中考数学专题复习：一元二次方程及其应用课件

一元二次方程及其应用中考数学专题复习一元二次方程中考数学专题复习第7讲┃考点聚焦考点聚焦考点1一元二次方程的概念及一般形一元二次方程定义含有________个未知数，并且未知数最高次数是________的整式方程一般形式________________防错提醒在一元二次方程的一般形式中要注意强调ax2＋bx＋c＝0(a≠0)一

2ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

第7讲┃考点聚焦考点聚焦考点1一元二次方程的概念及一般形第7讲┃考点聚焦考点2一元二次方程的四种解法直接开平方法

适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程

因式分解法基本思想把方程化成ab＝0的形式，得a＝0或b＝0

方法规律常用的方法主要运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式型因式分解

第7讲┃考点聚焦考点2一元二次方程的四种解法直接开第7讲┃考点聚焦第7讲┃考点聚焦第7讲┃考点聚焦配方法定义通过配成完全平方的形式解一元二次方程配方法解方程的步骤①化二次项系数为1；②把常数项移到方程的另一边；③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把方程整理成(x＋a)2＝b的形式；⑤运用直接开平方解方程第7讲┃考点聚焦定义通过配成完全平方的形式解一元二次方程配考点3一元二次方程的根的判别式第7讲┃考点聚焦两个不相等

两个相等

没有考点3一元二次方程的根的判别式第7讲┃考点聚焦两个考点4一元二次方程的根与系数的关系第7讲┃考点聚焦考点4一元二次方程的根与系数的关系第7讲┃考点聚焦考点5一元二次方程的应用第7讲┃考点聚焦应用类型等量关系增长率问题(1)增长率＝增量÷基础量(2)设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋m)n＝b，当m为平均下降率时，则a(1－m)n＝b利率问题(1)本息和＝本金＋利息(2)利息＝本金×利率×期数销售利润问题(1)毛利润＝售出价－进货价(2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用(3)利润率＝利润÷进货价考点5一元二次方程的应用第7讲┃考点聚焦应用类型等第7讲┃归类示例归类示例►类型之一一元二次方程的有关概念命题角度：1．一元二次方程的概念；2．一元二次方程的一般式；3．一元二次方程的解的概念．例1已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为(

)A．－1B．0C．1D．2A

[解析]把x＝－a代入x2＋bx＋a＝0，得(－a)2＋b×(－a)＋a＝0，∴a2－ab＋a＝0，所以a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，故选择A

第7讲┃归类示例归类示例►类型之一一元二次方程的有关概►类型之二一元二次方程的解法命题角度：1．直接开平方法；2．配方法；3．公式法；4．因式分解法．第7讲┃归类示例例2解方程：2（x-3)=3x(x-3)►类型之二一元二次方程的解法命题角度：第7讲┃归类示第7讲┃归类示例第7讲┃归类示例利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含未知数的因式(如例2)时，不能随便先约去这个因式，因为如果约去则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会失一个根，出现漏根错误．所以应通过移项，提取公因式的方法求解．第7讲┃归类示例方法点析第7讲┃归类示例方法点析►类型之三一元二次方程根的判别式第7讲┃归类示例命题角度：1．判别一元二次方程根的情况；2．求一元二次方程字母系数的取值范围．例3

已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0.(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．

►类型之三一元二次方程根的判别式第7讲┃归类示例第7讲┃归类示例第7讲┃归类示例

(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式Δ＝b2－4ac的值，看它是否大于0.因此，在计算前应先将方程化为一般式．(2)注意二次项系数不为零这个隐含条件

第7讲┃归类示例方法点析第7讲┃归类示例方法点析►类型之四一元二次方程的应用命题角度：1．用一元二次方程解决变化率问题：a(1±m)n＝b；2．用一元二次方程解决商品销售问题．

第7讲┃归类示例例4

菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．

►类型之四一元二次方程的应用命题角度：第7讲┃归类第7讲┃归类示例

[解析](1)设出平均每次下调的百分率，根据从5元下调到3.2元列出一元二次方程求解即可；(2)根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．解：(1)设平均每次下调的百分率为x.由题意，得5(1－x)2＝3.2.解这个方程，得x1＝0.2，x2＝1.8.因为降价的百分率不可能大于1，所以x2＝1.8不符合题意，符合题目要求的是x1＝0.2＝20%.答：平均每次下调的百分率是20%.(2)小华选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000＝14400(元)，方案二所需费用为：3.2×5000－200×5＝15000(元)．∵14400<15000，∴小华选择方案一购买更优惠．

第7讲┃归类示例[解析](1)设出平均每次下调的百分率第7讲┃回归教材根的判别式作用大

回归教材教材母题人教版九上P43T14无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．第7讲┃回归教材根的判别式作用大回归教材教材母题人教版第7讲┃回归教材第7讲┃回归教材第7讲┃回归教材[点析]解一元二次方程有配方法、公式法或因式分解法，一般来说，公式法对于解任何一元二次方程都适用，是解一元二次方程的主要方法，但在具体解题时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法．

第7讲┃回归教材[点析]解一元二次方程有配方法、公式法或第7讲┃回归教材中考变式

已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(

)A．a＞2B．a＜2C．a＜2且a≠1D．a＜－2C[解析]Δ＝4－4(a－1)＝8－4a＞0，得a＜2.又a－1≠0，∴a＜2且a≠1.故选C.

第7讲┃回归教材中考变式已知关于x的一元二次方程(a－1一元二次方程及其应用中考数学专题复习一元二次方程中考数学专题复习第7讲┃考点聚焦考点聚焦考点1一元二次方程的概念及一般形一元二次方程定义含有________个未知数，并且未知数最高次数是________的整式方程一般形式________________防错提醒在一元二次方程的一般形式中要注意强调ax2＋bx＋c＝0(a≠0)一

2ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

第7讲┃考点聚焦考点聚焦考点1一元二次方程的概念及一般形第7讲┃考点聚焦考点2一元二次方程的四种解法直接开平方法

适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程

因式分解法基本思想把方程化成ab＝0的形式，得a＝0或b＝0

方法规律常用的方法主要运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式型因式分解

第7讲┃考点聚焦考点2一元二次方程的四种解法直接开第7讲┃考点聚焦第7讲┃考点聚焦第7讲┃考点聚焦配方法定义通过配成完全平方的形式解一元二次方程配方法解方程的步骤①化二次项系数为1；②把常数项移到方程的另一边；③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把方程整理成(x＋a)2＝b的形式；⑤运用直接开平方解方程第7讲┃考点聚焦定义通过配成完全平方的形式解一元二次方程配考点3一元二次方程的根的判别式第7讲┃考点聚焦两个不相等

两个相等

没有考点3一元二次方程的根的判别式第7讲┃考点聚焦两个考点4一元二次方程的根与系数的关系第7讲┃考点聚焦考点4一元二次方程的根与系数的关系第7讲┃考点聚焦考点5一元二次方程的应用第7讲┃考点聚焦应用类型等量关系增长率问题(1)增长率＝增量÷基础量(2)设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋m)n＝b，当m为平均下降率时，则a(1－m)n＝b利率问题(1)本息和＝本金＋利息(2)利息＝本金×利率×期数销售利润问题(1)毛利润＝售出价－进货价(2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用(3)利润率＝利润÷进货价考点5一元二次方程的应用第7讲┃考点聚焦应用类型等第7讲┃归类示例归类示例►类型之一一元二次方程的有关概念命题角度：1．一元二次方程的概念；2．一元二次方程的一般式；3．一元二次方程的解的概念．例1已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为(

)A．－1B．0C．1D．2A

[解析]把x＝－a代入x2＋bx＋a＝0，得(－a)2＋b×(－a)＋a＝0，∴a2－ab＋a＝0，所以a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，故选择A

第7讲┃归类示例归类示例►类型之一一元二次方程的有关概►类型之二一元二次方程的解法命题角度：1．直接开平方法；2．配方法；3．公式法；4．因式分解法．第7讲┃归类示例例2解方程：2（x-3)=3x(x-3)►类型之二一元二次方程的解法命题角度：第7讲┃归类示第7讲┃归类示例第7讲┃归类示例利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含未知数的因式(如例2)时，不能随便先约去这个因式，因为如果约去则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会失一个根，出现漏根错误．所以应通过移项，提取公因式的方法求解．第7讲┃归类示例方法点析第7讲┃归类示例方法点析►类型之三一元二次方程根的判别式第7讲┃归类示例命题角度：1．判别一元二次方程根的情况；2．求一元二次方程字母系数的取值范围．例3

已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0.(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．

►类型之三一元二次方程根的判别式第7讲┃归类示例第7讲┃归类示例第7讲┃归类示例

(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式Δ＝b2－4ac的值，看它是否大于0.因此，在计算前应先将方程化为一般式．(2)注意二次项系数不为零这个隐含条件

第7讲┃归类示例方法点析第7讲┃归类示例方法点析►类型之四一元二次方程的应用命题角度：1．用一元二次方程解决变化率问题：a(1±m)n＝b；2．用一元二次方程解决商品销售问题．

第7讲┃归类示例例4

菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．

►类型之四一元二次方程的应用命题角度：第7讲┃归类第7讲┃归类示例

[解析](1)设出平均每次下调的百分率，根据从5元下调到3.2元列出一元二次方程求解即可；(2)根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．解：(1)设平均每次下调的百分率为x.由题意，得5(1－x)2＝3.2.解这个方程，得x1＝0.2，x2＝1.8.因为降价的百分率不可能大于1，所以x2＝1.8不符合题意，符合题目要求的是x1＝0.2＝20%.答：平均每次下调的百分率是20%.(2)小华选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：3.2