空间面板随机前沿模型及技术效率估计

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空间面板随机前沿模型及技术效率估计林佳显,龙志和,林光平112(1.华南理工大学经济与贸易学院,广东广州;摘要:随机前沿模型是测算技术效率的重要方法之一。通常,模型假设生产单元之间彼此独立,然而在技术扩散过程中,空间外部性起着重要作用。文章结合随机前沿模型理论与空间经济计量分析方法,构建空间面板随机前沿模型,同时考虑空间滞后因变量和空间误差自相关,并逐步放松模型设定条件,首先考虑技术效率时变,接着引入技术无效率项的异方差性,之后考虑观察数据中潜在的截面异质性,分别以引入随机截面特有项和设定随机系数的形式来表示截面中图分类号:F064.1文献标识码:A文章编号:100022154(2010)0520071208一、引言随机前沿模型(SFM)的理论最初Aigner、Lovell和Schmidt(ALS)(1977)[2][1],Meeusen和VandenBroeck(MB)(1977)提出,并很快成为计量经济学中一个引人注目的分支,被广泛应用于效率测算和生[3]产率分析,尤其是在Jondrow等(JLMS)(1982)指出各个生产单元的技术无效率可以通过条件分布[u|ivi-ui]的期望E[ui|vi-ui]或模Mode[ui|vi-ui]来估算以后。随机前沿分析(SFA)始于对生产最优化的研究,经过30多年的发展,其在理论研究与实践应用方面都得到了深入的发展,已被尝试性地应用于生产经济学以外的领域,如劳动经济学、公共经济学以及金融经济学等。SFM假定,生产单位于各种组织、管理及制度等非价格性因素导致生产过程中效率的损耗,而达不到最佳的前沿技术水平。SFM的基本模型表述如下:Yi=f(Xi;β)exp(vi-ui)[4]i=1,2,?,N(1)TEi=exp(-ui)(2)其中:Yi代表第i个生产单位的产出;Xi代表第i个生产单位的k×1维投入向量;f(Xi;β)exp(vi)是随机生产前沿;β为待估计的参数向量;TEi=exp(-ui)表示技术效率;vi是随机干扰项。通常,SFM假设vi、ui都是独立同分布的,然而,空间和区域经济学的研究都指出,地理接近性是产生外部性和一系列相邻效应的关键因素。在技术扩散过程中,空间外部性起着重要作用,生产单元彼此独立的假设存在着很大漏洞。胡晶、魏传华和吴喜之(2007)提到,“任何一个地区的经济都不可能独立存在,它收稿日期:2009-03-08(08JA)基金项目:教育部人文社会科学研究规划基金项目“面板数据随机前沿模型的空间计量经济分析”作者简介:林佳显(1983-),男,广东陆丰人,华南理工大学经济与贸易学院博士研究生,主要从事随机前沿分析和空间经济计量的研究;龙志和(1954-),男,湖南安化人,华南理工大学经济与贸易学院教授,博士生导师,主要从事空间经济计量理论和实证的研究;林光平(1948-),男,美籍华人,美国波特兰州立大学经济系教授,主要从事空间经济计量学、数理经济学、计算经济学等研究。总是与其他经济区域间存在着各种各样的联系。当某外生干扰对一个地区的经济造成冲击时,其产生的影[5]响往往会向外扩散,波及临近地区甚至更远的区域。”如果生产单元间存在空间相互作用,SFM中没引入空间计量分析可能会导致模型设定偏误。因此,本研究认为有必要把空间效应引入SFM分析框架中,将一般SFM扩展到空间SFM,避免于忽略空间效应所产生的模型估计偏误等问题,从而能更加客观地评估生产单元的效率,且进一步有助于开展以效率测算为基础的后续相关研究(如全要素生产率增长的研究等)。当前文献上,SFM中引入空间因素的计量分析鲜见。Druska和Horrace(2004)提出空间误差自相关固定效应面板模型的GMM估计,随之将其引入SFA框架中,并对印度尼西亚的米业农场进行实证分析,结果发现空间相关性确实影响农场效率的估计和排名[6];Igliori(2005)测算巴西亚马逊区域各市农业和牧[7]业的技术效率,并将空间计量分析引入技术效率外生决定因素的研究中的重要性[8];Schmidt等(2009)分析巴西中西部地区370个市区农场的生产率,将潜在的空间结构引入SFM的单边误差项中,研究结果支持空间效应;胡晶、魏传华和吴喜之(2007)构建了基于横截面数据的空间误差自相关SFM,并采用极大似然方法对模型参数进行估计。综合目前国内外关于SFM空间计量分析的研究情况,尚存在以下不足:(1)已有的空间SFM仅考虑空间误差自相关,缺乏对空间滞后模型的研究;(2)已有的面板模型仅采用GMM估计方法研究固定效应的情形,未见涉及随机效应模型和极大似然法(ML)的研究;(3)当面板的时间维度T较大时,技术效率非时变(time2invariant)的假设显得与实际不符;(4)当技术无效率项存在异方差性时,其同方差的设定会使模型参数估计有偏,导致技术效率测算不可靠;(5)如果观察数据中存在非时变的潜在截面异质性(latentcrossunitheterogeneity)与技术效率不相关,忽略截面异质性的模型设定就会将这部分异质引入技术无效率项的估计值中,此得出的技术效率测算有偏。有鉴于此,作者在已有研究的基础上,进一步将空间效应引入SFM分析框架中,完善空间面板SFM的理论基础,同时考虑空间滞后因变量和空间误差自相关,并逐步放松模型设定条件,建立若干不同形式的空间面板SFM。首先考虑技术效率时变,接着引入技术无效率项的异方差性,之后考虑观察数据中潜在的截面异质性,分别以引入随机截面特有项(randomfirmspecificterm)和设定随机系数的形式来表示截面异质性。针对各种模型设定形式提出相应的参数估计方法,最后给出各种模型相应技术效率的估计。二、空间面板随机前沿模型及其估计(一)基本模型及其ML估计在SFM中,与横截面数据相比较,面板数据更能提供生产单元技术效率可靠的估算。Pitt和Lee(1981)[9],Schmidt和Sickles(1984)[10]将横截面SFM扩展到面板SFM。早期的面板模型都基于技术效率非时变的假设,当面板的时间维度T较大时,这一假设显得与实际不符。随后,Cornwell、Schmidt和Sickles(1990),Kumbhakar(1990),Lee和Schmidt(1993),Battese和Coelli(1995),Lee(2006),Ahn、Lee和这些有关技术效率时变的假设都遵从一个严格的函数结构,如Lee和Schmidt(1993)建议uit=δ(t)ui,其δ中δ(t)=∑虚拟变量;Kumbhakar(1990)提出δ(t)tdt,dt是tδ=[1+exp(ttese和1t+δ2t)];Ba2-1Coelli(1995)建议δ(t)=exp[-δ(t-T)]。胡晶、魏传华和吴喜之(2007)构建了基于横截面数据的空间误差自相关SFM,并采用极大似然方法对模型参数进行估计。现在本研究提出以下基于面板数据的空间SFM,同时考虑空间滞后因变量和空间误差自相关,并放松了技术效率非时变的约束,且不赋予时变技术效率一定的函数结构。为了便于描述,f(x,β)采取对数线性Cobb-Douglas函数形式:yt=α+xtβ+λW1yt+vt-utvt=ρW2vt+ηt(3)(4)其中:yt=[y1t,y2t,?,yNt]′表示N个生产单位在第t时段N×1维的产出(取对数)向量,xt是N个生产单位在第t时段K×1维投入(取对数)向量组成的N×K维矩阵,t=1,2,?,T;β为待估计的K×1维参数向量;α=α×[1,1,?,1]′是N×1维的截距项向量;ut=[u1t,u2t,?,uNt]′≥0是N×1维的技术无效率项向量,代表生产单位在第t时段的技术无效率程度;vt=[v1t,v2t,?,vNt]′是N×1维的双边误差项向量,代表不可控的经济系统外部影响因素和数据测度误差等;ηt=[η是N×1维的随机干扰项向量;W1、W1t,η2t,?,ηNt]′2是空间权重矩阵,表示不同生产单位之间的空间相关性,W1yt为空间滞后因变量,W2vt为空间滞后误差项;λ是待估计的空间自回归系数;ρ是待估计的空间误差自相关系数。为了进行ML估计,模型假定:2+ut～iidN(0,ζuI),E(utu′)=0,t1≠t2;vt～iidN(0,ζv1t222W)∑),∑=[(I-ρ2-1(I-ρ]′W2)-1,ηit和xit相互之间不相关。E(vtv′)=0,t1≠t2;ηit～iidN(0,ζv),i=1,2,?,N,t=1,2,?,T。另外,uit、1t2根据以上的假定,可得到如下的分布密度函数:f(ut)=2Nπζ2N2exp-u-1/2u′uttζu2v′t2(5)f(vt)=1πζ212vN∑∑exp-∑ζ22-1vt-1(6)vf(ut,vt)=-1/2πζζuvexp-u′uttζu22-v′t∑2vtζv2(7)设ε则(ut,εt=vt-ut,t)的联合分布密度函数为:f(ut,εt)==1Nπζζuv1N∑∑2-1/2πζuζv22ζvζu22-1/21-1exp-(ut-μ)Ω(u-t′tμ)2-1texp-u′utt2-(εt+u)t′∑(ε+ut)2-1tt2exp-1ε′ζt2uI+ζ2v∑-1εt(8)其中:μt=-ζu[ζuI+ζv∑]ε(9)222Ω=ζ2uI-ζu(ζuI+ζv∑)-1(10)将式(8)对ut求积分,得到εt的分布密度函数:f(εt)===∞0f(u,ε)du∫ttt-1/21Nπζuζv2N|2u∑2|2exp-1ε′ζt2-1/2uI+ζ2v∑-1εt0∫-1∞exp-1(uΩ-1(ut-μ)t′21t-μ)tdut(11)π2ζI+ζv∑exp-12ζ2ε′ζ2tI+uv∑Ω-2μεΦtt)是多元标准正态分布函数,其中:Φ(·Ω-1/2μt=-ζu22ζuI+ζv∑ζv--1-1/2∑-1/2εt(12)基于式(11),可得到模型的对数似然函数:)=NTln(2)-ll(α,β,ζu,ζv,λ,ρNT2π)ln(2vTlnζu2I+ζv2∑2-1/21T22ε′-ζIt+ζu2t=1T∑∑εt+∑ln[Φ(Ωt=1μ)t](13)FM框架中显得更加突出,尤其是当异方差性存在于单边误差项uit中时。异方差性可以出现在单边误差项uit或双边误差项vit中,将之忽略不但会影响生产技术参数和误差项参数的估计推断,也E(yt)=(I-λW1)1-1α-π2ζιuN+(I-λW1)-1xtβ(14)其中:ιN=1?1N×1,其它变量、参数定义参见前文。+2下面假设技术无效率项uit存在异方差,uit～iidN(0,ζui),观察忽略异方差性所产生的问题。此时,式(14)将变成:π其中:ei是N×1维向量,第i个分量为1,其它分量为0。比较式(14)和式(15),忽略uit中的异方差性将导致截距项的估计是有偏的,而此导致生产技术参数的估计也是有偏的。此时,技术无效率项uit的估计式中(参见第三部分),ζui将代替ζu。i=1E(yt)=(I-λW1)-1Nα-∑2ζ+(I-λWuiei1)-1xtβ(15)当然,正如Kumbhakar和Lovell(2000)所说的,在仅有横截面数据的情形下,估计每个生产单位的ζui显然不可能,而当面板数据的截面维N远大于时间维T时,ζui的估计也不大可行。Kumbhakar和)代替ζui,这样可大大有效减少待估计的参数,而又不会Lovell(2000)建议采用相关变量zi的函数g(zi;δ222忽略uit的异方差性。22+),在前文模型假设的基础上,考虑技术无效率项uit的异方差性,令uit～iidN(0,ζui),ζui=g(zi;δ下面给出模型的ML估计。+),ut于uit～iidN(0,g(zi;δN=[u1t,u2t,?,uNt]′的分布密度函数式(5)变为:=f(ut)=∏i=122uitexp-)2g(zi;δπg(zi;δ)22NN1Nπ2exp-∏i=1Nδ)g(zi;∑2g(z;δ)i=1uiti2(16)因此,ut与vt的联合分布密度函数式(7)变为:f(ut,vt)=1NN1)g(zi;δπζv∏i=1∑0-1/2exp-∑i=1v′vutt-2)2g(zi;δζv22it∑-1(17)1ζ同样地,令εt=vt-ut,并且Q=2u1?ω?exp-1)g(z1;δ?ω?0?0?=1?0?1)g(zN;δ,则式(8)变为:ζ2uNNf(ut,εt)=1NN1)g(zi;δπζv∏i=1∑-1/2∑i=12(εt+ut)′(εt+uitu)t-2)2g(zi;δζv2∑-1=1NN1)g(zi;δπζv∏i=1∑-1/2exp-1(uΘ(u-μ)t′2tt-μ)texp-1ε′tQ-QΘ-1Qεt2(18)其中:μt=Θ=Q+∑2ζvQ+-1(19)Q-Iεt(20)∑ζ2v-1-1同样地,将式(18)对ut求积分,式(11)εt的分布密度函数变为:f(εt)=∞0f(u,ε)du∫tt=1Nπζ2∑Q+ζ2v-1-21v-1exp-1ε′t2ΦΘμ12Q-QΘQεtt-1(21)其中:Θ2μt=1Q+∑ζv-112Q+2∑ζv-12Q-Iεt(22)因此,可得到模型的似然函数:α,β,ζu,ζv,λ,ρ)=-ll(,δ2TNπζv)-ln(2ln2T∑Q+ζ2v-11Tε(Qt-′2t=1T∑-QΘQ)εt+-1∑ln[Φ(Θμ)]21tt=1(23))可通过对式(23)求最大化而得到。参数向量(α,β,ζu,ζv,λ,ρ,δ(三)引入潜在的截面异质性如果观察数据中存在非时变的潜在截面异质性(可能是于遗漏非时变的投入变量或忽视难于量化或无法获得观测数据的解释变量等而造成的)与技术效率不相关,忽略截面异质性的模型设定将会把部分异质引入技术无效率项uit中,此得出的uit的估计不仅包含真正意义上的技术无效率,同时也测算了模型所忽略的截面异质性,这样势必会影响到最后有关技术效率的估算般SFM中,Greene(2005)的实证结果支持了以上论述。下面所建立的空间面板SFM,不仅考虑技术无效率项uit的异方差性,还进一步将潜在的截面异质性引入模型中,分别以引入随机截面特有项和设定随机系数的形式来表示截面异质性,并采用模拟ML(simulatedML)进行估计,给出模拟对数似然函数(simulatedloglikelihoodfunction)1.引入随机截面特有项yt=α+ω+xβW1yt+vt-utt+λut与εt的条件联合分布密度为:2it[12-15][12,13]。在不考虑空间相关性的一。(24)其中:ω=[ω1,ω2,?,ωn]′,将ω看作已知的向量,以ω为条件,则f(ut,εt|ω)=1NvN1)g(zi;δπζN∏i=1∑-1/2exp-N∑i=1u)2g(zi;δ-)′(εt+ut∑-1(εt+ut)ζv22=1N1)g(zi;δi=1πζv∏∑-1/2exp-1(u′(u-μt-μ)tΘt)2texp-1ε(Θ-1Q)ε′Qt-Q2t(25)μt的表达式参见式(19)及式(20)。其中:Θ、以ω为条件,εt的条件分布密度函数为:

εf(t|ω)=0∫f(u,ε|ω)du=ttt∞1Nπζ2Q+v∑ζ2v-1-1211-1ΦΘμt2exp-(Q-QΘQ)εε′t2t(26)其中:Θ2μt的表达式参见式(22)。于f(εt)=ωt1f(ε|ω)g(ω;θ)dω等价于E∫1Nωf(εt|ω),从ω的联合概率分布g(ω;θ)中模拟抽取εω)]充分精确的估计。足够多的样本,代入式(26),并对其取平均,能够得到E用ω(r)表示从g(ω;ω[f(t|θ)中的第r次抽样,r=1,2?,R,可得:1εf(t)=Rr=1R∑πζv2Q+∑ζ2v-1-21exp-1ε′2tωrQ-QΘQ-1εtωr2ΦΘμ|ωt1r(27)基于式(27),可得到模拟对数似然函数如下:Tα,β,ζu,ζv,λ,ρll(,δ,θ)=∑lnt=11Rr=1R∑1Nπζv2(r)Q+∑ζ2v-11-2×2)ΦΘμexp-1(ε|ω′t2)(Q-QΘQ)(ε|tω-11(r)tω(r)(28)ω0,其中ω0当然,为了使模拟ML实际可行,能够在ω的联合分布g(ω;θ)中抽取样本,我们令ω=θ的分布参数已知,比如,ω服从联合正态分布,那么θ就是其标准差,而ω0～N[0,I]。只要式(28)是平滑并且连续二阶可微的,以上模拟方法是可行的2.随机系数模型[12,14,15]。于实际上积分不需要运算,一般来说,假设任何ω的分布都可以进行模拟抽样,构建模拟对数似然函数。在模型式(24)的基础上,放宽确定性斜率系数β的设定,让其具有随机性+vt-utyt=α+ω+xtβi+λW1ytβi～iidN(β,Ξ)变量、参数定义及其它假设参见前文。实质上,上述模型可等价于:-utyt=α+ω+xtβˉ+λW1yt+vtvt～iidN(0,ζv2[16],进一步考虑截面异质性:(29)(30)(31)∑+M)(32)Ξxt。其中:M=x′t模拟似然函数的求解采用∑+ζ1()()2M代替式25至式28中的v当然,在进行实证研究∑即可。2时,还需对βi的方差协方差阵此βI,Ξ的设定做进一步的研究,譬如一种简单可行的处理方法是令Ξ=ζ时式(30)变为βi～iidN(β,ζ模型新增一个待估计的参数ζ而当Ξ=0k×模型就回复到式(24)βI),β。k时,的形式,不再具有随机系数。如果不考虑空间相关性,即∑=I,此时随机系数模型相当于一般双异方差面板SFM,同时考虑vit和uit的异方差性。22三、技术效率估计上述所有模型的参数估计不是最终目的,令人感兴趣的还有生产单位技术效率的估计。ALS建议采用[1-E(u)]来估计所有生产单位的平均技术效率;Lee和Tyler(1978)提出TE=E(exp{-u});JLMS(1982)指出各个生产单元的技术无效率项ui可以通过E(ui|εεi)或Mode(ui|i)来估算,第i个生产单位…},其中u…=E(ui|ε的技术效率TEi=exp{uui|εattese和Coelli(1988)则提出TEi=E(expi)或Mode(i);B{-ui}|εi)。基于JLMS(1982)的方法,给出针对前文所述各种模型的技术效率估计。首先估计模型式(3)及式(4)的技术效率,ut的条件分布密度函数为:f(ut,ε1t)1)=expf(ut|ε=(u-μt)′Ω-t1/2f(ε2tπN/2|Ω|ΦΩ-1/2μtt)21/2=其中,|Ω|-1(ut-μt)(33)(34)1ζuζv(ζuI+ζ2