仪陇中学高2020级高三上期第一次月考（理科）(数学)

试卷第=page1313页，总=sectionpages1414页试卷第=page1414页，总=sectionpages1414页仪陇中学高2020级高三上期第一次月考（理科）(数学)地区:四川总分:150分年级:高三类型:月考试卷1.单选题（5分）若复数z=i(3+2​i)​(i​是虚数单位),则z​的虚部是（）A.3i​ B.3​ C.−3​i​ D.−3​【答案】B【解析】z=​i​(3+2​i​)​=3​i​+2​i​2=−2+3​i​,所以z2.单选题（5分）某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图．下面关于相关系数的比较,正确的是（）A.​r4<​r2<C.​r2<​r4<【答案】C【解析】由给出的四组数据的散点图可以看出,图1和图3是正相关,相关系数大于0,图2和图4是负相关,相关系数小于0,图1和图2的点相对更加集中,所以相关性要强,所以​r1​接近于​1,​r2​接近于由此可得​r23.单选题（5分）设全集U=R​,集合M={x​∣x​≤1},​N={x​∣x(x−2)​≥0}​,则M​∩​∁A.{x​∣0<x​≤1}​ B.{x​∣x<2}​C.{x​∣0​≤x​≤1}​ D.{x​∣x​≤2}​【答案】A【解析】由题意可得M=(−∞,​1]​,​∁U​N=​∁∴M​∩​∁4.单选题（5分）如图,网格纸上小正方形的边长为1​,粗实线画出的是某个零件的三视图,则这个零件的体积等于（）A.6​π​ B.8​π​ C.10​π​ D.12​π​【答案】A【解析】该几何体由一个底面半径为1​,高为2​的圆柱和一个底面半径为2​,高为3​的圆锥组成;故这个零件的体积V=15.单选题（5分）函数f(x)=cosx​∙lnπ+xπ−x​在A. B.C. D.【答案】B【解析】解:∵f(x)=cosx​∙lnπ+x∴f(−x)=cosx​∙lnπ−x∴f(x)​是奇函数,故排除A​、​D​；令x=3​π4​,则故排除C​；故选：B.6.单选题（5分）已知定义在R​上的函数f(x)​满足:f(1−x)=f(1+x)​,且f(x)​在[1,+∞)​上单调递增,则（）A.f​0.2B.f​0.2C.f​4D.f​log【答案】B【解析】依题意可得,f(x)​的图象关于直线x=1​对称.因为​0.20.3​∈(0,1),​​log所以f​0.27.单选题（5分）在长方体​A​B​C​D−A1​​B1​​C1​​DA.A​B=2​A​D​B.A​B​与平面​A​B1​​CC.​A​C=C​B1D.​B1​D​与平面​B​B1【答案】D【解析】​B1​D​与平面ABCD​所成角为∠​B1​则∠​B1​D​B=∠D​​B1由长方体对角线长公式​l2得A​B=2​,从而​A​BA​B=2AB​与平面​A​B1​​C1​D​所成的角∠​C​B1​B1​D​与平面​B​B1​​C1​C​所成的角∠D​​B18.单选题（5分）已知数列​an​是公比不等于±1​的等比数列,若数列​an,(​−1)n​​aA.只有1​个 B.有2​个 C.无法确定 D.不存在【答案】B【解析】设公比为q​,则数列​an,(​−1)再根据他们的前2023项的和分别为m,​8−m,​20​∴​a1+​−a1​a1把(1)和(2)相乘可得，−​a12​1−q40269.单选题（5分）《九章算术》中有勾股容方问题：“今有勾五步，股十二步。问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1,用对角线将长和宽分别为b​和a​的矩形分成两个直角三角形,每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组,得到如图2所示的矩形,该矩形长为a+b​,宽为内接正方形的边长d​.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论,如图3,设D​为斜边B​C​的中点,作直角三角形A​B​C​的内接正方形对角线A​E​,过点A​作A​F​⊥B​C​于点F​,则下列推理正确的是（）A.由图1和图2面积相等得d=2​a​bB.由A​E​≥A​F​可得​a2C.由A​D​≥A​E​可得​a2D.由A​D​≥A​F​可得​a2【答案】C【解析】对于A​,由图1和图2面积相等得a​b=(a+b)​×d​,所以d=​a​ba+b对于B​,因为A​F​⊥B​C​,所以12​×a​×b=12​​a2+​b2​×​A​F对于C​,因为D​为斜边B​C​的中点,所以A​D=​a2+​b22​,因为对于D,因为A​D​⩾A​F​,所以​a2+​b2210.单选题（5分）已知​A1,​​A2​分别为双曲线C:​​x2​a2−​y2​b2=1(a>b>0)​的左、右顶点,点A.3​ B.5−1​ C.2​ D.3【答案】A【解析】依题意​A1(−a,​0)​,​A2(a,​0)∴​y又​x0∴​b2​a2=211.单选题（5分）在锐角三角形A​B​C​中,若3​sinB+cosB=2​,且满足关系式cosBb+A.3​ B.2​3​ C.4​3​ D.【答案】D【解析】在锐角三角形A​B​C​中,若3​sinB+cosB=2整理得2​sinB+故B=π由于cosBb利用余弦定理和正弦定理整理得​a2解得b=2​3所以2​R=b所以2​R=4​.a+c=2​R​sinA+2​R​sinC​=4(sinA+sinC)​=4sinA+sin2​π3由于A​∈0,​当A=π3​时,故△A​B​C​的周长的最大值为6​312.单选题（5分）若∀x>0​,不等式​ex​e2A.12​ B.1C.38+ln24​【答案】A【解析】令​ℎ(x)​=​e​当x>0​时,​ℎ'(x)>0​,当x<0​时,​ℎ'(x)<0​,所以ℎ(x)​在(0,+∞)​上单调递增,在(−∞,​0)​单调递减,故ℎ(x)​≥ℎ(0)=0​即对因此,当x>0​时,​​e​−2−lnx+1+lnxx​≥[(x−2−lnx)+1]+1+lnxx=1​,当且仅当x−2−lnx=0​时取“=",今φ(x)=x−2−lnx,​x>0,​φ(x)=1−1x​,当即φ(x)​在(0,1)​上单调递减,在(1,+∞)​上单调递增,φ(1)=−1<0,​φ​​e​即∃​x1​∈​​e​−2,​1​,使得因此,不等式​e−1−2−lnx所以​e1−2−lnx+1+lnxx​的最小值为1​,即1​≥2​m​,解得所以实数m​的取值范围是−∞,​113.填空题（20分）填空题(1)已知平面向量a,​b,​c​满足a+(2)哥德巴赫猜想是指“每个大于2​的偶数都可以表示为两个素数的和”，例如10=7+3,16=13+3​，在不超过40​的素数中，随机选取两个数，其和等于40​的概率为___________.(3)已知双曲线C:​​x2​a2−​y2​b2=1(a>0,​b>0)​的右顶点为A​,若以点A​为圆心,以b​为半径的圆与双曲线(4)辅助角公式是我国清代数学家李善兰发现的用来化简三角函数的一个公式,其内容为a​sinx+b​cosx=​a2+​b2​sin(x+φ)​.(其中a​≠0,​b​∈R​,​tanφ=ba​).已知函数f(x)=sinωx+m​cosωx(m>0,​ω>0)​的图像的两相邻零点之间的距离小于π​,【答案】(1)−12​(2)122​(3)15【解析】(1)解:因为a+b+c=0​,所以a+b=−c​,两边平方可得​a2+​b2+2​a​∙b=(​−c)2​,又|a|=|b|=|c|=1​,所以a​∙b=−12​(2)由题意可知不超过40​的素数有:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37​共12​个，在不超过40​的素数中，随机选取两个数，基本事件有​C122=66​个，满足其和等于40​的组合是(3,37)​，(11,29)​，(17,23)​共3​个，故在不超过40​的素数中，随机选取两个数，其和等于40​的概率为366=114.解答题（12分）已知等差数列​an​满足首项为1​,且​a(1)求数列​an(2)设​bn=1​an​​a【答案】（1）​an=2​n−1​（2）【解析】解:(1)根据题意得,∵​a1=1​,且数列​an​是等差数列,设公差为d​,则由d=2​,所以​an(2)由(1)可得​bn所以​Tn15.解答题（12分）如图,四棱锥P−A​B​C​D​中,P​D​⊥​平面A​B​C​D​,底面A​B​C​D​是正方形,P​D=A​B=2​,E​为P​C​中点.(1)求证:D​E​⊥​平面P​C​B​;(2)求二面角E−B​D−P​的余弦值.【答案】（1）见解析（2）63【解析】解:(1)证明:∵P​D​⊥​平面A​B​C​D​,∴P​D​⊥B​C,​​又∵​正方形A​B​C​D​中,C​D​⊥B​C,​P​D​∩C​D=D​,∴B​C​⊥​平面P​C​D​,又∵D​E​⊂​平面P​C​D​,∴B​C​⊥D​E​,∵P​D=C​D,​E​是P​C​的中点,D​E​⊥P​C,​P​C​∩B​C=C​,且P​C​⊂​面P​C​B,​B​C​⊂​面P​C​B​∴D​E​⊥​平面P​C​B​（2）以点D​为坐标原点,分别以直线D​A,​D​C,​D​P​为x​轴,y​轴,z​轴,建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知:D(0,0,0),​P(0,0,2),​B(2,2,0),​E(0,1,1),​​则D​B=(2,2,0),​设平面B​D​E​的法向量为n=(x,​y,​z),​​则n令z=1​,得到y=−1,​x=1,​∴n又Q​C(0,2,0),​A(2,0,0)​,则A​C=(−2,2,0)​,且A​C​⊥​平面P​D​B∴​平面P​D​B​的一个法向量为m=(−1,1,0)设二面角E−B​D−P​的平面角为α​,则cosα=|cos<m所以二面角E−B​D−P​的余弦值为6316.解答题（12分）某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表:（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数;(2)从该单位中任取2​人,此2​人中年薪收入高于7​万的人数记为ζ​,求ζ​的分布列和期望;(3)已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系,某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4​万元，5.5​万元，6​万元，8.5​万元,预测该员工第五年的年薪为多少?附:线性回归方程y=b=​∑i=1【答案】（1）11；7​（2）1​（3）9.5​【解析】解:(1)平均值为4+4.5+6+5+6.5+7.5+8+8.5+9+5110=11​万元,中位数为(2)年薪高于7​万的有5​人,低于或等于7​万的有5​人;ξ​取值为0,1,2​.P(ξ=0)=​​C​所以ξ​的分布列为:数学期望为E(ξ)=0​×2（3）设​xi,​​y​∑1​∑i=1b=a=得线性回归方程:y=1.4​x+2.5​.可预测该员工第5​年的年薪收入为9.5​万元.17.解答题（12分）已知点F​是抛物线​C:​x2=4​y​与椭圆​y2​a2+​x(1)求椭圆的方程;(2)过点M​作C​的两条切线,记切点分别为A,​B​,求△M​A​B​面积的最大值.【答案】（1）​y24+【解析】解:(1)抛物线C​的焦点为F(0,1)​,即c=1​,椭圆上的点M​到点F​的最大距离为a+c=3​,所以​a=2,​b2=3​,所以椭圆方程为(2)抛物线C​的方程为​x2=4​y​,即对该函数求导得​y'=x直线M​A​的方程为​y−y1=​x12同理可知,直线M​B​的方程为​x2由于点M​为这两条直线的公共点,则​x1所以点A​,​B​的坐标满足方程​x0所以直线A​B​的方程为​x0联立​x0可得​x2−​2​x∴Δ>0​​由韦达定理可得​x所以|A​B|=1+=​x点M​到直线A​B​的距离为d=​x所以​S△M​A​B因为​x0由已知可得−2​≤​y所以当​y0=−2​时,△M​A​B​面积的最大值为18.解答题（12分）已知函数f(x)=​x(1)当m=2​时,求函数在(1,​f(1))​处的切线方程;(2)设P(x)=​x22−52​x+m−1​,令F(x)=f(x+2)x+2【答案】（1）2​x−2​y−5=0​（2）见解析【解析】解:(1)若m=2​,则f(x)=2​x(lnx−1)+​x则切线的斜率为​f'(1)=1​,又所以曲线y=f(x)​在点(1,​f(1))​处的切线方程是y−−32(2)解:函数F(x)=m​ln(x+2)+​x22−2​x​,其定义域为因为​F'(x)=0​的两根为​x1当−4<m−4<0​即0<m<4​时,由​F'(x)=0​,得​x1所以​x1+​x因为​x1+​x2=0要证F​−x⇔m​ln​x⇔​2+x则​g'所以g(x)​在(0,2)​上单调递增,且g(0)=2​ln2>0​,故g(x)>g(0)>0​,即F​−x即:F​−x19.解答题（10分）选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系x​O​y​中,曲线C​的参数方程为x=−1−2​cosθy=2​sinθ​,(θ​为参数).以坐标原点为极点,x​轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l​的极坐标方程为ρsin(1)求曲线C​的普通方程与直线l​的直角坐标方程;(2)若直线​l'​过点M(−2,1)​且与直线l​平行,直线​l'​交曲线C​于A,​B​两点,求【答案】（1）曲线C​的普通方程为(​x+1)2+​y2=4​.直线l【解析】解：（1）因为曲线C​的参数方程为x=−1−2​cosθy=2​sinθ​,(θ