地图代数复习资料

地图代数复习资料考试题型：七道简答题，两道综合题（7X10+2X15）一般前三章考理论，后三章以实验为依托，涉及具体矢量方法的内容都不用看。第一章地图代数的概念里.地图代数基本概念地图代数的概念：广义的（地图符号集合及建立在该集合上的运算）狭义的（空间网格集合及其运算）（1）什么是地图代数①地图->集合（规则点集合、地图符号集合、图形对象集合、不规则离散点集合等）②代数->集合元素上的运算③地图代数->在地学信息符号集合上定义了运算的系统用栅格来解决矢量问题的局限性，矢栅结合。※（2）集合与代数的基本概念①集合：若干固定事物的全体；②变换：一元代数运算；③代数运算与代数系统：由两个集合X到所组成的一类特殊变换叫做代数运算；如果一个集合具有满足某些法则的代数运算，则称为一个代数系统。④关系与等价关系：一个X到的映射，称作的元素间的一个关系；若一个关系满足反射律、对称律、推移律，则称这种关系为等价关系。⑤分类：若把一个集合分成若干个称作类的子集，使中每一个元素属于而且只属于一个类，那么这些类的全体叫做集合的一个分类。⑥代表与全体代表团若集合有一个分类，那么一个类中任一个元素叫做这个类的一个代表，全部由各个类的一个代表形成的集合叫做一个全体代表团。（3）整数空间与栅格平面以具有0和正整数坐标的矩形中心点集来代替矩形栅格集时，就形成了本书的栅格平面。栅格平面就是实数平面的上述全体代表团（整数），这种定义可向三维和其它空间拓广，显然，栅格点和实数点是有一些差别的，在使用它的便利时，也应慎密地顾及它的差别。（4）地图代数具有的基本对象类型：元集和元矢量元集是像元的二维欧式空间的集合点集；元矢量是每一个集合点的坐标矢量。值集和值元值集是元集的取值范围，值元是值集中的某个取值。元图定义在元集上取值为值集的函数。（元图-＞地图/影像）*2.当代GIS空间问题需求的特点当前空间问题中有哪些需求是和地图代数的运算特点相适应的。()数据量极其庞大；一一面向空间、穷举可解(2)对空间对象之间的相互关系依赖越来越大；——形态一致(3)全球化的计算需求(空间非欧化)；——非欧支持(4)二维-＞三维乃至更高维。——高维扩展*3.地图代数方法的特点(与空间实体的形态和个数无关)(1)形态一致表达全形态图形上的一致性，简单性。•形态一致指空间现象，无论点、线、面、体，在地图代数中统一由点集(集合)来表示。•空间现象之间的距离，在地图代数中只有点集到点集的距离这唯一一种。距离表达的形式一致，适应全形态(点线面体)的分析，相对矢量几何降低了计算复杂性；(2)穷举可解性对于空间问题的穷举可解性。•很多空间问题的解空间从无穷-＞有穷。•通过将无限可分的空间(无穷集合)划分为有穷的网格集合，并用‘全体代表团’的特性选取代表点的集合，就形成了有穷的点元素空间，这就是场的逻辑模型构建思路，有穷集合可以使用穷举来计算；(3)高维扩展很容易扩展到高维情况。地图代数的运算过程的核心是对点集（集合）的遍历以及依赖于距离函数的运算；无论2维、3维乃至更高维度，运算不变；无论多少维，场运算本质上是集合运算，运算的方式主要是遍历集合元素，不涉及基于维度的相关空间性质，因而高维场模型空间算法的设计思想与低维是一致的，低维算法设计出来经过很少的改动就可以扩展到高维。（4）面向空间计算时间复杂度基数为，其中为计算中空间的分辨率，与生成元个数基本无关，所以称之为面向空间的方法。（栅格具有面向空间的优势：因为栅格无需提前准备数量极其巨大的拓扑数据或关系数据，栅格方式中，只要实体的空间位置（“位”数据）确定，就可生成任意空间关系数据（集合论），解决了空间问题的可计算性。）主要从运算的效率：时间复杂度角度来探讨。相对于矢量几何中算法的复杂度（）为空间对象的数量，含形态复杂度，算法复杂度的基数完全依赖于对象个数，对象的形态复杂程度等与对象紧密关联的量，因此称矢量几何运算为面向对象的运算；而场模型的运算是集合运算，运算的时间复杂度为空间分辨率，也就是待计算空间本身这一独特对象被划分为的网格数量），运算效率只和空间集合的元素个数（总栅格数）相关，而和空间对象的个数与形态无关，因而称为面向空间。（5）非欧支持容易拓展到非欧空间、泛度量空间。地图代数的运算过程的核心是对点集（集合）的遍历以及依赖于距离函数的运算，对欧氏几何的性质、定理没有依赖性。分析地图代数的4类运算，考察每种运算中使用到的数学方法，可以发现大部分算法都没有使用到欧几里得几何学的定理和公理；运用的是度量空间的基本性质，包括距离公理和邻近性质（地理学第一定律），因此也不受欧氏空间的限制，可以运转在任意度量空间上；4.空间数据表达模型（1）基于对象（要素）的模型基于对象（要素）的模型强调了离散对象，该现象以独立的方式或者以与其它现象之间的关系的方式来研究。任何现象，无论大小，都可以被确定为一个对象，假设它可以从概念上与其邻域现象相分离。从空间表达上来看，归结为点、线、多边线、多边形（面）等图形对象。（2）网络模型网络模型表示了特殊对象之间的交互，如水或者交通流。（3）场模型场模型表示了在二维或者三维空间中被看作是连续变化的数据。根据应用的不同，场可以表现为二维或三维。一个二维场就是在二维空间中任何已知的地点上，都有一个表现这一现象的值；而一个三维场就是在三维空间中对于任何位置来说都有一个值。地图代数方法充分利用场模型的特点来计算空间问题。•基于对象（要素）的模型：矢量结构，强调了离散对象；关键假设：它可以从概念上与其邻域现象相分离；（）•场模型：场模型表示了在空间中任何位置来说都有一个值。源点场、距离场、分配场等不要求概念，需要了解应用方法。对.地图代数的运算集合（四种基本运算）（对栅格图层的处理，运用度量空间的基本性质，不受欧氏空间的限制）

（1）局部函数（局部函数也叫做图层函数。在每一栅格图层中，对每个格网单元进行操作。格网单元的处理与周围的格网单元没有任何关系。运算可以是基本的算术运算，三角函数，指数函数，对数函数及逻辑运算。（）焦点函数（）焦点函数要通过其附近的格网单元值处理格网单元数据。为此，定义了“中心”用来表示邻接关系，在空间分析中我们使用形态来描述焦点的邻接关系。焦点函数的类型是：焦点求和，焦点均值，焦点最大值，焦点最小值，焦点值域。

□焦点均值（计算某一领域的平均值）□焦点求和（某一领域内的和）201□焦点均值（计算某一领域的平均值）□焦点求和（某一领域内的和）20112r304422311TJ77g96131616111318201481313107一0117304422311321.S1.31.51.52.22.0L81.82.22.02.2232.0222.22.5（）分带函数（）基于分带的格网单元的处理和分析。分带定义了具有共同特征的格网单元。在同一分带内的格网单元不一定要相互邻接。.一个典型的分带函数需要两种格网：1）一种是用来定义每一分带的大小，形状及位置的分带格网；2）一种是将进行数据处理的数值格网。•典型的分带函数包括：分带均值，分带最大值，分带最小值，分带求和，分带变化量。（下面例子中的分带格网与数值格网结合，得到了区域分类后的分带最大值的结果格网）□分带最大值一一确定每一带中的最大值口通常用于区域分类一一例如，覆盖不同类型森林的区域的分类口（4）全局函数（全局函数一一每个格网单元的输出值是全体格网单元的函数值。（并行较差）典型的全局函数是：距离测量，流定向及加权测量。用来确定格网单元彼此间的关系。□距离测量一一基于格网大小的欧氏距离的计算□用“代价”格网构建加权函数1112原始数据（源城）1112原始数据（源城）2.221001.411410101L411.411.42.22距离惭（5）叠置分析矢量中：空间叠置运算一一求交集和并集;（6）缓冲区分析6.地图模型地图是一类空间点集。（1）按几何形态分类：=,,其中，表示地图的某点状符号，表示某线状符号，表示某面状符号。（2）按地理要素分类：二,,,……其中，表示居民地要素符号，表示道路网要素符号，表示水系要素符号，表示境界要素符号，……（3）基于规则栅格点集：=,,X、Y、C为地图空间坐标。第二章度量空间地球信息度量空间：（1）度量空间的概念地球信息度量空间就是地球空间的数学定义,地球空间的数学定义或地球信息度量空间可称之为的空间数学基础。即：地球信息度量空间地球空间的数学定义的空间数学基础度量空间的进展：欧氏空间.地球椭球体（地球度量空间）。因为地球信息的度量空间本质上应用地球本身空间的数字意义，因此，不管是“数字地球”，或是大型GIS，其空间数学基础应采用大地测量学对地球空间的数学定义，其地球椭球体、大地坐标系、大地线尺度是三位一体的。过去采用欧氏尺度代替大地线尺度是二维介质的表达所必须，是局部的、粗略的。现代地信要回归三维椭球本体。※（）空间概念的统一问题：（传统地图的局限-＞地图的空间概念）地理学的地理空间（地球圈层）、大地测量学中地球空间（旋转椭球体数学模型）、地图的地图空间（地球空间纳入欧氏空间）、地理信息系统中的地理空间（小区域-＞大范围）。GIS与数字地球已完全不是小区域时，原有空间定义不能延用。使的地理空间真正统一于地球科学的地理空间是地理信息系统正确发展的迫切需要。度量空间的定义决定了度量空间性质，实体一旦在空间放定，即“位”一定，其它度量关系也就相应完全确定，即“邻”、“近”、“势”三类数据完全确定。地理空间、地图、、测量，其数学基础有什么共性和差异；尤其是地图制图和的对比。共性：空间参考体系地球旋转椭球体差异：坐标系统笛卡尔坐标系大地坐标系统空间尺度-基于地图投影纳入欧氏空间/地球椭球面上的大地线尺度X（）的空间数学基础：（重点；度量空间的基本要素）地球空间的数学定义或地球信息度量空间可称之为的空间数学基础，它包含以下三个方面的基本内容。：地球信息的空间参考体系——地球椭球体（地球的旋转椭球体空间）；地球空间信息的空间坐标系统——大地坐标系统（，，）;地球信息的空间尺度——地球椭球面上大地线尺度（大地线距离的度量空间）；※大地线尺度：大地线尺度是椭球面上两点间的最短程线，是椭球面上的一条三维曲线，具有过每点的密切面均垂直于椭球面，即包含过该点的法线的性质。如白赛尔、高斯平均引数等。※大地测量学中大地坐标系统（）与地心坐标系统（）完全等价且相互间可以转换，但对于地理信息来说，采用大地坐标系更好，因为：（）由于的对象是在地球面周围的有限空间，即地球椭球面上、下有限空间，因而采用地球椭球面做基准面的大地坐标系统更合适；（）大地坐标系统中两组曲线顾及椭球本身的参数实际上是三维曲面，较为稳定。（3）大地坐标系统是统一的，能准确、唯一地描述地球上任一点的位置，并能动态适应历史的、现代越来越精密的各种地球椭球体。空间信息网格（特征及其含义，关键字即可）（1）含义：•信息网格是一种汇集和共享信息资源，进行一体化组织和处理，具有按需服务能力的信息基础设施。•空间信息网格是空间信息的系统性组织，如果说空间数据模型中空间数据逻辑模型一般指以目标实体为单元来逻辑组织数据的方式的话，那么空间信息网格就是整个地球空间实体信息的一体化组织，这种组织是从空间着眼的，从整体到局部，从上到下，无缝无叠，具有系统化结构和完备性。空间信息网格的重点是全面空间数据、信息的系统化的表示、组织和管理。X（）特点：空间信息网格的组织特点空间信息网络结构：是一种多层次、全覆盖、金字塔型的系统结构。①多层次：多层次指的是多个分辨率（或同分辨率多类信息产品），可按需设置；②全覆盖：全覆盖指的是各层分辨率空间数据（二维或三维）均无缝无叠布满全球（各层空间或各网格节点），（没有数据也可空缺成鸡窝状）；③金字塔:金字塔指各层次尽管分辨率（或比例尺）不同，但其空间数据理论上相互间是1-1对应且双向连续的。（分辨率不同但数据量一样？所以小分辨率网格会比较小，大分辨率网格比较大，形成金字塔形状？）X（）“无缝空间数据库”问题（概念；区别；无缝数据库概念及辨析）1）概念“无缝空间数据库”的理论和技术是大区域和数字地球的关键和前提，本质上是地理空间的空间数学基础问题。无缝技术分为物理无缝和“视无缝”两种形式。①“视无缝”所谓“视无缝”技术指一些仅仅使屏幕上的图“看起来似乎无缝”的技术处理。“看起来似乎无缝”的技术处理，是一种局部的、静态的“无缝，”它一般只适合单分辨率的一个投影及其邻近区域。仅是“看起来无缝”，而实质不是统一坐标系统下的空间数据是没有多大意义的，它们既不能用于空间分析，又不能量度。②物理无缝真正的无缝不仅需要“视无缝”，而且需要真正拓扑意义上的任意方向都连续，多分辨率上均精密匹配，以达到统一度量和分析的目的。2）“视无缝”与物理无缝的区别4.“数字地球”与大型GIS（1）数字地球——地球信息化；※（）大型：大型是以一定规模的区域或整个地球作为对象的，地图投影三要素已经很难限定。①地图数据用途由特定用途延伸为全面用途；②比例尺从一种或以一种为主转化为多分辨率、多尺度、任意比例尺；③区域范围也从某区域扩展为大区域或全球范围。把椭球面以较小变形投影到平面上的本质需求已从根本上改变。高斯投影为空间数学基础的不利之处①对于大区域将不能全局地连续可视化②高斯投影不适合多分辨率的定向结构和表示。③系统不便于动态变化和扩张。④难以在此复杂的二维度量空间内定义三维和时间维⑤GIS和地球数字产品主要作用是分析和提供区域的地理信息，不是一个统一的区域系统很难进行统一有效的地理分析。•大型和数字地球最为适当的坐标系一一大地坐标系。•地图投影标准化：①全球连续可视化；②（）二维椭球面几何系统为度量参考空间；③大地线长度、方位角定义距离、角度；视图统一采用等距圆柱投影（可直接精确联系的投影）一一满足全球连续可视化。）采用椭球体地理空间（）沿法线向二维曲面（）投影作为空间数学基础，从根本上实现数字地球要求的多分辨率、大区域或全球无缝连续可视化、定位。2）以地图投影为基础的度量空间，将地球上各向异性的量度扭曲为各向同性的欧氏空间，使得大区域内的量算不准确。大跨度的数学基础的确定大型和数字地球最为适当的坐标系一一大地坐标系。视图统一采用等距圆柱投影（可直接精确联系的投影）一一满足全球连续可视化。采用椭球体地理空间（）沿法线向二维曲面（）投影作为空间数学基础（3）全球离散格网（了解概念；作用）①概念全球离散格网系统是一种与存储、处理、分发、可视化、聚合、转换等空间计算系统具有天然关联性的数学参考模型，它在全球表面无缝且同质，可以被用来整合各类空间数据。※②作用/意义全球离散格网的作用传统空间对象经纬度方式表达的局限：难以便捷的表示一个区域难以在各系统形成统一的数据标准难以快速处理、计算空间轨迹关系统一地球上任一区域的区位标识，解决空间数据库的码统一问题；为地球大数据组织提供一套新型位置标识支撑；为网络空间与现实空间映射提供更高效的位置编码支撑。※③优势.以整个地球为研究对象，满足全球海量空间数据处理的基本要求；.它将连续的地球分解成结构相同的单元，满足异构空间数据统一建模、按需重组的需要；.它具有层次性，可满足多尺度空间数据表达与处理的需要；.它具有严密的层次隶属关系，是一个天然的全球空间索引结构；.它通过编码运算进行数据操作，更适合计算机高效处理。（4）地球空间数据框架指地理数据的主体框架，建立框架的目的是集成和共享地理信息，其基本内容包括产品：（数字高程模型）（数字正射影像）（数字栅格地图）（数字线划图）。只有在统一、标准、通用的空间框架上，才能避免那些没完没了，没有实际意义地数据转换耗费，实现地球的数字化。第三章空间数据的表达与组织1.空间数据（四个角度认知空间数据；场/对象/矢量模型如何表达和计算“邻”“近”数据）空间实体的全体集合构成地理空间，空间数据是对空间实体属性的描述与表达，空间数据由几何数据、属性数据、时间数据构成，其中几何数据（空间数据）包含实体本身的位置数据和实体之间的空间关系数据两部分。※（）内容（四个角度）地图代数视角的空间数据分类“位”一一即空间点、线、面实体的位置数据。“邻”一一即空间点、线、面实体的有关“邻”的关系数据，一般通过“公共元”或“邻接元”相互关系和区分，也即学术界讨论得比较多的“拓扑”关系数据。（矢量分析的基础）•“近”——即空间点、线、面实体间及附近空间的关系数据。（最短路径）“势”——即扣除了“邻”、“近”后，空间全部实体间的各种关系数据。（实体对空间的影响）X（）空间数据的表达矢栅紧密结合数据模型的字特征及距离场的计算模型（矢量的特点；栅格的特点；十六字的含义）空间数据由几何数据、属性数据、时间数据构成，其中几何数据包括实体的基本几何数据——定位信息（空间位数据）和由实体的空间位置决定的空间关系数据。空间数据的表达以特定的数据模型为基础，采用相应的数据结构完成。•空间位数据的表达：在空间数据中，最基本的是描述实体定位信息的位数据，它是空间实体在某一参考系中的定位表达，这一类数据是所有空间数据中最基本的、最必须的。位数据的表现形式取决于参考系的表现形式。※矢-栅紧密结合型数据模型地图代数提出了矢-栅紧密结合型数据模型，模型认为“一体化”有它本身特定含义。矢量与栅格各有优劣，为了扬长避短，矢量—栅格紧密结合型数据模型途径的实际意义是：•矢量为体：充分采用矢量面向对象的优势进行表达；

栅格为用：空间数据处理和空间分析充分利用栅格面向空间的优势;矢栅互换：实现快速的矢栅位数据相互转换；利用长处：针对问题目标来应用矢量或栅格形式。破.空间关系数据的运算和表达对象模型和场模型在处理位邻近势数据时的不同表达或处理方式，表达特点的对比（三模型对邻关系和拓扑关系的处理：场模型实时计算，只保存位数据；矢量模型-计算出之后显式存储；对象模型-同时保存位数据和邻数据。）（1）基础空间关系基础空间关系分三种：•拓扑关系r•拓扑关系r•距离关系实际上都是由距离度量产生的•方向关系（本课程不讨论）（2）运算的意义实体空间关系的基础是实体的空间定位数据，通过对空间位置数据的运算，可以得到实体之间空间关系。（3）空间拓扑关系的运算和表达：拓扑关系：空间目标在拓扑变换（拉伸、缩放等）下保持不变的空间关系。•矢量数据——九交模型。对于矢量结构的数据来说，拓扑关系的计算本身是极其复杂的过程。•栅格数据拓扑关系的表达：•对于栅格数据而言，由于栅格数据以规则单元致密结构化整个区域，实体间的邻接关系实际已经蕴含在位数据中，只要考察实体边界上的栅格单元的邻域，就可获得实体之间的关系。•采用栅格数据结构计算两实体间拓扑关系的方法如下:对两个实体、对应的栅格图像进行叠置运算，考察它们的交。（交集量化）①当交集为空时，则考察实体边界上的栅格单元，如果有属于另一个实体的栅格单元位于该实体边界的8邻域上，则它们是邻接的，否则是相离的；②当交集不为空时，如果交集是两个实体栅格单元集合的真子集，则它们是相交的；如果交集与实体相等，则被包含，如果交集也与相等，则、B互相包含（相等）。（4）空间距离关系的计算与表达：距离关系是基于距离尺度的空间关系，基于距离的分析包括距离计算、最短路径分析、空间剖分（）和缓冲区分析等。定量化的距离关系包括：①邻关系：邻关系数据体现的是距离关系（拓扑关系）；②近关系：近关系数据是空间点、线、面实体间及附近空间的关系数据，是实体之间远近程度的表示；近关系有两个层次的意义：•定值的近关系——缓冲区分析；•基于最近关系的区域剖分一一图所划定的离实体最近的区域。③势关系：势关系是空间全部实体间的相互关系，也表明空间各实体对空间任一点的影响，它是空间中实体影响能力的强弱表达。•势关系有两个基本要素：权重和距离。V图反映纯距离因素的空间剖分问题，实际空间实体之间相互作用受多因素影响，可通过权重量化实体影响力。空间距离关系是以空间实体的位数据为基础的，包括邻、近、势关系的复杂集合，这几种关系的集合才是空间距离关系的一个完备表达。3.空间数据组织面临的困惑X（）空间数据量的问题空间数据及其关系数据的增长趋势（结合对象模型下空间计算的时间复杂度）(排列组合£ck)nk=1就数据量而言，位、邻、近、势数据依次呈几何级数增长趋势。严格基于矢量结构的数据在位数据的表达上没有问题，但是邻关系的运算则相当复杂，近、势数据处于不可企及的状态。空间表达尚且如此，就更不用说空间分析中数据更新的频繁性、空间分析的动态性和空间过程的连续性了。以5000个结点的网络空间数据为列：“位”数据,5Q0。个结点“位”它们之间的实际联系——实际边的数目E(O<E<C25ooo)“邻”关系数据相对于上述位数据则应增加到Em君x二Cl。©数，即结点之间的通路可能达到£：%00,约12500000条…口“近”数据，则有两个概念，一是绝对量的概念，如缓冲区缓冲宽度L的衡量，显然1米和2米的“近”数据量是不一降的；二是相对量的概念，即“更近”和最近”的概念，如在Vcrcnci区地衡量中，全区域每••个点均有自己数据的数据量级，数据量大《势”数据则是描述区域内全部实体间的相互关系、相互作用，如物质流、信息流、能量流，不仅邻、近实体间有作用，遥远实俭、所有实体间如万有引力一样都有作用，关系极其复杂，数据量也极关。(2)复杂动态的空间数据组织问题研究和模拟大型地理实体的动态过程、演变规律等。(3)空间数据初始化问题空间数据的初始化，简单地说即是空间分析或处理算法对起始数据的要求和具体准备，对任一个算法数据结构的设计和数据的有序组织。空间关系的显式表达和动态维护。数据量大：庞大的数据量使得初始化难以动态连续地实施，无法满足实时性；显式表达困难：(矢量)显式的全面数据表达意味着巨大的初始化成本；空间形态结构复杂，难以显式描述。难以满足动态分析：现有的数据初始化未必能满足未来的空间分析需求，出现“备而无用”的情况。^4.GIS空间数据“0”初始化（“0”初始化的含义；场模型，无需对拓扑数据处理）（1）利用栅格数据进行空间分析利用了栅格数据的特性：以规则格网致密结构化研究空间。栅格结构的这种特性，使得基于栅格的空间分析取得了一定的成果。（栅格的空间分析功能主要集中在：图像处理、制图建模、邻域过滤操作、视域操作、水文和表流分析、坡面特征化、统计分析、插值操作、缓冲区分析，…）（2）GIS空间数据“0”初始化的基础与科学涵义“0”初始化指的是组织数据并初始化的工作量极小化。场模型-数据处理的第一步不需要处理拓扑数据。①基于离散目标模型的空间分析需要做大量的数据初始化工作，空间分析的数据准备成为制约空间分析发展的重要瓶颈。②空间关系虽然具有复杂和海量的性质，但是空间分析所需的空间关系数据都是可以认识的，并且可以采用适当的结构和算法，通过数值运算来获得其关系数据集。③地图代数提供了栅格空间分析运算的理论和技术基础。④由于空间关系的可认识性和采用栅格数据结构的可计算性，使得空间关系数据的“0”初始化成为可能。GIS空间数据“0”初始化需要初始化的对象是空间信息的原生数据，对空间关系数据的原生数据需要进行初始化，而空间关系的派生数据通过代数变换的方法动态获取，不需要事先显式地初始化。5.动态空间数据模型（空间数据的动态组织；动态变化的数据-场模型）没太看懂这玩意具体是个啥，似乎是阶图，感觉不会考。动态空间问题和初始化，核心是场模型的空间分析靠格网之间的邻近关系来计算，不需显式存储，在空间状态发生变化时无需重复计算空间关系。第四章距离变换（距离和空间的概念；度量空间；距离变换的作用、特性；障碍距离变换）本章分析了二维空间的各种尺度及量度方法，模板决定空间尺度。司.距离的定义:度量空间和距离的数学定义及运用距离变换是计算并标识空间点集各点（对参照体）距离的变换（或过程）。一切空间分析首先是一种定性、定量、定位的分析，而量的刻画标准便是尺度。距离变换是尺度空间量度的基础，也是地理空间分析的基础，是起点。（1）尺度的定义（距离/度量空间的定义）假定是一个集，是一个把X变进维实数域的变换，如果对于所有的£、金、£满足如下条件：①（，）三当且仅当时等号成立；（非负性）②（，）（，）；（对称性）③（，）（，）三（，）；“两边和不小于第三边”）则称为的一个量度，（，）是在这个尺度下与的距离，是以为尺度的尺度空间（距离空间）。：距离一一度量尺度；：集合一一度量空间。尺度=关系：尺度是一个集合中两个元素间的一种用实数表达的关系。距离值是由尺度基本定义的，尺度不同，距离的概念不一样，数值也不同。应用：满足上述三个条件的变换都可称为某尺度的距离，因此上述三个条件可用于推理判断一个变换是否为一个度量尺度，继而推断出变换所在的集合是否为一个度量空间。破.距离的类型常用距离度量（1）欧氏距离（笛卡尔坐标系统下）点a到点集B的欧氏距离点a到点集B的欧氏距离de（a?B）为>de（a,IB）=MIN{de（a,b）|beB}其中,de（a?b）为a、b两点间欧氏距离，二、三维为4（口））=Z（4一勿尸n=2,3_7.1_（2）曼哈顿距离（笛卡尔坐标系统下）曼哈顿距离也称出租车距离，他特别适合于求取矩形城市街区中两点间出租车经过的路程，它实际是指平面、两点间，两方向上的距离之和，具有坐标轴平移后的不变性，其数学表达式为：（,）I-II-I（3）棋盘距离（笛卡尔坐标系统下）棋盘距离指平面上、两点间取，两方向中的较大者作为距离：dC（1，2）=max{Ix2-x1I，Iy2-y1I}任意一点的八方向均算同样的一步。

棋盘距离21012棋盘距离21012曼哈顿距鬻（4）时间距离时间距离就是平面上方向的距离或者方向的距离，当或为经度时，距离就代表了两点间的经差，即时差，因此叫做时间距离。（,）I-I（,）I-I（笛卡尔坐标系统下）^-|件珞三面二用邻招珞三系（（笛卡尔坐标系统下）^-|件珞三面二用邻招珞三系图4-1描述了一像元与其相邻像元的关系，中央栅格中心到周围栅格中心的距离A一种是边相邻栅格距离，如0~3,0~5、0~7均为1（假设栅格为正方形「栅格尺寸为1）；》一种为最相邻（或称点相邻）栅格距离，如0-2、”4、。一6、08均为此当Iy2-y1I>Ix2-x1I时dR(1,2)=|x2—x1|+(|y2—y1I—Ix2—*1I)•42否则।当Iy2-y1I<Ix2-x1I时dR(1,2)=|y2-y1|+(|x2-x1|-|y2-y1I)-^r2（6）八边形距离棋盘距离、曼哈顿距离的综合，比前两种能够更准确地描绘欧氏平面并且依然保持整数变换的特性。max(IxA-xB|?|yA-yBI)(棋盘距离)<[<xA-xB)2+(yA-yB)2]1/2(欧氏距离)<IxA-xB|+IyA-yB|(曼哈顿距离)333TOC\o"1-5"\h\z32212133210123322122332223八边形距离(Rosenfeld196B)（7）大地线距离大地距离——椭球面上最短程线。实际的地理空间应该定义在旋转椭球体上。（8）条件距离见第4点求距方法中的条件距离变换。（9）闵氏距离（不要求）d（AfB）=[xA—xB|p+yA—yB|p]1/p时，表现为曼哈顿距离；2时，则为欧氏距离；8时，表现为棋盘距离。棋盘距离和曼哈顿距离都是对欧氏距离的近似表达。3.实体间的距离点与线面上一点间距离的最小值❖4.2.1点到线状实体的距离》点&与线B的距离应定义为d(3，B)=d(a,b),beB》且d<a.b)<d(a,bi),b£B0422点到面状实体的距离>d(a,B)=d⑶b),beB》且d(a,b)<d(a,bi),biWB❖4.2,3等距点的轨迹、相应距离的若干概念S4-2与晅点轨迹地理空间中点线面实体之间的等距点轨迹按实体作用范围分割了整个二维平面，这个作用范围即是图，而这些等距点的轨迹就是这些多边形的边界。4.求距方法与类型•求距方法：(1)栅格方法(采用数学形态学或地图代数方法进行栅格运算和变换)；(2)矢量方法(按前面所列各种距离公式计算)；•求距类型：①外距变换：求任一空间点或全部空间点到最近实体的距离问题，这时，实体内任一点(栅格)到实体的距离为0，与实体边相邻的栅格距实体距离为1，其次为，，…。②内距变换：求实体上全部点到周围空间的最近距离，也即到非实体空间距离。

•外距变换中为实体点，外距变换距离值为；内距变换中•外距变换中为实体点，外距变换距离值为；内距变换中0为实体外部点，实体点属性值为，，。③条件（障碍）距离变换：这类变换要满足一定条件，例如（，），为常数，其他点在距离变换中成为障碍。所谓障碍，即这些点本身无须算出距离，也不能传递距离，距离增长或减少时只能绕过它。派5.地图代数的距离变换距离变换和距离场（广义、狭义）的概念（障碍距离变换；栅格（扩展图）与矢量变换的比较）（1）栅格平面上的基础概念之前讨论的距离是基于欧氏空间实数平面，然而栅格平面为整数平面，与欧氏实数平面有很大差异。1）两定点a、b间在栅格下的距离两定点、间在栅格下的距离由其所属两栅格间的距离表示或定义。2）两栅格间的距离两栅格间的距离由其所属两栅格中心间的距离表示或定义。3）栅格路径：将指定两定点、所属栅格中心间的、并由相通栅格中心间线段组成的有序线段集称为栅格路径。这里的相通，即是指该线段集与全部障碍栅格的区域无交点。4）栅格路径长度称其栅格路径相应的累积长度为栅格路径长度。M）栅格模型上的距离变换方法——全局过程局部化利用邻近特性的二次扫描距离变换算法的设计思想来源（全局过程局部化）①传统算法多使用矢量数据模型有一定局限性：对于复杂生成元全形态图形描述运算比较困难；算法较复杂实现难度较大不利于实际应用；对于高维、高阶等广义问题难于处理。②全局过程局部化：从穷举算法可以看出，计算空间中每一个点到一组特征点的距离是一个全局过程，其计算量随着空间矩阵和生成元的增大而急速增长。因此通过小块邻域加速一个点的距离计算过程，从而达到减少计算量的目的是距离变换算法的根本目标。特点：封闭邻域决定性；最近点连续性；距离连续性。6）影响距离变换算法复杂度的因素①生成元个数相应于矢量算法，矢量算法时间复杂度的唯一评估指标，一般用表示，在矢量算法中，算法时间复杂度与严密相关；②栅格空间的分辨率一般我们用表示空间被划分成的栅格单元数量图像宽度图像高度，部分文献中也有使用来衡量空间分辨率，有时候容易引起混淆；③生成元复杂程度包括构成单个生成元的栅格点（黑点）个数，生成元形态的复杂程度（凹凸特性、边界平滑特性）等;④距离度量的计算复杂程度使用整数变换、计算累积距离的棋盘距离、八边形距离等等复杂程度小于欧氏距离；更远小于使用迭代方法求取的大地距离度量。※特别的，对于二维欧氏度量下的穷举法求距离变换，其时间复杂度量基数为，对于非点状生成元黑点数7）距离变换算法伪欧氏距离算法并行全局算法有序传播算法硬件算法距离变换模型■二次扫描式距离变换算法思想（2）传统栅格距离变换用位图实现棋盘距离变换：步骤：①把实体所在栅格赋距离值，并把其余所有栅格赋一个足够大的距离值（8）；②顺序访问各像元，以图左下角为原点，行号递增，列号递增。以所访问像元的左、下左、下中及下右的距离值推出所访问像元的距离值，并改写它。设像元坐标为列号，行号，则距离（，）由下式推出：4&力=Q-1,J-1）+L4«-1,L4-LJ+D+GJ-D+（5）像元八方向相邻像元中的左下半边像元中的最小距离值（距原点）③逆序访问各像元，以图左下为原点，右上角为起点，行号递减，列号递增（以下同），并改写距离值：dRJhmin&G十寸+1）十"小十LJ）十D+1XR/十1）+1区&力）像元八方向相邻像元中的右上半边像元中的最小距离值（距原点）④采用与距离相应的色值，把上述各像元距离值改写为位图。把距离改写为位图，使距离一目了然。位图中的色值与像元距原点的距离值有关。顺序访问得到的左下部分栅格距离正确，但右上部分不正确，逆序访问时，使得右上部分正确，而对顺序访问过的左下部分像元，只有当顺序访问得到的左下部分栅格的距离值大于等于逆序访问的值时，才做更新。两次访问使得每一个像元到四面八方的零栅格的距离均为最短。此方法基于棋盘变换，对大部分欧氏平面上的使用是不精确的，因为：棋盘距离中定义边相邻与角相邻栅格间距离均为1。(3)栅格路径距离变换为弥补棋盘栅格的不足，改角相邻栅格间的距离为爽,形成了栅格路径距离变换。步骤》与棋盘距离变换步骤类似工X①赋所有栅格像元为一个足够大的距离值：》②顺序访问各栅格，并按下式改写它的距离值：>dR(i,j)=min(dR(hi,j-1)+42,dR(i.1,J)+1,dR(i-1,j+1)dR(i,j-1)+1fdR(i,j))③逆序访问各栅格，并按下式改写它的距离值：>dR(i,j)=min(dR(i+1,j+1)+42,dR(i+1,j)+1,dR(i+1,j-1)+42,dR(i,j+1)+1,dR(i,j))/④把上述距离值四舍五入化为整数，并用彩色位图表达即可(般用256色)。误差分析：距离模板栅格数越多，误差越小。距离模板对距离变换算法的精度影响趋势(4)栅格欧氏距离变换计算欧氏距离的困难之一在于根号，把根号去掉即可使用整数运算。:、栅格平方平面规律①左右关系+0、J)=2由21m-森州-工力+3②下上关系：而2［W)=2dSfl20,/l)一a2Cjn之③左下与右上关系：。式打}=曲颂-1/-11斗261%+20-%-'①照所有空间点为一足够大的正数M1,并赋所有实体点为0值.②顺序访问，即行号由0,1,2,…递增，列号由0,1,2,…递增，按下式改写各点平方值；de2(i,j)=min(d或］伍力,必2式。j),曲2［伍/),也2KA/),曲2(八/))③逆序访问并改写各点平方值,球2(八1)=111皿〃2#/),由2］，，)，由24，办也245，曲2(。))④改写各点距离平方值为距离值：式，J)=AV7乜杰2也」)-？+0.5}•障碍欧氏变换所谓障碍是本身不计算距离，而且不“传递”距离的点。对此，利用地图代数方法，只要在前述欧氏变换算法基础上把障碍物拓展进原始点集，即可生成障碍欧氏变换。(5)出租车距离变换及时间距离变换(出租车距离变换-曼哈顿距离变换)①出租车距离变换方法出租车距离尺度是与坐标系有关的，是矩形街区城市特定结构下产生的。这里设定坐标系坐标轴平行于街道，则本距离变换方法类同前述棋盘距离，仅改动公式，从棋盘距离中的八方向变成四方向。左下：九/j)=-1,/)+1,d(i,j-l)+1,d//))dM(z,7)=MN(d［t+1,j)+1,d(2,j+l)+1,d(i,j))右上■②时间距离变换方法假设坐标系纵轴与地球子午线投影平行，这时方法与前述棋盘距离变换一样，只是坐标系不同：dT<kj）=山口①7（，—L+1dT（I-1,y-1）+1,^（i-1,J+i）+1：〃「（，,/）二加也⑸。+ij）,小亿j+D-1iW（Fj）wa+1,j+D+lWG+L/-D41）（6）距离变换特性距离变换算法的拓展性和广义的含义（全形态，内距，大地线距离，障碍空间，加权，高阶，高维时空维）1）距离变换算法的拓展（广义Voronoi）①点生成元一全形态生成元（传统图对于复杂生成元全形态图形描述运算比较困难）②外距一内距（这应该与点一点线面等空间实体有关）③空间度量的扩展性：欧氏距离一大地线距离等（从二维一地球尺度）④无障碍一障碍空间（引入障碍的概念，更符合实际）⑤阶一阶（WW）⑥等权一加权（考虑到不同实体对周围空间的影响力不同）⑦二维一三维及更高维，时空维度扩展为广义图：V图生成元：从离散点集一点线面等空间实体的集合。距离值是由尺度基本定义的，尺度不同，距离的概念不一样，数值也不同。因此不同的度量空间中，会产生不同的图。）高阶距离变换（最多考个概念）3）距离变换特性（了解）一、距离变换应用同尺度定义空间量度•距离变换是在确定特性的尺度下对全空间的度量。外距变换度量实体图形外的空间，内距变换度量实体图形本身空间（这里空间与实体互为依存）。它是对空间量度性质的总体和全部的把握。二、各空间点距离数值上的惟一性①各空间点到惟一实体点的距离平方是正确的。②各空间点到惟一实体点的距离正确且惟一。③当空间有个实体点时，任一空间点将在变换中得到它到最近实体点的距离（平方）；而当有2个、3个或若干个实体点到该空间点均具有这最小距离时，则有④。④该点即成为距此点、点或若干点的等距点。⑤任一空间点将标有离它最近的（点、线、面）实体的距离，它是惟一的，符合本章前述点到点、线、面实体的距离定义。⑥多边形与欧氏距离路径多个实体，距离变换，得到多边形。三、欧氏距离变换的幂等算子设欧氏距离变换算子用表示，空间由实体点集和空的空间点集组成，/r/