小学数学讲义五年级超常

第一讲第一讲勾股定理预习讲内容了解勾股定理历史，定义掌握勾股定理和弦图的证明利用平方差公式和勾股定理解决实际问题铺知识长方形与正方形——三年级秋季第1讲（第5级下）三角形进阶——四年级暑假第2讲（第7级上）续知识测试 第10级下超常体系教师版 学习模块1：勾股定理的证明和简单运用剖析股定理在直角三角形当中有，a,b,c分别为三条边。a 则a2b2c2，在我国被称为勾股定理，而西方则称其为毕达哥拉斯定理。勾股定理的证明方法比较左右两个大正方形的面积，想想阴影部分之间有什么关系？

这种证明方法来自于赵爽的“弦图”，在暑期的课程中，我们还会学到。例1如图，求出下列直角三角形中边长a的长度．a a 41 12 5 40 【分析】12,9,52第10级下超常体系教师版第一讲例2上操作，如下图。则第1023个直角三角形的斜边长度是_______．第________个直角三角形的斜边【分析】按从小到大设斜边长度分别为

a,a,a,a,......1 2 3 a212122；a2a2122123；a2a2123124；......1 2 1 3 易得通项式：a2n1； 10231023

32；（2）ax2172289x288.练一练【分析】（1）13 （2）3（3）3例3的面积等于____.【分析】在直角ABD中运用勾股定理可知BD213212225，BD5．因此ABD的面积为1125

第10级下超常体系教师版 再根据勾股定理的逆定理可以判定BCD也是直角三角形，因为BD2BC2CD2，从而BCD

的面积为14362（单位面积）．模块2：勾股定理解决面积问题例4如图，在美丽的平面珊瑚礁图案中，三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，如果图中所有的平方厘米

d2

d4

d5

d6a1

d7【分析】设数如右上图所示，首先aabbS；1 2 1

ccccaaS；1 2 3 4 1

ddddddddccccS1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 可见5S980S196142，即最大的正方形边长为14厘米.例5已知，如图长方形ABCD中，AB3cm，AD9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△BEF的面积是多少？ab9【分析】如右上图所示，必有a2b232

a

；则BEF的面积为：5327.5cm24第10级下超常体系教师版第一讲练一练已知长方形的长为8，宽为4，将长方形沿一条对角线折起压平，如图所示。求重叠部分(灰色三角形)的面积。 48-a】 a2428a2解得，a3。那么阴影部分面积为54210。综合最值模块一只小蚂蚁，想从圆柱体无盖纸筒的左下角的A点(在外面)爬到右上角的B点，已知圆柱体底面半径是4分米，高是5分米，求小蚂蚁最少要走多少距离？（取3） 【分析】如图把A,B之间的纸筒展开成长方形，那么这个长方形的长是r3412分米，宽是5分米，12252132，因此对角线长是13分米．13如果在内部，蚂蚁可以走直径，再直接上去．走的距离也是8+5=13分米．例6则阴影部分的面积是多少【分析】如图，R2r25225；则阴影面积为(R2r2)2578.5.第10级下超常体系教师版 整理1．勾股定理：a2b2c2变式：c2a2b2使用条件：直角三角形中，已知两边求第三边.利用平方差公式求勾股数2.常用模型

SSS1 2 模块：勾股定理解决问题例7。。。翻译：莲花露出水面5寸，被风吹倒后，刚好被水面没过，此时莲花在二尺以外的岸边。那么湖水有多深？【分析】如下图所示，2尺=20寸；若设水深x寸，则在直角ABC中：

ABxACx

理有：x52x220252x5400x37.5，即水深37.5寸6第10级下超常体系教师版第一讲例825名学生，操场圆心O到队尾AB的距离为5米，求方阵EFGH有多少人？.【分析】设大正方形的边长为2a，小正方形的边长为2b(其中b=2)，圆的半径为R；如右上图，在直角三角形OHM和ODN有：

R2a2(2a5)2R2b2(2b5)2

则a2(2a5)2b2(2b5)2a2b2(2b5)2(2a5)2ab4a426，大正方形的面积为12144.方阵共有132169人复习讲巩固1. 【分析

2 122232101011213852. 如图，所有的四边形都是正方形所有的三角形都是直角三角形，7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为___________cm2． 【分析】根据勾股定理有

SSS,A B

SSS,C D

SS72,所以正方形A,B,C,D的面积之和E 第10级下超常体系教师版 为49cm23. 它想吃到上底与下底面中间与A点相对的B点处(在外面)的蜜糖，试问蚂蚁爬行的最短的路程是多少？BA【分析米，202152252，小蚂蚁要走的最短距离是25厘米（两点之间，直线段最短）4. 折痕为EF，则△ABE的面积为多少？ 【分析】求三角形ABE的面积关键是求AE的长度，设AEx，则EDEB9x,在△ABE中有32x2(9x)2，即9x28118xx2，解得x4，因此△ABE的面积为4326(cm2)5. ____平方厘米(取3.14).【分析】S

R2 R2r2 2 2

cm2，所以R2r2100，

(R2r2)3.141003146. 有一扇长方形的门，不知道长和宽。用一根和门的对角线长度相同的直竹竿去量，竹竿比门宽多4尺，比门高多2尺，求门的宽和高，以及竹竿的长度。8第10级下超常体系教师版第一讲【分析】设竹竿长为x尺，根据勾股定理，x22x42x2x22x2x42x2242x4x228x2两边消掉x2，得，x28x10。7. 求阴影部分的面积．(20为半径，取3.14) 【分析】如下图，设半圆的圆心为O，连接OC． 从图中可以看出，OC20，OB20416，根据勾股定理可得BC12．阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，为：

2 π20 (162)12200π384244

习巩固1. 有一座时钟现在显示8时整,那么,经过多少分钟,分针与时针第一次重合?再经过多少分钟,分针与时针第二次重合?【分析】第一次要追240度,第二次要追一圈,即360度:2405.54311分;3605.56511分.2. 已知:如图长方形的长为30厘米,以宽为直径做圆,则阴影部分面积是________(取3.14).【分析】圆的半径30310厘米，长方形的宽:10220厘米。空白面积1.5r21.53.14102471平方厘米，阴影:3020471129平方厘米.3. 数是_________.【分析】因为这两个数的最大公因数是7,最小公倍数是441,441763,6316332179

,第10级下超常体系教师版 放试题问一问父母家中电视机的尺寸，再测量一下它实际的长宽，想想有什么关系？（1米=39.37英寸）10第10级下超常体系教师版第二讲第二讲分数四则混合运算预习讲内容数小数的四则混合运算分数的巧算，提取公因数，连锁约分和繁分数的运算铺知识续知识测试难度10.10.20.30.40.50.60.70.80.9 难度20.30.320.330.340.35 816 难度30.10.20.30.40.50.60.70.80.9 60 20151210第10级下超常体系教师版 学习模块1：分数的运算和凑整剖析1加法交换律：abbaabcabc3乘法交换律：abba这些运算律不仅适用于整数，也适用与小数和分数例1

(2)11 35 1.(28 适合化成小数原式 25

9.632.1319.636.34.33354(2)原式 282.5

28 19 252 28 9 5 例2(1)

1 21.1251 1.56.04 8 【分析】(1)原式

10

514

3.916.0936

2.1251.1251 1.56.04202第10级下超常体系教师版第二讲模块2：分数的巧算与综合剖析5乘法分配律：mabcmambmc6除法性质：abcmambmcm乘法分配律还有一种反用技巧，叫做提取公因数.例3

2 1512

【分析】(1)原式 8 8 27 3 3127

15 例4

(2)111138 81294 94 (3)(20 1.6520 (2)原式 12

1113 12

82816(3)原式

(20

94练一练

第10级下超常体系教师版

1 2526

(3)1.2517.4125% 【分析】乘法分配律逆应用(1)原式3.27 3.27

3

27(2)原式66

1 61 2526

1 26 6 2526 26 (3)原式1.251.257.41.251.6综合合统筹优化模块

【分析】沿ABCDE的路线长度为：72.4958.2km 沿AHGFE的路线长度

为：231.3131781 10 7km 所以AHGFE的路线更 7km例5 2 4 163264_____.128 64 32 16 【分析】原式 (1248163264)( 64 3216

48163264)( 128128 64 3216 127128练一练 ++256+512=_____. 512 256 【分析】原式4第10级下超常体系教师版第二讲 1025( 1025(11)2402310231024

1)24例6计算：(1)

1 1 2 2 2 2 3

1 100102 100199197195

__

【分析】(1)原式=

357 199 234 100199197

102 99 99 (2)原式=

123（132333…135（132333…2003）整理1加法交换律：abbaabcabc3乘法交换律：abba5乘法分配律：mabcmambmc6除法性质：abcmambmcm模块3：繁分数运算例7计算：(1)

1

(4)

(5)1

第10级下超常体系教师版 (6)若

1

成立，x=____.(7)设

【分析】(1)2

(2)9

ab

1

68

68

68 157

(两边取倒数

1

(两边取倒数2

x x (7)147

3

b19例810 191817161514131211101817 1615141312 1110 19181716 1514 1312 1110

___【分析】原式

19 17 11 19 17 19181716151413121110 19181716151413121110

6第10级下超常体系教师版第二讲复习讲巩固

1 1 1933722 2 3

=___.【分析】原式

3 2 4 12 6 6

19337229

1 36184

2

【分析】原式

31

68

33

5416273____

【分析】原式

4 33 3354541654161549457 75 75

123

【分析2164

1187

=______.【分析】原式

1

1

1

1

123...97 357...195

第10级下超常体系教师版

123...97 2 2123...973 98

习巩固1.右图中两个半径为1的扇形

AO'B与AOB叠放在一起,POQO是正方形,则整个阴影图形的面

____(取3.14).

A'

【分析】阴影部分的面积=两个扇形的面积-两个正方形的面积 2 1) 10.57 2.已知：两个数的和为200,它们的最大公因数为5,则共有_______种可能.

【分析】两个数的最大公因数为5，不妨设两个数字为5a,5b.则5a5b200,ab40.3.求阴影部分的面积．(20为半径，取3.14) 4 【分析】如右上图，设半圆的圆心为O，连接OC．从图中可以看出，OC20，OB20416，根据勾股定理可得BC12．阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，阴影面积为：

2 π20 (162)12200π384244

放试题艾迪在超市中看到下列三种商品，最少花多少钱可以使得总价为整数？酸奶6.99巧克力18.42可乐2.35下次和父母去超市的时候，留意一下购物小票，看看少买哪件商品可以让总价为整数.8第10级下超常体系教师版第三讲第三讲带余除法进阶预习知识讲内容余除法进阶余数的定义和性质，利用整除特征的余数判断，周期性问题铺知识带余除法初步——三年级春季第4讲（第6级下）续知识测试难度1博士准备了20个苹果，平均分给艾迪，薇儿和大宽三个人，每人分到几个，剩余几个？剩余多少个？难度3今天还可能有两位同学来，也可能都不来。艾迪他们需要拿出几个苹果，可以保证4个或6个小伙伴都可以均分？第10级下超常体系教师版 学习模块1：余数的定义与判断剖析一般地，如果a是整数，b是整数(b0),若有abqr，或者abqr,0rb；当r0时，我们称a能被b整除；当r0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商．在带余除法的算式中，已知三个量，就可以求出第四个量特别注意：0rb.例1(1)两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_____．(2)1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【分析】(1)因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为(415488)(41)79，所以，被除数为7948324．(2)1013121001，100171113，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除数”,所以舍去11，答案只有13,77,91．剖析1. 末位法——被4,25,8,125,16,625除的余数特征2. 数位和法——被3,9除的余数特征3. 4. 三位截断法——被7,11,13除的余数特征例2【分析】利用性质很快可得出分别为1、3、2、1、7、5、16例32第10级下超常体系教师版第三讲...20072007个2007

【分析】9：...200720072007

11：一个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为5.2007个2007奇数位上数5...20072007个2007

的余数是399：两位一截求和，(720)200754189，再次两位一截求和得89+41+5＝135，1+35＝36，因此...20072007个2007

200720072007能被7，13，27，37整除。999＝27×37;1001＝7×11×13;91＝7×1313：...20072007个2007

91：...20072007个2007

...20072007个2007

模块2：余数的性质与运用剖析1.被除数除数商余数；除数(被除数余数)商；商(被除数余数)除数.；2.余数小于除数．3. 4. a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)．5. a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)．例4(1)378379+378380+378381的结果除以7的余数是多少？(2)1234567-456123的结果除以9的余数是多少？(3)345645675678的结果除以5的余数是多少？5

66666671995个6

【分析】(1)6 (2)7 (3)1 (4)10故符合题意的余数是1．第10级下超常体系教师版 练一练(1)71427×19÷7的余数是多少(2)求4373091993被7除的余数．(3)220除以7的余数是多少？(2)法1：先将4373091993算出以后，即4373091993269120769．再求得此数被71法二可得同余的可乘性也同样适用于三个数相乘的情况．(3)找规律．用7除2，22，23，24，25，26，的余数分别是2，4，1，2，4，1，……2综合周期问题今天是星期四，101000天之后将是星期几？【分析】先求较小的n，使10n除以7的余数为1．10除以7余3，2除以7余2，10310102除以7余326，104102102除以7余224，106103103除以7的余数等于6636除以7的余数等于1．所以，1000除以7的余数等于104106166除以7的余数等于414，101000例5(1)算式12011220113201120132011计算结果的个位数字是多少？(2)算式22013320144201552016计算结果除以7的余数是多少？(3)多位数1234567891011121320132014除以9的余数是是多少？【分析】(1)由于任意自然数除以10的余数均可以是4个一周期。则2011220113201120132011132320133(mod10)由于13与11的个位相同，23与123的个位相同，其他类似，而13231035mod10（可只计算个位），这样132320133132333520118751(mod10)(2)2n除以7的余数：2，4，1，2，4，1，……3n除以7的余数：3，2，6，4，5，1，……4n除以7的余数：4，2，1，4，2，1，……5n除以7的余数：5，4，6，2，3，1，……220133201442015520162334425614211(mod7)4第10级下超常体系教师版第三讲(3)由于任意连续的9个自然数的和能被9整除，所以它们的各位数字之和能被9整除，那a，则9个数的和为9a36是9的倍数，而这9个数的数字之和可能会进位，但进一次位会少9，因此这九个数不论进位与否，数字之和肯定是9的倍数，因此把任意连续的9个自然数连起来写，所得到的数也能被9整除）与20152016除以9的余数和为9.所以多位数1234567891011121314…20132014除以9的余数是练一练(1)1222322009220102除以4的余数是____，除以3的余数是____．(2)6201752016420153201422013计算结果的个位数字是多少？【分析】(1)偶数的平方除以4余0，奇数的平方除以4余1.从1到2010共有1005个奇数，所以122232

2009220102

101010100510051和1005个

数，100542511，可见所求结果为1．3的倍数的平方除以3余0；而一个数如果不是3的倍数，它的平方除以3余1.那么122232

2009220102

11011011013401340个1和670个0

以3的余数，134034462，可见所求结果为2．(2)62017201620152014220135432265492108(mod10)例6(1)13520072009的末三位数是多少?(2)253101685的末两位数．【分析】(1)设a13520072009，a可以写成1000mn，这样a的末三位数就是n，而10008125，a本身就是125奇数倍，n只能是125,375,625,875中的一个，只需求a除以8的余数，由于19(mod8)，311(mod8)，513(mod8)，715(mod8)，所以13579111315(mod8)，同理911131517192123(mod8)，本题共有1005个乘数，100542511，而13571(mod8)，所以a1(mod8)，即a除以8首先考虑4，253除以4余数是1，所以10除以4的余数仍是1；168是4的倍数，它的以25的余数为222324；168除以25余18，则只需看18532432418除以25的第10级下超常体系教师版 整理一、余数的定义一般地，如果a是整数，b是整数(b0),若有abqr，或者abqr,0rb；当r0时，我们称a能被b整除；当r0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商．二、余数的性质1.被除数除数商余数；除数(被除数余数)商；商(被除数余数)除数.2.余数小于除数．3. 4. a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)．5. a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)．三、余数特征1. 末位法——被4,25,8,125,16,625除的余数特征2. 数位和法——被3,9除的余数特征3. 4. 三位截断法——被7,11,13除的余数特征模块3：余数的综合应用例7张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的8倍，则丙手中卡片上的数是________【分析】根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的8倍”可知，甲、乙手中五99片上的数为8465例8桌上放有多于4堆的糖块，每堆数量均不相同，而且都是不大于100的质数，其中任意三堆都可以桌上放的糖块最多是 【分析】17被3除余2，被4除余1．要满足题目的条件，根据余数的性质，每堆块数都必须是被3除余2，被4除余1的质数．100以内这样的质数有：5、17、29、41、53、89这六个，它们的和是234．桌子上方的糖最多234块．如果是4堆，那么有17718389260块。6第10级下超常体系教师版第三讲复习讲巩固

32，求甲、乙两数．【分析】因为甲乙1132，所以甲乙乙1132乙乙12321088；则乙(108832)1288，甲1088乙1000．2.当2011被正整数N除时，其余数是16，请问N的所有可能值有多少个。【分析】2011161995是N的倍数(N16),因为199535719，所以1995有222216个.3.求1~2008的所有自然数中，有多少个整数a使2a与a被7除余数相同？【分析】让我们用列表的方法来寻找2a与a2被7除余数的规律：16从上表可以看出：2a被7除的余数是2，4，1，2，4，1，2，4，1，，每3个一循环；a被7除的余数是1，4，2，2，4，1，0，1，4，2，2，4，1，0，，每7个一循环．3a被7除的余数相同的数，在自然数列中，是每21一个循环，其中有6个余数相同，24.多位数1234567891011121320122013除以9的余数是________．【分析】由于任意连续的9个自然数的和能被9整除，所以它们的各位数字之和能被9整除，那么则9个数的和为9a36是9的倍数，而这9个数的数字之和可能会进位，但进一次位会少连起来写，所得到的数也能被9整除）等于123456除以9的余数，为3.所以5.求31997的最后两位数．【分析】即考虑31997除以100的余数．由于100425，由于3327除以25余2，所以39除以25由于1997209917，所以31997除以100的余数即等于317除以100的余数，而36729除第10级下超常体系教师版 除以100的余数，而29294336163除以100余63，所以31997除以100余63，即1997的最后两位数为63．6.有8只盒子，每只盒内放有同一种笔．8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支．在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的2倍，铅笔支数是钢笔支数的3倍，只有一只盒里放的是水彩笔．这盒水彩笔共有多少支？【分析】铅笔数是钢笔数的3倍，圆珠笔数是钢笔数的2倍，因此这三种笔支数的和是钢笔数的3216倍．1723333638424951289除以6余1，所以水彩笔的支数除7.在图表的第二行中，恰好填上89～98这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得3【分析】因为两个数的乘积除以11的余数，等于两个数分别除以11的余数之积．因此原题中的111的结果：进而得到本题的答案是：习巩固1.一个数有4个因数,那么这个数的立方有_______个因数.【分析】42214,对于第一种情况,这个数是

pp1

形式的数,它的立方是p3p3形式的数,那1 对于第二种情况,这个数是p3形式的数,它的立方是p9形式的数,那么它有9110个因数..2.如图，将一张24厘米宽的长方形纸巾按图示折叠。折线长度刚好是30厘米。求纸巾的长。 24a+183024【分析】如图，根据勾股定理，a

a2

a 18 242182a182422a1832，所以纸巾 3.计算：[2(5.42)1]3.

415 8第10级下超常体系教师版第三讲62 放试题查尔斯博士每天要吃三次药，每次吃三粒。药店有以下五种规格的药，每种最多买一瓶。博士去买第10级下超常体系教师版 第四讲第四讲同余预习知识讲内容同余同余的定义和符号，同余的性质及其运用铺知识续知识测试难度1今天是4月5日，星期六，艾迪想在周二半价的时候去看电影，那么他需要等几天？难度2如果艾迪下周二没空，那么他至少需要等几天？如果艾迪这个月都没空，那么他至少需要等几天？难度3想一想这些日子之间分别差几天，这些数字有什么关系？第10级下超常体系教师版 学习模块1同余的性质剖析按照上面的写法，我们可以发现：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用“同余式”表示为abmodm意味着(我们假设ab)abmk，k是整数，即m|ab．若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除．同余和我们之前学过的整除有着相似的性质：)例1已知:3757134(mod9),2123(23)411411(mod7)，仿照此种形式,利用同余记号书写过程，计算下面各题最终的余数(1)1234528_____________________________(mod11)(2)98766789__________________________(mod9)(3)5412852______________________________(mod7)(4)22013____________________________(mod9)(5)482013_____________________________(mod5)(6)15109____________________________________(mod13)(7)4201320134_______________________(mod13)(8)31014100_______________________________(mod11)【分析】(1)1234528202(mod11)(2)98766789330(mod9)(3)5412852155(mod7)(4)22013(26)33523133588(mod9)(5)48201332013(3503)43133(mod5)(6)151092109(29)122122(mod13)(7)4201320134(4167)12491142181212212644212162(mod13)2第10级下超常体系教师版第四讲(8)310141003(34)1003121003(mod11)例2？【分析】假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以a|(412257),a|(257133)，说明a是这两个差的公因数。(155,124)31,所以a最大是31。练一练()

1的整数，除39,51,147所得的余数都相同，求这个数可能是多少？及【分析】(1)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它3，4，6，12.(2)因为1390313511392,1458913903686，由于13511，13903，14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除．(392,686)98，所以所求模块2同余的应用例3(1)有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是多少？(2)一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a5、2a、a，求这个自然数和a的值.这样我们用总结的知识点可知：任意两数的差肯定余0。那么这个自然数是888-656=232,(2)将这些数转化成被该自然数除后余数为2a的数：42952848，791、50021000，这样这些数被这个自然数除所得的余数都是2a，故同余.将这三个数相减，得到84879157、1000848152，所求的自然数一定是57和152的公因数，而57,15219，所以这个自然数是19的因数，显然1是不符合条件的，那么只能是19.经过验证，当这个自然数是19时，除429、791、500所得的余数分别为11、12、6，a6时成立,所以这个自然数是19，a6.例4有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是多少？【分析】(70110160)50290，503162，除数应当是290的大于17小于70的因数，第10级下超常体系教师版 只可能是29和58，11058152，5250，所以除数不是58．7029212,11029323,160295 15,12231550,所以除数是29.练一练【分析

(6391130)26258，26382，除数应当是258的大于8小于63的因数，只可能是43,经验证符合要求。例5，每位小朋友．余下的苹果、饼干、糖的数量之比是1:2:3，问学前班有多少位小朋友？【分析】设学前班有a位小朋友，设余下的苹果的数量为x个，那么余下的饼干和糖的数量分别为2x块和3x粒．根据题意有176amx216an2x324ap3x那么a应为17621632468和1762216136的公因数所以学前班小朋友的人数是68的因数．综合计数模块些红色的短线；一根白色的长线，经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些白色的短条？【分析】根据题意红色短线有2m1条，白色短线有2n1条（mn)，因此2m2n2100p（p为所以m12，此时2m12n112050，满足条件，因此红色短线至少有21214097条整理1.同余式若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用“同余式”表示为abmodm意味着(我们假设ab)abmk，k是整数，即m|ab．若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除．4第10级下超常体系教师版第四讲2.同余的性质)模块3同余与弃9法的综合应用例6判断以下计算是否正确:42784×3968267=1697598942348【分析】若直接将右边算出，就可判断.42784×3968267=169778335328，可知以上结果是错的；但计算量太大。如果右式和左式相等，则它们除以某一个数余数一定相同。因为求一个数除以9的余数只9如果余数不相同，则上式一定不成立。右式和左式的个位数字相同，因而无法由个位断定上式是否成立，但是4+2+7+8+4=25，25≡7（mod9）3+9+6+8+2+6+7=4141≡5（mod42784×3968267≡35≡8（mod9）（1+6+9+7+5+9+8+9+4+2+3+4+8）≡3（mod9）因此上式不成立9。应该注意，用弃九验算法可发现错误，但没找出错误时不能保证原题一定正确。例73个三位数乘积的算式abcbcacab234235286(其中abc)，在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的，问原式中的abc是多少？【分析】由于2342352862342352868(mod9)，abcbcacab(abc)3(mod9) ，于是(abc)38(mod9) ，从而(用abc0,1,2,,8(mod9)代入上式检验)abc2,5,8(mod9)…(1)，对a进行讨论：如果a9，那么bc2,5,8(mod9)…(2)，又cab的个位数字是6，所以bc的个位数字为4，bc可能为41、72、83、64，其中只有(b,c)(4,1),(8,3)符合(2)，经检第10级下超常体系教师版 验只有983839398328245326符合题意．43、62、76、71，其中只有(b,c)(2,1)符合(3)，经检验，abc821不合题意．如果a7，那么bc4,7,1(mod9)…(4)，则bc可能为42、63，其中没有符合(4)的(b,c)．如果a6，那么b5，c4，

因此这时abc不可能符合题意．综上所述，abc983是本题唯一的解．例8 【分析】由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以20092009与A、B、C、D除以9都同余，而2009除以9的余数为2，则20092009除以9的余数与22009除以9的余数相同，而2664除以9的余数为1，所以22009263345(26)33425除以9的余数为另一方面，由于20092009100002009108036，所以20092009的位数不超过8036位，那么它的复习本讲巩固1. 利用同余记号计算:31303031被13除所得的余数是多少？【分析】31303031530431(52)1256(42)1247(53)221246443(mod13)2. 【分析】482-74=408;992-74=918;1094-74=1020; (408,918,1020)102102。3. 一个自然数除70、125、361所得的余数分别是a19、a、2a，求这个自然数和a的值.【分析】70-19=51，125×2=250，根据题意可知：这个自然数除51与125都余a，因此这个数一定个数为37.a=144. 乘法算式:3145×92653=291__93685的横线处漏写了一个数字，你能以最快的办法补出吗？.35. 6第10级下超常体系教师版第四讲【分析】abc19(abc)，81a9b18c，9ab2c(想想为什么能约个9，是不是巧合呢)6. 在1~2011的整数中，有多少个m使2010m2009m能被11整除？【分析】2010m8mmod11，2009m7mmod11.我们将8m和7m除以11的余数列在下表：7m模11的余数可见，当m5,10,15,时，2010m和2009m被11除的余数相同.20115402，共有402个m，使得2010m2009m能被11整除.7. 的正确结果应该是多少？【分析】abba(ab)294241(mod9），得到ab1(mod9)或ab8(mod9)若ab8(mod9)，则ab8(abba88,abba444419362449),无解．或ab17(98898722)，也无解．因此正确的结果应该是2944.复习巩固1. 10 r 【分析】如右上图，R2r25225；则阴影面积为(R2r2)2578.5cm2. 3.875380.0915.540 18.251117 4

8

3. 2011个数除以7余数是____.77第10级下超常体系教师版 数是5放试题在日历中找一找你出生那年的生日是星期几，看看还有哪些年和它一样.想一想这些年份有什么规律。8第10级下超常体系教师版第五讲第五讲不定方程预习知识讲内容定方程掌握同余法解不定方程，灵活运用不定方程解决实际问题铺知识续知识测试难度1艾迪和薇儿手中共有20块钱，艾迪手中每张都是2块钱，薇儿手中每张都是5块钱，那么他们各有多少钱？难度2艾迪和薇儿手中共有30块钱，艾迪手中每张都是2块钱，薇儿手中每张都是5块钱，那么可能各有多少钱？少有多少钱？第10级下超常体系教师版 学习模块1解不定方程剖析定方程基本定义2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一．3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解例1么？(1)2x3y(2)8x+12y=64

(4)3x-7y=4

x

x

5;

x

xy

x

6;y()对方系数即可得到其余的(整数)解.练一练求下列方程的正整数解(2,3小题仅需写出2组)(1)3+5y(2)9x-12y=6 (3) 【分析】(1)

x

5;

x

;

15

；(2)3x-4y=2,

x

x

x(3)化简为3x-2y=6,解得

2第10级下超常体系教师版第五讲例2程组

9a6b4c80abc15

【分析】根据消元的思想将第二个式子扩大4倍相减后为：(9a6b4c)4(abc)80415，整理后得5a2b20，根据等式性质，2b为偶数，20为偶数，所以5a为偶数，所以a为偶数，当a0时，b10；当a2时，522b20，b5;当a4时，542b20，b0．所以方程组的解为

a

0模块2不定方程解应用题剖析不定方程的技巧1、余数分析法分析．2、因数分析法任何非零整数的因数个数是有限的，因此，可以对不定方程的解在有限范围内用枚举法确定．3、奇偶分析法利用等式两边的奇偶性质相同确定未知数的取值范围．4、不等分析法利用量的整数性或不等关系，确定出方程解的范围例3【分析】设这个同学的生日是x月y日，根据题意列方程得30x11y350，由于350301120，所以11y30a20，所以y10，对应的方程的解为

xy

10日例4位．需要大小客车各多少辆x,第10级下超常体系教师版 辆，小客车有7辆．练一练5320大巴车的载客人数．【分析】设每辆大巴车和中巴车的载客人数分别为x人和y人，那么有：5x3y306．yy5除所得的余数与306被5除所得的余数相等，从个位数上来考虑，3y的个位数字只能为y22，继而求得x48，所以大巴车的载客人数为48人．例5的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？xB天和(30y)天，那么30天内共生产了A配件(300x120y)个，共生产了B配件150(30x)48(30y)5940150x48y个．要将它们配成套，A配件与B配件的数量应相等，即300x120y5940150x48y，得到75x28y990，则

的套数为

300x120y300

综合最值模块，.，狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面．在这15天内它们共叫了61声.问：波斯猫至少叫了多少声?【分析】早晨见面小花狗和波斯猫共叫3声，晚上见面共叫5声.设早晨见面x次，晚上见面y次.根据题意有3x5y61（x15，y15）.声，xy越大，小花狗叫得越多，波斯猫叫得越少，所以x12，y5时波斯猫叫得最少，共叫1123527(声).4第10级下超常体系教师版第五讲整理一、不定方程基本定义2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一．3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解二、解不定方程的技巧1、余数分析法分析．2、因数分析法任何非零整数的因数个数是有限的，因此，可以对不定方程的解在有限范围内用枚举法确定．3、奇偶分析法利用等式两边的奇偶性质相同确定未知数的取值范围.4、不等分析法利用量的整数性或不等关系，确定出方程解的范围模块3不定方程的综合应用例6母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问翁、母、雏各几何？”你会做吗？只，问公鸡、母鸡、小鸡各买几只？）x 5x3yz

由②3①，得14x8y200，即：7x4y100因为x、y为正整数，所以不难得出x应为4的倍数，故x只能为0、4、8、12，从而相应y的值分别为25、18、11、4，相应z的值分别为75、78、81、84．所以，方程组的特殊解为

xy

0

xyz

4

xz11，

xyz所以公鸡、母鸡、小鸡应分别买0只、25只、75只或4只、18只、78只或8只、11只、81只或12只、4只、84只．第10级下超常体系教师版 例7王大妈拿了一袋硬币去银行兑换纸币，袋中有一分、二分、五分和一角四种硬币，二分硬币的枚数 5，一角硬币的枚数是五分的5少7枚．王大妈兑换到的纸？【分析 100

元；5 25

125x7个，共计(

10 27 x 27 x 500 1250 10

且有1角的银币有27 125x个说明x必为125的倍数，不妨设x125k。

0.7

125k0.77.7k0.7，为了使其为整数，k=1，11,21，…825枚，5分的有825

7290枚．例8在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、，．((．中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中 次飞镖中飞镖的总次数为xyz次，而总得分为17x11y4z分，要想获奖，必须17x11y4z120．由于17x120，得到x6．当x的值一定后，要使xyz最小，必须使y尽可能大．若x6，得到11y4z18，此时无整数解；若x5，得到11y4z35，此时y1，z6，xyz51612；

xyz10；若x3，得到11y4z69，此时y3，z9，xyz33915；若x2，得到11y4z86，此时y最大为6，当y6时z5，这种情况下

xyz13；若x1，得到11y4z103，此时y最大为9，当y9时z1，这种情况下xyz11；6第10级下超常体系教师版第五讲复习讲巩固1. 求6x22y90的自然数解．

xy

x15y0

2. 【分析】这是一道鸡兔同笼问题，但由于已知鸡兔腿的总数，而不是鸡兔腿数的差，所以用不定方程求解．4x2y24即：2xy12，y122x这是一个不定方程，其可能整数解如下表所示：由题意xy，且x，y均不为0，所以x5，y2，也就是兔有5只，鸡有2只．3. 【分析】假设甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为x天和y天，则他们用于生产裤子的天数分别为(21x)天和(21y)天，那么总共生产了上衣(16x18y)件，生产了裤子20(21x)24(21y)92420x24y件．根据题意，裤子和上衣的件数相等，所以16x18y92420x24y，即6x7y154，即

．那么共生产了16x

18y16

1547y

18y410

4408

套衣服．4.

5x7y9z523x5y7z36

的正整数解．【分析】将方程组中两式相减并化简可得，xyz8，与3x5y7z36联立并消去x有y2z6，故z1或2，故原方程的正整数解为：

xz

xyz

5. 现有1角、5角、1元的硬币各10枚,从中取出15枚,共值7元,三种硬币各取多少枚?【分析】设1角硬币取x枚，2角硬币取y枚，5角硬币取z枚，依题意列方程得第10级下超常体系教师版 xyz15x5y10z70

，两个方程，三个未知数，不会解，但要考虑到未知数是整数，可以根据整除性质进行解题，两个方程相减得4y9z55,则9z554y,所以554y是9的倍数，这样只能等于45，36，27，18，9，经过尝试只有554y27这一种情况，所以y7,z3,这样x5，所以三枚硬币各取5枚，7枚，3枚.6. 单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有3．那么其中有多少名男职工因为有1【分析】 3的职工各带一个孩子参加，则职工总人数是3的倍数．设男职工有x人，女职工

xy

时，x8；当y13，x4．其中只有31215是3的倍数，符合题意，所以其中有12男职工．7.

第5次测验，这样5次的平均分数都提高到了90分．求第5次测验两人的得分．(每次测验满分为100分)【分析】设某一学生前4次的平均分为x分，第5次的得分为y分，则其5次总分为4xy905450，于是y4504x．显然90y100，故904504x100，解得87.5x90．平均分分别为88分和89分，那么他们第5次的得分分别为：45088498分；45089494分．复习巩固

5.51.751 】本题观察发现除以5【分析 18相当于乘以3.6则公因数就出来了

3.66.153

2 5.51.751 3

75 71943 421

3519 12 95.54.510 2. 共有_____位，数a除以9的余数是___．8第10级下超常体系教师版第五讲【分析】一位的奇数有5个，两位的奇数有45个，再加两个三位奇数，所以a是一个524532101（位）数．因为等差数列中的连续9个数的和是9的倍数，所以等差数列中把这9个数连起来写，所3. ， 9DG10 A 放试题为鼓励节约用电，如今很多城市开始采用阶梯式电价，根据用电量不同，电价也不同。询问一下父母电价标准以及上个月的用电量，算一算需要交多少电费。第10级下超常体系教师版 第六讲第六讲浓度问题预习知识讲内容度问题理解浓度三个量之间的基本关系解决浓度混合问题的十字交叉方法铺知识分数应用题——五年级秋季第4讲（第9级下）3续知识测试难度1想一想，我们喝的糖水中主要有哪些东西？是糖多还是水多？难度2想一想可以用什么办法表示糖水中的含糖量？用什么办法可以提高含糖量？第10级下超常体系教师版 学习模块1浓度公式运用剖析一、基本概念溶质：被溶解的物质．例如糖、盐、酒精．溶剂：溶解溶质的液体例如水溶液：溶质、溶剂的混合物．二、基本公式溶质+溶剂=溶液浓度=

例1⑴20克糖放入100克水中，得到的糖水溶液是 克， 克，溶剂 ⑵把10克盐放入40克的水中，搅拌均匀，则这杯盐水的浓度为 克的糖 克， 【分析】⑴120,20,100；⑵20%⑶6.75；⑷25,10例2混合后浓度变为多少？【分析】⑴36%；⑵15%；⑶22%；⑷33%．模块2浓度相关技巧剖析三、相关技巧1.寻找溶液配比前后的不变量量用比例解题或建立等量关系列方程2.十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)2第10级下超常体系教师版第六讲形象表达：

后浓度

混合后浓度与乙浓度差甲溶液重量甲浓度与混合后浓度差乙溶液重量例3的重量比是多少？⑵一杯浓度为10%的盐水蒸发掉一定量的水后，盐水的含盐百分比变为15%，所蒸发的水与原来的水重量的比是多少？⑶一杯浓度为10%的盐水，加入一定量的盐后盐水的含盐百分比变为15%，所加的盐与原来的盐的重量比是多少？⑷一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为15%；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为；第三次加入同样多的水盐水的含盐百分比将变为百分之几⑸一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为15%；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为；第三次加入同样多的盐盐水的含盐百分比将变为百分之几【分析】⑴加水，盐不变，

100

，15% 100

，因此所加的水与原来的水的比是(400300):(30060)100:2405:12

100

100

水的比(300200):(30030)100:27010:27⑶加盐，水不变，加盐前，盐与水的比是10%:(110%)1:917:153，加盐后盐与水的比是15%:(115%)3:1727:153，因此所加的盐与原来的盐的比是(2717):1710:17⑷由于每次加水，因此应该是盐的重量不变，因此可以统一不变量，1560

，可知每次都是加了100份水，所以第三次再加同样多的水后，浓度为 500100

，1260

500100

100%26.67%

练一练的重量比是多少？第10级下超常体系教师版 的水的重量比是多少？的重量比是多少？【分析】⑴加水，盐不变，

100

，因此所加的水与原来的水的比是(200100):(10030)100:7010:7⑵蒸发水，还是盐不变，15% 100

100

，因此所蒸发的水与原来的水的比(500300):(50075)200:4258:17⑶加盐，水不变，加盐前，盐与水的比是15%:(115%)3:179:51，加盐后盐与水的比是25%:(125%)1:317:51，因此所加的盐与原来的盐的比是(179):518:51例4A、B两杯食盐水各有40克，浓度比是3:2．在B中加入60克水，然后倒入A中________克．再在A、B中加入水，使它们均为100克，这时浓度比为7:3．中的含盐量．倒入后A和B的含盐量改变，比例变为7:3，但是倒入前后两杯盐水的含盐的总和是不变的，3+2=5,7+3=10，统一份数．3:2=6:4，这时总含盐量看成10份，原来A、例5【分析】根据十字交叉，因此两种溶液重量比为2:3，所以需要再加入202330（千克）浓度为30％的盐水，可以得到浓度为22％的盐水 8 : 12=2:3练一练4第10级下超常体系教师版第六讲10% 【分析】根据十字交叉，所以两种溶液各100011

10

10

=1:1例6精各取了多少千克？【分析】利用两个十字交叉技巧，可知混合前溶液重量比为4:10，混合后重量比是9:15，重量差是 5.25 综合合应用题模块在一个奇怪的动物村庄里住着猫、狗和其他一些动物．有20%的狗认为它们是猫；有20%的猫认为它们是狗．其余动物都是正常的．一天，动物村的村长小猴子发现：所有的猫和狗中，有32%认为自己是猫．如果这个奇怪的动物村庄里有狗比猫多180只．那么狗的数目是多少只？【分析】仔细分析题目，发现本题其实是一个简单的浓度问题：有20%的狗认为自己是猫，有80%只，所以狗的数目为180414240只．整理一、浓度问题相关公式溶液溶质溶剂；

100%

溶质溶质溶剂

0%

二、十字交叉法液重量比为(zy):(xz)第10级下超常体系教师版 z 模块3浓度综合应用例7瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和400克的两种酒精溶液A、B，溶液的浓度是 %．Bx21002x400x100015%(1000100400)14%600x150210x0.1故A的浓度为2x20.10.220%．根据题意，假设先把100克A种酒精和400克B种酒精混合，得到500克的酒精溶液，再与1000克15％的酒精溶液混合，两种溶液重量比1000:5002:1．15% y 所以A、B两种酒精混合得到的酒精溶液的浓度为y14%2%12%．

根据十字交叉法，

x12%有

400:100

，解得x20%．例86第10级下超常体系教师版第六讲薇儿从冰箱里拿出一瓶%的纯果汁一口气喝了五分之一后又放回了冰箱第二天妈妈拿出来喝了剩下的五分之一，觉得太浓，于是就加水兑满，摇匀之后打算明天再喝．第三天薇儿拿出这瓶果汁，一口气喝得只剩一半了．她担心妈妈说她喝得太多，于是就加了些水把果汁兑满．第四天薇儿拿出这瓶果汁，一口气喝的只剩下四分之一了，这时候妈妈发现了，又往瓶中倒了一些水，这时候果汁的浓度刚好为．请问：这瓶果汁最后是整瓶的几分之几（认为果汁与水密度相同【分析】第二天加水后浓度：

1

1

100%64%第三天加水后的浓度：

100%32%

32%

100%24%

后还有1复习讲巩固1. 克．【分析】⑴25%；⑵1702. 从装满100克浓度为

80%的盐水的杯子中倒出40克盐水后再倒入清水将杯倒满，这样反复三【分析】要想求出最后盐水的浓度，需要求出来最后盐水有多少克和最后有多少盐．比较好求的是最后盐水还有100克，现在的问题就是求出最后的那杯盐水中含有多少克盐．我们观察这个过程：3. 后，酒精与水的质量比是 【分析】由于213，314，415，3，4，560，所以将三个容积相等的瓶子各自平均分成60份，那么三瓶中酒精与水的比分别是：40∶20，4515，48∶124. 一个20千克的大西瓜，它重量的98%是水分，将西瓜放在太阳下晒，水分蒸发后，西瓜重量的95是水分．那么晒后西瓜的重量是__________． 第10级下超常体系教师版 5.

5% 【分析

2%:1%2:1因此5%的盐水为600(21)2400（克），8%的盐水600400200（克）.6. A种酒精中纯酒精的含量为43%，B种酒精中纯酒精的含量为36.6%，C种酒精中纯酒精的含量为35%，它们混合在一起得到了纯酒精的含量为40.6%的酒精11千克，其中B种酒精比C种酒精多3千克．那么其中的A种酒精有多少千克？【分析】方法一：首先，本题中的B种酒精比C种酒精多3千克，为了使问题化简，可以假设先从B种酒精中减掉3千克酒精，这样酒精B与C的数量就同样多．如果在11千克酒精中减掉3千克B种酒精，那么在减掉3千克B种酒精后的酒精浓度为：40.6%1136.6%3

100%42.1%此时还剩1138(千克)酒精．这样一来，问题就转化成：A种酒精中纯酒精的含量为43%，B种酒精中纯酒精的含量为36.6%，C种酒精中纯酒精的含量为35%，它们混合在一起得到了纯酒精的含量为42.1%的酒精8千克，其中B种酒我们把配制42.1%的酒精的过程分两步进行．第1步，先把同样多的B种酒精与C种酒精进行配比，(36.6%35%)235.8% 6.3 0.9=7:1据十字交叉由于现在共有8千克酒精，所以A种酒精占8千克中的

17

方法二：我们还可以根据混合前后纯酒精的含量关系来列方程求解．设C种酒精为x千克，则B种酒精为(x3)千克，A种酒精为(82x)千克．混合前的纯酒精含量为：(82x)43%(x3)36.6%x35%；混合后的纯酒精含量为：1140.6%．由于混合前后的纯酒精含量相等，所以：(82x)43%(x3)36.6%x35%1140.6%解上述方程可得：x7．7. 甲桶有若干凉开水乙桶有若干．第一步从甲桶往乙桶倒水倒入的8第10级下超常体系教师版第六讲原有果汁的两倍第二步从乙桶往甲桶倒混合液倒入的重量等于甲桶中现有水的两倍两桶装的混合液总量相等求原来甲桶中的水和乙桶中的果汁的【分析】设甲桶中有水x千克，乙桶中有果汁y千克．第一次倒完后，甲桶中有水x2y千克，乙 桶装的混合液总量相等，则3x6y7y2x，那么x:y13:5，即原来甲桶中的水和乙复习巩固1. 2014除以一个数，余数是22．求出符合条件的所有数共有多少个．【分析】2014221992，199223383，因此1992有16个因数，但因数1,2,3,4,6,8,12小于22，所以符合条件的所有数共有1679个2. 数、一个四位数，使得这三个数的和等于2014，那么其中没有被选中的数字是________.3. xyz12(1)2x