九年级数学：锐角三角函数课件

锐角三角函数锐角三角函数怎么求塔身中心线偏离垂直中心线的角度比萨斜塔这个问题涉及到锐角三角函数的知识，学过本章之后，你就可以轻松地解答这个问题了！怎么求塔身中心线偏离比萨斜塔这个问题涉及到锐角三角函数问题为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求ABABC

分析：情境探究问题为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设

在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于ABC50m30mB'C'思考在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备

即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于

如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比，你能得出什么结论？ABC思考即在直角三角形中，当一个锐角等于45°综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值.

当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°

这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么与有什么关系．你能解释一下吗？探究ABCA'B'C'这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记住sinA

即例如，当∠A＝30°时，我们有当∠A＝45°时，我们有对边ABCcab斜边在图中∠A的对边记作a∠B的对边记作b∠C的对边记作c

正弦函数如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．

例题示范ABC34求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比。解：在Rt△ABC中，因为AC=4、BC=3，所以AB=5，∴SinA=SinB=例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和si例2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5求sinA和sinB的值.ABC513解:在Rt△ABC中,例2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,B例3、如图，在△ABC中，AB=BC=5，sinA=4/5，求△ABC的面积。ABC55D∟如何求出△ABC的底和高呢？锐角三角函数与直角三角形有关哟！解：过A作AD⊥BC，垂足为D，∵sinA=4/5，∴AD/AB=4/5,∴AD=4，∴BD=3（为什么？）∴BC=2BD=6（为什么？）∴S△ABC=12（为什么？）例3、如图，在△ABC中，AB=BC=5，sinA=4/5练一练1.判断对错:A10m6mBC1)如图(1)sinA=（）

(2)sinB=（）

(3)sinA=0.6m（）

(4)SinB=0.8（）√√××sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；2)如图，sinA=（）

×练一练1.判断对错:A10m6mBC1)如图(1)s2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大

100倍，sinA的值（）

A.扩大100倍B.缩小

C.不变D.不能确定C练一练3.如图ACB37300则sinA=______.122.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大C练一练3.4.在平面直角平面坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则sin∠OAB等于____5.在Rt△ABC中,∠C=900,AD是BC边上的中线,AC=2,BC=4,则sin∠DAC=_____.6.在 Rt△ABC中,则sin∠A=___.4/5ACBabc4.在平面直角平面坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值。

1、如图,∠C=90°CD⊥AB.sinB可以由哪两条线段之比?想一想若ＡC=5,CD=3,求sinB的值.┌ACBD解:∵∠B=∠ACD

∴sinB=sin∠ACD在Rt△ACD中，AD=sin∠ACD=∴sinB==41、如图,∠C=90°CD⊥AB.想一想若ＡC=5,CD2、要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足0.77≤sinα

≤0.97.现有一个长6m的梯子,问使用这个梯子能安全攀上一个5m

高的平房吗?3、已知在Rt△ABC中,∠C=900,D是BC中点,DE⊥AB,垂足为E,sin∠BDE=,AE=7,求DE的长.ABCDE2、要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,3、已知在R1、sinA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。

2、sinA是一个比值（数值）。

3、sinA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin30°=sin45°=sin60°=特殊角的正弦函数值正弦复习1、sinA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意

当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其任意两边的比值都是惟一确定的吗？为什么？探究∟

对边a斜边c邻边b我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其任意两边的比值都

在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A对边与斜边的比及对边与邻边的比是一个固定值。BACA′B′C′任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α。那么BCAC和B′C′A′C′有什么关系？BCAB和B′C′A′B′，及由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，BCAB=B′C′A′B′，BCAC=B′C′A′C′。在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∟BACbca斜边对边∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c。邻边对于锐角A的每一个值，sinA有唯一的值和它对应，所以sinA是A的函数，同样地，cosA，tanA也是A的函数。锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∟BACbca斜边对例如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=，求cosA，tanB的值。ABC6解：∵sinA=，

∴AB==6×=10，BCABBCsinA又AC==8，∴cosA=，tanB=例如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，ABC6应用举例1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，求∠A的三角函数值。①

a=9b=12②a=9b=12

2、在△ABC中，AB=AC＝4，BC=6，求∠B的三角函数值。

3、已知∠A为锐角，sinA＝，求cosA、tanA的值。4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，tanA=，求sinA，cosB的值。BAC应用举例1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，求∠A的三角函1、如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100倍,tanA的值（）

A.扩大100倍B.缩小100倍

C.不变D.不能确定ABC┌C试一试：2、下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D。指出∠A和∠B的对边、邻边。ABCD(1)tanA=

=AC()CD()(2)tanB=

=BC()CD()BCADACBD1、如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大1=acsinA=小结回顾在Rt△ABC中=bccosA==abtanA==acsinA=小结回顾在Rt△ABC中=bc定义中应该注意的几个问题:回顾小结1、sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。2、sinA、cosA、tanA是一个比值（数值）。3、sinA、cosA、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。定义中应该注意的几个问题:回顾小结1、s1.锐角三角函数定义:2.sinA是∠A的函数.ABC∠A的对边┌斜边斜边∠A的对边sinA=Sin300=sin45°=对于∠A的每一个值（0°＜A＜90°），sinA都有唯一确定的值与之对应。小结1.锐角三角函数定义:2.sinA是∠A的函数.ABC∠A锐角三角函数（2）锐角三角函数（2）

AB

C∠A的对边∠A的邻边∠A的对边∠A的邻边tanAcosA∠A的邻边∠A的对边斜边sinA斜边斜边回顾ABC∠A的对边∠A的邻边∠A的对探究新知思考两块三角板中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值。

仔细观察,说说你发现这张表有哪些规律?探究新知思考两块三角板中有几个不同的锐角？分别求出这几个

1、你能得出互为余角的两个锐角A、B正切值的关系吗?

2、你能得出一个锐角A的正弦值、余弦值和正切值的关系吗?观察与思考仔细观察右表，回答下面问题。1、你能得出互为余角的两个锐角A、B正切值的应用新知例1、求下列各式的值.(1)cos260°+sin260°Cos²60°表示（cos60°）²，即（cos60°）×（cos60°）解：（1）cos²60°+sin²60°=（）²+（）²

（2）

=÷-1=0.=1；

当A、B为锐角时，若A≠B，则sinA≠sinB，cosA≠cosB，tanA≠tanB.应用新知例1、求下列各式的值.(1)cos260°+s

操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为30度，并已知目高为1.65米．然后他很快就算出旗杆的高度了。1.65米10米?

你想知道小明怎样算出的吗？应用生活30°操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，应用新知例3、(1)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=,BC=。求∠A的度数。(2)如图,已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍,求α.(1)(2)应用新知例3、(1)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°拓展与提高2、已知：α为锐角，且满足，求α的度数。3、在Rt△ABC中，∠C=90°，化简、拓展与提高2、已知：α为锐角，3、在Rt△ABC中，∠C=9同学们，再见！同学们，再见！锐角三角函数锐角三角函数怎么求塔身中心线偏离垂直中心线的角度比萨斜塔这个问题涉及到锐角三角函数的知识，学过本章之后，你就可以轻松地解答这个问题了！怎么求塔身中心线偏离比萨斜塔这个问题涉及到锐角三角函数问题为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求ABABC

分析：情境探究问题为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设

在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于ABC50m30mB'C'思考在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备

即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于

如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比，你能得出什么结论？ABC思考即在直角三角形中，当一个锐角等于45°综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值.

当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°

这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么与有什么关系．你能解释一下吗？探究ABCA'B'C'这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记住sinA

即例如，当∠A＝30°时，我们有当∠A＝45°时，我们有对边ABCcab斜边在图中∠A的对边记作a∠B的对边记作b∠C的对边记作c

正弦函数如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．

例题示范ABC34求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比。解：在Rt△ABC中，因为AC=4、BC=3，所以AB=5，∴SinA=SinB=例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和si例2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5求sinA和sinB的值.ABC513解:在Rt△ABC中,例2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,B例3、如图，在△ABC中，AB=BC=5，sinA=4/5，求△ABC的面积。ABC55D∟如何求出△ABC的底和高呢？锐角三角函数与直角三角形有关哟！解：过A作AD⊥BC，垂足为D，∵sinA=4/5，∴AD/AB=4/5,∴AD=4，∴BD=3（为什么？）∴BC=2BD=6（为什么？）∴S△ABC=12（为什么？）例3、如图，在△ABC中，AB=BC=5，sinA=4/5练一练1.判断对错:A10m6mBC1)如图(1)sinA=（）

(2)sinB=（）

(3)sinA=0.6m（）

(4)SinB=0.8（）√√××sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；2)如图，sinA=（）

×练一练1.判断对错:A10m6mBC1)如图(1)s2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大

100倍，sinA的值（）

A.扩大100倍B.缩小

C.不变D.不能确定C练一练3.如图ACB37300则sinA=______.122.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大C练一练3.4.在平面直角平面坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则sin∠OAB等于____5.在Rt△ABC中,∠C=900,AD是BC边上的中线,AC=2,BC=4,则sin∠DAC=_____.6.在 Rt△ABC中,则sin∠A=___.4/5ACBabc4.在平面直角平面坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值。

1、如图,∠C=90°CD⊥AB.sinB可以由哪两条线段之比?想一想若ＡC=5,CD=3,求sinB的值.┌ACBD解:∵∠B=∠ACD

∴sinB=sin∠ACD在Rt△ACD中，AD=sin∠ACD=∴sinB==41、如图,∠C=90°CD⊥AB.想一想若ＡC=5,CD2、要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足0.77≤sinα

≤0.97.现有一个长6m的梯子,问使用这个梯子能安全攀上一个5m

高的平房吗?3、已知在Rt△ABC中,∠C=900,D是BC中点,DE⊥AB,垂足为E,sin∠BDE=,AE=7,求DE的长.ABCDE2、要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,3、已知在R1、sinA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。

2、sinA是一个比值（数值）。

3、sinA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin30°=sin45°=sin60°=特殊角的正弦函数值正弦复习1、sinA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意

当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其任意两边的比值都是惟一确定的吗？为什么？探究∟

对边a斜边c邻边b我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其任意两边的比值都

在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A对边与斜边的比及对边与邻边的比是一个固定值。BACA′B′C′任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α。那么BCAC和B′C′A′C′有什么关系？BCAB和B′C′A′B′，及由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，BCAB=B′C′A′B′，BCAC=B′C′A′C′。在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∟BACbca斜边对边∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c。邻边对于锐角A的每一个值，sinA有唯一的值和它对应，所以sinA是A的函数，同样地，cosA，tanA也是A的函数。锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∟BACbca斜边对例如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=，求cosA，tanB的值。ABC6解：∵sinA=，

∴AB==6×=10，BCABBCsinA又AC==8，∴cosA=，tanB=例如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，ABC6应用举例1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，求∠A的三角函数值。①

a=9b=12②a=9b=12

2、在△ABC中，AB=AC＝4，BC=6，求∠B的三角函数值。

3、已知∠A为锐角，sinA＝，求cosA、tanA的值。4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，tanA=，求sinA，cosB的值。BAC应用举例1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，求∠A的三角函1、如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100倍,tanA的值（）

A.扩大100倍B.缩小100倍

C.不变D.不能确定ABC┌C试一试：2、下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D。指出∠A和∠B的对边、邻边。ABCD(1)tanA=

=AC()CD()(2)tanB=

=BC()CD()BCADACBD1、如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大1=acsinA=小结回顾在Rt△ABC中=bccosA==abtanA==acsinA=小结回顾在Rt△ABC中=bc定义中应该注意的几个问题:回顾小结1、sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。2、sinA、cosA、tanA是一个比值（数值）。3、sinA、cosA、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。定义中应该注意的几个问题:回顾小结1、s1.锐角三角函数定义:2.sinA是∠A的函数.ABC∠A的对边┌斜边斜边∠A的对边sinA=Sin300=sin45°=对于∠A的每一个值（