高考数学总复习精品苏教版第八单元第一节 不等关系与不等式公开课一等奖省优质课大赛获奖课件

第一节不等关系与不等式1.不等式定义：用不等号连接

式子叫做不等式.≠、＞、＜、≥、≤两个数2.不等式基本性质(1)a>bb<a;(2)a>b,b>ca>c;(3)a>ba+c>b+c;(4)a>b,c>0ac>bc;(5)a>b,c<0ac<bc;(6)a>b,c>da+c>b+d;(7)a>b>0,c>d>0ac>bd;(8)a>b>0,n∈N*,n>1an>bn,>.基础梳理或代数式3.实数比较大小方法(1)a-b>0a>b;(2)a-b=0a=b;(3)a-b<0a<b.典例分析题型一用不等式表示不等关系【例1】某汽车企业因为发展需要需购进一批汽车，计划使用不超出1000万元资金购置单价分别为40万元、90万元A型汽车和B型汽车.依据需要，A型汽车最少买5辆，B型汽车最少买6辆，写出满足上述全部不等关系不等式.分析设出未知数，依据题意找出对应不等关系，然后用不等式将它们正确表示出来.解设购置A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则

40x+90y≤1000,4x+9y≤100x≥5,即x≥5,y≥6,y≥6,x,y∈N*.x,y∈N*,学后反思

（1）将实际不等关系写成对应不等式时，应注意实际问题中关键性文字语言与对应数学符号之间正确转换，这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系.常见文字语言与数学符号之间转换关系以下表：文字语言数学符号文字语言数学符号大于>至多≤小于<最少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤（2）注意区分“不等关系”和“不等式”异同，不等关系强调是“关系”，可用“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”表示，不等式则是表现不等关系“式子”.对于实际问题中不等关系能够从“不超出”、“最少”、“至多”等关键词上去把握，并考虑到实际意义，本题中轻易忽略“x,y∈N*”.举一反三1.用锤子以均匀力敲击铁钉入木板，伴随铁钉深入，铁钉所受阻力会越来越大，使得每次钉入木板钉子长度后一次为前一次(k∈N*),已知一个铁钉受击三次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分铁钉长度是钉长,请从这个实例中提炼出一个不等式组.解析:设铁钉长度为1.依题意得，第二次钉子没有完全入木板,第三次全部进入木板，∴

(k∈N*).题型二不等式性质应用【例2】对于实数a,b,c，有以下命题：①若a>b,则ac<bc;②若ac2>bc2,则a>b;③若a<b<0,则a2>ab>b2;④若c>a>b>0,则>;⑤若a>b,>,则a>0,b<0.其中真命题个数是

.分析判断命题真假，要紧紧围绕不等式性质，尤其注意条件与结论间联络.解①中，c符号不确定，故ac，bc大小也不能确定，故为假.②中，由ac2>bc2知c≠0,又c2>0,则a>b,故为真.③中，由a<b,a<bb<0可得ab>b2,由a<0可得a2>ab,∴a2>ab>b2为真.④中，由a>b,得-a<-b,∴c-a<c-b,而c>a>b>0,∴0<c-a<c-b,∴>>0.又a>b>0,∴>为真.⑤中，由a>ba-b>0,>>0,又a-b>0,∴ab<0,而a>b,∴a>0,b<0为真.综上可知真命题有4个.学后反思(1)准确记忆不等式性质成立条件，是正确应用性质前提.(2)在不等式判断中，举反例推翻结论是惯用方法，如本例题①中,令c=0则结论错误.举一反三2.若a>b>0,c<d<0,e<0,求证：证实：∵c<d<0,∴-c>-d>0.又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0,∴∴又∵e<0,∴,即题型三比较大小【例3】设x＜y＜0，试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)·(x+y)大小.解

∵x＜y＜0,∴xy＞0,x-y＜0,∴∴学后反思（1）作差法步骤：作差，变形，判断差符号，结论.作商法步骤：作商，变形，判断商与1大小关系，结论.分析作差，经过分解因式判断差符号.（2）作差法目标是判断差符号，而作商法目标是判断商与1大小.两种方法关键是变形，惯用变形技巧有因式分解、配方、有理化等.有时等价转化为易于比较大小两个代数式来到达目标，这也是一个变形技巧.(3)当两个代数式正负不确定且为多项式形式时惯用作差法比较大小，当两个代数式均为正且均为幂乘积式时，惯用作商法.举一反三3.设a、b是不相等正数，,试比较A、G、H、Q大小.解析：∵a,b为不相等正数,∴,即H<G.由,即G<A.由即A<Q.综上可知，当a、b是不相等正数时，H<G<A<Q.题型四利用不等式性质求范围【例4】(14分)设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)取值范围.分析易知1≤a-b≤2，2≤a+b≤4,只要将f(-2)=4a-2b用a+b和a-b表示出来，再利用不等式性质求解4a-2b取值范围即可.解方法一：设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n为待定系数).……………………2′则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,…….4′于是得m+n=4,m=3,n-m=-2,解得n=1,………………….6′∴f(-2)=3f(-1)+f(1).……….9′又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,…….12′故5≤f(2)≤10.…………….14′方法二：由f(-1)=a-b,f(1)=a+b,得a=[f(-1)+f(1)],……3′b=[f(1)-f(-1)],……6′∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).…………9′又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,……….12′∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,∴5≤f(-2)≤10.…………..14′学后反思由a<f1(x1,y1)<b,c<f2(x1,y1)<d,求g(x1,y1)取值范围，可利用待定系数法处理，即设g(x1,y1)=pf1(x1,y1)+qf2（x1,y1)，用恒等变形求得p,q,再利用不等式性质求得g(x1,y1)范围.另外，本例也可用线性规划方法来求解.举一反三4.已知≤α<β≤，求,取值范围.解析：∵,①,②①+②得-π<α+β<π，∴∵,∴.又,∴-π≤α-β<π,∴又α<β,∴,∴易错警示已知2<a≤3,1≤b≤2,求a+b,a-b,取值范围.错解∵2<a≤3,1≤b≤2,∴3≤a+b≤5,∴1≤a-b≤1,∴2≤≤.错解分析在利用不等式性质时忽略了性质成立必要条件;另外，同向不等式相加，不等号方向不变，相减、相除则行不通.正解∵2<a≤3,1≤b≤2,∴3<a+b≤5.又-2≤-b≤-1,∴0<a-b≤2.又≤≤1,∴1<≤3.10.(·枣庄质检)对于任意实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立，求实数x取值范围.解析：∵|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|,又a≠0,∴|x-1|+|x-2|≤2,解得≤x≤11.已知m∈R,x∈R,试比较与大小.解析:方法一∴方法二：∵∴