高考数学尖子生辅导专题(文理通用)之专题06 圆锥曲线中的轨迹问题-2020高考数学尖子生辅导专题

专题六圆锥曲线中的轨迹问题9专题六圆锥曲线中的轨迹问题轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的，这个轨迹条件一旦用动点坐标的数学表达式表示出来，轨迹方程就产生了．根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是高考的常考点：一方面，求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面，求轨迹方程培养了学生数形结合的思想、函数与方程的思想以及化归与转化的思想．模块1整理方法提升能力曲线轨迹方程的探求有两种题型，第一种题型是曲线类型已知，该题型常用的方法是找条件或用待定系数法，难度不大；第二种题型是曲线类型未知，该题型常用的方法有以下种：1．定义法：如果所给的几何条件能够符合一些常见定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义），则可从定义出发直接写出轨迹方程，这种方法叫做定义法．2．直接法：如果动点运动的条件有明显的等量关系，或者是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含未知数、的等式，从而得到轨迹方程，这种方法叫做直接法．3．参数法：求解轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使、之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程，这种方法叫做参数法．一般来说，引进了个未知数与参数，要得到未知数与之间的关系，需要找个方程．常见的消参手法是：加、减、乘、除、平方、平方相加、平方相减以及整体消参等．相关点代入法、交轨法是参数法的一种特殊情况．例1已知点，圆：，过点的动直线与圆交于、两点，线段的中点为，为坐标原点．（1）求的轨迹方程；（2）当时，求的方程及△的面积．【解析】（1）法1（定义法）：圆心，由垂径定理可知，于是点在以为直径的圆上，所以的轨迹方程为，即．法2（直接法）：设的坐标为，由可得．，，于是，即．法3（参数法）：当的斜率不存在时，其直线方程为，于是，所以点的坐标为．当的斜率存在时，设直线方程为，．联立消去可得，于是，将代入，消去参数，可得，整理可得（）．综上所述，的轨迹方程为．（2）法1：由可知点在以原点为圆心，为半径的圆上．联立，解得，于是点的坐标为，于是直线的方程为，即．△的面积为．法2：由可知点在的垂直平分线上，而的垂直平分线过圆心，所以直线的斜率为，直线方程为，即．因为，点到直线的距离为，所以，于是△的面积为．【点评】解析几何中两直线垂直的常见转化有以下4种：点在圆上，向量数量积为0，斜率乘积为，勾股定理．用“点在圆上”的角度能从定义法出发直接得到轨迹方程；用“向量数量积为0”的角度能避开分类讨论．求轨迹方程时，先考虑定义法，看是否满足某种曲线的定义，再考虑直接法，看能否得到一个几何条件，进而将该几何条件代数化再化简，最后再考虑参数法，引进参数解决问题．例2在直角坐标系中，曲线上的点均在圆：外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值．（1）求曲线的方程；（2）设（）为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点、和、．证明：当在直线上运动时，四点、、、的纵坐标之积为定值．【解析】（1）法1：由题设知，曲线上任意一点到圆的圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以方程为．法2：设的坐标为，由已知得，且点位于直线的右侧，于是，所以，化简得曲线的方程为．【证明】（2）当点在直线上运动时，设的坐标为，又，则过且与圆相切的直线的斜率存在且不为，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为，即．于是，整理得…①．设过所作的两条切线、的斜率分别为、，则、是方程①的两个实根，所以…②．由可得…③．设四点、、、的纵坐标分别为、、、，则、是方程③的两个实根，所以，同理可得．于是．所以当在直线上运动时，四点、、、的纵坐标之积为定值．【点评】定义法和直接法非常相似，其出发点都是找几何条件，其区别在于对所找的几何条件的理解．如果能发现所找的几何条件是满足某种曲线的定义的，则可以根据曲线的定义马上得到所求的轨迹方程，这就是定义法．如果所找的几何条件究竟满足哪种定义不太明显，则可以利用直接法，把所找的几何条件代数化，再把代数化后的式子化简到最简．第（2）问的定值证明需要引进参数，而引进多少个参数是因题而异的，一般是从点的坐标和直线的方程这两个角度引进参数．本题总共引进了六个参数：、、、、、，其准则是所引进的参数都能帮助解题，且最终都能将其消去，这是解析几何中“设而不求”的重要思想方法．例3已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线、分别交于、两点，交的准线于、两点．（1）若在线段上，是的中点，证明：∥；（2）若△的面积是△的面积的两倍，求中点的轨迹方程．【证明】（1）焦点坐标为．不妨设直线：，直线：，则，，，，于是．当线段垂直于轴时，不妨设，则有，，，于是，，所以∥．当线段不垂直于轴时，直线的斜率为，方程为，即，因为在线段上，所以．于是，，所以∥．【解析】（2）△的面积为．直线与轴的交点为，所以△的面积为．由，可得，于是（舍去）或…①．设中点为，则…②，…③．③式平方，可得，将①②代入，可得．【点评】本题采用了参数法求中点的轨迹方程，其实质是引进了2个未知数、与2个参数、，此时我们需要找3个方程：，，，通过这3个方程消去2个参数，从而得到与之间的关系．一般来说，引进了个未知数与参数，要得到未知数与之间的关系，一般需要找个方程．找到方程后，通过加、减、乘、除、平方、平方相加、平方相减以及整体消参等手法进行消参．这是参数法的关键所在．抛物线焦点弦有两个常用结论：设是过抛物线（）焦点的弦，若，，则有（1），；（2）以弦为直径的圆与准线相切．模块2练习巩固整合提升练习1：已知圆：，圆：，动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）是与圆、圆都相切的一条直线，与曲线交于、两点，当圆的半径最长时，求．【解析】（1）设动圆的半径为，则，，两式相加，可得，所以圆心是以、为焦点，的椭圆（左顶点除外）．，，，所以的方程为（）．（2）由（1）可知，，所以，于是，当且仅当点为时，等号成立，所以当圆的半径最长时，圆的方程为．①当的斜率不存在的时候，此时显然就是轴，．②当的斜率存在的时候，显然的斜率不为，设与轴交于点，则有，即，由此解得，且，于是直线方程为．联立，消去，可得．由弦长公式，有．练习2：已知椭圆：，为椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线、，其中、为切点．（1）当点为定点时，求直线的方程；（2）若、相互垂直，求点的轨迹方程．【解析】（1）设、，则切线方程为，点在切线上，所以…①．同理，切线方程为，点在切线上，所以…②．由①②可得直线的方程为，即．（2）①若直线、的斜率都存在，不妨设其斜率分别为、，则．设过点的直线方程为．由消去可得．因为直线与椭圆相切，所以，即．由、与椭圆相切可知、是该方程的两个实数根，所以，即．②若直线、中有一条斜率不存在，则另一条斜率为，此时点的坐标为，满足．综上所述，点的轨迹方程为．【点评】给定圆锥曲线和点，用、、、分别替换、、、，得到直线，我们称点和直线为圆锥曲线的一对极点和极线．其结论如下：当在圆锥曲线上的时候，其极线是曲线在点处的切线；当在圆锥曲线外的时候，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；当在圆锥曲线内的时候，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹．特别地：椭圆（），与点对应的极线方程为．双曲线（，），与点对应的极线方程为．抛物线（），与点对应的极线方程为．在椭圆（）中，点对应的极线方程为，这就是椭圆的右准线．本题采用整体法进行消参方法，这是消参的一种方法．第（2）小问也可以引进、、，共2个未知数、和4个参数：、、、，利用以下5个方程进行消参：、、，、．练习3：如图，抛物线：和：（）．点在抛物线上，过作的切线，切点分别为、（为原点时，、重合于）．当时，切线的斜率为．（1）求的值；（2）当/r