第3讲 数学教育的基本理论-波利亚公开课一等奖省优质课大赛获奖课件

10十月第三讲数学教育基本理论

——波利亚青岛大学师范学院数学系杨慧娟数学游戏问题：有两个没有刻度桶，大桶容量是9升，小桶容量是4升，怎样利用这两个桶从河中恰好打上6升水呢？9升4升学习数学离不开解题，大多解题者都有过这么经历：衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。山重水复疑无路，柳暗花明又一村。众里寻他千baidu，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。波利亚生平波利亚（GeorgePolya，1887-1985）美籍匈牙利数学家。生于布达佩斯，卒于美国。青年时期曾在布达佩斯、维也纳、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。19在瑞士苏黎世工业大学任教，1938年任数理学院院长。1940年移居美国，历任布朗大学、斯坦福大学教授。1963年获美国数学会功勋奖。他是法国科学院、美国全国科学园和匈牙利科学院院士。曾著有《怎样解题》、《数学发觉》、《数学与猜测》等，它们被译成各种文字，广为流传。找出一个现有趣又好下手新问题并不那么轻易，这需要经验、判别能力和好运气，不过，当我们成功处理了一个好问题之后，我们应该去寻找更多好问题。好问题通一些蘑菇有些相像，他们总是成堆地生长，找到一个以后，你应该在周围找找，很可能在附近就有好几个。一、波利亚数学教育观1.波利亚数学教育目标：波利亚认为：中学数学教育根本目标是“教会学生思索”。“教会学生思索”意味着数学教师不但仅是传授知识，还应努力发展学生利用所学知识能力，他强调技能、技巧、有益思索方式和理想思维习惯。现在新课标强调“三会”2.数学教学与学习心理三标准：（1）主动学习标准（2）最正确动机标准（3）循序渐进标准（1）主动学习“学东西最好方式是发觉它”，“亲自发觉能够在你脑海里留下一条小路；今后一旦需要，你便能够再次利用它”。因而，教师应该“尽可能让学生在现有条件下亲自发觉尽可能多东西”。思想应在学生头脑中产生，教师则只起助产士作用。（2）最正确动机为了使学习富有成效，学生应该对学习倍感兴趣，而且在学习活动中寻求欢乐。最正确刺激应该是对所学知识兴趣。另外，还能够在做题之前，让学生猜测学习结果，因为在科学家工作中，猜测几乎是证实先导。学习动机是多元内在动机才能产生持久学习动力，外部动机，只会见效一时，却不能恒久维持。动机，有时又能够称之为理由过分理由效应（3）循序渐进学习过程是从行动和感知开始，进而发展到词语和概念，以养成合理思维习惯而结束。行动和感知词语和概念思维习惯学习第一个阶段是探索，它联络着行动和感知，而且是在自觉和启发水平上发展。第二个阶段是说明，包含引进术语、定义、证实等，提升到概念水平上。第三个阶段是吸收，即把所学知识都在头脑里消化了，然后吸收到自己知识系统中来，扩大智力范围。3.波利亚教师发展观波利亚提议，要成为一名好数学教师，必须具备两方面知识，一是数学内容知识。普通中学数学教师最大缺点在于，他没有主动完成数学工作经验。二是数学教学法知识。波利亚给数学教师“十条提议”1、对自己科目要有兴趣2、熟知自己科目3、知道学习路径，学习任何东西最正确路径是亲自独立地发觉其中奥秘；4、努力观察学生面部表情，觉察他们期望和困难，把自己置身于他们之中；5、不但要教给他们知识，而且要教给他们技能技巧、才智、思维方式及科学工作习惯。6、让学生学会猜测问题7、让学生学会证实问题；8、从手头上题目中寻找出一些可能今后用于解题特征，揭示出存在于详细情况下普通模式；9、不要马上吐露你全部秘密-，让学生在你说出来之前先动脑去想，去猜，不要强迫他人去接收；10、启发问题，而不要填鸭式地塞给学生。二、波利亚关于解题研究为了回答“一个好解法是怎样想出来”这个令人迷惑问题，波利亚专门研究了解题思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书关键是他分析解题思维过程得到一张“怎样解题”表，并以例题表明这张表实际应用。书中各部分基本上是配合这张表，也能够说是对该表深入阐述和注释。在这张包含“搞清问题”、“确定计划”、“实际计划”和“回顾”四大步骤解题全过程解题表中，对第二步即“确定计划”分析是最为引人入胜。他指出寻找解法实际上就是“找出已知数和未知数之间联络，假如找不出直接联络，你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划波利亚认为，“对你自己提出问题是处理问题开始”，“当你有目标向自己提出问题时，它就变作你问题”。而“假使你能适应地应用这些问句和提醒来问你自己，它们能够帮助你处理你问题”。他还把寻找并发觉解法思维过程分解为五条提议和23个含有启发性问题，它们就好比是寻找和发觉解法思维过程“慢动作镜头”，使我们对解题思维过程看得见，摸得着。

波利亚提供“怎样解题”表

第一步必须了解问题了解问题Δ未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？Δ可能满足什么条件？Δ画一个图，引入适当记号。

第二步找出已知数和未知数间关系。假使你不能找出关系，就得考虑辅助问题，最终应想出一个计划拟定计划Δ你以前曾见过它吗？Δ你知道什么相关问题吗？Δ注视未知数！试想出一个有相同或相同未知数熟悉问题。Δ这里有一个与你相关而且以前解过问题，你能应用它吗？Δ你能够改述这问题吗？回到定义。Δ你若不能解这问题，使先解一个相关问题。Δ你用了全部条件吗？第三步实施你计划实行计划Δ实施你处理计划，校核每一步骤。

第四步校核所得解答回顾Δ你能校核结果吗？你能校核论证吗？Δ你能用不一样方法得出结果吗？Δ你能应用这结果或方法到别问题上去吗？波利亚“怎样解题”表精华是启发你去联想。联想什么？怎样联想？这能够经过一连串提议性或启发性问题来加以回答。“你以前见过它吗？你是否见过相同问题而形式稍有不一样？你是否知道与此相关问题？你是否知道一个可能用上定理？看看未知数！试指出一个含有相同未知数或相同未知数熟悉问题。这里有一个与你现在问题有联络且早已处理问题。你能不能利用它？你能利用他结果吗？你能利用他方法吗？为了能利用它，你是否应该引入一些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不一样方式重新叙述它？”案例：给定正四棱台高为，上底边长为下底边长为，求正四棱台体积。第一步：了解问题。问题1：你要求解是什么？要求解是几何体体积，在思维中位置用一个单点F象征性地表示出来。F问题2：你有些什么？一方面是题目条件中给出三个量，其次是已经学过棱锥、棱柱体积公式，并积累有求体积公式初步经验。把已知三个量添加到图形中和思维图示中，，他们与F之间有一条鸿沟，象征问题还没有得到处理，我们任务就是将未知量与已知量联络起来。第二步，确定计划问题3：怎样才能求得F已经有了棱锥体积公式，棱台几何结构（定义）告诉我们，棱台是“用一个平行于底面平面去截棱锥”，即从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成，假如知道了对应两棱锥体积B和A，我们就能求出棱台体积：F=B-A问题4：怎样才能求得A与B？棱锥体积公式：关键是什么？将问题转化，把求A，B转化为求？问题5：怎样才能求得第三步，实现计划第四步，回顾（1）正面检验每一步，推理是有效，演算是准确，然后再做特殊性检验，特殊性检验既反应了新知识与旧知识相容性，又显示出棱台体积公式普通性；这既沟通了三类几何体极限状态间知识联络，又可促进三个体积公式记忆。（2）回顾解题过程，能够看到，首先搞清题意，从中捕捉到有用信息，及时提取记忆中相关信息，将信息做合乎逻辑组合（3）在解题方法上，这个案例是分析法一次成功利用，从结论出发，由后往前找成立充分条件，如，为了求得F，只需要知道A，B，为了求得A，B，只需要求得x，为了得到x，建立一个方程即可，这么就形成了一个未知与已知之间网络，书写时只不过是遵照相反次序将网络图做一叙述，这个过程显示了分析与综合关系。——分析自然先行，综合后继；分析是创造，综合是执行，分析是制订一个计划，综合是执行这个计划。（4）在思维策略上，这个案例是“三层次处理”一次成功利用。首先是普通性处理（策略水平上处理）把F转化为A、B，明确了解题方向；其次是功效性处理，（方法水平处理）发挥组合与分解、相同形、解方程等解题功效，最终是特殊性处理，详细演算体积公式等，是对推理步骤和运算细节作实际完成。（5）在心理机制上，这个案例展现出“激活——扩散”基本过程。激活记忆网络中棱台体积结构和棱锥体积公式，然后想外扩散，依次激活截面公式，相同三角形、解方程知识等，直到条件与结论之间网络沟通。这种“激活——扩散”观点，正是数学思维中心理过程一个解释。（6）在立体几何学科方法上，这是“组合与分解”一次成功利用，它再一次向我们展示了“能割善补”是处理立体几何问题一个诀窍，二平面化思维是联络立体几何与平面几何主要桥梁这些方法能够用于解其它立体几何问题，而且作为普通化思想（降维）还能够用于其它学科。（7）能否用别方法导出这个结果？在信念上，我们应该永远而坚定地作出必定回答，操作上未实现只是能力问题或暂时现象。“怎样解题表”就“怎样解题”“教师应该教学生做什么”等问题，把“解题中经典有用智力活动”，按照正常人处理问题时思维自然过程分成四个阶段——搞清问题、拟订计划、实现计划、回顾，从而描绘出解题理论一个总体轮廓，也组成了一个完整解题教学系统。既表达常识性，又表达由常识上升为理论（普遍性）自觉努力。

这四个阶段中“实现计划”虽为主体工作，但较为轻易，是思绪打通之后详细实施信息资源逻辑配置，“我们所需要只是耐心”；其次，“搞清问题”是认识、并对问题进行表征过程，应成为成功处理问题一个必要前提；与前二者相比，“回顾”是最轻易被忽略阶段，波利亚对其作为解题必要步骤而固定下来，是一个有远见做法，在整个解题表中“拟订计划”是关键步骤和关键内容。

“拟订计划”过程是探索解题思绪发觉过程，波利亚提议是分两步走：第一，努力在已知与未知之间找出直接联络（模式识