新高考 核心考点与题型 概率 第3讲 离散型随机变量及其分布列 - 解析

第3节

离散型随变量及其分列【情向析以理解离散型随机变量及其分布列的概念为主，经常以频率分布直方图为载体，结合频率与概，考查离散型随机变量、离散型随机变量分布列的求法．在高考中以解答题的形式进行考查，难度多为低知识梳理1.离型随机变量日，像样的变量称为随机变量；所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变.如判断离散型随机变量的方法(明随机试验的所有可能结果；(2)将随机试验的结果数量化；确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否不是．2.离型随机变量的分布列及性(1)一般，若离散型随机变量X可取的不同值为xx…xxX取一个值x(＝12，12inin)的概率P＝)＝，则表iiX

x1

x2

…

xi

…

xnP

p1

p2

…

pi

…

p

n称为离散型随机变量X的概率分布.(2)离散随机变量的分布列的性质①≥0(＝，，，)①＋＋＋＝i12n3.常离散型随机变量的分布列(1)两点布：若随机变量X服从两点分布，要么成功要么不成功其布列为，XP

01－

1p其中＝X＝称成功概率，(2)超几分布：3X第1页共9页

MM55101055555551010555MM551010555555510105553X在含有M件品件品中，任取nknk件其恰有件次品则PX＝＝k＝1m其＝Mn且nNMNCnNn，N①N，随机变服超何分布XP

0Cn0MNMCN

1CCn1MNCN

……

mCnmMNMCN考点一离散型随机变量分布列的性质k【例】设随变量X的布列为P＝＝(k，，，，31(1)求a值求x≥；求P<X≤.解

(1)

124X＝＋＝＋X＝＋X＝＋(＝1)＝＋2＋3＋4＋5＝1，所以a＝.15334111(2)P≥＝X＝＋＝＋(＝＝3×＋＋＝.1515155(3)P

113132<X≤＝＝＋X＋＝＝＋＋＝1515155规方

分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之为1可参数的值及检查分布列的正确性.(2)随机变量

所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概【变式】随变量X的分布列如：XP

－a

0b

1c其中，，成差数列，则PX＝，差取值范围是_______.12解析因为ac成等差数列，所2b＝a＋c又a＋＋c＝，以b，所P＝＝＋＝.又a3311121211＝－，＝＋，据分布列的性质，得0≤－≤，＋，所以－≤d.33333333考点二超几何分布的应用

典例迁移【例】(经母)(2017·山东卷改编在理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的第2页共9页

1811664646464646464646464646466影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作现名志愿者A，1811664646464646464646464646466A，，，，和4女志愿者B，，，，从中随机抽取5人受甲种心理暗示，另5人接受234561234乙种心理暗示(1)求接甲种心理暗示的志愿者中包含A但包含B的率；11(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数求的分布列.解

C5(1)记接受甲种心理暗示的志愿中包含A但包含B的件为M则M＝＝.51810(2)由题知可的值为，，，，，C1CC153210CC35C1C41P(X0)＝＝，(＝＝＝，(＝＝，(＝＝＝，(＝＝＝.C42C521C521C521C4210101010因此X的分布列为XP

0142

1521

21021

3521

4142【迁移探究1】用X示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求X的布.解

由题意可知X的值为1，，，，，C41C2C353C10C4C55P(X1)＝＝，(＝＝＝，(＝＝＝，(＝＝，(＝5)＝.C542C21521521C42101010因此X的分布列为XP

1142

2521

31021

4521

5142【迁移探究2】用X示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，求X的分布.解

由题意知X取的值为，，－，－，－，C11C3252C310C45则PX＝＝＝，X1)＝＝，(＝－1)＝，(＝3)＝＝，C542C521C2121101010CP(X－＝，因此的布列为C4210XP

3142

1521

－1021

－521

－142规律方法1.超几何分布描述的是不放回抽问题，随机变量为抽到的某类个体的个.超几何分布的特征：(1)考察对象分两类(2)已知各对象的个数(3)中抽取若干个个体，考查某类个体数X2.超几何分布主要用于抽检产品摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概.第3页共9页

的概率分布

433344【变式】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别21616.现用分层抽样的方法从抽取7人，进行睡眠时间的调查433344(1)应从、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽的人有人眠不足3人眠充足，现从这7人随机抽3人做进一步的身体检.①X表抽取的3人睡眠不足的员工人数，求随机变量的分布列；①A为“取的3中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员，求事件发的概率解

(1)由题意得，甲、乙、丙三个门的员工人数之比为①2，于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，人，人C3(2)①随机量的有可能取值为0，，，PX＝)＝(＝，1，，3).C7CC2C12C4112418则PX＝＝＝，X1)＝＝，(X＝＝＝，则＝＝－－－＝，C35C33533535353535777所以，随机变量的布列为XP

0135

11235

21835

3435①事件为抽取的3中充足的员工有1人不的员工有2人”为抽取的3人，睡眠充足的员工有人睡眠不的员工有人，A＝①，与C互斥由①知，()＝(＝，66P(C＝(＝1)，P()＝(①)＝X＋PX＝＝.以，事件发的概率为77考三

求散随变的布【例】创建国家级文明城市某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一爱心送”该城市某出租车公司共200名机，他们进“爱心送”的次数统计如图.(1)求该租车公司的司机进爱心送考的均次数；(2)从这200司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，的分布.解

(1)由统计图得200名机中送的有20人送考的有100人送考3次有80人，＋100×2＋①出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数＝2.3.200(2)从该司任选两名司机，这两人中一人送考1次另一人送考2次为事件A这两人中一人送考2第4页共9页

201002020100802323232次，另一人送考次为事件B，这两人中一人送考次另人送考次为事件C，“这两人送考次数相同为事件D，题意知X的所有可能取值为，，201002020100802323232CCC1100CC16P(X1)＝()(＝＋＝，(＝＝()＝＝，CC1992199200C＋C＋283P(X0)＝(＝＝，C199200①的布列为XP

083199

1100199

216199规律方法求机变量分布列的要步骤明随机变量的取值确定随机变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概；(3)成表格对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列数公式求随机变量对应的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变对应的概率【变式】已件次品和3件品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件品或者检测出件品时检测结束(1)求第次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知检测一件产品需要费用100元X表直到检测出2件品或者检测出3件品时所需要的检测费用单：，的布列解

1A13(1)记第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正”为事件A，(＝＝.21052(2)X的可能取值为，，PX＝＝A5

1A＋1C3＝，(X＝＝＝，10A3105133P(X400)＝－(＝－(＝＝－－＝.的布为10105XP

200110

300310

40035第5页共9页

3434基础巩固题组(建议用时40分钟一、选择题1.袋有3个球5个球，从中任取两个，可以作为随机变量的()A.至取1个球C.取白球的个数

B.多取到1白球D.取的的个数解析选项A，表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项是随机变量，可能取值为0，，答C2.某手射击所得环数X的布列为XP

40.02

50.04

60.06

70.09

80.28

90.29

100.22则此射手射一次命中环数大7的概率()A.0.28B.0.88C.0.79D.0.51解析P(＞＝(X＝＋(X＝＋(X＝＋0.29＋0.79.3.袋装有10个球个球每随机抽取1个后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止若取的次数为ξ，表示“放回个红事的()A.＝B.＝C.＝6D.ξ≤5解析“放回5个球表示前次摸到黑球，第六次摸到红球，故＝4.从有3个球4个球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个球1个球的概率是)4A.35

6B.35

12C.35

36D.343C1解析如果将白球视为合格品球为不合格品这是一个超几何分布问题所概率为P＝＝C37第6页共9页

42143452443433124214345244343335

.答C5.从4名生和名生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选人女生的人数，则P≤1)等于()123A.B.C.555C24解析P(ξ＝－ξ＝＝－＝.答案DC36二、填空题6.若散型随机变量的分布列为X

0

1

4D.5P

92

－

3－c则常数的为_______.c≥0，解析根据离散型随机变量分布的性质，得＝.3c＋－c＝，7.袋有只球3只黑球，从袋中任取4只球，取到只红球得1分取到1只球得3分设得分为随机变量ξ则(ξ≤6)＝31C413解析P(ξ＝(取到3只球只＋取到只球＝＋＝.C4435778.甲乙两队在一次对抗赛的某轮中有3个答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得分，抢到题并回答正确的得1分抢到题但回答错误的扣1分即－分；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分分数高者，的有能取值是_______.解析X－，甲抢到一题但答错.X＝，没抢到题，甲抢到2题，但答时一对一.X＝时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题且1错2对＝时甲抢到2题答对＝时甲抢到3题答答案－，，，，三、解答题9.)外语学校的一个社团中有7名学，其中人会法语，2人只会英语，人会法语又会英语，现选派3人法国的学校交流访问(1)在选的人恰有2人法语的概率；在选派的人中既会法语又会英语的人数X的分布列解

214(1)设事件A选派的三人中恰有2人法语，则A)＝＝.C377(2)依题知的值为，，，，C4211812123P(X0)＝＝，(＝＝＝，(＝＝，(＝＝＝，C35C35C3353357777第7页共9页

nn441221mmmnnm①的布列为nn441221mmmnnmXP

0435

11835

21235

313510.有编号为1，，，，的学生，入坐编号为123…，的n个位，每个学生规坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，知X＝时，共有6种.(1)求n值求随机变量X的率分布.解

n（－）(1)因为当X2时有C种法，所以2＝6，即＝，2n2

－－＝，得n＝或n3(去，所以n＝(2)因为生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X由题意知的可能取值是，23，，112×1613×2811113所以PX＝＝＝，(＝2)＝＝＝，X＝＝＝＝，(＝＝－－－＝，A24A244A2432443444所以X的概率分布列为：XP

0124

214

313

438能力提升题组(建议用时20分钟若(ξx＝－，(≥x＝1－，其中xx，则(ξ≤)等于()211212－)(1β)C.1－(1－)

B.1(＋)D.1－－)解析由分布列的性质得P(ξx＝(ξx)＋(ξ≥)＝－)＋－－＝－＋).答案B12.一只袋内装有m个球，－个球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出（－）2X个球，下列概率等于的是()3nA.P＝C.PX≤3)

B.PXD.PX＝解析当＝，即前2个拿出的是白球，第个黑球，前2个拿出白球，有2种法再任意拿出1个黑球即可，有1n

m

种取法，而在这3次球中可以认为按顺序排列，此排列顺序即可认为是依次拿出2C的球的顺序，即A3，X＝2)＝3n答案D

m

（－）2＝.3n第8页共9页

34446444646446413.口袋中有5只，编号为1，，45，从中任取只球，以X表取出的球的最大号码，则X的布列为_______.34446444646446412C