常微分方程初值问题答案

1.(10分）对常微分方程初值问题取步长分别用改进的Euler法和标准的四阶Runge-Kutta法作数值计算,写出公式和简要推导过程，并把结果填入表内。解：（1）改进的Euler方法：代入公式得（2）标准的四阶Runge-Kutta方法：，即…2分即……（4分）改进的Euler法经典四阶R-K法准确值0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.00.90500000.81902500.74121760.67080200.60707580.54940350.49721020.44997530.40722760.36854100.90483750.81873090.74081820.67032030.60653090.54881200.49658560.44932930.40657000.36787980.90483740.81873080.74081820.67032000.60653070.54881160.49658530.44932900.40656970.36787942.对常微分方程初值问题取步长分别用改进的Euler法和标准的四阶Runge-Kutta法作数值计算,写出公式和推导过程，并把结果填入表内。解：（1）改进的Euler方法：代入公式得……………….(2分)，即（2）标准的四阶Runge-Kutta方法：即……(4分)经典四阶R-K法准确值改进的Euler法0.10.9512500.9048770.8607640.8188020.7788850.7409140.7047950.6704360.6377520.6066620.9512190.9048180.8606970.8186950.7787580.7407700.7046340.6702610.6375650.6064640.9512290.20.30.40.50.60.70.80.91.00.9048370.8607080.8187310.7788010.7408180.7046880.6703200.6376280.606531……...(10分)《数值分析》复习题一、填空题1.绝对误差限=末位的一半+单位，相对误差限=绝对误差限/原值*100%1.度量一根杆子长250厘米，则其绝对误差限为2.测量一支铅笔长是16cm，那么测量的绝对误差限是3.称量一件商品的质量为50千克，则其绝对误差限为2.利用平方差的方法，相对误差限是。，测量的相对误差限是，相对误差限是。。4.在数值计算中，当是较大的正数时，计算应变成_____________5.在数值计算中，计算6.在数值计算中，计算应变成来计算。应变为来计算。3.f的位数与f（x）的最高次相同的话，就是最高位的常数，大于的话为07.若，则______________，。8.函数关于三个节点的拉格朗日二次插值多项式为3.f(x)=f(x0)[(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)(x0-x2)]，4∑f（k/n）Pk(x)=x9.当时，。10.代数式______________,__________________.11.已知方程组，那么收敛的迭代格式为：，收敛的迭代格式为：收敛理由是严格对角占优矩阵,12.已知线性方程组，那么收敛的Jacobi迭代格式：12.化为线性方程2.调整排序收敛的G-S迭代格式：。收敛理由是严格对角占优矩阵,13.求积公式至少有n次代数精度的充要条件是________它是插值型____________;当n是偶数时，牛顿-柯特斯公式至少有___n+1__P103_____次代数精度；高斯求积公式至少有_____2n+1_P116____次代数精度。14.设，则矩阵的特征值的界为（2.2）与7的和、差为界，矩阵的特征值的界为界的倒数。max（1<=i<=n）∑(j(1,n))|aij|等价于每一列中最大值的和max（1<=j<=n）∑(i(1,n))|aij|等价于每一行中最大值的和作业第五章12P11615.已知，，那么________,________,________,________,________,________,其中相等的范数有_____________________________.二、判断题1.如果插值节点互不相同，则满足插值条件的次插值多项式是存在且唯一。（x）2.迭代改善法能够解决一切方程组的病态问题。（x）3.区间上的三次样条插值函数在上具有直到三阶的连续函数。（）4.已知，，那么。（1）5.求解的近似值，我们能用函数逼近的插值法，解方程的二分法以及迭代法中的牛顿法来完成。（1）6.插值法是函数逼近、数值微分和微分方程数值解的基础。7.。（）8.在使用松弛法（SOR）解线性代数方程组（1）时，若松弛因子满足，则迭代法一定不收敛。（1）9.求解单变量非线性方程，弦截法具有1.618阶收敛，抛物线法具有1.840阶收敛，牛顿法具有2（1）阶收敛。10.常微分方程初值问题数值解法的理论根据是函数的泰勒展开。（1）11.解单变量非线性方程，牛顿法在单根附近具有2阶收敛，若再用Steffensen迭代法，则为3阶（1）收敛。三、计算解答题和证明题1、已知函数表如下：0.00.20.40.60.81.00001.22141.49181.82212.2255构造差分表，用三点牛顿插值多项式，求和的近似值。1.列出牛顿的插值表2.Px=f（x0）+……P322、用适当的二次插值多项式求和，并估计误差，函数表如下：1.11.31.51.71.90.09530.26240.40550.53060.64193、试用最小二乘法求一次多项式拟合以上数据，并求出均方误差，某实验数据如下：P75（1）1345661.23.5（2）1234502254（3）（4）1345661.23.5-27-1512213-14、二分法求根作业第七章1(1)方程）;在[1,2]附近的根，使绝对误差不超过0.01（绝对误差估计式：在[1,2]附近的根，使绝对误差不超过0.01;(2)方程(3)方程,在[-2,-1]附近的根，使绝对误差不超过0.01。第六章5、用适当的方法解方程组：(1);(2);(3).作业第四章146、写出复合梯形公式、复合辛普生公式、复合柯特斯公式及龙贝格公式之间的关系，并用龙贝格方法计算积分，误差限不超过。7、写出复化梯形公式、复化辛普生公式、复化柯特斯公式及龙贝格公式关系式，并计算积分，已知，，，8、设方程组，写出迭代法和迭代法的迭代格式，并证明它们是收敛的。9、对常微分方程初值问题（1）（2）（3）取步长较。分别用Euler法和标准的四阶Runge-Kutta法作数值计算，列表写出结果，并与准确值比10、求，至少用三种方法求值，并简要叙述求解过程。11、设是正交矩阵，证明。12、（1）当（2）时，；；（3）如果是正交阵，则13、证明：适当选取待定参数,求积公式。的代数精度可达到。14、试证明：适当选取待定参数,，，求积公式的代数精度可达到。15、证明Chebyshev多项式满足微分方程。16、已知方阵，（1）证明：不能分解成一个单位下三角阵和一个上三角阵的乘积；（2）试通过交换的行，进行二、课本习题分解。1．每章的“复习与思考题”2.P48,2,4,8,16;P94,7,10,13,16,19;P135,1,14;P176,7,8,9,10,13,19,20;P209,1,2;P238,1,3,7,12;P275,1,2;P315,1,4,10.1.(10分）对常微分方程初值问题取步长分别用改进的Euler法和标准的四阶Runge-Kutta法作数值计算,写出公式和简要推导过程，并把结果填入表内。解：（1）改进的Euler方法：代入公式得（2）标准的四阶Runge-Kutta方法：，即…2分即……（4分）改进的Euler法经典四阶R-K法准确值0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.00.90500000.81902500.74121760.67080200.60707580.54940350.49721020.44997530.40722760.36854100.90483750.81873090.74081820.67032030.60653090.54881200.49658560.44932930.40657000.36787980.90483740.81873080.74081820.67032000.60653070.54881160.49658530.44932900.40656970.36787942.对常微分方程初值问题取步长分别