二重积分部分练习题

二重积分部分练习题作者：日期:

题目部分，（卷面共有100题,405.0分，各大题标有题量和总分）一、选择（16小题，共53.0分）（2分）［1］（3分）［2］二重积分JJxydxdy（其中D：0WyWx2,OWxWl）的值为1(a)61(C)21（d）4()(3分)[3]若区域D为0WyWx2,lx|W2,则(A)0;32(A)0;32(B)可645(D)256）（3分）［4］设D］是由ox轴,oy轴及直线x+y=l所圈成的有界闭域,，是区域D：Ixl+lyIW1上的连续函数，则二重积分f(x2,yf(x2,y2)dxdy二DJJf(x2,y2)dxdyD(A)2(B)4(C)81(D)2答((3分)[5]设fx,y)是连续函数，则二次积分J0dxJ1+x2f(x,y)dyTOC\o"1-5"\h\z-1x+1'y2-11-1(A)J1dyJy-1f'y2-11-10-1(B)J1dyJy-1f(x,y)dx0-1J1dyJy-1f(x,y)dx+「2dyJ」y2-1f(x,y)dx0-11-1J2dy卜y2-1f(x,y)dx0-1（3（3分）［6］设函数f（X,y）在区域D：y2W-xJJf（X,y）dxdy可化累次积分为D答（）,y三x2上连续，则二重积分(A)JodxJ匚f(x,y)dyTOC\o"1-5"\h\z-1v-x(C)J1dyJ-匚f(x,y)dx0-Uy

(B)f0dxJx2_f(x,y)dy-1—J(D)J1dyJ厂f(x,y)dx0、；y答答答答DDDD(3分)[7]设彳(x,y)为连续函数，则二次积分f1dyJ：3®f(x,y)dx可交换积分次序为02y2(A)f1dxf2xf(x,y)dy+f3dxf3一x2f(x,y)dy0010(B)f2dxf2xf(x,y)dy+f2dxf1f(x,y)dy+f2dxf3一x2f(x,y)dy0010‘202(C)f1dxf]一x2f(x,y)dy0，2xf：d6?3f(rcos6,rsin6)rd2cos6sin2(D)0答((3分))[8]设f(x,y)为连续函数，则积分f1dxfx2f(x,y)dy+f2dxf2一xf(x,y)dy0010可交换积分次序为f1dyfyf(x,y)dx+f2dyf2一yf(x,y)dx0010f1dyfx2f(x,y)dx+f2dyf00(C)f1dyf2Zyf(x,y)dx0T(D)f1dyf2-xf(x,y)dx0x22一xf(x,y)dx0()(4分)[9]若区域D为(x-1)2+y2W1,则二重积分fff(x,y)dxdy化成累次积分为(A)ndef2cos6F(r,6)dr00(C)f2def2cos6F(r,6)dr一九02其中F(r,9)=f(rcos9,rsin9)r.(B)ndef2cos0F(r,6)dr一兀0(D)2『2def2cos6F(r,0)dr00答()(3分)[10]若区域D为x2+y2W2x，则二重积分ff(x+y)(x2+y2dxdy化成累次积分为(A)f2dof|cos0(cos0+sin0)J2rcos0rdr一工02(B)fK(cos0+sin0)d0f|cos0r3dr002『2(cos0+sin0)d0『|cos0r3drTOC\o"1-5"\h\z00if2(cos0+sin0)d0f|cos0r3dr严02答()(4分)[11]设I=ff[ln(x+y)]7dxdy,I=ff(x+y)7dxdy,I二ffsin7(x+y)dxdy其中D是123DDD1由x=0,y=0,x+y=|,x+y=1所围成的区域，则I1，I2,I3的大小顺序是(B)I3<I2<I1(B)I3<I2<I1；(D)I3<Ix<I2.(C)I1<I3<Ii；dxdy(5分)[12]设I=ff1.Lly<11+dxdy(5分)[12]设I=ff1.Lly<11+COSIx+Sinly，则I满足lx(A)|<I<2(B)2<I<3(D)T<I<011（4分）［13］设x+y=|其中D是由直线x=0,y=0,及x+y=1所围成的区域，则i1,i2,13的大小顺序为（A）Is<I（C）2<I1；Ifg(B)1i<I2<I3；(D)I3<I1<I|.答（）（3分）［14］设有界闭域D］与d2关于Oy轴对称，且D］nD2=0j（x,y）是定义在D1UD2上的连续函数，则二重积分(A)2fff(x2,y)dxdyDi(C)4fff(x2,y)dxdyfff(x2,y)dxdy二(B)4fff(x2,y)dxdyDi(D)|fff(x2,y)dxdy(3分)[15]若区域D为lxlW1,lylWl，则JJxec°s(xy)sin(xy)dxdy=D

(B)e」；(A)e;(C)0;答()(A)e;(C)0;答()(4分)[16]设D：x2+y2Wa2(a>0),当a=(A)1时，JJJa2一x2一y2dxdy=兀.D(B)321TOC\o"1-5"\h\z(D)2答（）二、填空（6小题，共21.0分）（4分）［1］设函数f（x,y）在有界闭区域D上有界，把D任意分成n个小区域A。^=1,2,…,n）,在每一个小区域|任意选取一点（J,ni）,如果极限1lim£/（g，耳）山（其中入是A0（i=1,2，…,n）的最大直径）存在，则称此极匚0°°°I=1限值为.的二重积分。限值为.（（4分）［2］若D是以（0,0）,（1,0）及（0,1）为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知JJ（1-x-y）=.D(3分)[3]设D:0<y<a2+x2,0<x<0,由二重积分的几何意义知fKya2-x2-y2dxdy=.D(3分)[4]设D：x2+y2W4,y三0,则二重积分JJsin(x3y2)db=。(4分)[5设区域D是X2+y2W1与X2+y2W2x的公共部分，试写出f(X,y)dxdy在极坐标D系下先对r积分的累次积分_J-3doJ2cos0F(r,0)dr+J-：doJ1F(r,0)dr+J^2doJ2cos0F(r,0)dr_.TOC\o"1-5"\h\z-兀0-兀0工0233(3分)[6]设D:0WxW1,0WyW2(l—x),由二重积分的几何意义知ff(y)JJ1一xdxdy\2丿DDD三、计算(78小题，共331.0分)(3分)[1]设fx,y)为连续函数,交换二次积分J2dyJyf(x,y)dx的积分次序。(3分)[2]设的积分次序。(3分)[2]设f(x,y)为连续函数,交换二次积分J2dxj2xf(x,y)dy0x的积分次序。(3分)[3]设f(x,y)为连续函数，交换二次积分卜dyJ0一f(x,y)dx+J0dyJ0—f(x,y)dx-22+y-1-y的积分次序。(3分)[4]设f(x,y)为连续函数,交换二次积分J1dxJ1f(x,y)dx+JedxJ1f(x,y)dy01-x21Inx的积分次序。(4分)[5]计算二重积分JJ(x-y2)dxdyD其中D：OWyWsinx,0WxWn.(3分)[6]计算二重积分JJxydxdyD其中D是由曲线y=x2,直线y=0,x=2所围成区域。(3分)⑺计算二重积分JJxydxdyD其中D为由y=x,y=2x,x=4所围成的区域。(3分)[8]计算二重积分JJxydxdyD_其中D：xWyW打x,1WxW2.(3分)[9]计算二重积分JJcos(x+y)dxdyD其中D是由直线x=0,y=n和y=x围成的区域。(4分)[10]计算二重积分JJ(x2+y2—y)dxdyD其中D是由直线『=工，y=x+l,y=l及y=3所围成的区域。(3分)[11]计算二重积分JJxcos(2xy)dxdy

兀其中D:0<x<,-1<y<14（3分）［12］计算二重积分JJ（x+y）dxdyD其中D为由y=x,X=0,y=1所围成的区域。（3分）［13］计算二重积分JJ（x+6y）dxdyD其中D是由直线y=x,y=5x及x=1所围成的区域。（3分）［14］计算二重积分JJxydxdyD其中d是由双曲线y=，直线y=x及x=2所围成的区域。x（3分）［15］计算二重积分yJJdxdyxD其中D是由直线y=2x,y=x,x=2及x=4所围成的区域。（3分）［16］计算二重积分JJ|y|dxdyD其中D:lxl+lylW1.（3分）［17］计算二重积分JJ|xydbD其中D:|X|+|y|W1.（4分）［18］计算二重积分JJxy2dxdy其中D:丄<y<x,1<x<2x（（4分）［19］计算二重积分JJ（x2+y2）dxdyD其中D是由直线y=x,y=x+a,y=a及y=3a（a>0）所围成的区域。（4分）［20］计算二次积分J3dxJ3-x（2x+y）dy00（4分）［21］计算二重积分JJxydxdyD其中D是由y=x,xy=1,x=3所围成的区域。

（4分）［22］计算二重积分JJ（x2+y2—x）dxdyD其中D是由y=2,y=x,y=2x所围成的区域。（+分）［23］计算二重积分JJ（x—1）ydxdyD其中D是由曲线x=1+启,y=l—x及y=1所围成的区域。1JJdxdy1+x4D1JJdxdy1+x4D其中D是由y=(x,y=0,x=1所围成的区域。5］计算二重积分JJxy2dxdyD其中D为与x=0所围成的区域。（（4分）［26］计算二重积分JJxdxdyD其中D是由抛物线y=*x2及直线y=x+4所围成的区域。\4分）⑵］计算二重积分JJex+ydxdyD其中D为由y=x,y=0,x=1所围成的区域。（4分）［28］计算二重积分JJ—dxdyy2D其中D是由曲线xy=1,y=x2与直线x=2所围成的区域。（（5分）［29］计算二重积分JJ4y2sin（xy）dxdyD其中D其中D是由x=0,y=,y=x所围成的区域。（存分）［30］计算二重积分JJ（x—y2）dxdyD其中D:0WyWsinx,「|•:显.（5分）［31］计算二重积分

JJx2ycos（xy2）dxdyD其中D：w「:,0WyW2.（4分）［32］计算二重积分JJxJydxdyD其中d是由抛物线y二jx及y=X2所围成的区域。（（4分）［33］计算二重积分JJ|y|dxdyD（4分）[34]计算二重积分JJxdxdyD其中D:2—x<y<1+\''l—x2,0<x<1（（5分）［35］计算二重积分JJr2drd0D兀其中D:acos0<r<a,0<0<—（a>0）（4分）［36］利用极坐标计算二次积分J2dxJ"4-x2Jx2+y2dy—20*分）［37］利用极坐标计算二重积分JJarctg于dxdyxD其中D：1Wx2+y2W4,y±0,yWx.（4分）［38］利用极坐标计算二重积分JJarctg-^dxdyxD其中D:a2Wx2+y2WI,x三0,y三0,a>0,x=0处广义。（5分）［39］试求函数f（x,y）=2x+y在由坐标轴与直线x+y=3所围成三角形内的平均值。（6分）［40］试求函数f（x,y）=x+6y在由直线y=x,y=5x和x=l所围成三角形内的平均值。（4分）［41］由二重积分的几何意义，求—x2—y2+1）dxdyx2+y2<1（4分）［42］计算二重积分

JJxdxdyD其中D：x2+y2<2及x±y2.原式=J1dyJ2-y2xdx-1y2=J1（2-y2-y4）dy0_22—15（3分）［43］计算二重积分JJex2dxdyD其中D是第一象限中由y=x和y=x3所围成的区域。_J1ex2dxJxdy-0x3J1（xex2一x3ex2）dx0_1e-12（4分）［44］计算二重积分JJxdxdyD'4y-y22y-y2其中D：x2+（y-1）2三1K2+（y-2）2W4,yW2,x三0.=J2'4y-y22y-y20、'2y-y2=J2ydy0=2（5分）［45］计算二重积分JJxy2dxdyD其中D:x2+y2W5,x—1三y2.二重积分JJxydxdyD其中D是由（二重积分JJxydxdyD其中D是由（x—2）2+y2=1的上半圆和x轴所围成的区域。DD=f3xdx,4x■23ydy0x（4x-x2-3）dx（4分）［47］计算二重积分ffxp'y2-x2dxdy其中D是由直线x=0,y=1及y=x所围成的区域。£3分）［48］计算二重积分JJx3y2dxdyD其中D：X2+y2WR2.（5分）［49］计算二重积分ffdxdyx2+y2D其中区域D=（4分）［50］计算二重积分ff—dxdyy2D（4分）［51］JJ|xpxdy其中D是由直线（4分）［51］JJ|xpxdyD（5分）［52JJ|xpxdy其中D：x2+y（5分）［52JJ|xpxdy］计算二重积分其中D：（5分）［53］计算二重积分ff4-x2-y2dxdy

其中D为由y=0,x=1,y=2x围成的区域。（吝分）［54］计算二重积分JJyexydxdyD其中D是由y=ln2,y=ln3,x=2,x=4所围成的区域。（（5分）［55］计算二重积分JJxy2dxdyD其中D是由抛物线y2=2px和直线x=p（p>0）所围成的区域。(6分)[56]计算二重积分JJ(x2+y)dxdyDD是由抛物线y=X2和y2=x所围成的区域。（6分）［57］计算二重积分xJJeydxdyD其中D是由抛物线y=J.<（x21）和直线y=x,y=2所围成的区域。（5分）［58］计算二重积分J!xy-y2dxdyD其中D是以0（0,0）,A（10,1）和B（1,1）为顶点的三角形区域。（5分）［59］计算二重积分JJ（12x2+16x3y3）dxdyD其中D是由x=l,y=x3,y=-十所围成的区域。（8分）［60］计算二重积分JJx2-y2dxdyD其中D是以0（0,0）A（1,-1）和B（1,1）为顶点的三角形区域。（3分）［61］计算二重积分Us^nidxdyxD其中D是由y=x,y=0,x=1所围成的区域。（4分）［62］计算二重积分U沁dxdyxD其中D是由y=x2,y=0,x=1所围成的区域。（5分）［63］计算二重积分J!ln(1+x2+y2)dxdyD其中D：x2+y2W4,x±0,y三0.(5分)[64]计算二重积分JJx2+y2dxdyD其中D：x2+y2三2x,x2+y2W4x.(5分)[65]计算二重积分[[尼+y2dxdyD其中D:x2+y2<2x.（4分）［66］利利用极坐标计算二重积分JJsin（x2+y2）dxdyD其中D：n2Wx2+y2W4n2(4分)[67]计算二重积分JJJ1-x2一y2dxdyD其中D:x2+y2W1,x±0,y三0.重积分(7分)[68]设区域D：x2+y2Wa2(a>0)，计算重积分JJf(x,y)dxdy其中/(x,y)D当x>0,y>0其它点（4分）［69］利极坐标计算二重积分ydxdyD其中D：x2+y2<a2,x±0,y三0.（a>0）（3分）［70］利用极坐标计算二重积分JJ(x2+y2)-dxdyD其中D：lWx2+y2W8.(3分)[71]计算二重积分JJ(4-x2-y2)dxdy其中D:x2+y2W4.（5分）［72］计算二重积分JJxydxdyD其中D：x2+y2±l,X2+y2W2x,y三0.

（5分）［73］计算二重积分xye-x2-y2d0，其中区域D为x2+y2Wl在第一象限部分。（5分）［74］将二重积分f（x,y）d9化为在极坐标系中先对r积分的累次积分，其中D:0WxW,OWyWl.（纟分）［75］利用极坐标计算二重积分JJxdxdyD其中D:X2+y2<2x,x2+y2^x.（5分）［76］计算二重积分其中D:yWxW\：16—y2,OWyW2、；2,y±0.（6分）［77］计算二重积分JJln（l+x2+y2）dxdyD其中D：x2+y2WR2（R>O）,x±O,y三O.（5分）［78］利用极坐标计算二重积分JJsin.'x2+y2dxdyD其中D：1Wx2+y2W4,x±0,y三0.—答^案———答案部分，（卷面共有100题，405.0分，各大题标有题量和总分）一、选择（16小题，共53.0分）（2分）［1］［答案］B.（3分）［2］［答案］B.（3分）［3］［答案］A.（3分）［4］［答案］（B）.（3分）［5］［答案］（C）.（3分）⑹［答案］C.（3分）［7］［答案］B.（3分）［8］［答案］C（4分）［9］［答案］C.

（3分）［10］:答案］之D.（4分）［11］［答案］C.（5分）［12］［答案］A.（4分）［13］［答案］B.（3分）［14］［答案］（A）.（3分）［15］［答案］C.（4分）［16］［答案］B.二、填空（6小题，共21.0分）（4分）［1］［答案］函数f（x,y）在D上（4分）［2］［答案］16（3分）［3］［答案］1na36(3分)[4][答案]0.(4分)[5][答案]i己F(r,0)=f(rcos。，rsin。)r,「3dof2cos0F(r,0)dr+「:dof1F(r,0)dr+J2dof—兀02(3分)[6][答案]13、计算（78小题，共331.0分）2cos0兀03F(r,0)dr(3分)[1][答案]原式=f1dxf2xf(x,y)dy+f2dxf2f(x,y)dyTOC\o"1-5"\h\z0x1x(3分)[2][答案]原式=f2dyfyf(x,y)dx+f4dyf2f(x,y)dx02y21(3分)[3][答案]原式=f0dxf~xf(x,y)dy-1x2-2=-=-2（3分）［4］［答案］TOC\o"1-5"\h\z原式=f1dyJeLf（x,y）dx0、‘1-y（4分）⑸［答案］原式=卜dxfsinx（x-y2）dyJ00冗dx（xsinx一：sin3x）4=兀一一9（3分）［6］［答案］原式=f2xdxfx2ydy00=if2x5dx20=16=T（3分）［7］［答案］原式=f4dxf2\:'xydy0x=f43x2^xdx02=384（3分）［8］［答案］原式=f2xdxf3ydy1x2x3dx1=334（3分）［9］［答案］原式=卜dxj"cos（x+y）dyJ0x兀（sin（x+兀）-sin2x）dx0（4分）】10］［答案］原式

=J3"Jy(x2+y2一y)dx1Y-1--(0-1)3)+02-0do=13[2Y2-2Y+11DYiI3丿=10(3分)[11][答案]原式J4DxJ1xcos2xydY0-1工.=J4sin2xdxo=1=2(3分)[12][答案]原式=J1Dy•Jx(x+Y)dxn(n(2Y2-1Y2)Dy0o211=02=J12(x+Y)20dy=021=—032或解原式=J1dxJ1(x+o)do0x=J1(+x-x2)dx022=1=2(3分)[13]:答案]原式J1dxJ5x(x+6o)do0x=J176x2dx0=2513(3分)[14][答案]原式__24=f2xdxjxydy#i丄x=-!-f2x(x2)dx1x2=15-1ln282（3分）［15］［答案］原式=f4丄dxf2xydy2xx=fxdx22=9(3分)[16][答案]原式=4f1dxf1-xydy=2f1(1-x2)dx0=2=3(3分)[17][答案]原式=4f1xdxf1-xydy占0=2J1x(1-x)2dx0=1=6（4分）［18］［答案］原式f2xdxfxy2dy11x=If2(x4-—)dx1x2=1210（4分）［19］［答案］原式f3adyfy(x2+y2)dxay-aTOC\o"1-5"\h\z_卜(2ay2-a2y+1