数列知识点归纳及例题分析

《数列》知识点归纳及例题分析一、数列的概念：归纳通项公式：注重经验的积累例1.归纳下列数列的通项公式：(1)0，-3,8，-15,24，.......(2)21,211,2111,21111,......3,1,7,9,......210172.an与Sn的关系：ana1,(n1)SnSn1,(n2)注意：强调n1,n2分开，注意下标；an与Sn之间的互化（求通项）例2：已知数列{an}的前n项和S3,n1，求an.nn21,n2数列的函数性质：（1）单调性的判定与证明： 定义法； 函数单调性法（2）最大（小）项问题：单调性法；图像法（3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系）2an,0an13，求a2017.2例3：已知数列{an}满足an11，a12anan151,2二、等差数列与等比数列等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处）等差数列等比数列an1q（q是常数，且q0，an定义an1and（d是常数n1,2,3，⋯）n1,2,3，⋯）aan1dana1qn1通项n1公式推广：anamnmd推广：anamqnm求和Snna1nn1na1anna1(q1)2d2Sna1qna1anq(q1)公式1q11q中项Aankank（n,kN*,nk0）Gankank（n,kN*,nk0）公式2重要1、等和性：amanaras1、等积性：amanaras性质（m,n,r,sN*,mnrs）（m,n,r,sN*,mnrs）2、（第二通项公式）anam(nm)d2、（第二通项公式）anamqnmanamnman及d及qnmam3、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。3、从等比数列中抽取等距离的项组成的如：a1,a4,a7,a10,（下标成等差数列）数列是一个等比数列。如：a1,a4,a7,a10,（下标成等差数列）4、sn,s2nsn,s3ns2n成等差数列4、sn,s2n5、{Sn}是等差数列sn,s3ns2n成等比数列。n（仅当公比q1且n为偶数时，不成立）1.定义：an－an－1＝d(n≥2){an}是1.定义：anq(n≥2){an}是等比数等差数列an12.等差中项：an＋1＝an＋an＋2{an}是列2等差数列3.通项公式：anknp（k,p为常数）等价{an}是等差数列条件An2Bn（A,B为常4.前n项和：Sn数）{an}是等差数列

等比中项：an21an2an22(an0){an}是等比数列3.通项公式：ancqn（c,q0且为常数）{an}是等比数列4.前n项和：Snkqnk（k,q0且为常数）{an}是非常数列的等比数列联系真数等比，对数等差；指数等差，幂值等比。例题：31例4（等差数列的判定或证明）：已知数列{an}中，a1＝5，an＝2－an－1(n≥2，n*1*∈N)，数列{bn}满足bn＝an－1(n∈N)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明1(*1nn∴n≥2时，bn－bn－1＝1－1an－1－1an－111＝2－1－an－1－1an－1－1an－1 1an－1－1－an－1－1＝1.5∴数列{bn}是以－2为首项，1为公差的等差数列．7 1 2解由(1)知，bn＝n－2，则an＝1＋bn＝1＋2n－7，2设函数f(x)＝1＋2x－7，7 7易知f(x)在区间－∞，2和2，＋∞内为减函数．∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.例5（等差数列的基本量的计算）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.若S5＝5，求S6及a1求d的取值范围．－15解(1)由题意知S6＝S5＝－3，a6＝S6－S5＝－8.5a1＋10d＝5，所以a1＋5d＝－8.解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.方法一∵S5S6＋15＝0，(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a21＋9da1＋10d2＋1＝0.因为关于a1的一元二次方程有解，所以＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0，解得d≤－2 2或d≥2 2.方法二 ∵S5S6＋15＝0，(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，9da1＋10d2＋1＝0.故(4a1＋9d)2＝d2－8.所以d2≥8.故d的取值范围为d≤－2 2或d≥2 2.例6（前n项和及综合应用）(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．解方法一∵a1＝20，S10＝S15，10×915×145∴10×20＋2d＝15×20＋2d，∴d＝－3.65an＝20＋(n－1)×－3＝－3n＋3.a13＝0，即当n≤12时，an>0，n≥14时，an<0，5nSn取得最大值，且最大值为S13S1212×11－5∴当＝12或13时，＝＝12×20＋2×3130.方法二5同方法一求得d＝－.35n－nnn－15521252523125∴S＝n＋·－＝－6n＋n＝－62＋24.20236∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．an＝n－，①425<0令n＋－≥，②41250n1n1n即数列{|an由①得<64；由②得≥54，所以＝6.|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a7|＝a7＝4×7－24＝3.设{|an|}的前n项和为Tn，则n＋nn－1×－4n≤6212T＝nn－n－6n－7n≥＋36＋×47662－2n2＋23nn≤6，2n2－23n＋132n≥7.例7已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为3Sn=7n+45例8等差数列{an},{bn}的前n项和分别为{Sn},{Tn}，且Tnn-3,则使得an3.（先求an/bnn=5,13,35为正整数的正整数n的个数是）bn例9已知数列an中，a11，当n≥2时，其前n项和Sn满足an2Sn2，则31n2Sn11数列an的通项公式为an32n≥2214n例10在数列{}中，a12，an1anln(112lnn.ann)，则an例11设3b是1a和1a的等比中项，则ab的最大值为2.+3例12若数列1,2cosθ,22cos2θ,23cos3θ,⋯,前100项之和为0,则θ的值为（2k2,kZ）3例13△ABC的三内角成等差数列,三边成等比数列,则三角形的形状为__等边三角形_三、数列求和：（1）倒序相加法如：已知函数f(x)112mx(xR)，求Smf()f()Lf()_________42mmm（2）错位相减法：anbn其中{an}是等差数列，bn是等比数列。（3）裂项相消法：形如1111)anCB(AnC(AnB)(AnC)AnB（4）拆项分组法：形如anbncn，如：an2n3n，an6n5(n为奇数)(1)n1n22n，an(n为偶数)练习：1、数列1，1，113，···，11的前n项和为（B）1222nA．2n1B．2nC．n2D．n2nn1n12n12、数列11,31,51,71,,前n项和Sn．248163、数列an的通项公式为an1，则S＝_________________。n1n1004、设Sn111L1，且SnSn13，则n．62612nn145、设nN*，关于n的函数f(n)(1)n1n2，若anf(n)f(n1)，则数列{an}前100项的和a1a2a3a100________．答案：100．解答：anf(n)f(n1)(1)n1n2(1)n(n1)2(1)n[(n1)2n2]，(1)n(2n1)，所以a1a2a3a100(3)5(7)9(199)2012 50 100．四、求数列通项式（1）公式法：an1an21，2anan1anan1，an1an等2an1（2）累加法：形如anan1f(n)(n2)或anan1f(n)，且f(n)不为常数（3）累乘法：形如anan1f(n)(n2)且f(n)不为常数（4）待定系数法：形如an1kanb,(k0,1,其中a1a)型（）转换法：已知递推关系f(S,a)0Sana1,(n1)5nnnSnSn1,(n2)解题思路：利用ana1,(n1)SnSn1,(n2)变化（1）已知f(Sn1,an1)0；（2）已知f(Sn,SnSn1)06）猜想归纳法（慎用）练习：考点三：数列的通项式1、在数列an中，前n项和Sn4n2n8，则通项公式an_______________3、已知数列的前n项和Sn32n，则an5n1_______________ann22n14、已知数列an，a12，an1an3n2，则an3n2n,(nN*)25、在数列an中，a12,an1anlg11（nN*），则an＝.n6、如果数列an满足a1，an15anan1(nN)，则3anan________________7、{an}满足a11，anan113an1，则an=_______23n8、已知数列an的首项a12，且an12an1，则通项公式an2n119、若数列an满足a12,an13an2nN*，则通项公式an10、如果数列的前n项和Sn3，那么这个数列的通项公式是（Dan2an3）A．an2(n2n1)B．an32nC．an3n1D．an23n五、数列应用题：等差数列模型1、一种设备的价格为 450000元，假设维护费第一年为 1000元，以后每年增加1000元，当此设备的平均费用为最小时为最佳更新年限，那么此设备的最佳更新年限为 。30年2、在一次人才招聘会上，有甲、乙两家公司分别公布它们的工资标准：甲公司：第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；乙公司：第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%.设某人年初同时被甲、乙公司录取，试问：1）若该人打算连续工作n年，则在第n年的月工资收入分别是多少元2）若该人打算连续工作10年，且只考虑工资收入的总量，该人应该选择哪家公司为什么(精确到1元)解：（1）设在甲公司第n年的工资收入为an元，在乙公司第n年的工资收入为bn元则an230n1270，bn20001.05n1（2）设工作10年在甲公司的总收入为甲，在甲公司的总收入为乙SSS甲(10150045230)12304200S乙2000(11.05n)1230186911.05由于甲乙，所以该人应该选择甲公司.SS等比数列模型例 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设， 并以此发展旅游产业，根据计划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年度减少 1，5本年度当地旅游业收入估计为 400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加 1。4（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为 an万元，旅游业总收入为 bn万元，写出an、bn的表达式；2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入（精确到整数）参考解答：2n1（1）an80080011800118001155542n1n800144455540001512n1bn4004001114400140014442n1n4001441600555514（2）解不等式bnan，得n5，至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.六、2017年高考题一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.(2017年新课标Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4a524，S648，则{an}的公差为（）A.1B.2C.4D.82.(2017年新课标Ⅱ卷理)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A.1盏

B.3盏

C.5盏

D.9盏3.(2017

年新课标Ⅲ卷理

)

等差数列

an

的首项为

1，公差不为

0．若a2,a3

,a6成等比数列，则

an

前6项的和为（

）A. 24

B. 3

C.3

D.84.(2017

年浙江卷)

已知等差数列

{an}

的公差为

d，前n项和为

Sn，则“d

0”是“

S4

S6

2S5

”的（

）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.(2017年新课标Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（）A.440B.330C.220D.110二、填空题（将正确的答案填在题中横线上）6.(2017年北京卷理)若等差数列an和等比数列bn满足a2=_______.a1b11,a4b48，b27.(2017年江苏卷)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S37,S663，则a8=_______________．448.(2017年新课标Ⅱ卷理)等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，n1．则k1Sk9.(2017年新课标Ⅲ卷理)设等比数列an满足a1a21,a1a33，则a4 __．三、解答题（应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）10.(2017年新课标Ⅱ文)已知等差数列{an}前n项和为Sn，等比数列{bn}前n项和为Tn,a11,b11,a2b22.（1）若a3b35，求{bn}的通项公式；（2）若T321，求S3.11.(2017年新课标Ⅰ文)记Sn为等比数列an的前n项和，已知S22,S36.（）求a的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn1,Sn,Sn2是否成等差数列。1n12.(2017年全国Ⅲ卷文)设数列an满足a13a2⋯+2n1an2n（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项和；2n113.(2017年天津卷文)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2b312,b3a42a1,S1111b4．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{a2nbn}的前n项和(nN*)．14.(2017年山东卷文)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1a26,a1a2a3.（1）求数列{an}的通项公式；（2）{bn}为各项非零等差数列,前n项和Sn,已知S2n1bnbn1,求数列bn前nan项和Tn15.(2017 年天津卷理)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n N)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于 0，b2 b3 12,b3 a4 2a1，S11 11b4.