平面电磁波的传播课件

电磁波的传播平面电磁波、电磁波的反射和折射、导体中的电磁波、谐振腔和波导电磁波的传播平面电磁波、电磁波的反射和折射、电磁波的基本知识

前两章讨论了静止电荷的静电场和恒定电流的磁场，其场强E或磁感强度B在空间虽然可逐点变化，但在任一点不随时间变化；电场和磁场可单独地分别处理，它们之间不存在相互联系。本章进一步讨论随时间变化的电场与磁场，以及它们之间的相互联系、电磁场的传播。麦克斯韦在总结前人工作的基础上，提出了著名的电磁场理论（经典电磁场理论），指出变化电场和变化磁场形成了统一的电磁场，预言电磁场能以波动的形式在空间传播，称为电磁波；并得到电磁波在真空中传播的速度等于光速，从而断定光在本质上就是一种电磁波。后来，赫兹用振荡电路产生了电磁波，使麦克斯韦的学说得到了实验证明，为电学和光学奠定了统一的基础。因此，麦克斯韦的经典电磁场理论是人类对电磁规律的历史性总结，是19世纪物理学发展的最辉煌成就，是物理学发展史上一个重要的里程碑。电磁波的基本知识前两章讨论了静止电荷的静电场和恒定电流的磁

赫兹用各种实验，证明了不仅电磁波的性质和光波相同，而且传播速度也相同，并可发生反射、折射、干涉、衍射和偏振等现象，即电磁波服从一般波动所具有的一切规律。如果空间的电场或磁场变化是周期性的，我们用周期和频率来描述变化快慢。电磁场变化过程中产生的电磁波的频率等于电磁场的变化频率；电磁波在传播中从一种介质进入另一种介质时，其频率不会发生改变，但其传播速度会发生改变。科学研究证明电磁波是一个大家族，不仅光波是电磁波，红外线、紫外线、X射线等也都是电磁波，它们仅在波长上有所差别，本质上完全相同，在真空中的传播速度都是C。

无线电波波长最长（频率最低），而射线波长最短（频率最高）。目前人类产生或观测到的电磁波最低频率为10-2Hz，其波长为地球半径的5000倍，最高频率为1025Hz，来自宇宙射线。将电磁波按频率或波长的顺序排列起来就构成电磁波谱，不同频率的电磁波段有不同的用途。赫兹用各种实验，证明了不仅电磁波的性质和光波相同，而且传播

在电磁波谱中，一般将频率低于3×1011Hz的电磁波统称为无线电波，无线电波通常是由电磁振荡电路通过天线发射出去的。无线电波按波长不同又分为长波、中波、短波、超短波、微波等波段，各有不同用途：广播电台使用的频率在中波波段；电视台使用的频率在超短波段；用来测定物体位置的雷达、无线电导航等使用的频率在微波段。就传播特性而言，长波、中波由于波长很长，衍射现象显著，所以从电台发射出去的电磁波能够绕过高山、房屋而传播到千家万户。（电磁波谱图1、电磁波谱图2、电磁波谱图3）自从电磁波发现以来，其应用得到飞速发展。1895年俄国科学家波波夫发明了无线电报系统；1914年语音通信成为可能；1920年商业无线电广播开始使用；20世纪30年代发明了雷达；40年代雷达和通信得到飞速发展；自50年代第一颗人造卫星上天，卫星通讯事业得到迅猛发展。如今电磁波已在通讯、遥感、空间控测、军事应用、科学研究等诸多方面得到广泛的应用。在电磁波谱中，一般将频率低于3×1011Hz的电磁波统称为特殊电磁波的应用——

短波的波长较短，衍射现象减弱，主要靠地球外的电离层与地面间的反射，故能传得很远。超短波、微波由于波长小而几乎只能按直线在空间传播，但因地球表面是球形的，故需设中继站，以改变其传播方向，使之克服地球形状将电信号传到远处。电视，远距离通讯、雷达都采用微波。当前，多用同步通讯卫星作为微波中继站。一般只需有三颗同步通讯卫星，就可将无线电信号传送到地球上大部分地区。

X射线波长比紫外线更短，由原子中的内层电子发射。在医疗上广泛用于透视和病理检查；工业上工业探伤等无损检测。X射线的波长与晶体中原子间距的线度相当，也常被用来分析晶体结构。

紫外线有显著的生理作用，杀菌能力较强，在医疗上有其应用；许多昆虫对紫外线特别敏感，可用紫外灯来诱捕害虫；紫外线还会使照相底片感光。另一方面，波长为290～320nm的紫外线，对生命有害。臭氧对太阳辐射中的上述紫外线的吸收能力极强，有95%以上可被它吸收。臭氧层在地球上方10～50km之间，是地球生物的保护伞。特殊电磁波的应用——

红外线由炽热物体辐射出来，人体就是一个红外线源。红外线的显著特性是热效应大，能透过浓雾或较厚大气层而不易被吸收。所谓热辐射，主要就是指红外线辐射。红外线在生产和军事上有着重要应用。由于坦克、舰艇、人体等一切物体都在不停地发射红外线，并且不同物体辐射的红外线波长和强度不同，故在夜间或浓雾天气可通过红外线探测器来接收信号，并用电子仪器对接收到的信号进行处理，或用对红外线敏感的照相底片进行远距离摄影和高空摄影，就可察知物体的形状和特征。这种技术称为红外线遥感。

射线来自宇宙射线或是由某些放射性元素在衰变过程。可用于金属探伤，了解原子核结构。此外，原子武器爆炸时，有大量射线放出，是原子武器主要杀伤因素之一。射线也是人类研究天体，认识宇宙的强有力武器。红外线由炽热物体辐射出来，人体就是一个红外线源。红外线的显本章主要内容本章在研究无界空间中平面电磁波的波动方程的基础上，给出介质中的电磁波传播特性；从边值关系着手，研究电磁波在介质界面上的反射和折射问题，从电磁场理论导出光学中的反射和折射定律；通过引入导体的复介电系数，研究了有导体存在时的电磁波传播问题，推出导体中的电磁波传播特性；研究了有界空间的电磁波传播行为，以谐振腔和波导为例阐述了电磁波边值问题的解法。传播问题是指：研究电磁场在空间存在一定介质和导体的情况下的波动。在真空与介质、介质与介质、介质与导体的分界面上，电磁波会产生反射、折射、衍射和衰减等等，因此传播问题本质上是边值问题。电磁波传播问题在无线电通讯、光信息处理、微波技术、雷达和激光等领域都有着重要的应用。本章主要内容本章在研究无界空间中平面电磁波的波动方程的基础上第1节平面电磁波要描述电磁场的传播，需要用到场量构成的波动方程。这里论述两个波动方程，一个是真空中的波动方程，另一个则是介质中的波动方程——亥姆霍兹(Helmholtz)方程。

电磁场的波动方程（麦克斯韦方程在真空的波动形式）

在没有自由电荷、传导电流分布的空间（称为自由空间）或线性介质中0=J0=0，只存在电场和磁场的相互激发，电磁场运动规律就用下面的麦克斯韦方程形式描述:

第1节平面电磁波要描述电磁场的传播，需要用到场量构成的波真空中P343I.25真空中P343同理P343I.25同理P343均匀线性介质中的波动方程（齐次）波动方程，其解包括各种形式的电磁波，c是电磁波在真空中的传播速度。真空中，一切电磁波都以速度c传播，c是最基本的物理常量之一。介质的色散：

、是电磁波频率的函数，这种现象称为介质的色散。当只有一种频率时令Right?NO!均匀线性介质中的波动方程（齐次）波动方程，其解包括各种形式的时谐电磁波（定态波或单色波）的波动方程——亥姆霍兹方程

时谐波是指以单一频率做正弦（或余弦）振荡的电磁波（又称为单色波或者定态电磁波）。如无线电广播或通讯的载波，激光器辐射出的光束等，都接近于正弦波。

电磁波在介质中一般频率成分不是单一的，可能含有各种频率成分，则一般情况下：一般情况下，即使电磁波不是单色波，也可用傅里叶分析（频谱分析）方法分解为不同频率的正弦波的叠加：因此不能将真空中的波动方程进行简单替换（0

，0

）后，得到介质中的波动方程。时谐电磁波（定态波或单色波）的波动方程——亥姆霍兹方程

时谐并且这种波的空间分布与时间t无关，即可写成：对于时谐波，可有(1)代入波动方程：(1)代入自由空间麦克斯韦方程：并且这种波的空间分布与时间t无关，即可写成：对于时谐波，可有注意：对于单色波，0时，麦克斯韦方程的4个方程不相互独立，只有2个独立。由旋度的散度为0可知，(b)(c)、(d)(a)。这是单色波E、B表达式特点引起的。k称为波矢量，得到（齐次）亥姆霍兹(Helmholtz)方程(2)’。亥姆霍兹方程是一定频率下电磁波的基本方程，其解E(x)、B(x)代表电磁波场强在空间中的分布情况，每一种可能的形式称为一种波模。注意：对于单色波，0时，麦克斯韦方程的4个方程不相互独立结论：时谐电磁波在无源线性介质中的波动方程，即亥姆霍兹方程，它的地位等价于静电场中的泊松方程。如果整合亥姆霍兹方程以及麦克斯韦方程，可得到如下关于介质中电磁波的两套公式：或按照激发和传播条件的不同，电磁波场强E(x)可有各种不同形式。例如从广播天线发射出的球面波，沿传输线或波导走向传播的波，由激光器激发的狭窄光束等，其场强都是亥姆霍兹方程的解。下面我们讨论一种最基本的解，它是存在于全空间，即无界空间中的平面波。结论：时谐电磁波在无源线性介质中的波动方程，即亥姆霍兹方程，平面电磁波平面波：波前或等相面为平面，且波沿等相面法线即波矢方向传播。在同一时刻，相位k·x=常数RS，满足此关系的x构成等相面，即与k垂直的平面S。亥姆霍兹方程解出的E和B有各种形式，其中最简单、最基本的形式为平面波解。因亥姆霍兹方程导出的前提是频率一定，所以这里所说的平面波实质是平面单色波。研究平面波解的意义：①简单、直观、物理意义明显；②一般形式的波都可视为不同频率平面波的线性叠加。远离辐射天线区域的电磁波都可看作平面波。平面电磁波亥姆霍兹方程解出的E和B有各种形式，其中最简单、最平面波的特性波长与周期：波长——相位差为2的两个等相面间的距离

波长、波速、频率间的关系：

横波特性(TEM波）：由单色波的麦克斯韦方程E=0、B=0表示电场、磁场波动均是横波，E、B可在垂直于k的任意方向上振荡，称为横电磁波。平面波的特性表示电场、磁场波动均是横波，E、B可在垂直于k的B与E的关系B与E同相位；E、B、k构成右手螺旋关系；E/B为波速B与E的关系B与E同相位；E、B、k构成右手螺旋关系；E/B偏振特性*

前面讨论平面波的传播特性时，认为平面波的场强方向与时间无关，实际中有些平面波的场强方向随时间按一定的规律变化。电场强度的方向随时间变化的规律(在垂直于传播方向的平面内，场的矢端在一个周期内所画出的轨迹)称为电磁波的极化特性。根据场的矢端轨迹，分为线极化、圆极化、椭圆极化三类。设平面电磁波传播方向为Z，电场与Z垂直，分解为x、y两个方向——极化类型取决于Exm、Eym、相对的相位差偏振特性*

前面讨论平面波的传播特性时，认为平面波的场强方向线极化：设某一平面波的电场强度仅具有x分量，且向正z方向传播，则其瞬时值可表示为

显然，在空间任一固定点，电场强度矢量的端点随时间的变化轨迹为与x轴平行的直线。因此，这种平面波的极化特性称为线极化，其极化方向为x方向。设另一同频率的y方向极化的线极化平面波，也向正z方向传播，其瞬时值为

上述两个相互正交的线极化平面波Ex及Ey

具有不同振幅，但具有相同的相位，它们合成后，其瞬时值的大小为

线极化：设某一平面波的电场强度仅具有x分量，且向正z方向传

可见，合成波的极化方向与时间无关，电场强度矢量端点的变化轨迹是与x轴夹角为

的一条直线。因此，合成波仍然是线极化波，如左图。由上可见，两个相位差是0或、振幅不等的相互正交的线极化平面波，合成后仍然形成一个线极化平面波。反之，任一线极化波可分解为两个相位相差0或、振幅不等的相互正交的线极化波。EyExEyx0上式表明，合成波的大小随时间的变化仍为正弦函数，合成波的方向与x轴的夹角为

可见，合成波的极化方向与时间无关，电场强度矢1）相位差02）相位差1）相位差02）相位差yEyExEx0圆极化：若上述两个线极化波Ex

及Ey

的相位差为/2，但振幅皆为Em，即

则合成波瞬时值的大小为合成波场量与x轴的夹角为

由此可见，对于某一固定的z点，夹角为时间t的函数。电场强度矢量的方向随时间不断旋转，但其大小不变，因此合成波的电场强度矢量的端点轨迹为一个圆，这种变化规律称为圆极化，如图示。由上可见，两个振幅相等，相位相差/2的相互正交的线极化波，合成后形成一个圆极化波。反之，一个圆极化波也可以分解为两个振幅相等，相位相差/2的相互正交的线极化波。还可证明，一个线极化波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化波。反之亦然。yEyExEx0圆极化：若上述两个线极化波Ex及Ey1)相位差+/2，左旋极化波，向波的传播方向观察，场的旋转方向为逆时针2)相位差-/2，右旋极化波，向波的传播方向观察，场的旋转方向为顺时针1)相位差+/2，左旋极化波，向波的传播方向观察，场的旋转椭圆极化：若上述两个线极化波Ex

及Ey

的相位差为，且振幅不同，取

则合成波的Ex分量及Ey分量满足如下方程：这是一个椭圆方程，它表示对空间任一点，即固定的z值，合成波矢量的端点轨迹是一个椭圆，因此这种平面波称为椭圆极化波，如左图xyEx'y'EymExm当

<0

时，Ey分量比Ex滞后，合成波矢量反时针旋转，与传播方向ez形成右旋椭圆极化波；当

>0

时，Ey分量比Ex超前，合成波矢量顺时旋转，与传播方向ez形成左旋椭圆极化波。椭圆极化波可分解为两个振幅不同、旋向相反的圆极化波。椭圆极化：若上述两个线极化波Ex及Ey的相位差为，1)相位差+/2，左旋极化波，向波的传播方向观察，场的旋转方向为逆时针2)相位差-/2，右旋极化波，向波的传播方向观察，场的旋转方向为顺时针1)相位差+/2，左旋极化波，向波的传播方向观察，场的旋转

前述的线极化波、圆极化波均可看作为椭圆极化波的特殊情况。由于各种极化波可以分解为线极化波的合成，因此，本章仅讨论线极化平面波的传播特性。电磁波在媒质中的传播特性与其极化特性密切相关，电磁波的极化特性获得非常广泛的实际应用。例如，由于圆极化波穿过雨区时受到的吸收衰减较小，全天候雷达宜用圆极化波。在无线通信中，为有效接收电磁波的能量，接收天线的极化特性必须与被接收电磁波的极化特性一致。在移动卫星通信和卫星导航定位系统中，由于卫星姿态随时变更，应该使用圆极化电磁波。此外，在微波设备中，有些器件的功能就是利用了电磁波的极化特性获得的，例如，铁氧体环行器及隔离器等。前述的线极化波、圆极化波均可看作为椭圆极化波的特殊情

极化光是一种比较特殊的电磁波，它的电磁振荡只发生在一个方向上，其它方向的振动为0。人的眼睛是分辨不出光是不是极性的，但是某些动物的眼睛正是利用光的极性来判断路途以及大迁徒（如蜜蜂）。众所周知，光也是电磁波。但是光不具有固定的极化特性，或者说其极化特性是随机的，光学中将光的极化称为偏振，因此光通常是无偏振的。为获得偏振光必须采取特殊方法。在实验室可很容易实现普通光的极化，如：射向界面的一束光，反射光线与折射光线都是部分极化光。当入射光以一特殊角度(i)射入时反射光是线极化光，这个角叫作起偏角或者布儒斯特角，此时反射光线与折射光线互相垂直。三维电影院所配发的眼镜也是极化片，互相垂直的极化片。立体电影即是利用两个相互垂直的偏振镜头从不同的角度拍摄的。因此，观众必须佩带一副左右相互垂直的偏振镜片，才能看到立体效果。极化光是一种比较特殊的电磁波，它的电磁振荡只发生在一平面电磁波的传播课件概括平面电磁波的特性如下：电磁波为横波，E和B都与传播方向垂直；E和B互相垂直，EB沿波矢k方向；E和B同相，振幅比为v．式中r和r分别代表介质的相对电容率和相对磁导率，由于它们是频率的函数，因此在介质中不同频率的电磁波有不同的相速度，这就是介质的色散现象。概括平面电磁波的特性如下：式中r和r分别代表介质的相对电电磁场的能量和能流

电场能等于磁场能电磁能量传播方向与电磁波传播方向一致。nk为波矢k方向的单位矢量（非界面法线）。平面电磁波情形由于能量密度和能流密度是场强的二次式，不能把场强的复数表示直接代入。电磁场的能量和能流电场能等于磁场能电磁能量传播方向与电磁波计算和S的瞬时值时，应把实数表示代入，得w和S都是随时间迅速脉动的量，实际上我们只需用到它们的时间平均值。为以后应用，给出二次式求平均值的一般公式。设：是f和g的相位差，fg对一周期的平均值为：fg对一周期的平均值为：计算和S的瞬时值时，应把实数表示代入，得w和S都是随时间迅由此，能量密度和能流密度的平均值为由此，能量密度和能流密度的平均值为第2节电磁波在介质界面上的反射和折射

电磁波入射到介质（指完全绝缘介质，即理想介质）界面时，会发生波的反射和折射现象，这与光学中光的反射与折射规律完全相同，因为光属于电磁波，光学中的反射定律、折射定律完全适用于一般的电磁波。

反射和折射定律包括两方面内容：①入、反、折三个角之间的关系；②入、反、折三波的振幅比和相位关系。任何波动在两个不同介质界面上的反射与折射现象都属于边值问题，电磁波亦如此，它在界面上的行为取决于电磁场量E和B的边值关系。电磁波的反射和折射规律

一般情况电磁场的

边值关系:第2节电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波入射到只考虑E、B的前两个边值关系，将它们应用到绝缘介质中，可得到四个都等于零的式子，这是由于在介质界面上不存在自由电荷与传导电流的缘故。定态波在介质界面的边值关系与此相应，由第一、二式可导出其它两式(b)’(c)’、(d)’(a)’(证明略)，则介质界面上的边值关系只需考虑两式：

我们知道，在频率一定的定态波中，麦克斯韦方程组并不完全独立，由其中的两式可导出其它的两式(b)(c)、(d)(a)只考虑E、B的前两个边值关系，将它们应用到绝缘介质中，可得到反射和折射定律的推导（线性介质）

设介质1和介质2的分界面z=0为无穷大平面，z>0空间为介质2，z<0空间为介质1，即界面法向为z轴正向。平面单色波从介质1入射到界面上，进而产生反射波和折射波，反射波和折射波也是平面单色波（此假设是否正确可由最后结果是否满足边值关系确定）。设入射波、反射波和折射波的电场强度分别为E、E’和E’’，波矢量分别为k、k’和k’’。它们的平面波表示式分别为：反射和折射定律的推导（线性介质）

设介质1和介质2的分界面z介质1这一侧的电场为入射波与反射波的叠加，即介质2这侧只有折射波的电场将它们代入边值关系中的(1)式得把E、E’和E’’的定态单色波表达式代入得到要使该式成立，只有：介质1这一侧的电场为入射波与反射波的叠加，即要使该式成立，只在界面上，(a)式处处（x、y任意）、时时（t任意）都要成立，则必须要求：在界面上，(a)式处处（x、y任意）、时时（t任意）都要成立反射波、折射波的频率与入射波的频率相同。因当角频率为的电磁波入射后，将引起束缚电子的振动而辐射；这些辐射与原入射波一起形成反射波和折射波。由于电子受迫振动的频率与入射波频率相同，故反射波、折射波的频率和入射波也相同。

入射波、反射波、折射波在同一平面。取入射波矢量k与分界面的法线z轴构成的平面为x-z平面（入射面），则讨论：y反射波、折射波的频率与入射波的频率相同。因当角频率为的电磁设1和1、2和2分别为介质1、2的电容率、磁导率；v1和v2为电磁波在两介质中的相速，则代入反射定律、折射定律设1和1、2和2分别为介质1、2的电容率、磁导率；n21为介质2相对于介质1的折射率。除铁磁质外，一般介质都有0

，因此通常可认为即相对折射率。频率不同时，折射率亦不同，这是色散现象在折射问题中的表现。斯耐尔定律描述的电磁波反射和折射规律获得广泛应用，美军B2及F117等隐形飞机的底部均为平板形状，致使目标的反射波被反射到前方，单站雷达无法收到回波，从而达到隐形目的。

隐形飞机决不是指飞机将自己的形体隐藏起来，让我们看不见它，而是说它可以使雷达“看不到”它。电磁波的折、反射定律同光学完全一样，可表述为三条：入、反、折三波同频共面入射角等于反射角入射角与折射角的关系（见上）上述三条结论总称为斯耐尔定律。n21为介质2相对于介质1的折射率。除铁磁质外，一般介质都有入、反、折射波的振幅关系──菲涅耳（Fresnel）公式

应用边值关系可求入射、反射和折射波的振幅关系。由于对每一波矢都有两个独立的偏振波，所以需要分别讨论垂直于入射面和平行于入射面两种情形。为论证简洁，取电磁波的入射面为x-z平面。将介质两侧边值关系中的E和H分别换为入、反、折三波相应的场量，即即入、反、折射波的振幅关系──菲涅耳（Fresnel）公式

应注：现将任一矢量A按两种方法分解平行、垂直于入射面x-z平面分解——平行、垂直于交界面x-y平面分解——注：现将任一矢量A按两种方法分解E垂直于入射面（x-z平面）E垂直于入射面（x-z平面）同理可分析反、折射的E、H将入、反、折射的E、H代入边值关系同理可分析将入、反、折射的E、H代入边值关系E平行于入射面（x-z平面）E平行于入射面（x-z平面）公式I和II称为菲涅耳公式，表示反射波、折射波与入射波场强的比值。上面的推导结果与光学的实验事实完全符合，进一步验证了光的电磁理论的正确性。

当入射波的电场E垂直（或平行）入射面时，是否有可能反射波电场或折射波电场平行（或垂直）入射面？公式I和II称为菲涅耳公式，表示反射波、折射波与入射波场强的讨论：偏振关系垂直入射面偏振的波与平行入射面偏振的波的反射和折射行为不同。如果入射波为自然光（即两种偏振光的等量混合），经过反射或折射后，由于两个偏振分量的反射和折射波强度不同，因而反射波和折射波都变为部分偏振光。

在+’’=90的特殊情形下，E平行于入射面的分量没有反射波，因而反射光变为垂直于入射面偏振的完全偏振光。这是光学中的布儒斯特（Brewster）定律，这情形下的入射角为布儒斯特角B

。考虑讨论：考虑任意极化的平面波总可分解为一个平行极化波与一个垂直极化波之和。当一个无固定极化方向的光波，或者说一束无偏振光，以布鲁斯特角向边界斜投射时，由于平行极化波不会被反射，因此反射波中只剩下垂直极化波。可见，采用这种方法即可获得具有一定极化特性的偏振光。B(空气玻璃)56o任意极化的平面波总可分解为一个平行极化波与一个垂直极化波之和相位关系：从光密媒质到光疏媒质：但是与总是同相位。

相位关系：但是与总是同相位。从光疏媒质到光密媒质：从光疏媒质到光密媒质：但是与总是同相位。

结论：入射波与折射波相位相同，没有相位突变；入射波与反射波在一定条件下有相位突变。对E垂直入射面的情况：2＞1时＞’’，因此E’/E为负数，即反射波电场与入射波电场反相，这现象称为反射过程中的半波损失。但是与总是同相位。结论：电磁波的反射系数和透射系数

反射波平均能流与入射波平均能流，在法线方向的分量之比称为反射系数，以R表示。折射波平均能流与入射波平均能流，在法线方向的分量之比称为透射系数，以T表示。E垂直于入射面（x-z平面）

入、反、折射波能流平均值分别为：电磁波的反射系数和透射系数

反射波平均能流与入射波平均能流，则E垂直入射面时的

反射系数和透射系数（n为界面法线方向单位矢量）：同理E平行入射面时反射系数和透射系数：根据能量守恒定律，容易证明：则E垂直入射面时的

反射系数和透射系数（n为界面法线方向单位当入射角时，这种情况称为斜滑投射。此时，无论E方向如何以及媒质特性如何，反射系数，透射系数 。这就表明，入射波全被反射，且反射波同入射波大小相等相位相反，因此当我们十分倾斜地观察任何物体表面时，由于各种极化方向的反射光波的相位相同，彼此相加，使得物体表面显得比较明亮。这种现象也是地面雷达存在低空盲区的原因。因为当地面雷达指向低空目标时，到达目标的直接波与地面反射波的空间相位几乎一致。但是由于地面反射波处于斜滑投射方向，其反射系数为1，导致地面反射波与直接波等值反相，合成波大大削弱。因此，地面雷达无法发现低空目标。当入射角时，这种情况称为斜滑投射。此时，无论正入射（=’=’’=0）的菲涅尔公式（证明略）：以上若E为任意方向，则可分解为讨论正入射（=’=’’=0）的菲涅尔公式（证明全反射

对于确定的介质，n21确定，则’’随增大而增大。

从光疏媒质到光密媒质即1＜2

，则n21＞1，当电磁波从介质1入射时，折射角’’小于入射角；即使=/2，仍有’’＜/2，此时sin’’=1/n21从光密媒质到光疏媒质即1＞2

，则n21＜1。当电磁波从介质1入射时，折射角’’大于入射角；设当入射角增大到=c＜/2时，有’’=/2，则此时sinc=n21；若入射角继续增大＞c，有sin＞sinc=n21，则全反射

对于确定的介质，n21确定，则’’随sin

n21，这时不能定义实数的折射角’’，折射定律的原形式将失去意义，出现不同于一般的反射、折射物理现象，这时一般观察不到折射波，只有反射波，故称全反射。实际上是否真的没有波透射入介质2呢？现在我们研究这种情况下的电磁波解。X-Z平面入射＞csinn21，这时不能定义实数的折射角’’，折射定上式仍是亥姆霍兹方程的解，代表在介质2中传播的一种可能波模。上式仍是亥姆霍兹方程的解，代表在介质2中传播的一种可能波模。该式表明：折射波将沿z方向衰减，沿x方向传播。因此全反射时，介质2中电磁波并不为零，若介质2的电磁波完全为零的话，是不满足边值关系的。这种电磁波只存在于界面附近一薄层内，该层厚度～

-1。所以称全反射时的折射波为表面波。n21愈小或入射角愈大，振幅沿正Z方向衰减愈快。1为入射波在介质1中的波长。一般透入第二介质中的薄层厚度与波长同数量级。

有一种光导纤维即是由两种介电常数不同的介质层形成的，其内部芯线的介电常数大于外层介电常数。当光束以大于临界角的入射角度自芯线内部向边界投射时，即可发生全反射，光波局限在芯线内部传播，这就是光导纤维的导波原理。由于光导纤维的介质外层表面存在表面波，因此，必须加装金属外壳给予电磁屏蔽，这就形成光缆。221该式表明：1为入射波在介质1中的波长。一般透入第二介质中的折射波磁场强度：y考虑E’’垂直入射面(E”=Ey”，注意下图中E沿y负方向)：折射波磁场强度：y考虑E’’垂直入射面(E”=EyHz”与E”同相，但Hx”与E”有90相位差。Hz”与E”同相，但Hx”与E”有90相位差。折射波平均能流密度：由此，折射波平均能流密度只有x分量，沿z轴方向透入第二介质的平均能流密度为零。全反射时的折射波还是否TEM波？否！是TE波。折射波平均能流密度：由此，折射波平均能流密度只有x分量，沿z作如下对应后。本节推出的有关反射和折射的公式在sin＞n21情形下形式上仍成立——则由菲涅耳公式可求出反射波和折射波的振幅和相位。E垂直入射面情形：此式表示反射波与入射波具有相同振幅，但有一定的相位差，反射波平均能流密度数值上和入射波平均能流密度相等，因此电磁能量被全部反射出去。这现象称为全反射。作如下对应后。本节推出的有关反射和折射的公式在sin＞n比较和，可见=-0，并与入射角有关，如果入射波是线编振波，但其振动方向与入射面成一定夹角，则反射波的两个分量将有一个位相差，因而是一个椭园偏振波，即一个线偏振波入射在介质界面上经过反射成了一个椭园偏振波。在E平行入射面情形：比较和，可见=-0，并与入射角有关，如果入可见E’和E振幅相等，但相位不同，因此反射波与入射波的瞬时能流值是不同的；Sz’’的平均值为零，其瞬时值不为零。由此可见，在全反射过程中第2介质是起作用的。在半周内，电磁能量透入第2介质，在界面附近薄层内储存起来，在另一半周内，该能量释放出来变为反射波能量。

应注意，上述全部结论均在的前提下成立。若， 或者，时，虽然也会发生全反射及无反射现象，但布鲁斯特角及临界角的数值不同。当，时，只有垂直极化波才会发生无反射现象。当，时，两种极化波均会发生无反射现象。四种特殊入射：斜滑入射、正入射、布儒斯特角入射、全反射可见E’和E振幅相等，但相位不同，因此反射波与入射波的瞬时能第3节有导体存在时的电磁波本节的主要内容：研究导体内自由电荷分布的特点，在有传导电流分布的情形下解麦克斯韦方程组，分析导体内电磁波的传播特性以及导体表面上电磁波的反射和折射

在导体中，交变电磁场与自由电子运动相互作用，使导体中电磁波传播不同于真空或介质中电磁波的传播形式。在真空和理想绝缘介质内部，没有能量损耗，电磁波可以无衰减地传播；而导体内则有自由电子，在电磁波的电场作用下，自由电子运动会形成传导电流，由电流产生的焦耳热使电磁波能量不断损耗，即电磁场的能量转化为热能。因此，在导体内部的电磁波应该是一种衰减波。第3节有导体存在时的电磁波本节的主要内容：在导体介质损耗：电介质中在交变电场作用下转换成热能的那部分能量。介质损耗根据形成的机理可分为弛豫损耗、共振损耗和电导损耗。弛豫损耗：当交变电场改变其大小和方向时，电介质极化的大小和方向随着改变。如电介质为极性分子组成，转向或位移极化需要一定时间（弛豫时间），电介质极化与电场就产生了相位差，由这种相位差而产生了电介质弛豫损耗。弛豫损耗与温度、电场频率有关。共振损耗：电介质可以看成是许多振子的集合，这些振子在电场作用下作受迫振动，并最终以热能方式损耗。当电场频率比振子频率高得多或低得多时，损失能量很少。只有当电场频率等于振子固有频率（共振）时，损失能量最大，故称电介质共振损耗。电导损耗：实际电介质均具有一定电导，由于贯穿电导电流引起的电介质损耗（焦耳损耗）称为电介质电导损耗，它与电场频率无关。

介质损耗：电介质中在交变电场作用下转换成热能的那部分能量。介媒质的分类：在媒质中存在两种电流密度，传导电流密度和位移电流密度，实际应用通常根据/的值对媒质进行分类。注：以下不加特殊说明，指电导率。媒质分类理想导体良导体半导体介质良介质理想介质/>501/5050<1/500导电媒质指除理想介质以外的其它介质。

媒质的分类：在媒质中存在两种电流密度，传导电流密度和位移电流导电媒质内自由电荷的分布静电场中导电媒质的电荷分布：

导电媒质内无自由电荷（否则，电荷流动，即未达到稳定），自由电荷只能分布在导电媒质表面。稳恒电流情况下的电荷分布：均匀导电媒质体内不会出现电荷堆积，仅当导电媒质在沿电荷流动方向不均匀时，才可能有电荷存在。因此对于分块均匀的导电媒质，电荷只分布在交界面上：导电媒质内自由电荷的分布均匀导电媒质体内不会出现电荷堆积，仅交变情况下的电荷分布：均匀导电媒质

在变化电磁场中，导电媒质不再处于静电平衡状态，必然有体电荷分布，体电荷分布随时间变化形成电流，产生附加变化电磁场，形成导电媒质内总电磁场分布，又影响体电荷分布。设导电媒质是均匀各向同性的，其性质由一组物质常数、、确定，根据焦耳定律的微分形式、电荷守恒定律、电场的Gauss定理：即自由电荷密度0随时间指数衰减。交变情况下的电荷分布：均匀导电媒质在变化电磁场良导体条件：

对于确定导电媒质即、一定，则是否良导体要看对于什么频率的电磁波，即定义衰减特征时间（弛豫时间）：0衰减到t=0时的1/e所用时间

实际上，一般金属~10-17秒，即只要电磁波频率<<1017Hz，金属导体可看成良导体，一般的无线电波波段在105~1012Hz，正符合这个条件。均匀良导体内没有自由电荷分布，若有净余自由电荷形成，也会很快衰减四散流向表面，即电荷只分布在导体表面。以上讨论还说明：导体中自由电荷衰减相当快，并完全由导体自身性质确定，与导体中进行何种电磁过程无关，讨论电磁波在导体中的传播问题时，可认为0

0。良导体条件：定义衰减特征时间（导电媒质内的单色平面电磁波定态电磁波下导体中的麦克斯韦方程：

导电媒质与非导电媒质的根本区别在于前者有自由电荷存在。因此只要有电磁波存在，总要引起传导电流（自由电流），则均匀导电媒质内部：对比自由空间的麦克斯韦方程组导电媒质内的单色平面电磁波对比自由空间的麦克斯韦方程组定义：复介电常数或等效介电常数定态电磁波在导电媒质中的麦氏方程从形式上看，与绝缘介质中的情况完全相同复介电常数的实部代表位移电流贡献：复介电常数的虚部代表传导电流贡献：引起能耗，耗散功率：定义：复介电常数或等效介电常数定态电磁波在导电媒质中的麦氏方定态电磁波在导电媒质中的麦氏方程从形式上看与绝缘介质中的情况完全相同，也只有两个独立：类似可推出导电媒质中的亥姆霍兹方程：、的物理意义？定态电磁波在导电媒质中的麦氏方程从形式上看与绝缘介质中的情况k=+i称为复波数，称为衰减常数，描述波振幅在导电媒质内的衰减程度；称为传播常数，描述波在空间传播的位相关系：对导电媒质中的亥姆霍兹方程的单色平面波解，有：当矢量、方向一致时，由此二式可求得、，但一般情况下要想求、，必须由边值关系来决定。k=+i称为复波数，称为衰减常数，描述波振幅在导平面波从真空入射到导电媒质表面：θzx电磁波从真空入射到导电媒质表面，以k(0)表示真空中的波矢，k表示导电媒质内的波矢。要使该式成立，只有：平面波从真空入射到导电媒质表面：θzx电磁波从真空入射到导电在界面上，(a)式处处（x、y任意）、时时（t任意）都要成立，则必须要求：在界面上，(a)式处处（x、y任意）、时时（t任意）都要成立真空中入射、反射波波矢量为实数：同理：真空中入射、反射波波矢量为实数：同理：取X-Z平面为入射面：取X-Z平面为入射面：设与Z轴夹角为’’，即折射角：设与Z轴夹角为’’，即折射角：导电媒质内折射波波速：注：对于波动方程，仅当波矢量k为实数时，才可能有波速；当k为复数时，如全反射和导体中，则波速无此关系，而是与入射角、媒质参数、电磁波频率相关。

已知携带信号的电磁波总是具有很多频率分量。若各个频率分量的电磁波以不同的波速传播，经过一段距离传播后，电磁波中各个频率分量之间的相位关系必然发生改变，导致信号失真，这种现象称为色散。所以导电媒质又称为色散媒质。

因折射波向导电媒质内传播，所以Z取正值，则由(a)可知

也取正值，即衰减矢量垂直于分界面指向导电媒质内部，波沿Z方向衰减。导电媒质内折射波波速：注：对于波动方程讨论：正入射情况：=0良导体情况：讨论：良导体情况：则可忽略x：折射角：

则可忽略x：折射角：良导体中，在任意入射角情况下，传播常数矢量接近法线方向，即进入导体内的折射波基本上沿着垂直于表面的法线方向传播，与入射波的方向无关。趋肤效应和穿透深度

由于导体内电磁场具有衰减因子，因而电磁波只能透入导体表面薄层内，电磁波主要是在导体以外的空间或介质中传播，所以有导体存在时的电磁波传播问题一般是作为边值问题考虑的。在导体表面，电磁波与自由电荷相互作用，引起导体表层上的电流，这电流的存在使电磁波向空间反射，一部分电磁能量透入导体内，形成导体表面薄层内的电磁波，最后经过传导电流把这部分能量耗散为焦耳热。考虑良导体且是正入射（比斜入射穿透更深）情况：则此时的电磁场形式为：

良导体中，在任意入射角情况下，传播常数矢量接近法线方向，即上述表明磁场相位比电场相位滞后/4，且金属内主要是储存磁能，可见导体中磁场比真空或介质中的磁场重要的多。/的物理意义：表示传导电流和位移电流的比值，进而区分媒质种类表示磁场能和电场能之比上述表明磁场相位比电场相位滞后/4，且金属内主要是储存磁能波振幅沿传播方向按指数衰减，为衰减常数。把波振幅降至原值的1/e时的传播距离称为穿透深度。例如铜，=50Hz，

0.9cm；=100MHz，

0.710-3cm。可见，对于高频电磁波，电磁场以及高频电流仅集中于导体表面很薄一层内，这种现象称为趋肤效应。人们在轮船舱内或火车厢里用收音机不易收到电台的原因就在此。高频传输线常用“多股线”、“空心管”、“镀金、银导线”等也是因为这个原因。

复数波矢量实质包含两部分：实部就是通常意义上的波矢量，而虚部反映着电磁波在进入导体以后的衰减程度。造成这种衰减的原因是：一是由于传导电流所消耗的焦耳热，这一部分损耗将随着导体导电性能提高而减小；另是因导体中存在自由电子，引起电磁波在导体表面上强烈反射，这一部分则随着导体导电性能的提高而逐渐增大，直至理想导体情形电阻为零，电磁波在导体表面全部反射。波振幅沿传播方向按指数衰减，为衰减常数。把波振幅降至原值的*下表给出了三种频率时铜的穿透深度。f/MHz0.051

/mm29.80.0660.00038由此可见，随着频率升高，穿透深度急剧地减小。因此，具有一定厚度的金属板即可屏蔽高频时变电磁场。

由上分析可见，当平面波在导电媒质中传播时，其传播特性与比值有关。可见，传播特性不仅与媒质特性有关，同时也与频率有关。对应于比值的频率称为界限频率，它是划分媒质属于低耗介质或导体的界限。媒

质频

率

（MHz）干

土2.6（短波）湿

土6.0（短波）淡

水0.22（中波）海

水890（超短波）硅

（微波）锗

（微波）铂

（光波）铜

（光波）左表给出几种媒质的界限频率。*下表给出了三种频率时铜的穿透深度。f/MHz0.051*已知传导电流密度，而位移电流密度，因此，比值的大小实际上反映了媒质中传导电流与位移电流的幅度之比。可见，非理想介质中以位移电流为主，良导体中以传导电流为主。

平面波在导电媒质中传播时，振幅不断衰减的物理原因是由于电导率引起的热损耗，所以导电媒质又称为有耗媒质，而电导率为零的理想介质又称为无耗媒质。

一般说来，媒质的损耗除了由于电导率引起的热损失以外，媒质的极化和磁化现象也会产生损耗。考虑到这类损耗时，媒质的介电常数及磁导率皆为复数，即，。

复介电常数和磁导率的虚部代表损耗，分别称为极化损耗和磁化损耗。对于非铁磁性物质可以不计磁化损耗；对于微波波段以下的电磁波，媒质的极化损耗也可不计。*已知传导电流密度电磁波在导电媒质表面的反射和折射

既然导电媒质对电磁波有趋肤效应，电磁波不能进入导电媒质深处，那么电磁波必被导电媒质表面大量反射。电磁波从真空斜射到导电媒质表面：设导电媒质中0，则对折射波有θzx定义复正弦、余弦：电磁波在导电媒质表面的反射和折射

既然导电媒质对电磁波有趋肤才是真正意义的折射角。在绝缘介质界面的菲涅耳公式中作(a)(b)代换后（注*），同样可得到电磁波在导电媒质表面的反射和折射的菲涅耳公式：注：公式(a)(b)中的’’不是真正意义的折射角，只是类比第2节中入射角和折射角之间关系的形式。才是真正意义的折射角。在绝缘介质界面的菲涅耳公式中作(a)(电磁波从真空正入射到导电媒质表面，即=’=’’=0

，反射波和入射波的振幅之比为：E垂直入射面E平行入射面电磁波从真空正入射到导电媒质表面，即=’=’’电磁波从真空正入射到良导体表面反射系数为（PPT54）——从而反射波和入射波的振幅之比为：电磁波从真空正入射到良导体表面反射系数为（PPT54）——从对于良导体对于金属，例如铜，在电磁波频率为100Hz时，R1。这表明导体的反射系数确实很高。这就是为何用金属制造的飞机在空中飞行，难逃地面雷达的“眼睛”。对波长较长的微波或无线电波，反射系数更接近于1，这时可把金属近似看作理想导体。

对于良导体对于金属，例如铜，在电磁波频率为100Hz时，R良导体内功率损耗问题

良导体内的电场、传导电流密度为：良导体表面单位面积的平均功耗为：良导体内单位体积内的平均功耗为：良导体内功率损耗问题

良导体内的电场、传导电流密度为：良导体对比平均功率，定义导体表面电阻：面电流峰值：定义表面电流密度：δ0xyzds=dxdy导体在高频下的电阻相当于厚度为(穿透深度)的薄层的直流电阻。对比平均功率，面电流若平面电磁波垂直入射，则称为能流密度矢量，表示单位时间、垂直通过单位面积的能量。由能流密度定义，z=0平面上电磁波透入金属内部的平均能流密度，就是单位时间内在z=0平面单位面积上透入金属内部的电磁波能量，即：若平面电磁波垂直入射，则称为能流密度矢量，表示单位时间、垂直单位时间内在z=0平面单位面积上透入金属内部的电磁波能量，等于金属表面单位面积的平均功耗，说明透入金属内部的电磁波能量全部变为焦耳热。P180-6单位时间内在z=0平面单位面积上透入金属内部的电磁波能量，电阻率与电导率*

电阻率(resistivity)：是指单位长度、单位截面的某种物质的电阻，常用单位为“欧姆·厘米”，其倒数为电导率。电阻率较低的物质被称为导体，常见导体主要为金属，而自然界中导电性最佳的是银。其他不易导电的物质如玻璃、橡胶等，电阻率较高，一般称为绝缘体。介于导体和绝缘体之间的物质(如硅)则称半导体。电阻率的科学符号为。已知物体的电阻，可由电阻率、长度l与截面面积A计算：R=l/A

电导率：是指单位长度、单位截面的某种物质的电导，为电阻率的倒数，单位为西门子/米。在过去，电导的单位为“漠”(Mho，由Ohm即欧姆这个词的字母顺序颠倒而得，或以上下颠倒的Ω来表示)。则由R=l/A=-1=R=R-1A/l

电阻率与电导率*电阻率(resistivity)：是指单位良导体内单位体积内的平均功耗为：体积V=长度l×截面面积A良导体内单位体积内的平均功耗为：体积V=长度l×截面温度对电阻的影响：温度对不同物质的电阻值均有不同的影晌导电体——在接近室温的温度，良导体的电阻值通常与温度成正比：

R=R0+aT，式中的a称为电阻的温度系数。半导体——未经掺杂的半导体的电阻随温度而下降，两者成几何关系：

R=R0exp{a/T}

有掺杂的半导体变化较为复杂。当温度从绝对零度上升，半导体的电阻先是减少，到了绝大部份的带电粒子(电子或空穴)离开了它们的载体后，电阻会因带电粒子的活动力下降而随温度稍为上升。当温度升得更高，半导体会产生新的载体(和未经掺杂的半导体一样)，原有的载体(因渗杂而产生者)重要性下降，于是电阻会再度下降。绝缘体和电解质绝缘体和电解质的电阻与温度的关系一般不成比例，而且不同物质有不同的变化，故不在此列出概括性的算式。温度对电阻的影响：温度对不同物质的电阻值均有不同的影晌康铜4.9×10−7汞9.8×10−7.0009镍铬合金1.50×10−6.0004碳3.5×10−5-.0005锗4.6×10−1-.048硅6.40×102-.075玻璃1010to1014无物质电阻率(Ωm)电阻温度系数银1.59×10−8.0038铜1.7×10−8.0039金2.44×10−8.0034铝2.82×10−8.0039钨5.6×10−8.0045黄铜0.8×10−7.0015铁1.0×10−7.005铂1.1×10−7.00392铅2.2×10−7.0039康铜4.9×10−7汞9.8×10−7.0009镍铬合金1.均匀平面波与非均匀平面波*由上式可见，的平面为波面，因此，这种电磁波称为平面波。在波面上，各点场强相等。因此，这种波面上场强均匀分布的平面波又称为均匀平面波。在等相位面上电场和磁场均等幅，且任一时刻，任一处能量密度相等，即已知均匀平面波的波面是无限大的平面，而波面上各点的场强振幅又均匀分布，因而波面上各点的能流密度相同，可见这种均匀平面波具有无限大的能量。显然，实际中不可能存在这种均匀平面波。当观察者离开波源很远时，因波面很大，若观察者仅限于局部区域，则可以近似作为均匀平面波。

均匀平面波与非均匀平面波*由上式可见，全反射时，折射波沿正x方向传播，但其振幅沿正z方向按指数规律衰减。因此，折射波是向正x方向传播的非均匀平面波，如图示。由于此时能量主要集中在边界表面附近，这种非均匀平面波称为表面波。xzc如左图所示，导电媒质中折射波的等幅面与波面是不一致的，因此，折射波是一种非均匀平面波。当平面波由空气向海面投射时，若对于给定的频率，海水可当作良导体，那么，无论入射角如何，进入海水中的折射波几乎全部垂直向下传播。因此，位于海水中的潜艇接收天线的最强接收方向应指向上方。

ir

1

1

2

22zx等幅面波面波面等幅面t全反射时，折射波沿正x方向传播，但其振幅沿正z方向按波速、相速、群速、能量传播速度*相速vp——即波速，指等相位面传播的速度，或恒定相位点的移动速度。理想介质中，相速是与频率无关的常数；导电媒质中，相速与频率有关，因此导电媒质是一种色散媒质。假设平面波为：假设波矢量k沿x轴正向，则有此形式已包含均匀或非均匀平面波，因此波矢量k为实数矢量讨论——复色光可视为若干单色波列的叠加，所以复色光在真空中传播的相速就等于单色光在真空中传播的相速。在介质中，各单色光以不同的相速传播，复色光的传播速度问题也随之复杂化。波速、相速、群速、能量传播速度*相速vp——即波速，指等相位在理想介质中，均匀平面波的相速与媒质特性有关。考虑到一切媒质相对介电常数r>1，又通常相对磁导率r1

，因此，理想介质中均匀平面波的相速通常小于真空中的光速。但应注意，电磁波的相速有时可以超过光速。因此，相速不一定代表能量传播速度——能流速度。群速vg——即波包传播的速度，它代表信号的能量传播速度。在通信中，单一频率的正弦波没有信息量，无实际意义。一个信号总是由许多频率成分组成，用相速无法确定信号的传播速度。(参见P179-1)平面波在导电媒质中传播时，其相速不仅与媒质参数有关，而且还与频率有关（见右下式，正入射情况）。一般自由空间情况下，有全反射情况下，折射波波速有——

vip为入射波波速在理想介质中，均匀平面波的相速与媒质特性有关。考虑到一切媒质假设复色光由两列振幅相同、向x正向传播的一维单色光组成：可见合成波的振幅是受调制的，成为包络波。群速即指信号包络上恒定相位点的移动速度，即包络波的相速。假设复色光由两列振幅相同、向x正向传播的一维单色光组成：可见讨论——群速的与相速的关系：根据上式，显然存在以下三种可能情况：即相速与频率无关，，群速就等于相速，

称为无色散，如真空。讨论——群速的与相速的关系：根据上式，显然存在以下三种可能情

即频率越高相速越小，，群速小于相速，

称为正常色散。即频率越高相速越大，，群速大于相速，

称为反常色散，此时群速不再等于能速相对频差小：相对频差大：即频率越高相波的强度IA2，所以在波群传播过程中，波的能量的绝大部分被振幅最大部分所携带，因而当包络的最大值传到时，观察者才接收到波，所以群速度也就是波的能量的传播速度。在色散很厉害的媒质中，由于不同频率的波的相速度差别很大，波群在传播过程中很快变形。此时群速度失去意义，关于Ug的公式也就失效了。因此，群速度的概念，仅适用于色散不很厉害的情形。

微观粒子也具有波动性，德布罗意把微观粒子的波粒二象性统一表示在由他提出的德布罗意公式中：p=mv=h/，式中p为粒子动量，h为普朗克常数，l

为表示粒子波动性的波长，u是粒子运动速度。粒子具有能量，是能量的携带者，所以粒子运动速度u是德布罗意波的群速度，而德布罗意波的相速度为：Up=l，将德布罗意波长l

代入相速度公式，则

Up=l=h/(mv)；又粒子能量为E=h=mc2，代入上式则德布罗意波的相速度为：Up=c2/v，式中c为真空中光速。光速是一切物质运动速度的极限，所以u<c，因而有Up>c，即相速度大于光速，然而这与相对论并不矛盾。相对论是指物质运动速度或信号传播速度不能大于光速；而相速度既不表征信号速度，也不表征能量传播速度，而是如前所述的相位的传播速度。

波的强度IA2，所以在波群传播过程中，波的能量的绝大部分被波阻抗*电场强度与磁场强度之比称为电磁波的波阻抗，以Z表示，平面波在理想介质中传播时，其波阻抗为实数导电媒质中的波阻抗Zc为复数：

因此，电场强度与磁场强度的相位不同，复能流密度的实部及虚部均不会为零，这就意味着平面波在导电媒质中传播时，既有单向流动的传播能量，又有来回流动的交换能量。波阻抗*电场强度与磁场强度之比称为电磁波的波阻抗，以Z表对于单色波，则由(1)可得到其在绝缘介质中的波动行为，即波动方程(2)。将定态波形式(3)代入(2)，即得到定态电磁波在绝缘介质中的波动行为——亥姆霍兹方程(4)在绝缘介质界面的全反射与导电媒质表面的反射之间的比较*电磁波在绝缘介质中的行为，最根本的是由绝缘介质中的麦克斯韦方程组来决定的，即对于单色波，则由(1)可得到其在绝缘介质中的波动行为，即波动另，若将推导波动方程(2)的方法用于(1’)，同样可得到定态电磁波在绝缘介质中的亥姆霍兹方程(4)。现在我们要注意的是，波矢量的定义。波矢量是从亥姆霍兹方程(4)中定义的，即注意这里的、是绝缘介质的电磁性质，很明显它们都是实数，这就决定了我们定义的绝缘介质中定态波的波矢量平方k2=2也必为实数；而很明显，现在我们已知道，对于平面电磁波在绝缘介质界面的全反射情况，折射波波矢量是一个复矢量。实际上，对于亥姆霍兹方程的普遍解，k广义上本该就应是一个复数形式。另，若将推导波动方程(2)的方法用于(1’)，同样可得到定态设k的复数形式为：既然要求绝缘介质中定态波的波矢量平方k2=2必为实数，则有因为只要是绝缘介质中的定态波，则其波矢量平方k2就必为实数，即k2的虚部恒为0，则有至于b、a的具体方向和大小，则由边值关系确定，例如平面电磁波在绝缘介质界面的全反射情况，折射波波矢量是一个复矢量，由其波矢量的推导过程可看出，其b、a就是由全反射时的边值关系确定的——因此一般情况下，设k的复数形式为：既然要求绝缘介质中定态波的波矢量平方k2=由上述讨论可知，平面电磁波在绝缘介质界面的全反射情况下，曾给出折射波波矢量的一个关系——

，由于这里的折射波波矢量是一个复数，所以若绝缘介质中的定态波其波矢量为实数，如非全反射时的入、反、折射波等，有——当出现全反射时，这时的折射角是无法定义实数的角度的，因为折射波的波矢量是一个复矢量，它实际上包含了实部矢量b和虚部矢量a共两个矢量，因此无法定义波矢量与界面法线的夹角。很明显这时实部矢量b和虚部矢量a的推导过程和平面波从真空入射到导电媒质表面时的实部矢量和虚部矢量、推导过程一致。区别在于，全反射情况较简单。由上述讨论可知，平面电磁波在绝缘介质界面的全反射情况下，曾给根据真空入射到导电媒质表面时的实部矢量和虚部矢量、推导过程，我们同样会得到取xoz平面为入射面，则；又因为绝缘介质要求，因此b很明显现只能有x分量而不能有z分量。在实部矢量b就代替了原来实数的波矢量k的地位，代表波的传播方向，即折射波沿x方向传播。至于b的大小则由边值关系确定，即根据真空入射到导电媒质表面时的实部矢量和虚部矢量、推导过同样，电磁波在导电媒质中的行为，最根本的是由导电媒质中的麦克斯韦方程组来决定的，即同样，电磁波在导电媒质中的行为，最根本的是由导电媒质中的麦克这是导电媒质内单色波的波动方程，很明显，由于存在自由电子或者说是电导率，它比单色波在绝缘介质中的波动行为，即波动方程(2)多出一个一次项。这是导电媒质内单色波的波动方程，很明显，由于存在自由电子或者将定态波形式(iii)代入到导电媒质中的麦克斯韦方程组(ii)，得到定态电磁波在导电媒质中的行为——亥姆霍兹方程(iv)另，若将推导波动方程(ii)的方法用于(i’)，同样可得到定态电磁波在绝缘介质中的亥姆霍兹方程(iv)。注(i’)同样只有两个方程独立，类似(1’)取2、4为独立的。将定态波形式(iii)代入到导电媒质中的麦克斯韦方程组(ii现在我们来看定态电磁波在导电媒质中的亥姆霍兹方程(iv)的波矢量的定义。注意这里的、是导电媒质的电磁性质，它们都是实数；但是显然这里的波矢量的平方是一个复矢量，这也是定义复介电常数的原因。以上说明，定态电磁波在导电媒质中的波动行为的波矢量实际上的确都是复矢量，这与定态电磁波在导电媒质中的波动行为的波矢量不同，后者只是在全反射时才会出现有折射波波矢量是一个复矢量。实际上在推导全反射的菲涅尔公式时，我们用的折射波电场应是现在我们来看定态电磁波在导电媒质中的亥姆霍兹方程(iv)的波实际推导后我们会发现，只要在非全反射时的菲涅尔公式中用如下代换即可得到全反射时的菲涅尔公式。同理，在推导真空入射到导电媒质表面时的菲涅尔公式时，我们用的折射波电场应是很明显全反射和真空入射到导电媒质表面时的菲涅尔公式这两者的推导过程应该是完全一样的。所以仿照全反射时的代换，对真空入射到导电媒质表面时的菲涅尔公式，我们应做的代换是：实际推导后我们会发现，只要在非全反射时的菲涅尔公式中用如下代推导真空与导电媒质表面的菲涅耳公式*问题1：我们会发现，在书中“P155-4.导体表面上的反射”一节中，推导垂直入射的菲涅尔公式(3.27)时，用到的真空与导体表面的电磁场边值关系为(3.26)，这与第二节中绝缘介质交界面的电磁场边值关系(2.2)完全相同，即而我们知道，导体由于存在自由电子，其独立的边值关系应该是与前者绝缘介质交界面的电磁场边值关系的区别就在于第2个式子磁场边值关系中有无传导电流面密度。那为什么(3.26)中没有传导电流面密度呢？或者说为何这里仍用绝缘介质交界面的电磁场边值关系而不用左式呢？推导真空与导电媒质表面的菲涅耳公式*问题1：我们会发现，在书我们知道，电磁场边值关系是由麦克斯韦方程组的积分形式得到的，由第一章知，推导磁场边值关系所用到的麦克斯韦方程组的积分形式为对于均匀媒质，电导率为常数。由第一章知，推导磁场边值关系的过程，由于回路所围面积趋于零，而D/t为有限量，因而同理，若电导率为有限值，则则真空与导体表面的磁场边值关系仍为见Jackson经典电动力学上P371我们知道，电磁场边值关系是由麦克斯韦方程组的积分形式得到的，实际上，交变情况下真空与导体表面的电磁场边值关系完整地应写为：导体1介质2要注意的是：均匀良导体内没有自由电荷分布，若有净余自由电荷形成，也会很快衰减四散流向表面，即电荷只分布在导体表面。见下面第四节的有界空间电磁场边值关系。实际上，交变情况下真空与导体表面的电磁场边值关系完整地应写为问题2：我们会发现，在第二节中推导绝缘介质交界面的电场振幅的菲涅尔公式时，应用的边值关系是(2.2)，即在推导中通过平面波的E、B关系（见右）将H用E来表达，从而得到关于反射波、折射波电场E的两个方程(1’)、(2’)。而推导全反射和真空与导电媒质界面的菲涅尔公式，是将特定的代换放入到绝缘介质交界面的电场振幅的菲涅尔公式中得到的，所以实际推导必然同绝缘介质交界面的推导类似，也是应用的相同的边值关系(2.2)。下面第四节中我们会看到，推导波导中的电磁波时，也是真空与导体的边值关系问题，而这时我们发现，推导过程是求满足亥姆霍兹方程的电场E，边值关系用的是：问题2：我们会发现，在第二节中推导绝缘介质交界面的电场振幅的(3)中的第三个式子，即E2t=0，也即而不像前面用的是这是为什么呢？这是因为：波导中的电磁波不再是平面波，所以不能用平面波的E、B关系将H用E来表达，从而也不能类似地得到关于E的两个方程(1’)、(2’)。(3)中的第三个式子，即E2t=0，也即而不像前面用的是这

时谐电磁波在无源线性介质中的波动方程，即亥姆霍兹方程，它的地位等价于静电（磁）场中的泊松方程——求解静电（磁）场问题，就是在给定的边界条件下，求解泊松方程；交变情况下，求解电（磁）场问题，就是在给定的边界条件下，求解亥姆霍兹方程组。求解时，都使用分离变量法，写出通解形式，根据边界条件确定待定系数。不同之处在于——

亥姆霍兹方程组中的所求