广西南宁三中高二(上)期中数学试卷课件

2021-2021

学年广西南宁三中高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题

5

分，共

60

分．在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）不等式（x+1）（x﹣2）＞0的解集是（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|x＜1}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|x＜﹣1或

x＞2}2．（5分）“a＝3”是“直线

ax+2y+2a＝0和直线

3x+（a﹣1）y﹣a+7＝0平行”的（）A．充分而不必要条件C．充要条件B．必要而不充分条件D．即不充分也不必要条件2；

命

题

q：

∀x∈R，

x2﹣

x+1＞

0．

则

下

列

结

论

正

确

的

是3．（

5分

）

已

知

命

题

p：

∃x

∈R，

sinx

=00（）A．命题是

p∨q

假命题B．命题是

p∧q

真命题C．命题是（¬p）∨（¬q）真命题D．命题是（¬p）∧（¬q）真命题222푠푖푛

퐵

‒

푠푖푛

퐴푠푖푛2퐴4．（5分）在△ABC

中，内角

A，B，C

所对的边分别是

a，b，c，若

3a＝2b，则的值为（）191372A．

-B．C．1D．5．（5分）△ABC

的内角

A、B、C

的对边分别为

a、b、c．若

a、b、c

成等比数列且

c＝2a，则

cosB＝（）341422D．

3A．B．C．

412021-2021学年广西南宁三中高二（上）期中数学试卷A16．（5分）设

S

是等差数列{a

}的前

n

项和，已知

a

＝3，a

＝11，则

S

等于（）nn267A．13B．35C．49D．637．（5分）在由正数组成的等比数列{a

}中，若

a

a

a

＝3，则

a

a

…a

a

的值为（）n4

5

61

28

9A．3B．9C．27D．818．（5分）下列不等式正确的是（）11A．x

+

푥

≥

2B．|푥

+

|

≥

2푥112C．x

+

＞푥(푥＞0)D．sinx

+≥

24푠푖푛푥9．（5分）已知两圆

C

：（x﹣4）2+y2＝169，C

：（x+4）2+y2＝9，动圆在圆

C

内部且和圆

C

相内1211切，和圆

C

相外切，则动圆圆心

M

的轨迹方程为（）2푥2

푦2푥2

푦2A．C．‒=

1=

1B．D．+=

1=

164

4848

64푥2

푦2푥2

푦2‒+48

6464

4810．（5分）已知数列{a

}满足

a

＝1，a

＝a+3n﹣2（n≥2），则{a

}的通项公式为（）n1nn﹣1n22A．a

=

3푛B．a

=

3푛

+

푛푛푛223푛

‒

푛3푛

+

푛C．a

=D．a

=푛푛2211．（5分）在△ABC

中，若

lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC＝lg2，则△ABC

是（）A．等腰三角形C．等边三角形B．直角三角形D．等腰直角三角形12．（5分）若关于

x

的不等式

3﹣|x﹣a|＞x2至少有一个负数解，则实数

a

的取值范围是（）13A．

-

3＜a＜

41313134

＜푎＜3B．

-4

＜푎＜

4C．﹣3＜a＜3D．

-26．（5分）设S是等差数列{a}的前n项和，已知2二、填空题：本大题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分．把答案填在题中横线上．2x

-

y

+

1

≥

0푥

‒

2푦

‒

1

≤

0푥

≤

1{13．（5分）设

x，y

满足约束条件，则

z＝2x+3y﹣5的最小值为

．14．（5分）已知函数

f（x）＝x2+mx﹣1，若对于任意

x∈[m，m+1]，都有

f（x）＜0成立，则实数

m

的取值范围是

．15．（5分）在△ABC

中，角

A、B、C

所对的边分别为

a、b、c，且满足

asinB＝bcosA，则

2푠푖푛퐵

‒

푐표푠퐶的最大值是

．→→16．（5分）已知

M

是△ABC

内的一点，且AB

⋅

퐴퐶

=

2

3，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA，△MAB114的面积分别为

，푥，푦，则

+

的最小值为

．2푥푦三、解答题：本大题共

6

小题，共

70

分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知命题

p：对任意实数

x

都有

ax2+ax+1＞0恒成立；命题

q：关于

x

的方程

x2﹣x+a＝0有实数根；如果

p

与

q

中有且仅有一个为真命题，求实数

a

的取值范围．18．（12分）在△ABC

中，角

A，B，C

的对边分别为

a，b，c，且满足

b2+c2﹣bc＝a2．（1）求角

A

的大小；（2）若

a＝3，sinC＝2sinB，求△ABC

的面积．19．（12分）某中学初一年级

500名学生参加某次数学测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了

100名学生，记录他们的分数，将数据分成

7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的

500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于

70的概率；（2）已知样本中有一半男生的分数不小于

70，且样本中分数不小于

70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分3202220．（12分）已知数列{a

}的前

n

项和S

=

푛

+

2푛．n푛（1）求数列{a

}的通项公式；n1∗（2）令b

=(푛

∈

푁

)，求数列{b

}的前

n

项和

T

．푛nn2푎

‒

1푛21．（12分）如图，△ABC

和△BCD

所在平面互相垂直，且

AB＝BC＝BD＝2．∠ABC＝∠DBC＝120°，E、F、G

分别为

AC、DC、AD

的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面

BCG；（Ⅱ）求三棱锥

D﹣BCG

的体积．1附：锥体的体积公式

V

=

Sh，其中

S

为底面面积，h

为高．3试卷122．（12分）已知等差数列{a

}，的前

n

项和为

S

，且

a

＝2，S

＝15，数列{b

}满足

b

=

，bn+1=nn25n124202220．（12分）已知数列{a}的前n项和S4푛

+

12푛

bn．（1）求数列{a

}，{b

}的通项公式；nn2푆

(2

‒

푇

)푛푛，试问

f（n）是否存在最大值，若存在，求（2）记

T

为数列{b

}的前

n

项和，f（n）

=nn푛

+

2出最大值，若不存在请说明理由．5푛+1（1）求数列{a}，{b}的通项公式；nn2푆52021-2021

学年广西南宁三中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题

5

分，共

60

分．在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2021秋•兴宁区校级期中）不等式（x+1）（x﹣2）＞0的解集是（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|x＜1}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|x＜﹣1或

x＞2}【考点】73：一元二次不等式及其应用．【专题】35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】解能够因式分解的一元二次不等式，先把每个因式的最高次系数化成正数，再写等价关系，再求解即可．【解答】解：∵（x+1）（x﹣2）＞0，{x

+

1＞0

{x

+

1＜0∴或，푥

‒

2

0＜푥

‒

2

0＞解得：x＞2或

x＜﹣1，故选：D．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，要注意负化正．属简单题．2．（5分）（2021秋•兴宁区校级期中）“a＝3”是“直线

ax+2y+2a＝0和直线

3x+（a﹣1）y﹣a+7＝0平行”的（）A．充分而不必要条件C．充要条件B．必要而不充分条件D．即不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．62021-2021学年广西南宁三中高二（上）期中数学试卷一6【分析】若“a＝3”成立，判断出两直线平行；反之，当“两直线平行”成立时，得到

a＝3或

a＝﹣2；利用充要条件的有关定义得到结论．【解答】解：若“a＝3”成立，则两直线的方程分别是

3x+2y+6＝0与

3x+2y+4＝0，两直线平行；푎2反之，当“直线

ax+2y+2a＝0与直线

3x+（a﹣1）y﹣a+7＝0平行”成立时，有

=，且

2a≠﹣3푎

‒

1a+7，所以

a＝3或

a＝﹣2；所以“a＝3”是“直线

ax﹣2y﹣1＝0与直线

6x﹣4y+c＝0平行”的充分不必要条件，故选：A．【点评】题考查两直线平行的条件和性质，充分条件、必要条件的定义和判断方法．2；命题

q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0．则下3．（5分）（2015•江西校级二模）已知命题

p：∃x

∈R，sinx

=00列结论正确的是（）A．命题是

p∨q

假命题B．命题是

p∧q

真命题C．命题是（¬p）∨（¬q）真命题D．命题是（¬p）∧（¬q）真命题【考点】2E：复合命题及其真假．【专题】5L：简易逻辑．【分析】首先判断命题

p

和

q

的真假，再利用真值表对照各选项选择．命题

p

的真假有正弦函数的有界性判断，命题

q

的真假结合二次函数的图象只需看△．【解答】解：命题

p：因为﹣1≤sinx≤1，故不存在

x∈R，使

sinx

=

2，命题

p

为假；命题

q：△＝1﹣4＝﹣3＜0，故∀x∈R，都有

x2+x+1＞

为真．0∴，命题是

p∨q

是真，命题“p∧q”是假命题，命题是（¬p）∨（¬q）真命题，命题是（¬p）∧7【分析】若“a＝3”成立，判断出两直线平行；反之，当“两直线7（¬q）假命题．故选：C．【点评】本题考查命题和复合命题真假的判断、正弦函数的有界性及二次函数恒成立等知识，属基本题型的考查．4．（

5分

）（

2014•

江

西

）

在

△

ABC

中

，

内

角

A，

B，

C

所

对

的

边

分

别

是

a，

b，

c，

若

3a＝

2b，

则222푠푖푛

퐵

‒

푠푖푛

퐴푠푖푛2퐴的值为（）1172A．

-B．C．1D．93【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．3【解答】解：∵3a＝2b，∴b

=

푎，229푎2

×

4

‒

푎222222푠푖푛

퐵

‒

푠푖푛

퐴

2푏

‒

푎97根据正弦定理可得===

‒

1

=

，푠푖푛2퐴푎2푎222故选：D．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．5．（5分）（2021秋•福州期末）△ABC

的内角

A、B、C

的对边分别为

a、b、c．若

a、b、c

成等比数列且

c＝2a，则

cosB＝（）341422D．

3A．B．C．

4【考点】88：等比数列的通项公式；HR：余弦定理．【专题】11：计算题．8（¬q）假命题．【点评】本题考查命题和复合命题真假的判断、正8【分析】由

a，b，c

成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再将

c＝2a

代入，开方用

a

表示出

b，然后利用余弦定理表示出

cosB，将表示出的

b

和

c

代入，整理后即可得到

cosB

的值．【解答】解：根据题意，a，b，c

成等比数列，则

b

＝ac，2又

c＝2a，则

b

＝

，

＝4a2，22a2

c2222푎

+

푐

‒

푏3则

cosB

=故选：A．=

；2푎푐4【点评】此题考查了余弦定理，以及等比数列的性质，解题的关键是求出

a、b、c

的关系，进而运用余弦定理求解．6．（5分）（2009•湖南）设

S

是等差数列{a

}的前

n

项和，已知

a

＝3，a

＝11，则

S

等于（）nn267A．13B．35C．49D．63【考点】85：等差数列的前

n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】根据等差数列的性质可知项数之和相等的两项之和相等即

a

+a

＝a

+a

，求出

a

+a

的值，172617然后利用等差数列的前

n

项和的公式表示出

S

，将

a

+a

的值代入即可求出．717【解答】解：因为

a

+a

＝a

+a

＝3+11＝14，17267(푎

+

푎

)

7(푎

+

푎

)7

×

1421726=所以S

===

49722故选：C．【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质及前

n

项和的公式，是一道基础题．7．（5分）（2021秋•兴宁区校级期中）在由正数组成的等比数列{a

}中，若

a

a

a

＝3，则

a

a

…a

a

的n4

5

61

28

9值为（）A．3B．9C．27D．819【分析】由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关9【考点】87：等比数列的性质．【专题】11：计算题；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】直接利用等比数列的性质，化简求解即可．【解答】解：由正数组成的等比数列{a

}中，若

a

a

a

＝3，可得：a

＝

，33n4

5

6593

333

4

53根据等比数列的性质可得，a

푎

⋯푎

푎

=

푎

=

(푎

)

=

(푎

푎

푎

)

=

3

，1

28

955故选：C．【点评】本题考查等比数列的性质的应用，考查计算能力．8．（5分）（2021秋•贺州期末）下列不等式正确的是（）11A．x

+

푥

≥

2B．|푥

+

|

≥

2푥112C．x

+

＞푥(푥＞0)D．sinx

+≥

24푠푖푛푥【考点】2K：命题的真假判断与应用；3E：函数单调性的性质与判断；3H：函数的最值及其几何意义；7F：基本不等式及其应用．【专题】11：计算题；49：综合法；51：函数的性质及应用；5L：简易逻辑；5T：不等式．【分析】利用基本不等式判断

A，B

的正误；利用配方法找出反例判断

C

的正误；利用正弦函数的值域，结合不等式判断

D

的正误；111【解答】解：当

x＞0时，x

+

푥

≥

2，当

x＜0时，x

+

푥

≤‒

2，所以|x

+

|

≥

2，故

A

不正确，B

正푥确；1111142222由于

x＞0，所以x

+

≥

푥，即（x

-

）

≥

，当且仅当x

=

，即x

=

时取等号，故

C：x

+04242＞푥(푥＞0)不正确；11当

sinx∈（0，1]时，sinx

+

푠푖푛푥

≥

2，sinx∈[﹣1，0）时，sinx

+≤‒

2，故

D

不正确．푠푖푛푥10【考点】87：等比数列的性质．【专题】11：计算题；49：综10故选：B．【点评】本题考查命题的直接的判断，基本不等式以及三角函数的最值，二次函数的性质的应用，考查计算能力．9．（5分）（2021秋•宝安区期末）已知两圆

C

：（x﹣4）2+y2＝169，C

：（x+4）2+y2＝9，动圆在圆

C112内部且和圆

C

相内切，和圆

C

相外切，则动圆圆心

M

的轨迹方程为（）12푥2

푦2푥2

푦2A．C．‒=

1B．+=

1=

164

4848

64푥2

푦2푥2

푦2‒=

1D．+48

6464

48【考点】J3：轨迹方程．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据两圆外切和内切的判定，圆心距与两圆半径和差的关系，设出动圆半径为

r，消去

r，根据圆锥曲线的定义，即可求得动圆圆心

M

的轨迹，进而可求其方程．【解答】解：设动圆圆心

M（x，y），半径为

r，∵圆

M

与圆

C

：（x﹣4）2+y2＝169内切，与圆

C

：（x+4）2+y2＝

外切，912∴|MC

|＝13﹣r，|MC

|＝r+3，12∴|MC

|+|MC

|＝16＞8，12由椭圆的定义，M

的轨迹为以

C

，C

为焦点的椭圆，12可得

a＝8，c＝4；则b2＝a2﹣c2＝48；푥2

푦2∴动圆圆心

M

的轨迹方程：故选：D．+=

1．64

4811故选：B．【点评】本题考查命题的直接的判断，基本不等式以及三11【点评】考查两圆的位置关系及判定方法和椭圆的定义和标准方程，要注意椭圆方程中三个参数的关系：b

＝

﹣

，属中档题．2a2

c210．（5分）（2021秋•兴宁区校级期中）已知数列{a

}满足

a

＝1，a

＝a+3n﹣2（n≥2），则{a

}的通nn1nn﹣1项公式为（）22A．a

=

3푛B．a

=

3푛

+

푛푛푛223푛

‒

푛3푛

+

푛C．a

=D．a

=푛푛22【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用数列的递推关系式，结合数列求和转化求解数列的通项公式即可．【解答】解：由

a

＝a+3n﹣2得

a

﹣an﹣1＝3n﹣2，nn﹣1n2(푛

‒

1)(4

+

3푛

‒

2)

3푛

‒

푛

‒

2∴a

﹣a

＝4+7+…+3n﹣2

==，n12223푛

‒

푛∴a

=，当

n＝1时也符合，푛223푛

‒

푛∴数列的通项公式为a

=．푛2故选：C．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．也可以利用回代验证判断选项求解．11．（5分）（2021秋•谯城区校级期中）在△ABC

中，若

lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC＝lg2，则△ABC

是（）A．等腰三角形C．等边三角形B．直角三角形D．等腰直角三角形【考点】4H：对数的运算性质；GZ：三角形的形状判断．12【点评】考查两圆的位置关系及判定方法和椭圆的定义和标准方程，12【专题】11：计算题；58：解三角形．【分析】由对数的运算性质可得

sinA＝2cosBsinC，利用三角形的内角和

A＝π﹣（B+C）及诱导公式及和差角公式可得

B，C

的关系，从而可判断三角形的形状푠푖푛퐴【解答】解：由

lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC＝lg2可得

lg=

lg2푐표푠퐵푠푖푛퐶∴sinA＝2cosBsinC即

sin（B+C）＝2sinCcosB展开可得，sinBcosC+sinCcosB＝2sinCcosB∴sinBcosC﹣sinCcosB＝0∴sin（B﹣C）＝0．∴B＝C．△ABC

为等腰三角形．选：A．【点评】本题主要考查了对数的运算性质及三角函数的诱导公式、和差角公式的综合应用，属于中档试题．12．（5分）（2015•杭州校级模拟）若关于

x

的不等式

3﹣|x﹣a|＞x2至少有一个负数解，则实数

a

的取值范围是（）13A．

-

3＜a＜

41313134

＜푎＜3B．

-4

＜푎＜

4C．﹣3＜a＜3D．

-【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】由题意可得不等式|x﹣a|＜3﹣x

，且

﹣

＞

至少有一个负数解，在同一个坐标系中画出

y23x20＝3﹣x

和函数

＝|x﹣a|的图象．当函数

＝

﹣

的图象的左支经过点（

，

）时，求得

a

的值；当2yy|x

a|0313【专题】11：计算题；58：解三角形．【分析】由对数的运算性13函数

y＝|x﹣a|的图象的右支和

y＝3﹣x

的图象相切时，求得

a

的值，从而得到要求的

a

的范围．2【解答】解：关于

x

的不等式

3﹣|x﹣a|＞x

，即

﹣

＜

﹣

，且

﹣

＞

．2|x

a|3x23x20在同一个坐标系中画出

y＝3﹣x

和2函数

y＝|x﹣a|的图象，当函数

y＝|x﹣a|的图象的左支经过点（0，3）时，求得

a＝3；当函数

y＝|x﹣a|的图象的右支和

y＝y

=

x

-

a푦

=

3

‒

푥23﹣x2

的图象相切时，方程组{有唯一解，134

，即

x2+x﹣

﹣

＝

有唯一解，故△＝

﹣

（﹣

﹣

）＝

，求得a3014a30a

=-练习134故要求的

a

的范围为（

-故选：D．，3），试卷

测试【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分．把答案填在题中横线上．14函数y＝|x﹣a|的图象的右支和y＝3﹣x的图象相切时142x

-

y

+

1

≥

0푥

‒

2푦

‒

1

≤

0푥

≤

1{13．（5分）（2016•新课标Ⅲ）设

x，y

满足约束条件，则

z＝2x+3y﹣5的最小值为﹣10

．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．2x

-

y

+

1

≥

0푥

‒

2푦

‒

1

≤

0푥

≤

1{【解答】解：由约束条件作出可行域如图，{2x

-

y

+

1

=

0푥

‒

2푦

‒

1

=

0{x

=-

1，即

A（﹣1，﹣1）．푦

=‒

1联立，解得2푧5化目标函数

z＝2x+3y﹣5为y

=-

푥

+

+

．3332푧5由图可知，当直线y

=-

푥

+

+

过

A

时，直线在

y

轴上的截距最小，z

有最小值为

2×（﹣1）+3×333（﹣1）﹣5＝﹣10．故答案为：﹣10．试卷【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．（5分）（2014•江苏）已知函数

f（x）＝x2+mx﹣1，若对于任意

x∈[m，m+1]，都有

f（x）＜0成立，152x-y+1≥0{13．（5分）（2016•新152则实数

m

的取值范围是（

-，0）．2【考点】3V：二次函数的性质与图象．【专题】51：函数的性质及应用．2{f(m)=

2푚

‒

1

0＜【分析】由条件利用二次函数的性质可得范围．，由此求得

m

的2푓(푚

+

1)

=

(푚

+

1)

+

푚(푚

+

1)

‒

1

0＜【解答】解：∵二次函数

f（x）＝x2+mx﹣

的图象开口向上，12对于任意

x∈[m，m+1]，都有

f（x）＜0成立，∴{f(m)=

2푚

‒

1

0＜，2푓(푚

+

1)

=

(푚

+

1)

+

푚(푚

+

1)

‒

1

0＜22＜푚＜2{-即22

，解得

-

2

＜m＜0，푚(2푚

+

3)

0＜2故答案为：（

-

2

，0）．【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．15．（5分）（2012•五华区校级模拟）在△ABC

中，角

A、B、C

所对的边分别为

a、b、c，且满足

asinB＝bcosA，则

2푠푖푛퐵

‒

푐표푠퐶的最大值是

1

．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】利用正弦定理以及两角和的正弦函数求出

A

的值，通过内角和化简所求表达式为

B

的三角函数，然后求出表达式的最大值．휋，【解答】解：由

asinB＝bcosA

以及正弦定理可知

sinAsinB＝sinBcosA，⇒A

=

43휋22휋∴

2푠푖푛퐵

‒

푐표푠퐶

=

2푠푖푛퐵

‒

푐표푠(

4

‒

퐵)

=

2

푠푖푛퐵

+

2

푐표푠퐵

=

sin（B

+

4），∴

2푠푖푛퐵

‒

푐표푠퐶的最大值为：1．162则实数m的取值范围是（-，0）．2【考点】3V：16故答案为：1．【点评】本题考查正弦定理的应用，三角函数中的恒等变换的应用，考查计算能力．→→16．（5分）（2012•天津模拟）已知

M

是△ABC

内的一点，且AB

⋅

퐴퐶

=

2

3，∠BAC＝30°，若△MBC，114△MCA，△MAB

的面积分别为

，푥，푦，则

+

的最小值为

18

．2푥푦【考点】7F：基本不等式及其应用；9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题．14【分析】利用向量的数量积的运算求得

bc

的值，利用三角形的面积公式求得

x+y

的值，进而把

푥+푦1414转化成

2（

푥

+

）×（x+y），利用基本不等式求得

+

的最小值．푦푥푦→→【解答】解：由已知得

AB

⋅

퐴퐶

=

bccos∠BAC＝2

3⇒bc＝4，1112故

S△ABC＝x+y

+

=

bcsinA＝1⇒x+y

=，221414而

푥

+

=

2（

+

）×（x+y）푦푥푦푦4푥푦4푥）＝18，＝2（5

+

푥

+

푦

）≥2（5+2푥

×

푦故答案为：18．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算．要注意灵活利用

y푏＝ax

+

푥的形式．三、解答题：本大题共

6

小题，共

70

分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（2021秋•盐湖区期末）已知命题

p：对任意实数

x

都有

ax2+ax+1＞0恒成立；命题

q：关于x

的方程

x2﹣x+a＝0有实数根；如果

p

与

q

中有且仅有一个为真命题，求实数

a

的取值范围．【考点】2K：命题的真假判断与应用．17故答案为：1．【点评】本题考查正弦定理的应用，三角函数中的恒17【专题】11：计算题；49：综合法；59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】先对两个命题进行化简，转化出等价条件，根据

p

与

q

中有且仅有一个为真命题，两命题一真一假，由此条件求实数

a

的取值范围即可．a＞02{【解答】解：对任意实数

x

都有

ax2+ax+1＞

恒成立⇔a＝

或00⇔0≤

＜4；a△=

푎

‒

4푎

0＜1关于

x

的方程

x

﹣2x+a＝0有实数根⇔1﹣4a≥0⇔a≤；411如果

p

正确，且

q

不正确，有

0≤a＜4，且

a＞

；∴

＜a＜4441如果

q

正确，且

p

不正确，有

a＜0或

a≥4，且

a

≤

4∴a＜0．1所以实数

a

的取值范围为（﹣∞，0）∪（

，4）．41故答案为：（﹣∞，0）∪（

，4）．4【点评】本题考查命题的真假判断与应用，求解本题的关键是得出两命题为真命题的等价条件，本题寻找

P

的等价条件时容易忘记验证二次项系数为

0面错，解题时要注意特殊情况的验证．是中档题．18．（12分）（2021秋•贺州期末）在△ABC

中，角

A，B，C

的对边分别为

a，b，c，且满足

b2+c2﹣bc＝a2．（1）求角

A

的大小；（2）若

a＝3，sinC＝2sinB，求△ABC

的面积．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；49：综合法；58：解三角形．【分析】（1）直接利用余弦定理求解

A

即可．（2）利用正弦定理以及余弦定理求出

b，c，然后求解三角形的面积．18【专题】11：计算题；49：综合法；59：不等式的解法及应用18222푏

+

푐

‒

푎1휋【解答】解：（1）由余弦定理得：cosA

==

，∵0＜A＜π∴A

=

3．2푏푐2휋（2）由

sinC＝2sinB，由正弦定理可得

c＝2b，∵a

=

3，A

=

3，由余弦定理得

a

＝b2+c2﹣2bccosA＝3b22解得b

=

3，푐

=

2

3，13

32

．∴S

△

퐴퐵퐶

=

푏푐푠푖푛퐴

=2【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．19．（12分）（2021秋•兴宁区校级期中）某中学初一年级

500名学生参加某次数学测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了

100名学生，记录他们的分数，将数据分成

7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：练（1）从总体的

500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于

70的概率；（2）已知样本中有一半男生的分数不小于

70，且样本中分数不小于

70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．试卷

测【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5I：概率与统计．【分析】（1）根据频率分布直方图求出样本中分数不小于

70的频率，从而求出样本中分数小于

70的频率，由此能求出从总体的

500名学生中随机抽取一人，其分数小于

70的概率估计值．19222푏+푐‒푎1휋【解答】解：（1）由余弦定理得：19（2）样本中分数不小于

70的学生人数为

60，样本中的男生人数为

60，女生人数为

40，根据分层抽样原理，能求出总体中男生和女生人数的比例．【解答】解：（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于

70的频率为（0.02+0.04）×10＝0.6，所以样本中分数小于

70的频率为

1﹣0.6＝0.4．所以从总体的

500名学生中随机抽取一人，其分数小于

70的概率估计为

0.4；（2）样本中分数不小于

70的学生人数为（0.02+0.04）×10×100＝60；1∴样本中分数不小于

70的男生人数为60

×

2

=

30，∴样本中的男生人数为

30×2＝60，女生人数为

100﹣60＝40，男生和女生人数的比例为

60：40＝3：2；∴根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为

3：2．【点评】本题考查概率、总体中男生和女生人数的比例的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图、分层抽样的性质的合理运用．220．（12分）（2021秋•临渭区期末）已知数列{a

}的前

n

项和S

=

푛

+

2푛．n푛（1）求数列{a

}的通项公式；n1∗（2）令b

=(푛

∈

푁

)，求数列{b

}的前

n

项和

T

．푛nn2푎

‒

1푛【考点】8E：数列的求和．【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）利用

a

＝S

﹣Sn﹣1，验证数列的第一项，即可求解通项公式即可．nn（2）化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可．【解答】解：（1）当

n＝1时，a

＝S

＝3；1120（2）样本中分数不小于70的学生人数为60，样本中的男202

2=

푛

+

2푛

‒

(푛

‒

1)

‒

2(푛

‒

1)

=

2푛

+

1，a

＝3也符合，1当

n≥2时，a

=

푆

‒

푆푛푛푛

‒

1∴数列{a

}的通项公式为

a

＝2n+1．nn111

11)，（2）b

===

(

‒4

푛

푛

+

1푛22푎

‒

1

4푛

+

4푛푛111

11111푛∴T

=

[(1

‒

)

+

(

‒

)

+

⋯

+

(

‒)]

=

(1

‒)

=푛422

3푛

푛

+

14푛

+

14(푛

+

1)【点评】本题考查数列的通项公式的求法，裂项相消法求解数列的和，考查计算能力．21．（12分）（2014•辽宁）如图，△ABC

和△BCD

所在平面互相垂直，且

AB＝BC＝BD＝2．∠ABC＝∠DBC＝120°，E、F、G

分别为

AC、DC、AD

的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面

BCG；（Ⅱ）求三棱锥

D﹣BCG

的体积．练1附：锥体的体积公式

V

=

Sh，其中

S

为底面面积，h

为高．3试卷【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）先证明

AD⊥平面

BGC，利用

EF∥AD，可得

EF⊥平面

BCG；2122当n≥2时，a=푆‒푆푛푛푛‒1∴数列21（Ⅱ）在平面

ABC

内，作

AO⊥CB，交

CB

的延长线于

O，G

到平面

BCD

的距离

h

是

AO

长度的一1半，利用

VD﹣BCG＝VG﹣BCD

=

푆

△

퐷퐶퐵ℎ，即可求三棱锥

D﹣BCG

的体积．3【解答】（Ⅰ）证明：∵AB＝BC＝BD＝2．∠ABC＝∠DBC＝120°，∴△ABC≌△DBC，∴AC＝DC，∵G

为

AD

的中点，∴CG⊥AD．同理

BG⊥AD，∵CG∩BG＝G，∴AD⊥平面

BGC，∵EF∥AD，∴EF⊥平面

BCG；（Ⅱ）解：在平面

ABC

内，作

AO⊥CB，交

CB

的延长线于

O，∵△ABC

和△BCD

所在平面互相垂直，∴AO⊥平面

BCD，∵G

为

AD

的中点，∴G

到平面

BCD

的距离

h

是

AO

长度的一半．在△AOB

中，AO＝ABsin60°

=

3，11

131∴VD﹣BCG＝VG﹣BCD

=

푆ℎ

=

⋅

⋅

퐵퐷

⋅

퐵퐶

⋅

푠푖푛120°

×

=

．△

퐷퐶퐵33

22222（Ⅱ）在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线22202高考【点评】本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，正确转换底面是关键．22．（12分）（2014•上饶校级二模）已知等差数列{a

}，的前

n

项和为

S

，且

a

＝2，S

＝15，数列{b

}nn25n1푛

+

12푛

bn．满足

b

=

，bn+1=12（1）求数列{a

}，{b

}的通项公式；nn2푆

(2

‒

푇

)푛푛，试问

f（n）是否存在最大值，若存在，求（2）记

T

为数列{b

}的前

n

项和，f（n）

=nn푛

+

2出最大值，若不存在请说明理由．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）运用等差数列的通项公式与求和公式，根据条件列方程，求出首项和公差，得到通项an，푏푛푛푛

+

12푛

bn

整理，得到{11将

bn+1bn；=}是首项为

，公比为

的等比数列，应用等比数列的通项即可求出22（2）运用错位相减法求出前

n

项和

T

，化简

f（n），运用相邻两项的差

f（n+1）﹣f（n），判断

fn（n）的增减性，从而判断

f（n）是否存在最大值．23202高考【点评】本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，正23【解答】解：（1）设等差数列{a

}首项为

a

，公差为

d，n1a

+

푑

=

2则{1解得

a

＝1，d＝1，5푎

+

10푑

=

1511∴a

＝n，n푏푛

+

1

푏푛又=，푛

+

1

2푛푏11푛即{

푛

}是首项为

，公比为

的等比数列，22푏∴

푛푏1(1)푛

‒

1，푛=1

2푛∴b

=

푛；푛2123푛（2）由（1）得：T

=

+++

⋯

+

푛，푛222

23212123푛

‒

1푛푇푛

=+1++

⋯

++，2223242푛2푛

+

11111‒푛相减，得

푇

=

+++

⋯

+푛2222232푛

2푛

+

1121(1

‒

)푛푛，2=‒12푛

+

11

‒2푛

+

21，又

S

=

n（n+1），n2∴T

=

2

‒푛2푛2푆

(2

‒

푇

)푛2

+

푛푛푛=∴f(n)

=，푛

+

22푛22(푛

+

1)

+

푛

+

1

푛

+

푛

(푛

+

1)(2

‒

푛)，∴f(n

+

1)

-

f(n)

=‒=2푛

+

12푛2푛

+

1当

n＞3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，数列{f（n）}是递减数列，24【解答】解：（1）设等差数列{a}首项为a，公差为d24332又f(1)

=

1，f(2)

=

，푓(3)

=23∴f（n）存在最大值，且为

．2【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的通项和前

n

项和的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，以及应用相邻两项的差来判断数列的增减，应掌握，同时考查基本的运算能力．2533又f(1)=1，f(2)=，푓(3)=23∴f252021-2021

学年广西南宁三中高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题

5

分，共

60

分．在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）不等式（x+1）（x﹣2）＞0的解集是（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|x＜1}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|x＜﹣1或

x＞2}2．（5分）“a＝3”是“直线

ax+2y+2a＝0和直线

3x+（a﹣1）y﹣a+7＝0平行”的（）A．充分而不必要条件C．充要条件B．必要而不充分条件D．即不充分也不必要条件2；

命

题

q：

∀x∈R，

x2﹣

x+1＞

0．

则

下

列

结

论

正

确

的

是3．（

5分

）

已

知

命

题

p：

∃x

∈R，

sinx

=00（）A．命题是

p∨q

假命题B．命题是

p∧q

真命题C．命题是（¬p）∨（¬q）真命题D．命题是（¬p）∧（¬q）真命题222푠푖푛

퐵

‒

푠푖푛

퐴푠푖푛2퐴4．（5分）在△ABC

中，内角

A，B，C

所对的边分别是

a，b，c，若

3a＝2b，则的值为（）191372A．

-B．C．1D．5．（5分）△ABC

的内角

A、B、C

的对边分别为

a、b、c．若

a、b、c

成等比数列且

c＝2a，则

cosB＝（）341422D．

3A．B．C．

412021-2021学年广西南宁三中高二（上）期中数学试卷A266．（5分）设

S

是等差数列{a

}的前

n

项和，已知

a

＝3，a

＝11，则

S

等于（）nn267A．13B．35C．49D．637．（5分）在由正数组成的等比数列{a

}中，若

a

a

a

＝3，则

a

a

…a

a

的值为（）n4

5

61

28

9A．3B．9C．27D．818．（5分）下列不等式正确的是（）11A．x

+

푥

≥

2B．|푥

+

|

≥

2푥112C．x

+

＞푥(푥＞0)D．sinx

+≥

24푠푖푛푥9．（5分）已知两圆

C

：（x﹣4）2+y2＝169，C

：（x+4）2+y2＝9，动圆在圆

C

内部且和圆

C

相内1211切，和圆

C

相外切，则动圆圆心

M

的轨迹方程为（）2푥2

푦2푥2

푦2A．C．‒=

1=

1B．D．+=

1=

164

4848

64푥2

푦2푥2

푦2‒+48

6464

4810．（5分）已知数列{a

}满足

a

＝1，a

＝a+3n﹣2（n≥2），则{a

}的通项公式为（）n1nn﹣1n22A．a

=

3푛B．a

=

3푛

+

푛푛푛223푛

‒

푛3푛

+

푛C．a

=D．a

=푛푛2211．（5分）在△ABC

中，若

lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC＝lg2，则△ABC

是（）A．等腰三角形C．等边三角形B．直角三角形D．等腰直角三角形12．（5分）若关于

x

的不等式

3﹣|x﹣a|＞x2至少有一个负数解，则实数

a

的取值范围是（）13A．

-

3＜a＜

41313134

＜푎＜3B．

-4

＜푎＜

4C．﹣3＜a＜3D．

-26．（5分）设S是等差数列{a}的前n项和，已知27二、填空题：本大题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分．把答案填在题中横线上．2x

-

y

+

1

≥

0푥

‒

2푦

‒

1

≤

0푥

≤

1{13．（5分）设

x，y

满足约束条件，则

z＝2x+3y﹣5的最小值为

．14．（5分）已知函数

f（x）＝x2+mx﹣1，若对于任意

x∈[m，m+1]，都有

f（x）＜0成立，则实数

m

的取值范围是

．15．（5分）在△ABC

中，角

A、B、C

所对的边分别为

a、b、c，且满足

asinB＝bcosA，则

2푠푖푛퐵

‒

푐표푠퐶的最大值是

．→→16．（5分）已知

M

是△ABC

内的一点，且AB

⋅

퐴퐶

=

2

3，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA，△MAB114的面积分别为

，푥，푦，则

+

的最小值为

．2푥푦三、解答题：本大题共

6

小题，共

70

分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知命题

p：对任意实数

x

都有

ax2+ax+1＞0恒成立；命题

q：关于

x

的方程

x2﹣x+a＝0有实数根；如果

p

与

q

中有且仅有一个为真命题，求实数

a

的取值范围．18．（12分）在△ABC

中，角

A，B，C

的对边分别为

a，b，c，且满足

b2+c2﹣bc＝a2．（1）求角

A

的大小；（2）若

a＝3，sinC＝2sinB，求△ABC

的面积．19．（12分）某中学初一年级

500名学生参加某次数学测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了

100名学生，记录他们的分数，将数据分成

7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的

500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于

70的概率；（2）已知样本中有一半男生的分数不小于

70，且样本中分数不小于

70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分28202220．（12分）已知数列{a

}的前

n

项和S

=

푛

+

2푛．n푛（1）求数列{a

}的通项公式；n1∗（2）令b

=(푛

∈

푁

)，求数列{b

}的前

n

项和

T

．푛nn2푎

‒

1푛21．（12分）如图，△ABC

和△BCD

所在平面互相垂直，且

AB＝BC＝BD＝2．∠ABC＝∠DBC＝120°，E、F、G

分别为

AC、DC、AD

的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面

BCG；（Ⅱ）求三棱锥

D﹣BCG

的体积．1附：锥体的体积公式

V

=

Sh，其中

S

为底面面积，h

为高．3试卷122．（12分）已知等差数列{a

}，的前

n

项和为

S

，且

a

＝2，S

＝15，数列{b

}满足

b

=

，bn+1=nn25n124202220．（12分）已知数列{a}的前n项和S29푛

+

12푛

bn．（1）求数列{a

}，{b

}的通项公式；nn2푆

(2

‒

푇

)푛푛，试问

f（n）是否存在最大值，若存在，求（2）记

T

为数列{b

}的前

n

项和，f（n）

=nn푛

+

2出最大值，若不存在请说明理由．5푛+1（1）求数列{a}，{b}的通项公式；nn2푆302021-2021

学年广西南宁三中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题

5

分，共

60

分．在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2021秋•兴宁区校级期中）不等式（x+1）（x﹣2）＞0的解集是（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|x＜1}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|x＜﹣1或

x＞2}【考点】73：一元二次不等式及其应用．【专题】35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】解能够因式分解的一元二次不等式，先把每个因式的最高次系数化成正数，再写等价关系，再求解即可．【解答】解：∵（x+1）（x﹣2）＞0，{x

+

1＞0

{x

+

1＜0∴或，푥

‒

2

0＜푥

‒

2

0＞解得：x＞2或

x＜﹣1，故选：D．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，要注意负化正．属简单题．2．（5分）（2021秋•兴宁区校级期中）“a＝3”是“直线

ax+2y+2a＝0和直线

3x+（a﹣1）y﹣a+7＝0平行”的（）A．充分而不必要条件C．充要条件B．必要而不充分条件D．即不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．62021-2021学年广西南宁三中高二（上）期中数学试卷一31【分析】若“a＝3”成立，判断出两直线平行；反之，当“两直线平行”成立时，得到

a＝3或

a＝﹣2；利用充要条件的有关定义得到结论．【解答】解：若“a＝3”成立，则两直线的方程分别是

3x+2y+6＝0与

3x+2y+4＝0，两直线平行；푎2反之，当“直线

ax+2y+2a＝0与直线

3x+（a﹣1）y﹣a+7＝0平行”成立时，有

=，且

2a≠﹣3푎

‒

1a+7，所以

a＝3或

a＝﹣2；所以“a＝3”是“直线

ax﹣2y﹣1＝0与直线

6x﹣4y+c＝0平行”的充分不必要条件，故选：A．【点评】题考查两直线平行的条件和性质，充分条件、必要条件的定义和判断方法．2；命题

q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0．则下3．（5分）（2015•江西校级二模）已知命题

p：∃x

∈R，sinx

=00列结论正确的是（）A．命题是

p∨q

假命题B．命题是

p∧q

真命题C．命题是（¬p）∨（¬q）真命题D．命题是（¬p）∧（¬q）真命题【考点】2E：复合命题及其真假．【专题】5L：简易逻辑．【分析】首先判断命题

p

和

q

的真假，再利用真值表对照各选项选择．命题

p

的真假有正弦函数的有界性判断，命题

q

的真假结合二次函数的图象只需看△．【解答】解：命题

p：因为﹣1≤