2022年秋高中数学第八章成对数据的统计分析8.2一元线性回归模型及其应用8.2.1一元线性回归模型8.2.2一元线性回归模型参数的最玄乘估计课件新人教A版选择性必修第三册

8.2.1一元线性回归模型8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计第八章课标要求1.了解随机误差、残差、残差图的概念,会通过残差分析判断线性回归模型的拟合效果.2.了解回归分析的基本思想方法和初步应用.内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标基础落实•必备知识全过关知识点1

一元线性回归模型

我们称该式为Y关于x的一元线性回归模型.其中,Y称为因变量或响应变量,x称为自变量或解释变量;a和b为模型的未知参数,a称为截距参数,b称为斜率参数;e是Y与bx+a之间的随机误差.过关自诊判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)两个变量之间产生随机误差的原因仅仅是因为测量工具产生的误差.(

)(2)在画两个变量的散点图时,响应变量在x轴上,解释变量在y轴上.(

)(3)随机误差一般是不可观测的随机变量.(

)××√知识点2

一元线性回归模型参数的最小二乘估计1.经验回归方程2.残差与残差分析对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值,通过经验回归方程得到的

称为预测值,观测值减去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果,通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果,以及判断原始数据中是否存在可疑数据等,这方面工作称为残差分析.在残差图中,当残差比较均匀地分布在横轴的两边,说明残差比较符合一元线性回归模型的假定.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)任何一组数据都可以由最小二乘法得出经验回归方程.(

)(2)残差平方和越接近0,线性回归模型的拟合效果越好.(

)(3)R2越小,线性回归模型的拟合效果越好.(

)(4)进行回归分析前,要先进行相关性的分析.(

)(5)经验回归直线过样本点的中心().(

)×√×√√2.在回归分析中,利用经验回归方程求出的值一定是真实值吗?为什么?提示

不一定是真实值.利用经验回归方程求出的值,在很多时候只是预测值,例如,人的体重与身高存在一定的线性相关关系,但体重除了受身高的影响外,还受其他因素的影响,如饮食、是否喜欢运动等.重难探究•能力素养全提升探究点一求经验回归方程【例1】

某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,得下表数据:x681012y2356(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,建立y关于x的经验回归方程;(3)试根据求出的经验回归方程,预测记忆力为9的同学的判断力.解(1)散点图如图:规律方法

求经验回归方程:变式训练1(2022陕西咸阳月考)某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度,并将所得数据分成五组,绘制出如图所示的频率分布直方图.(1)估计口罩生产车间工人生产速度的中位数(结果写成分数的形式);(2)为了解该车间工人的生产速度是否与他们的工作年限有关,现从车间所有工人中随机调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄(参加工作的年限),所得数据如表:工龄x(单位:年)4681012生产速度y(单位:件/小时)4257626267根据上表数据求每名工人的生产速度y关于他的工龄x的经验回归方程解

(1)由频率分布直方图可知,(0.006+0.016+0.026+a+0.016)×10=1,解得a=0.036,∵0.06+0.16+0.26=0.48<0.5,0.06+0.16+0.26+0.36=0.84>0.5,∴中位数位于50~60之间,设中位数为m,则0.06+0.16+0.26+0.036(m-50)=0.5,探究点二回归分析【例2】

某运动员训练次数x与成绩y的数据如下:次数x3033353739444650成绩y3034373942464851(1)作出散点图;(2)建立成绩y关于次数x的经验回归方程;(3)作出残差图;(4)计算R2,并用R2说明拟合效果的好坏.解(1)该运动员训练次数x与成绩y之间的散点图如图所示,由散点图可知,它们之间具有线性相关关系.(3)某运动员训练次数与成绩之间的数据及相应的残差数据为

残差图如图所示.由图可知,残差比较均匀地分布在横轴的两边,说明选用的模型比较合适.(4)计算得R2≈0.985

5.说明拟合效果较好.规律方法

1.解答本类题目应先通过散点图、样本相关系数来分析两个变量是否线性相关,再利用求经验回归方程的公式求解经验回归方程,并利用残差图或R2来分析模型的拟合效果.2.“R2、残差图”在回归分析中的作用:(1)R2是用来刻画回归效果的,由R2=1-,可知R2越大,意味着残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果越好.(2)残差图也是用来刻画回归效果的,判断依据是:残差比较均匀地分布在横轴的两边,说明残差比较符合一元线性回归模型的假定.变式训练2在一段时间内,某种商品的价格x(单位:元)和需求量y(单位:件)之间的一组数据如下:x/元1416182022y/件1210753已知x与y线性相关,求出y关于x的经验回归方程,并用R2说明拟合效果的好坏.探究点三求非线性经验回归方程【例3】

某地区六年来轻工业产品利润总额y(单位:亿元)与年次x的数据如下:年次x123456利润总额y/亿元11.3511.8512.4413.0713.5914.41由经验知,年次x与利润总额y(单位:亿元)近似有如下关系:y=abxe0.其中a,b均为正数,求y关于x的经验回归方程.解对y=abxe0两边取自然对数,得ln

y=ln

ae0+xln

b.令z=ln

y,则z与x的数据如下表:x123456z2.432.472.522.572.612.67由z=ln

ae0+xln

b及最小二乘法,得ln

b≈0.047

7,ln

ae0≈2.378,规律方法

非线性经验回归方程的求法

变式训练3某展会一天上午9点半到下午2点的即时参观人数如下表:时间x9.51010.51111.51212.51313.514人数y/万12.3920.0225.5730.2635.7737.5740.2340.9541.7343.71已知时间与参观人数具有很强的相关关系,试求出这段时间内即时参观人数关于时间的经验回归方程.解根据题表中的数据画出散点图如图所示.由图可以看出,样本点分布在某条对数型函数曲线y=a+bln

x

的周围.令z=ln

x,则y=a+bz,故y与z具有线性相关关系.可知y与z的数据如下表:z2.252.302.352.402.442.482.532.562.602.64人数y/万12.3920.0225.5730.2635.7737.5740.2340.9541.7343.71本节要点归纳1.知识清单:(1)一元线性回归模型;(2)最小二乘法、经验回归方程的求法;(3)对模型刻画数据效果的分析:残差图法、残差平方和法和R2法.2.方法归纳:代入法、数形结合、转化与化归.3.常见误区:(1)不判断变量间是否具有线性相关关系;(2)盲目求解经验回归方程致误.学以致用•随堂检测全达标1.已知甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x,y的模型时,分别选择了4种不同模型,计算它们的R2分别如下表:学生甲乙丙丁R20.980.780.500.85则建立的模型拟合效果最好的是(

)A.甲

B.乙

C.丙

D.丁答案A

解析

因为R2的值越大,模型拟合效果越好,所以甲的拟合效果最好.答案B

3.(2022贵州贵阳模拟)某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:千件)的影响.现收集了近5年的年宣传费x(单位:万元)和年销售量y(单位:千件)的数据,其数据如下表所示,且y关于x的线性回归方程为

x-8.2,则下列结论错误的是(

)x4681012y1571418A.x,y之间呈正相关关系

C.该经验回归直线一定经过点(8,7)D.当该产品的年宣传费为20万元时,预测其年销售量为34800件答案C

故当该产品的年宣传费为20万元时,预测其年销售量为34800件,故选项D正确.故选C.4.某课题组调查了某地若干户家庭的年收入x(单位:万元)和年饮食支出y(单位:万元)的情况,调查结果显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y关于x的经验回归方程为

=0.254x+0.321.由经验回归方程可知,家庭年收入每增加1万元,年