2023学年山西省吕梁市重点中学高三六校第一次联考数学试卷（含解析）

2023学年高考数学模拟测试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在展开式中的常数项为A．1 B．2 C．3 D．72．已知函数，，若存在实数，使成立，则正数的取值范围为（）A． B． C． D．3．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．在中，角、、所对的边分别为、、，若，则（）A． B． C． D．6．如图，在平行四边形中，为对角线的交点，点为平行四边形外一点，且，，则（）A． B．C． D．7．函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．8．已知函数是上的偶函数，是的奇函数，且，则的值为（）A． B． C． D．9．已知直线：过双曲线的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．10．复数满足，则（）A． B． C． D．11．已知将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则下述四个结论：①②③④点为函数的一个对称中心其中所有正确结论的编号是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④12．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（）A． B．8 C． D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．公比为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为__________．14．已知函数的部分图象如图所示，则的值为____________.15．已知实数x,y满足(2x-y)2+4y16．已知公差大于零的等差数列中，、、依次成等比数列，则的值是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）新高考，取消文理科，实行“”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年），并把调查结果制成下表：年龄（岁）频数515101055了解4126521（1）分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；（2）请根据上表完成下面列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？了解新高考不了解新高考总计中青年中老年总计附：.0.0500.0100.0013.8416.63510.828（3）若从年龄在的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为，求的分布列以及.18．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数在上存在两个极值点，，且，证明.19．（12分）如图，在四棱锥中，，，.（1）证明：平面；（2）若，，为线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.20．（12分）如图，正方体的棱长为2，为棱的中点.（1）面出过点且与直线垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求与该平面所成角的正弦值.21．（12分）已知函数的图象在处的切线方程是.（1）求的值；（2）若函数，讨论的单调性与极值；（3）证明：.22．（10分）已知的面积为，且.（1）求角的大小及长的最小值；（2）设为的中点，且，的平分线交于点，求线段的长.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【答案解析】

求出展开项中的常数项及含的项，问题得解。【题目详解】展开项中的常数项及含的项分别为：,，所以展开式中的常数项为：.故选：D【答案点睛】本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想，考查计算能力，属于基础题。2、A【答案解析】

根据实数满足的等量关系，代入后将方程变形，构造函数，并由导函数求得的最大值；由基本不等式可求得的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数的取值范围.【题目详解】函数，，由题意得，即，令，∴，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，而，当且仅当，即当时，等号成立，∴，∴.故选：A.【答案点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.3、B【答案解析】

或，从而明确充分性与必要性.【题目详解】，由可得：或，即能推出，但推不出∴“”是“”的必要不充分条件故选【答案点睛】本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.4、A【答案解析】

由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.【题目详解】解：由题意，若、的体积不相等，则、在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，、在等高处的截面积不恒相等，但、的体积可能相等，例如是一个正放的正四面体，一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以是的充分不必要条件，故选：A.【答案点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.5、D【答案解析】

利用余弦定理角化边整理可得结果.【题目详解】由余弦定理得：，整理可得：，.故选：.【答案点睛】本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题.6、D【答案解析】

连接，根据题目，证明出四边形为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案【题目详解】连接，由，知，四边形为平行四边形，可得四边形为平行四边形，所以.【答案点睛】本题考查向量的线性运算问题，属于基础题7、D【答案解析】

利用辅助角公式,化简函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,并采用整体法,可得结果.【题目详解】因为，由，解得，即函数的增区间为，所以当时，增区间的一个子集为.故选D.【答案点睛】本题考查了辅助角公式,考查正弦型函数的单调递增区间,重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用,使问题化繁为简,难度较易.8、B【答案解析】

根据函数的奇偶性及题设中关于与关系，转换成关于的关系式，通过变形求解出的周期，进而算出.【题目详解】为上的奇函数，，而函数是上的偶函数，，，故为周期函数，且周期为故选：B【答案点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题.9、A【答案解析】

根据直线：过双曲线的一个焦点，得，又和其中一条渐近线平行，得到，再求双曲线方程.【题目详解】因为直线：过双曲线的一个焦点，所以，所以，又和其中一条渐近线平行，所以，所以，，所以双曲线方程为.故选：A.【答案点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10、C【答案解析】

利用复数模与除法运算即可得到结果.【题目详解】解:，故选：C【答案点睛】本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.11、B【答案解析】

首先根据三角函数的平移规则表示出，再根据对称性求出、，即可求出的解析式，从而验证可得；【题目详解】解：由题意可得，又∵和的图象都关于对称，∴，∴解得，即，又∵，∴，，∴，∴，，∴①③④正确，②错误.故选：B【答案点睛】本题考查三角函数的性质的应用，三角函数的变换规则，属于基础题.12、C【答案解析】

将直线方程代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出的值．【题目详解】F（1，0），故直线AB的方程为y＝x﹣1，联立方程组，可得x2﹣6x+1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．由抛物线的定义可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝．故选C．【答案点睛】本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、56【答案解析】

根据已知条件求等比数列的首项和公比，再代入等比数列的通项公式，即可得到答案.【题目详解】，，.故答案为：.【答案点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.14、【答案解析】

由图可得的周期、振幅，即可得，再将代入可解得，进一步求得解析式及.【题目详解】由图可得，，所以，即，又，即，，又，故，所以，.故答案为：【答案点睛】本题考查由图象求解析式及函数值，考查学生识图、计算等能力，是一道中档题.15、2【答案解析】

直接利用柯西不等式得到答案.【题目详解】根据柯西不等式：2x-y2+4y当2x-y=2y，即x=328故答案为：2.【答案点睛】本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.16、【答案解析】

利用等差数列的通项公式以及等比中项的性质，化简求出公差与的关系，然后转化求解的值.【题目详解】设等差数列的公差为，则，由于、、依次成等比数列，则，即，，解得，因此，.故答案为：.【答案点睛】本题考查等差数列通项公式以及等比中项的应用，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）见解析，有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联；（3）分布列见解析，.【答案解析】

（1）分别求出中青年、中老年对高考了解的频数，即可求出概率；（2）根据数据列出列联表，求出的观测值，对照表格，即可得出结论；（3）年龄在的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，可能取值为0，1，2，分别求出概率，列出随机变量分布列，根据期望公式即可求解.【题目详解】（1）由题中数据可知，中青年对新高考了解的概率，中老年对新高考了解的概率.（2）列联表如图所示了解新高考不了解新高考总计中青年22830老年81220总计302050，所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联.（3）年龄在的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数可能取值为0，1，2，则；；.所以的分布列为012.【答案点睛】本题考查概率、独立性检验及随机变量分布列和期望，考查计算求解能力，属于基础题.18、（1）若，则在定义域内递增；若，则在上单调递增，在上单调递减（2）证明见解析【答案解析】

（1），分，讨论即可；（2）由题可得到，故只需证，，即，采用换元法，转化为函数的最值问题来处理.【题目详解】由已知，，若，则在定义域内递增；若，则在上单调递增，在上单调递减.（2）由题意，对求导可得从而，是的两个变号零点，因此下证：，即证令，即证：，对求导可得，，，因为故，所以在上单调递减，而，从而所以在单调递增，所以，即于是【答案点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式，考查学生逻辑推理能力、转化与化归能力，是一道有一定难度的压轴题.19、（1）证明见解析（2）【答案解析】

（1）利用线段长度得到与间的垂直关系，再根据线面垂直的判定定理完成证明；（2）以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值，计算出结果.【题目详解】（1）∵，，∴，∴，∵，平面，∴平面（2）由（1）知，，又为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，∵，∴，设是平面的一个法向量则，即，取得∴∴直线与平面所成的正弦值为【答案点睛】本题考查线面垂直的证明以及用向量法求解线面角的正弦，难度一般.用向量方法求解线面角的正弦值时，注意直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值.20、（1）见解析（2）.【答案解析】

（1）与平面垂直，过点作与平面平行的平面即可（2）建立空间直角坐标系求线面角正弦值【题目详解】解：（1）截面如下图所示：其中，，，，分别为边，，，，的中点，则垂直于平面.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，.设平面的一个法向量为，则.不妨取，则，所以与该平面所成角的正弦值为.（若将作为该平面法向量，需证明与该平面垂直）【答案点睛】考查确定平面的方法以及线面角的求法，中档题.21、（1）；（2）单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值；（3）见解析.【答案解析】

（1）切点既在切线上又在曲线上得一方程，再根据斜率等于该点的导数再列一方程，解方程组即可；（2）先对求导数，根据导数判断和求解即可.（3）把证明转化为证明，然后证明极小值大于极大值即可.