P(Xi),P(X2), ,P(Xn),,则数列期望E(X)是下列级数的和：E(X)二为p(Xi)X2P(X2) XnP(Xn)QO=送XP(Xi).i=1假定这级数是绝对收敛的，因而级数的和与各项的排列次数无关。定义2设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分 「xf(x)dx.绝对收敛,-be则称积分.二xf(x)dx.的值为随机变量X的数学期望，记为E(X).即E(X)=.；：xf(x)dx.定义3设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为p(x，yj),则随机变量X与Y的数学期望分别定义如下:E(X)八、xp(Xi,yj),ijE(Y)=送送yp(Xi,yj).ij定义4设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),则随机变量X与Y的数学期望分别定义如下：E(X)[j?f(x,y)dxdy,E(Y)= ：：：yf(x,y)dxdy,假定反常积分是绝对收敛的。例1某工程队计划承包一项工程。若三天完成可获利 8000元，四天完成可获利5000元，五天完成要被罚款10000元。由以往经验知，该工程队三天、四天、五天完成此项工程的概率分别为0.3、0.5、0.2，获利金额的概率分布见下表。问，如果你是经理，愿意承包这项工程吗？x(元)80005000-10000P0.30.50.2解承包此项工程获利的数学期望是：8000X0.3+5000X0.5-10000X0.2=2900元，就是说，虽然有被罚款的可能，但平均说来，承包这样的工程是可以获计算出利润的。以上案例是对数学期望的定义直接应用，计算出数学期望就知道答案了。在实际应用中，依照数学期望的定义来求期望值是一种简单和常用的方法，它为人们的选择提供了可靠的运算公式，并从中得出人们对事物所需要的期望值，防止了人们选择的盲目性，为人们的选择提供了指明灯。一维随机变量的数学期望性质从数学期望的定义出发，人们推理论证了期望所具有的一些性质，这些性质在应用计算过程中提供了简单可靠的方法，大大减少了运算步骤和程序，在实际应用中往往会用到这些性质。性质1⑶设C是常数,则有E(C)二C.证把常数C看作一个随机变量，它只能取得唯一的值C,取得这个值的概率显然等于1。所以，E(c)二C1二C性质2⑶设X是随机变量，a,b是常数,则有E(aXb)=aE(X)b.证若X是连续型随机变量,且其密度函数为f(x).■fao "bo "boE(aXb)(axb)f(x)dx=axf(x)dxbf(x)dx=aE(x)b.J_£3O J_£3O当X是离散型随机变量的情形时，将上述证明的积分号改为求和号即。特别地,当b=o时，得到E(aX)=aE(X).例1某银行开展定期定额的有奖储蓄，定期一年，定额60元。按规定10000个户头中，头等奖一个，奖金500元；二等奖10个，各奖100元;三等奖100个各奖10元;四等奖1000个，各奖2元。某人买了五个户头，他期望得奖多少元？解因为任何一个户头得奖都是等可能的，我们先计算一个户头的得奖金数。依题意，x的分布列为：X5001001020P111188891000010001001010000所以，X的数学期望为:1111E(X)=泊500 100 10 2=0.45(兀)10000100010010即买5个户头的期望得奖数为E(5X)=5E(X)=50.45=2.25(元)。以上案例是对数学期望性质2的应用，从中看出从简单的数学期望定义还不能满足人们的要求，人们需要更为简单方便的方法来计算期望值。多维随机变量数学期望的性质除一维随机变量外，在现实生活中往往在一个事件中会出现多个随机变量，期望值由这多个随机变量的值来共同决定，那么研究多维随机变量的性质在求解数学期望也是很重要的。性质3⑴：设％.是随机变量,其中n=1,2,3…则有n nECXk)八E(Xk)

k=1 kz!性质4⑷：设n维随机变量(^上十…止n)的数学期望存在,则有线性性质：对任意常数c(iT2…,n)有TOC\o"1-5"\h\zn nCT八CE(」i=1 i=1证(1)由R-S积分的性质得n nECoi)「一：一「_：COXi)dF(X1，X2， Xn)i1 i=1

n□0oOoO八C ・xdF（Xi，X2，…，Xn）i4 _ _ _n=CiE「i）.性质5⑷：若匕$2,…，仁相互独立,则n nE（i【■iHilE（丿证仅证n=2并设「「2）为连续性的情形。设f（X1，X2）及f1（Xi），f2（X2）为「,2）及'「2的密度函数，有，：2的独立性，有2-■EG2-■EG」oO=XlX2dF（Xi，x2）OOoO一:XX2f（Xi，X2）dXidX2oOcd■--X1X2f1（X1）f2（X2）dXldX2oO oO==X1f1（Xl）dXi=X2f2（X2）dX2二E（丿E（2）.12例1某人先写了n封投向不同地址的信，再写了这n个地址的信封，然后在每个信封内随意地装入一封信，求信与地址配成对的个数X的期望.解首先定义n个随机变量如下：XiXi=*1,第i封信配对成功

、0,第i圭寸信配对不成功（i=1,2 n）,则nTOC\o"1-5"\h\zX八Xi（i=1,2, ,n）.i=1配对试验的样本空间的样本总点数 二n・（n-1K21二n!,而事件{Xi二1}={第i封信配对成功，而其他n-1封信随意配}的样本总点数=（n-1）!.1 1所以P{Xi-1}-,P{Xi=0}=1-.n n1 n n 1从而E(Xi) ,因此E(X)二ECXi)八E(Xi)二n1.n y $ n以上例题是配对问题，是对数学期望性质3的实际应用，通过运用数学期望的性质运算，给出了事件的科学合理的解释，使事实并不是想象中的那样巧合。第三章数学期望的应用期望是人们对事物的提前勾画出的一种标准，达到了这个标准就是达到了期望值。美好的愿望是人类生存的精神支柱， 为一个特定的目标而奋斗，通过艰苦的努力去战胜各种风险，以致终于达到预先的期望。期望与风险并存， 在社会实践过程中人们从期望值来观察风险，分析风险，以便作出正确的决策。在社会实践中经常要对事情的结果进行预测， 数学期望在其中起到了不可替代的作用。 数学期望在社会经济生活中应用十分广泛，涉及农业、经济、生活等诸多领域,例如决定生产批量问题、试验决策问题、求职问题、民事纠纷问题等等 .3.1数学期望在农业中的应用在农业投资的过程中，实现投资行为的途径很多，可以确定相应的多种投资方案。农业生产受到自然环境、气候、市场供需矛盾、农民自身文化素质等的严重影响。以前农民种地全凭经验，靠天吃饭，以自给自足、满足温饱为目的，剩余农产品用来交换的占极少数。现代农民文化素质较高，能根据气象资料、 市场供需情况等组织生产，劳动收入有大幅度提高， 并逐步向产业化方向发展。如何选择较为科学的投资评价方法，通过对多种投资方案进行对比分析， 以便得出较为科学、合理的决策，是农业投资决策中的一个重要的研究课题。 数学是人们在生产实践、科学试验中总结经验、加工提炼、抽象升华而发展起来的一门科学。因此，将数学应用于农业生产中，必将对农民种植起着积极的指导作用。 期望是人们对不同时间不同区域种植某种农作物收益来进行预测， 根据农作物的自身特点与外界条件以及市场的正确预估， 提前做好工作，则会使收益达到最大化或者损失达到最小。数学期望的形成与发展为农业的生产做出了不可替代的作用。案列1某农场主根据以往经验，拟投资3个项目：生产玉米、大豆和芝麻，其收益都与市场状态有关。若把未来市场划分为优、良、差三个等级，根据市场调查研究,其发生的概率分别为0.3,0.5,02生产玉米的收益X（万元）分别为9,7,-2时,对应的P值分别为0.3,0.5,0.2 ；生产大豆的收益P（万元）分别为11,4,-3时，对应的P值分别为0.3,0.5,0.2;生产的芝麻收益Z（万元）分别为12,4，-5时，对应的P值分别为0.3,0.5,0.2。请问该农场是生产哪种农产品所收到的收益最大？解：由案例的信息我们可以分别得到生产玉米、大豆和芝麻的收益期望值分别为

E(X) XE(X) XiPX=5.8i4万元3万元万元e(y)八yipyi=4.7万元万元i43E(Z)八ZiPZi=5.5i4从数学期望来看，生产玉米的收益最大，生产大豆的收益最小，所以此农场可以优先选择种植玉米，其次选择种植芝麻，再次选择种植大豆。探讨了数学期望在农业生产中的一些简单应用，从中可以体会出数学知识应用于农业生产有益之处。随着农业产业化和现代化的发展，农业生产对数学的依赖会越来越密切。3.2数学期望在经济中的应用在经济生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用数学期望来解决。数学期望无论从计划还是从决策观点看都是至关重要的，在经济活动中，数学期望为决策者做出最优决策提供重要的理论依据。数学期望可以小到用在企业根据市场确定产量，进行人、财、物的合理分配；消费者根据自己的有限收入决定其对商品的需求量。大到对国民经济和社会的发展目标、战略重点、战略步骤、战略措施等重大经济问题进行预测。不论是厂家的生产还是商家的销售 ，总是追求利润的最大化,供大于求或供不应求都不利于获得最大利润。但供应量和需求量又不是预先知道的。理性的厂家或商家往往根据过去的数据（概率），用数学期望结合微积分的有关知识，制定最佳的生产或销售策略。3.2.1确定生产批量问题生产批量问题是物流企业进行生产决策经常遇到的。 选择何种方案，多少产量直接关系到企业成本的控制，收益的高低，这些问题都是关系到企业管理和运营的重大问题，同时也困扰很多管理者。简易可行的解决方法就是利用期望收益最大的原则进行方案选择：即进行备选方案的收益（或损失）比较，选择收益（或损失）最大（最小）的方案。案例2某企业为了确定今后5年内各种服装的生产批量，为了及早做好产前的各项准备工作，根据以往的销售统计资料及市场调查预测， 未来市场销售路好、中、差的概率分别为0.3，0.5，0.2。若按大、中、小三种不同生产批量投产，今后5年不不同的销售状态下的益损值如下：表1市场销售概率表分析：虽然益损值x的分布未知，但由于它的数学期望表示平均值，在三

种状态下的平均值是可求的，故可用它作为评判的标准， 下面我们计算三个批量的益损值的数学期望。E(xJ=0.3180.5120.2(-2)=10.6E(x2)=0.3100.5150.210=12.5E(X3)=O.360.580.28=7.4由此可见，中批量生产的益损均值最大，故应选择中批量生产较为合适。3.2.2最佳进货量问题商场要进某种商品，作为商场而言，必定要考虑准备多少货源，既能满足市场需求，又不会产生积压，使资金使用最佳、收益最优。案例3为迎接新年购置年货购物狂潮，某大型超市需对某种酒水进行大量购置存货。根据以往经验，这种酒水的市场需求量X(t)服从(500,800)上的均匀分布。每售出一箱此种酒水，超市可获利50元;若销售不出去，则超市每箱亏损10元。问该超市应该对这种酒水存货多少箱才能使平均收益最大？解析：设该大型超市购置此种酒水m箱,则有500岂m<800,设丫为在购m箱此种酒水条件下的收益额(元 )，则收益额丫和酒水需求量X的函数关系为Y=f(X).有所设条件知，当X一m时，则此mt酒水全部售出，获利50m;当X5时，则售出X,获利50m,还有(m-X)箱卖不出去，获利-10(m-X),因此共获利60X-10m,故有：f(X)50m; f(X)50m; >m60X—10m;Xcm由定理可得:ME(Y)=耗f(x)p(x)dx-M x800 1f(x)dx500 3001300~800 m礼50mdx+[oo(60x-10m)dx和-m21500m-500)根据极值定理,易知当m=750箱时,能使E(Y)达到最大值,即该超市应购置此种酒水750箱。3.3数学期望在日常生活中的应用人们在日常生活中总会遇到一些难以决断的事情， 这些让人犹豫不决的事往往受一些不确定因素的影响，使得事物发展的结果难以预料。那么，生活中怎样避劣选优，科学决策，最大限度地降低决策的风险，果断、巧妙地抓住成功的机遇呢？数学期望就是用来平衡人们极大的利益欲望和极小化的风险这对矛盾问题使结果朝人们所期望的方向发展。期望在日常生活中运用广泛，在决定做某事之前，都会估计事情的成功率或者获利的多少，其中家庭投资就是期望的很好应用。案列3设想某人在求职过程中得到了两个公司的面试通知 ，假定每个公司有三种不同的职位:极好的，工资年薪6万;好的,工资年薪4万;一般的,工资年薪2.5万。估计能得到这些职位的概率为0.2、0.3、0.4,有0.1的可能得不到任何职位。由于每家公司都要求在面试时表态接受或拒绝所提供职位 ，那么,应遵循什么策略应答呢？极端的情况是很好处理的，如提供极好的职位或没工作，当然不用做决定了。对于其他情况，我们的方案是，采取期望受益最大的原则。先考虑现在进行的是最后一次面试，工资数学期望值为：E（A）=40.230.3-2.50.400.1=2.7力‘。那么在进行第一次面试时，我们可以认为，如果接受一般的值位，期望工资为2.5万,但若放弃（可到下一家公司碰运气）,期望工资为2.7万,因此可选择只接受极好的和好的职位。如果此人接到了三份这样的面试通知，又应如何决策呢？最后一次面试，工资的期望值仍为2.7万。第二次面试的期望值可由下列数据求知:极好的职位，工资4万;好的，工资3万;一般的，工资2.5万;没工作（接受第三次面试）,2.7万。期望值为：E（A2）=40.230.32.50.42.70.1=3.05万。这样，对于三次面试应采取的行动是：第一次只接受极好的职位，否则进行第二次面试；第二次面试可接受极好的和好的职位，否则进行第三次面试；第三次面试则接受任何可能提供的职位。这一策略下工资总的期望值为 4X0.2+3.05X0.8=3.24万。故此在求职时收到多份面试通知时，应用期望受益最大的原则不仅提高就业机会，同时可提高工资的期望值。案例4 设某人用10万元进行为期一年的投资，有两种投资方案：一是购买股票；二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经济形势，若经济形势好可获利4万元，形势中等可获利1万,形势不好要损失2万元。如果存入银行，假设利率为8%,可得利息8000元,又设经济形势好、中、差的概率分别为30%50%20%试问应选择哪一种方案可使投资的效益较大？比较两种投资方案获利的期望大小：购买股票的获利期望是E(A)"0.310.5(-2)0.2=1.3(万元),存入银行的获利期望是e(a2)=0.8(万元)，由于e(a)・e(a),所以购买股票的期望收益比存入银行的期望收益大，应采用购买股票的方案。总之，求职、投资等都带有一定的随机性，运用数学期望这一随机变量的总体特征来预计收益或决策投资是比较客观的。3.4数学期望在其他学科知识的应用数学不是一门孤立的学科，应融入各学科组成的大知识之中。数学期望作为数学中一个重要的内容，也和其它知识与学科具有或多或少的联系知识，因此数学期望应与其他知识与学科之间是相互开放、相互作用、彼此关联。例1数学期望在《经济预测与决策》的应用经济预测与决策是以准确的调查统计资料和经济信息为依据， 从经济现象的历史、现状及其规律性出发，运用科学的方法，对经济现象未来发展前景的测定，根据测定的结果进行实施的一系列过程。总体来说，经济预测就是对未来可能发生的经济事件的设想，进而为决策服务， 为决策提供多种选择。对经济的预测往往是需要得出事件的期望值，因而数学期望在《经济预测与决策》中起着不可代替的作用。例2数学期望在积分中值定理的运用积分中值定理在数学分析中占有重要作用， 数学期望给出了积分中值定理证明的概率解释，使积分中值定理更易被理解。(积分第一中值定理)若函数f(x)在a,b〕上连续,则在a,b］上至少存在一点b,使得.f(x)dx=f()(b-a).a证设随机变量X服从a,b1上的均匀分布,则设随机变量X服从'a.bl上的［丄均匀分布,则X的密度函数为P(x)=二b-a，a：：：x:b;［o,其他.丫二f(X)1b 1b则容易计算，E(Y) f(x)dx.由此可以看到 f(x)dx是随机变量