专题四 三角形中的中线、角平分线、高线处理

专题5解三角形中的中线、角平分线、高线处理解三角形类问题在考查时除了结合正弦定理，余弦定理，勾股定理设置题目外，往往还和三角形的一些常见元素：中线，角平分线，高线结合在一起考查。在处理相关题目时，我们除了要充分运用正余弦定理处理边角关系，还要结合角平分线，中线，高线自身的一些性质进行解题。小专题中线【知识准备】如图，在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，D为BC的中点在AABD中，c2=(—a)2+AD2—余弦定理法在AACD在AABD中，c2=(—a)2+AD2—①+②得b2+c2二2(BD2+AD2)向量法一1一一由于BD=-(BC+BA)—1所以AD2=(b2+c2+2bccosA)倍长中线法借助平行四边形性质：平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和。易得2(AC2+AB2)=BC2+(2AD)2中线公式在国ABC中，BC边上的中线和三边有如下关系(可以用上面三种方法推导):AD=J2(b2+c2)—a22，余弦定理/倍长中线法【题目】在国ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c若asinB+bcosA=0，求角A.若D为BC的中点，BC=AD=4，求AB+AC的取值范围.【解析】(1)由正弦定理sinAsinB+sinBcosA二03冗所以tanA=—1，又因为Ae(0,兀),/.A=——4(2)解法一利用余弦定理因为D为BC的中点，所以BC=AD=4由余弦定理，在AABD中,AB2=22+42一2x2x4cosZADB①在AACD中,AC2=22+42—2x2x4cos伍—ZADB)②①+②得AB2+AC2=40所以AB+AC“2(AB2+AC2)=4再又因为三角形两边之和大于第三边，所以AB+ACe(4,^.5]解法二利用倍长中线由知识准备知(2AD)2+BC2=2(AB2+AC2)=80所以AB2+AC2=40所以AB+AC$2(AB2+AC2)=4订5又因为三角形两边之和大于第三边，所以AB+ACe(4,4叮5]二、向量法【题目】已知AABC的面积为3爲，且内角A,B,C依次成等差数列.若sinC=3sinA，求边AC的长；设D为AC的中点，求线段BD长的最小值.(4)(4)【解析】（1）依题内角A,B,C依次成等差数列，则B=-3所以S=acsinB=3耳3，即ac=12AABC2又因为sinC=3sinA，结合正弦定理得c=3a，所以a=2,c=6在AABC中，由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=28解得b=2订，故AC=2^7(2)因为D为AC的中点，所以BD=-(BC+BA)113即BD2=(a2+c2+2accos/ABC)=(a2+c2+ac)>ac=9444当且仅当a=c时等号成立所以线段BD长的最小值为3题后反思以上四种处理中线的方法殊途同归，亦可以相互转化，其中倍长中线法和中线公式在使用时需要证明，不可以直接代入处理大题，因此更实用于小题解答；而向量法则可以进行推广，即点D为BC边上的三等分点时，也可用向量处理；余弦定理的处理手段则属于通性通法，适用于我们处理与中线有关的大题。大家也可以用不同的方法处理这两个题，感受各种方法间的联系和区别。小专题角平分线知识准备如图，在AABC中，AD是AABC中ZA的角平分线，且交边BC于点D，则线段AD是AABC的一条角平分线，在解三角形时，可以转化为以下等价结论应用:(1)(2)定理1：c定义：/BAD=ZCAD，则sinZBAD=sinZCAD，cos/BAD=cosZCAD；(1)(2)定理1：c角平分线上的点到角两边的距离相等;定理2：如图，AB=BDACCD张角定理：S=S+SAABCAABDAACD1A1A即一AB-ACsinA=-AB-ADsin+-AC-ADsin2222A1ADADcos=(+)22ACAB(5)库斯顿定理：AD2=AB-AC-BD-CD相关题目【例1】（2015.全国II）在AABC中，D是BC上的点，AD平分ABAC,AABD的面积是AADC面积的2倍.1)求sinZBsinZC[2⑵若AD=1,DC七求1)求sinZBsinZC[2⑵若AD=1,DC七求BD和AC的长.【解析】（1）如图，过A作AE丄BC交BC于点E，过D作DM丄AB,DN丄AC分别交AB,AC于M,NS-AB-DM-BD-AE贝则AABD=2==2S11Saacd-AC-DN-CD-AE22所以AB=2AC,BD=2CD而"AABDSAACD-AB-BDsinZB=2=21，-AC-CDsinZC2故=-sinZC22）由（1）得BD=2CD=迈，设AC=x,则AB=2AC=2x因为AD平分ZBAC，所以cosZBAD=cosZCAD由余弦定理得空土旦=二^，解得x=14x故BD=v'2和AC=1的长题后反思】在解题时，我们多次用了角平分线分割的左右两个三角形产生的面

积比来处理角度长度问题，其本质借鉴了定理2的推导。【例2】如图，在AABC中，AB>AC，BC=2朽,A二60,AABC的面积等于2运,则角平分线AD的长等于则角平分线AD的长等于4J3【答案】丁【解析】AABC的面积等于2<3=-AB-AC-sinA=-AB-AC•亘,即AB-AC=8222由余弦定理BC2=AB2+AC2—2AB•AC•COSA得12=AB2+AC2—AB•AC=(AB+AC)2—3AB•AC=(AB+AC)2—3X8,解得AB+AC=6所以有IAC::或IAC:4（由于AB>AC，舍去）...COSB...COSB:AB2+BC2—AC22AB•BC因为AD为角平分线，得虫:BD:4,且BD+DC:2朽,所以BD:413ACDC23所以在△ABD中,由余弦定理可得：AD:AD:'-AB2+BD2—2AB-BD-cosB'48A4*3<34*316+—2x4xx:—9323【变式】在AABC中,已知AB:2，AC:3，A：3，角A的平分线交边BC于D，贝VAD:•

【答案】込525【题后反思】在例2的解题中，推导出AB,AC,BD,CD线段长度后，可以结合库斯顿定理直接求得角平分线的长度。如果说定理4侧重于描述角度问题，则定理5则侧重于描述边的关系。【例3】（2018.江苏）在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为TOC\o"1-5"\h\za,b,c,ZABC=120。,ZABC的平分线交AC于点D，且BD=1,则4a+c的最小值为.答案】9111【解析】由面积得：—acsin120°=asin60。+csin60°222即a+c=acnc=(0<a<1)a—14a+c4a+c=4a++1=4(a-1)+a—11(a-1)+5=9当且仅当4（a-1）=占，即a=2,c=3时取等号【变式】在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,ZABC=120,ZABC的平分线交AC于点D，且BD=2，则AABC的面积的最小值为.【答案】4訂【题后反思】例3是角平分线问题中比较经典的一个题目，切入点是从面积入手找到边的关系从而结合基本不等式求得最值。小专题高线高线产生的直角三角形【例“（2016.全国III）在SC中，B=彳'BC边上的高等于3BC，则cosA=（）

A.迈B.宝C.一迈101010【答案】C【解析一】设BC边上的高线为AD,则BC=3AD,所以AC=\AD2+DC2=^5AD，AB=-<2AD-由余弦定理，知D.-回10”AB2+AC2-BC22AD2+5AD2-9AD2D.-回10cosA=————2AB-AC2x近ADx75ad10【解析二】设BC边上的高线为AD，所以在RtAACD中,sinC-空，cosC-兰55则BC—3AD所以在RtAACD中,sinC-空，cosC-兰55cosA--cos（C+，）-—（迥—卫）-—卫4101010【变式训练】（2017.全国III）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知sinA+站3cosA—0,a—2七7,b—2⑴求c;（2）设D为BC边上一点，且AD丄AC，求△ABD的面积.【解析】⑴a2—b2+c2—2bccosA<a—2药nc2+2c-24—0nc—4或c——6（舍去）.b—2（2）国ZBAC—120°,ZCAD—90°,△ZBAD—30°.S1AB-ADsin30所以AABD=—=1S1SAACD-AC-AD2又因为S=—x4x2sinA=2、：3，所以S=\-3aabc2aabd（另解）△ABAC=120°,ZCAD=90°,△/BAD=30°TOC\o"1-5"\h\z厂a2+c2-b25.厂J3cosB==,△sinB=£1—cos2B=.2ac2肃2戸sin/ADB=sin（/BAD+/B）也=7由正弦定理得AD=sinB•ab=朽.sin/ADB1—S=-AB•AD•sin30°^.'3AABD2/r