圆的常见考点展示

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薛金钰

圆是初中数学中最重要的内容之一，该部分知识大致可分为与圆有关的性质、直线与圆的位置关系及与圆有关的计算三部分，中考中一般以填空、选择、计算和证明的形式出现，难度中等.现举例介绍其常见考点，希望能对同学们有所帮助.

考点1：垂径定理

例1（2021·四川·自贡）如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE=3，OB=5，则CD的长度为（）.

A.9.6

B.4[5]

C.5[3]

D.10

分析：由垂径定理可知AE=CE，由AO=BO，OE=3，可求出BC和AC，再运用面积法求出CF，即可由垂径定理得到CD的长度.

解：如图1，连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.∵OE⊥AC，∴AE=EC.∵AO=BO，∴BC=2OE=6.∵AB=2OB=10，∴AC=8.∵CD⊥AB，∴CD=2CF.∵S△ABC=[12]AC×BC=[12]AB×CF，即6×8=10CF，∴CF=4.8，∴CD=9.6，应选A.

点评：这里两次运用了垂径定理，给解题带来了便利.面积法是解题的有力武器，利用两次算同一個图形的面积得到等量关系，更是一个很有用的解题策略，同学们要学会灵活应用.

考点2：弧、弦、圆心角的关系以及圆周角定理

例2（2021·XX·连云港）如图2，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，∠AOB=30°，∠OBC=40°，则∠OAC=.

分析：如图2，延长AO，BO交⊙O于点D，E，连接OC，CD.从弧、弦、圆心角的关系来考虑：由∠AOB=30°可得弧DE的度数为30°.由∠OBC=40°，可得弧CE的度数为80°，进而得到弧CD的度数为50°，即可得到∠OAC的度数.从圆周角定理来考虑：由∠AOB=30°，∠OBC=40°，可得∠BOC=100°，∠COD=50°，进而得到∠OAC的度数.从圆内接四边形的性质来考虑：连接AB，由∠AOB=30°，∠OBC=40°，可得到∠ABC=115°，∠CDA=75°，进而得到∠OAC的度数.

解：如图2，延长AO，BO交⊙O于点D，E，连接OC，CD，可得∠OAC=25°.

点评：此题的解法还有好多，通过不同的解法可以系统复习圆的概念及其基本性质，同学们不妨试一试，并从中选择出最简便的方法，与同伴交流.

考点3：直线与圆的位置关系

例3（2021·浙江·嘉兴）平面内有⊙O和点A，B，若⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，OB=2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（）.

A.相离

B.相交

C.相切

D.相交或相切

分析：由⊙O的半径为2cm和OB=2cm，可知直线AB与⊙O至少有一个公共点，因此它们之间的位置关系为相交或相切.

解：选D.

点评：此题虽然是直线与圆的位置关系（形）的判定，却是通过对比点A，B与圆心O的距离（数）的大小来做出判定的.注意不要忽略相交的状况.

考点4：圆的切线的判定

例4（2021·四川·遂宁）如图3，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD=CD，∠A=30°.

求证：直线AC是⊙O的切线.

分析：因点C在⊙O上，连接CO，只要证明∠ACO=90°即可.

证明：连接OC.∵AD=CD，∠A=30°，∴∠ACD=30°，∴∠CDB=60°.∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC=60°，∴∠ACO=∠ACD+∠OCD=90°.∵OC是半径，∴直线AC是⊙O的切线.

点评：证明直线是圆的切线时，若已知直线与圆有公共点，寻常连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，简述为：连半径，证垂直;若未知直线与圆的交点，寻常过圆心作直线的垂线段，证明这条垂线段的长等于圆的半径，简述为：作垂线，证相等.

考点5：切线的性质与弧长的计算

例5（2021·浙江·丽水）如图4，在△ABC中，AC=BC，以BC为直径的半圆O交AB于点D，过点D作半圆的切线，交AC于点E.

（1）求证：∠ACB=2∠ADE;

（2）若DE=3，AE=[3]，求[CD]的长.

分析：（1）由BC为直径，AC=BC，可知∠ACB=2∠OCD，因此只要证明∠ADE=∠OCD即可;（2）由已知条件证明△ABC是等边三角形，求出圆的半径和∠COD的度数即可.

解：（1）连接OD，CD.∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°.

∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=90°，∴∠ADE+∠CDE=90°，∴∠ADE=∠ODC.

∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵AC=BC，∴∠ACB=2∠OCD，∴∠ACB=2∠ADE.

（2）由（1）可知，∠AED=90°.∵DE=3，AE=[3]，∴AD=2[3]，∴∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∠B=60°，∴∠COD=120°，OC=2[3