高中数学专题训练(八)-立体几何中求角与距离

高中数学专题训练——立体几何中求角与距离1.四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB±WABCD.(1)若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°,求这个四棱锥的体积；(2)证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90。2如图，直三棱柱ABC-AiBiCi的底面ABC为等腰直角三角形，/ACB=900,AC=1,C点至IABi的距离为CE=^3,D为AB的中点.(1)求证：ABi,平面CED;(2)求异面直线ABi与CD之间的距离;(3)求二面角Bi—AC—B的平面角.3.已知a—l一是120°的二面角，A,B两点在棱上，AB=2,D在内，三角形ABD是等腰直角三角形，/DAB=90°,C在内，ABC是等腰直角三角形/ACB=900.I）求三棱锥 D—ABC的体积；2）求二面角 D—AC—B的大小；3）求异面直线 AB、CD所成的角.4.已知三棱锥P—ABC中，PC，底面ABC,AB=BC,D、F分另1J为AC、PC的中点，DELAP于E.(1)求证：AP，平面BDE;(2)求证：平面BDE，平面BDF;(3)若AE：EP=1：2,求截面BEF分三棱锥P-ABC所成两部分的体积比.5.如图，几何体ABCDE中，ZXABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F、G分别为EB和AB的中点.(1)求证：FD//平面ABC;(2)求证：AFXBD;(3)求二面角B—FC—G的正切值..如图，正方体ABCD—AiBiCiDi的棱长为1,的点,且DiP：PA=DQ:QB=5：12.(1)求证PQ//平面CDDiCi;⑵求证PQXAD;(3)求线段PQ的长..如图4,在长方体ABCDABCiDi中，AD=AAi=1,AB=2,点E在棱AB上移动。(I)证明：DiEAiD;(H)当E为AB的中点时，求点E到面ACDi的距离；(m)AE等于何值时，二面角DiECD的大小为一4.如图，在正三棱柱ABC—AiBiCi中，各棱长都相等，D、E分别为ACi,BBi的中点。(1)求证：DE//平面AiBiCi;(2)求二面角Ai—DE—Bi的大小。.如图：已知直三棱柱ABC—AiBiCi,AB=AC,F为棱BBi上一点，BF：FBi=2：i,BF=BC=2a。(I)若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EF±FCi;(II)试问：若AB=2a,在线段AD上的E点能否使EF与平面BBiCiC成Ci60。角，为什么证明你的结论CiAiBi.如图，在底面是直角梯形的四棱锥PABCD中，AD//BC,/ABC=90°,5且/ADCarcsin1-,又PAL平面ABCD,AD=3AB=3PA=3a。(I)求二面角P—CD—A的正切值;(II)求点A到平面PBC的距离。12.在直三棱柱ABC—AiBiCi中，CA=CB=CCi=2,/ACB=90°,E、F分另U是BA、BC的中点，G是AAi上一点，且ACiXEG.DAB60,DAB60,PD平面ABCD,.已知四棱锥P—ABCD,底面ABCD是菱形,PD=AD,点E为AB中点，点F为PD中点.(1)证明平面PEDL平面PAB;(2)求二面角P-AB—F的平面角的余弦值CiCipC.在棱长为4的正方体ABCD-AiBiCiDi中，。是正方形AiBiCiDi的中心，点P在棱CCi上，且CCi=4CP.(I)求直线AP与平面BCCiBi所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)(H)设。点在平面DiAP上的射影是H,求证:(出)求点P到平面ABDi的距离..如图，在四棱锥产一月SC。中，底面ABCD是正方形，侧棱FX1底面ABCD,产3=ZK7,E是PC的中点，作EF1FS交PB于点F。TOC\o"1-5"\h\z(I)证明PAI;平面EDB； p(II)证明PB_L平面EFD； \V\(III)求二面角C -D的大小。 \/.如图，在棱长为1的正方体ABCD—AiBiCiDi中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.(I)试确定点F的位置，使得DiE，平面ABiF;(II)当DiE，平面ABiF时，求二面角Ci-EF-A的大小(结果用反三角函数值表示).P、P、Q分别是CCi、CiDi的中.如图,直四棱柱ABCD-AiBiCiDi的底面是梯形，AB//CD,AD±DC,CD=2,DDi=AB=1,点。点P到直线ADi的距离为3但2⑴求证：AC//平面BPQ⑵求二面角B-PQ-D的大小.已知长方体ABCD—AiBiCiDi中，AB=BC=4,AAi=8,E、F分别为AD和CCi的中点，Oi为下底面正方形的中心。(I)证明：AF，平面FDiBi;(H)求异面直线EB与OiF所成角的余弦值;.图①是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图(2)的正方体中将MN,PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题：(1)求MN和PQ所成角的大小；(2)求四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比；(3)求二面角M—NQ—P的大小。图①.如图，已知四棱锥P—ABCD,PBXAD,侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。(1)求点P到平面ABCD的距离；(2)求面APB与面CPB所成二面角的大小。答案:1.(1)正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面，其面积为a(1);D是(1);D是AB中点，4ABC为等腰直角三角形，/ABC=900,「•CD,PB面ABCD,「•BA是PA在面ABCD上的射影乂DAXAB,PAXDA,丁./PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，/PAB=60°.而PB是四棱锥P—ABCD的高，PB=AB•tg60°=J3a,,..3,..33—a.3(2)不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD包为全等三角形.作AELDP,垂足为E,连结EC,则△ADE^zXCDE,AECE,CED90,故CEA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.设AC与DB相交于点O,连结EO,则EOXAC,2 〜……—aOAAEADa2在AEC中,cosAECAE2EC2化0A)2(AE金川厅达川0.2AEEC AE2故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于900.AB又AAi,平面ABC,aCDXAAi..CD，平面A1B1BA.-.CDXABi,又CEXABi,，ABi_L平面CDE;(2)由CD,平面AiBiBA..CDIDE.ABi,平面CDE/.DEXABi.DE是异面直线ABi与CD的公垂线段TOC\o"1-5"\h\z、3 2.CE=23AC=1，.二CD=±2 22 2 2 1•.DEv(CE)2(CD)2 2;(3)连结BiC,易证BiCXAC,又BCXAC,・・•/BiCB是二面角Bi—AC—B的平面角.， • .3在RtMEA中，CE=y-,BC=AC=i,・・•/BiAC=600ABi-2, ；BBiV(ABi)2""(AB)2五,cos60tgBCB胆v,2，.二B1cBarctg22.BC3.(i)过D向平面做垂线，垂足为O,连强OA并延长至E.ABAD,OA为DA在平面上的射影，ABOADAE为二面角a—l一的平面角.DAEi20,DAO60.ADAB2,DO、3.ABC是等腰直角三角形，斜边AB=2.Sabci,又D到平面的距离DO=、3.V 3VDABC-Z-3(2)过。在内作OMLAC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则ACXDM.；/DMO为二面角D—AC—B的平面角.又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且OAMCAE45,OM£.tgDMO.6.DMOarctg..6.(3)在乎在内，过C作AB的平行线交AE于F,/DCF为异面直线AB、CD所成的角.ABAF,CFAFCFDF,又CAF45,即ACF为等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距离，即^ABC斜边上的高，AFCF1.DF2AD2AF22ADAFcos1207.tgDCF受7.tgDCF、.7.CF异面直线AB,CD所成的角为arctgJ7.4.设容器的高为x.则容器底面正三角形的边长为a2«x,V(x)-J3 2——x(a23x)2(04a、x-)2.3-3 14V,3x(a213x)(a2.3x)44.31.43xa2.3xa2.3x、3a3W( 3 ) 54当且仅当4v13xa2<3x,即x'a时，Vmax .18 54故当容器的高为*3a时，容器的容积最大，其最大容积为a18a3545.(1)..PC,底面ABC,BD平面ABC,aPCXBD.由AB=BC,D为AC的中点，得BDXAC,又PCAAC=C,BD，平面PAC.又PA平面、PAC,aBDXPA,由已知DELPA,DEABD=D,，平面BDE.(2)由BD，平面PAC,DE平面PAC,彳3BDXDE.由D、F分别为AC、PC的中点，得DFBDADF=D,「.DE，平面BDF.又DE平面BDE,平面BDE，平面BDF.(3)设点E和点A到平面PBC的距离分别为hi和h2.则hi:h2=EP:AP=2:3,1G2 13-23\/ \/ hiS2 13-23VP EBF VE PBF 3Vp ABC Va PBC 1 q—h2SPBC3故截面BEF分三棱锥P-ABC所成两部分体积的比为1：2故截面BEF分三棱锥6.〈F、G分别为EB、AB的中点，•■-FG=1EA,又EA、DC者B垂直于面ABC,FG=DC,2••・四边形FGCD为平行四边形，.二FD//GC,又GC面ABC,・.FD//面ABC.(2)「AB=EA,且F为EB中点，AFXEB①又FG//EA,EA，面ABC••.FG,面ABC;G为等边△ABC,AB边的中点，AG^GC..—GC又FD//GC,..AFXFD②由①、②知AF±WEBD,又BD面EBD,AFXBD.(3)由(1)、(2)知FG^GB,GCXGB,..GBXWGCF.过G作GH^FC,垂足为H,连HB,•.HB^FC.丁./GHB为二面角B-FC-G的平面角.易求GH-a,tgGHB「a—空2 .3 3一a27.(1)在平面ADi内，作PPi//AD与DDi交于点Pi,在平面AC内，作QQi//BC交CD于点Qi,连结PiQi.vDIPDQ£, ••.PPi//QQi口PAQBi2 一由四边形PQQiPi为平行四边形，知PQ//PiQi□匚|而PiQi平面CDDiCi,所以PQ//平面CDDiCidAD，平面DiDCCi, ..AD±PiQi,0又PQ//PiQi, ..AD±PQd(3)由(i)知PiQi//PQ,叫DQ而棱长CD=i. aDQi=—.同理可求得PiD=i2.TOC\o"1-5"\h\zQiCQBi2 i7 i7在Rt^PiDQi中，应用勾股定理，立得, 2 2PiQi= PiD2 DQ2 .i2 5 £.i7 i7 i78.解：建立如图所示的空间直角坐标系，设AEa,则A(i,0,i),Di(0,0,i),E(i,a,0),A(i,0,0),C(0,2,0)o(I)证明：由DA(i,0,i),DE(lai,i),晨DE(i,0,i)(i,ai,i)ii0,有DAiDiE,于是DiEAiD。(H)E是AB的中点，得E(i,i,0)。DE([i,i),亮(i,2,0),加(i,0,i)。设平面ACDi的法向量为n(x,y,i),单位法向量为n0,

由naC0 (x,y,1)(1,2,0) 0naD0由naC0 (x,y,1)(1,2,0) 0naD0 (x,y,1)(1,0,1)0x2y0x10解得一一1于是n(1,—,1),有n21(1,2,1)1412123,3,3设点E到平面ACD1的距离为d,则dDEn0212(1,1,1)(3,3,3)1所以点E到平面ACDi的距离为-3(m)平面DEC的法向量ni(0,0,1),设平面D(m)平面DEC的法向量ni又EC(1,2a,0),DC(0,2,1)n2EC0衿(x,y,1)(1,2a,0)n2DC0,寸(x,y,1)(0,2,1)0xy(2a)2y10解得a2xy(2a)2y10解得a2,于是n2a1(12,2,1)0设所求的二面角为有coscosDD1,n2(0,0,1)(11,1)有coscosDD1,n2(0,0,1)(11,1)(12)24、、2 a2一，行(1-)2 2112。4所以，当AE=2曲时，二面角DiECD的大小为一4(1)取AiCi中点F,连结BiF,DF,=DiE分别为ACi和BBi的中点，DF//AAi,DF=(1/2)AAi,B1E//AA1,BiE=(1/2)AA1,..DF//BiE,DF=BiE,「.DEBiF为平行四边形，.二DE//BiF,又BiF在平面AiBiCi内，DE不在平面AiBiCi,DE//平面AiBiCi(2)连结AiD,AiE,在正棱柱ABC—AiBiCi中，因为平面AiBiCi，平面ACC1A1,AiCi是平面AiBiCi与平面ACCiAi的交线，又因为BiF在平面AiBiCi内，且BiFLAiCi,,所以BiF，平面ACCiAi,又DE//BiF,所以DE，平面ACCiAi所以/FDAi为二面角Ai—DE—Bi的平面角。并且/FDAi=(1/2)/A1DC1,设正三棱柱的棱长为1,因为/AAiCi=900,D是ACi的中点，所以DCi立,AD三2,ADCi900, FDAi450，即为所求的二面角的度数。2 2(I)连结DF,DC.「三棱柱ABC—AiBiCi是直三棱柱，••.CC」平面ABC,••・平面BBiCiC,平面ABCvAB=AC,D为BC的中点，aAD±BC,AD，平面BBiCiC3/・•.DF为EF在平面BBiCiC上的射影，在△DFCi中，「DF2=BF2+BD2=5a2,DC2=CC2+DC2=10a2,FC12=BiF2+BiCi2=5a2, ..DC2=DF2+FC2,/.DFXFCiFCiXEF.「AD,平面BBiCiC,DFE是EF与平面BBiCiC所成的角在AEDF中，若/EFD=60°,贝UED=DFtg60°=分-75a=j15a,「•隔><3a,「.E在DA的延长线上，而不在线段AD上故线段AD上的E点不能使EF与平面BBiCiC成60。角。11.解：(1)在底面ABCD内，过A作AELCD,垂足为E,连结PEPA/j AI\ABE0.「PA，平面ABCD,由三垂线定理知：PE，CD.「/PEA是二面角P—CD—A的平面角在RtAED中，AD3a,ADEarcsin—AEADsinADE5在RtAED中，AD3a,ADEarcsin—AEADsinADE5在RtPAE中，tanPEAPAAE史「•二面角P-CD-A的正切值为吏

3 3(II)XBC在平面APB中，过A作AH，PB,垂足为H=PA，平面ABCD,「•(II)XBC又AB^BC,；BC，平面PAB.•・平面PBC，平面PAB「•AH，平面PBC故AH的长即为点A到平面PBC的距离在等腰直角三角形PAB中，AH—a，所以点A到平面PBC的距离为丝a2 2解法一：(I)以C为原点，分别以CB、CA、CCi为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F(1,0,0),E(1,1,0),A(0,2,0),Ci(0,0,2),AC1 (0,2,2)设G(0,2,h),则EG(1,1,h).AGEG,EGACi0.「.一1X0+1X(-2)+2h=0.，h=1,即G是AAi的中点.(II)设m(x,y,z)是平面EFG的法向量，则mFE,meG.所以0x1y0z0,平面EFG的一个法向量m=(1,0,1)xyz0.TOC\o"1-5"\h\z|mACi| 2 1•sin —： -|m||AC1| ,22.2 2一,即ACi与平面EFG所成角为一6 6ED又CCi,平面ABC解法二：(I)取AC的中点D,连结DE、DG,则而ED又CCi,平面ABC.cc1nAC=c又..ACi^EG,「•.cc1nAC=c又..ACi^EG,「•ED，平面AiACCi.,ACiXDG.连结AiC,〈ACiLAiC, AiC;D是AC的中点，.•・(n)ccCCi的中点M,连结GM、FM,则EFCiH±一一叱■ 产、£展演充A.浅■葡1勺延:的延长线于H,..AC，平面BBiCiC,CiH平面BB1C1C,「ACLGiH,又AC「GMnFM=M,；CiH，平面EFG,设ACi与MG相交于N点，所以/CiNH为直线ACi与平面EFG所成角9.因为CiH---,CiN 2,sin22 12?2 2, 613. (1)证明：连接BD.ABAD,DAB60,ADB为等边三角形.E是AB中点,PD面ABCD,ABABDE.面ABCD,ABPD.DE面PED,PD面PED,DEPDD,AB面PED.AB面PAB,®PED面PAB.⑵解：AB⑵解：AB连接EF, EFPEF为二面角ABPE.平面PED,PE面PED,PED, ABEF.P-AB-F的平面角.14设AD=2,那么PF=FD=1,DE=V3.在PEF中，PE",EF2,PF1,cosPEF(.7)2221 5722；14即二面角P—AB—F的平面角的余弦值为APBarctan4、万

17(2)(3)5.714o15.方法一：(I)证明：连结AC,AC交BD于O。连结EO「底面ABCD是正方形，,点。是AC的中点在及也c中，eo是中位线，,Me。。而且。匚平面EDB且孙仁平面EDB,所以，PAI平面EDB(II)证明：---P口1底在ABCD且讶C仁底面ABCD,:-PD1DG-“3D0同样由PD1底面ABCD,得正01BC-.「底面ABCD是正方形，有订C13C,：8c1平面pdc而白与u平面PDC,：,BC1DE.② 分由①和②推得DE_L平面PBC而FF匚平面PBC,DE1PB又与F1FB且刃fl月胃■£,所以平面efd（III）解：由（II）知，F3_L3F,故2区严O是二面角的平面角由（II）知，口E*EF,PDLDB设正方形ABCD的边长为以，则FD=DC=^BD=/,PB=4Pm+B炉=PC=心存」讨=缶1在将中DE=-PC=-^.在将中2 2口”坐2.心.昱°F8出03 在出回。中,所以，二面角 C-尸3一口的大小为m方法二：如图所示建立空间直角坐标系， D为坐标原点。设DC=a-（I）证明：连结AC,AC交BD于G。连结EG。依题意得心00）,尸（0,0.明矶吟与「底面ABCD是正方形，二「-G是此正方形的中心， "故点G的坐标力仁，。）为--直三-前五=e,0厂＞2 2,,0二2而。这表明用#EG。而匚平面EDB且巴4仁平面EDB,，融N平面EDB。~~ DR=（0更―）（II）证明：依题意得3日见0）』丹・（巴凡-白）0又、二‘5故丽逸=0+—-—=02 2 .1.P£IDE由已知WF1FB,且即Tl◎£・旦所以FE,平面efd。（III）解：设点F的坐标为（/PF=1F5,则（/，少0，/一"）三五（明4-0从而七三工”小曲/广（1-m.所以由条件狼1FB知，尸"5=0,即已一驾.二点F的坐标为333且TOC\o"1-5"\h\z / 2/，郎也=+——=03 3 3即PB1FD故/豆田口是二面角C-PB-D的平面角/3/ 3.丽丽♦土-土+土」J-6且

16.本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，满分12分.内的射影BifC解法一：（I）连结A1B,则A1B是D1E在面ABB1A;内的射影BifCvAB11A1B,D1EXAB1,于是D1EL平面AB1FD1EXAF.连2gDE,则DE是D1E在底面ABCD内的射影.D1EXAFDEXAF.•.ABCD是正方形，E是BC的中点.・•・当且仅当F是CD的中点时，DELAF,即当点F是CD的中点时，D1E,平面AB1F. （II）当D1EL平面AB1F时，由（I）知点F是CD的中点.又已知点E是BC的中点，连结EF,则EF//BD.连结AC,设AC与EF交于点H,则CHIEF,连结CH,则CH是C1H在底面ABCD内的射影.C1HXEF,即/C1HC是二面角C1—EF—C的平面角.， , 1在RtzXCiCH中，..CiC=1,CH=—AC=4一一CC•.tan/C1HC= CHarctan22.・./CiHC=arctan2、1'2,从而/AHCarctan22.故二面角C1—EF—A的大小为 arctan2<2.解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系(1)设DF=x,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),TOC\o"1-5"\h\z/ 、 , 、一/ 、 1 , 、A10,0,1),B1,0,1),D10,1,1),E(1,1,0),Fx,1,0)2- 1D1E(1,a，1),AB(1,0,1),AF(x,1,0)D1EAB1110,即D〔EAB1一L f一 1于是D〔E平面AB〔F D1EAFD1EAF0x-02即x1.故当点F是CD的中点时，D〔E平面AB〔F

(1)当DiE，平面ABiF时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连结EF,则EF//BD.连结AC,设AC与EF交于点H,则AHXEF.连结CiH,则CH是CiH在底面ABCD内的射影..•.CiHlEF,即/AHCi是二面角Ci—EF—A的平面角.33(4,4,0).33Ci(i,i,i),H(-,,0),33(4,4,0).44-- iiHCi (-,-,i),HAcosAHCiHAHCi|HA||HC7|cosAHCiHAHCi|HA||HC7|38ii7、⑴连接CDi=P、Q分别是CCi、CiDi的中点。「.CDi//PQ故CDi//平面BPQ又DiQ=AB=i，DiQ//AB，得平行四边形ABQDi，故ADi//平面BPQ「•平面ACDi//平面BPQ「.AC//平面BPQ (4分)⑵设DDi中点为E，连EF，则PE//CD,.CDXAD，CDXDDi」.CD，平面ADDi•.PEL面ADDi过E作EF,ADi于F,连PF。贝(JPF±ADi,PF为点P到直线ADi的距离PF=3^2,PE=2.-.EF=—又DiE=1,DiD=i,•.AD=i2 2 2取CD中点G,连BG,由AB//DG,AB=DG得GB//AD。vAD±DC,AD，DDi；AD，平面DCCiDi,则BG,平面DCCiDi过G作GH^PQ于H,连BH,则BH±PQ,故/BHG是二面角B-PQ-D的平面角。由△GHQs/XQCiP得GH=-2-,又BG=i,得tan/BHG=^.5 2「•二面角B-PQ-D大小为arctan—2i8、解本题考查空间的线面关系，向量法及其运算。(I)证法一：如图建立空间直角坐标系。则Di(0,0,0)、Oi(2,2,0)Bi(4,4,0)、4,8)、口0,4,4)0AF=(-4,4,E(2,0,8)、A(4,0,8)、B(4,-4),DF=(0,4,4),BF=(40,4)研常=0+16-16=0,=16+0-16=0・•・AF，平面FD1B1.证法二：连结BF、DF,则BF是AF在面BC1上的射影，易证得BFXB1F,DF是AF在面DC1上的射影，也易证得DFLD1F,所以AFL平面FD1B1.i \(H)解法一：EB=(2,4,0),OF=(-2,2,4)I !设EB与OF的夹角为cos2(2)420 _.30IEBIIOFI解法二：在B1C1上取点.22—42]：(2)222—42—30H,使B1H=1,连O1H和FH0易证明O1H//EB,则/FO1H为异面直线EB与O〔F所成角又O1H=1BE=V5,HF=J3242=5,2OO1F=J222242=276,・•・在△OMF中，由余弦定理，得cos/FO1H=2452